Mi az a lineáris vibráció?

Lineáris rezgés: a rendszerben lévő komponensek rugalmassága a Hook-törvény hatálya alá tartozik, és a mozgás során keletkező csillapító erő arányos az általánosított sebesség első egyenletével (az általánosított koordináták időbeli deriváltjával).

koncepció

A lineáris rendszer általában a valós rendszer rezgésének absztrakt modellje. A lineáris rezgésrendszer a szuperpozíció elvét alkalmazza, vagyis ha a rendszer válasza y1 az x1 bemenet hatására, és y2 az x2 bemenet hatására, akkor a rendszer válasza az x1 és x2 bemenet hatására y1+y2.

A szuperpozíció elve alapján egy tetszőleges bemenetet fel lehet bontani infinitezimális impulzusok sorozatának összegére, és így megkaphatjuk a rendszer teljes válaszát. Egy periodikus gerjesztés harmonikus összetevőinek összege kibontható egy Harmonikus komponensek sorozatát Fourier-transzformációval, és az egyes harmonikus komponensek rendszerre gyakorolt ​​hatása külön-külön vizsgálható. Ezért az állandó paraméterű lineáris rendszerek válaszjellemzői impulzus- vagy frekvencia-válaszjellel írhatók le.

Az impulzusválasz a rendszernek az egységimpulzusra adott válaszát jelenti, amely a rendszer válaszjellemzőit jellemzi az időtartományban. A frekvenciaválasz a rendszernek az egységharmonikus bemenetre adott válaszjellemzőjét jelenti. A kettő közötti megfelelés meghatározásra kerül. a Fourier transzformációval.

osztályozás

A lineáris rezgés az egyszabadságfokú rendszer lineáris rezgésére és a több szabadságfokú rendszer lineáris rezgésére osztható.

(1) Az egyszabadságfokú rendszer lineáris rezgése olyan lineáris rezgés, amelynek helyzete egy általánosított koordinátával meghatározható. Ez a legegyszerűbb rezgés, amelyből a rezgés számos alapvető fogalma és jellemzője származtatható. harmonikus rezgés, szabad rezgés, csillapító vibráció és kényszerrezgés.

Egyszerű harmonikus rezgés: egy tárgynak az egyensúlyi helyzete közelében szinuszos törvény szerinti oda-vissza mozgása az elmozdulásával arányos helyreállító erő hatására.

Csillapított vibráció: olyan rezgés, amelynek amplitúdója folyamatosan csillapodik a súrlódás és a dielektromos ellenállás jelenléte vagy más energiafogyasztás miatt.

Kényszerrezgés: rendszer rezgése állandó gerjesztés mellett.

(2) a több szabadságfokú rendszer lineáris rezgése az n≥2 szabadságfokkal rendelkező lineáris rendszer rezgése. Egy n szabadságfokú rendszernek n sajátfrekvenciája és n fő üzemmódja van. Bármilyen rezgési konfiguráció A rendszer a főbb módusok lineáris kombinációjaként ábrázolható. Ezért a fő módusú szuperpozíciós módszert széles körben alkalmazzák a többdimenziós rendszerek dinamikus válaszelemzésénél. Ily módon a rendszer természetes rezgési jellemzőinek mérése és elemzése a rendszer a rendszer dinamikus tervezésének rutin lépésévé válik.A többdimenziós rendszerek dinamikus jellemzői frekvenciakarakterisztikával is leírhatók.Mivel az egyes bemenetek és kimenetek között frekvenciakarakterisztikai függvény van, egy frekvenciakarakterisztikai mátrixot hoznak létre. határozott kapcsolat a frekvenciakarakterisztika és a fő üzemmód között. A többszabadságos rendszer amplitúdó-frekvencia jelleggörbéje eltér az egyszabadságos rendszerétől.

Egyetlen szabadságfokú rendszer lineáris rezgése

Lineáris rezgés, amelyben a rendszer helyzete egy általánosított koordinátával meghatározható. Ez a legegyszerűbb és legalapvetőbb rezgés, amelyből a rezgés számos alapvető fogalma és jellemzője származtatható. Ide tartozik az egyszerű harmonikus rezgés, a csillapított rezgés és a kényszerrezgés. .

Harmonikus rezgés

Az elmozdulással arányos erő visszaállítása hatására a tárgy szinuszos módon az egyensúlyi helyzete közelében mozog (1. ábra). X az elmozdulást, t pedig az időt.Ennek a rezgésnek a matematikai kifejezése:

(1)ahol A az x elmozdulás maximális értéke, amelyet amplitúdónak nevezünk, és a rezgés intenzitását jelenti; Omega n a rezgés amplitúdójának szögnövekedése másodpercenként, amit szögfrekvenciának vagy körfrekvenciának nevezünk; kezdeti fázisnak nevezzük. Az f= n/2-nél a másodpercenkénti rezgések számát frekvenciának nevezzük; ennek az inverze, T=1/f az az idő, amely alatt egy ciklus oszcillál, és ezt ún. a periódus.A amplitúdó, f frekvencia (vagy n szögfrekvencia), a kezdeti fázis, az úgynevezett egyszerű harmonikus rezgés három elem.

ÁBRA.1 egyszerű harmonikus rezgésgörbe

ábrán látható módon.A 2. ábrán egy egyszerű harmonikus oszcillátor jön létre a lineáris rugóval összekapcsolt m koncentrált tömegből. Ha a rezgéseltolódást az egyensúlyi helyzetből számítjuk, a rezgési egyenlet:

Hol van a rugó merevsége. A fenti egyenlet általános megoldása (1).A és meghatározható az x0 kezdeti helyzettel és a t=0 kezdeti sebességgel:

De az omega n-t csak magának a rendszernek az m és k jellemzői határozzák meg, függetlenül a további kezdeti feltételektől, ezért az omega n-t sajátfrekvenciának is nevezik.

ÁBRA.2 egyetlen szabadságfokú rendszer

Egy egyszerű harmonikus oszcillátor esetében a mozgási energiájának és a potenciális energiájának összege állandó, azaz a rendszer teljes mechanikai energiája megmarad. A rezgési folyamat során a mozgási energia és a potenciális energia folyamatosan átalakul egymásba.

A csillapító rezgés

Olyan rezgés, amelynek amplitúdóját folyamatosan csillapítja a súrlódás és a dielektromos ellenállás vagy más energiafelhasználás. Mikrorezgés esetén a sebesség általában nem túl nagy, és a közepes ellenállás arányos a sebességgel az első hatványhoz, amely c-ként írható fel. a csillapítási együttható. Ezért az egy szabadsági fok lineáris csillapítású rezgésegyenlete a következőképpen írható fel:

(2)Ahol m =c/2m a csillapítási paramétert, és. A (2) képlet általános megoldása felírható:

(3)Az omega n és a PI közötti numerikus kapcsolat a következő három esetre osztható:

N > (kis csillapítás esetén) részecske által keltett csillapító rezgés, a rezgési egyenlet:

Az amplitúdója idővel csökken az egyenletben látható exponenciális törvénynek megfelelően, amint az a 2. ábrán a szaggatott vonalon látható.3. Szigorúan véve ez a rezgés időszakos, de csúcsának frekvenciája a következőképpen határozható meg:

Az amplitúdócsökkentés mértékének nevezik, ahol a rezgés periódusa. Az amplitúdócsökkentési sebesség természetes logaritmusát logaritmus mínusz (amplitúdó) sebességnek nevezik. Nyilvánvaló, hogy = ebben az esetben egyenlő 2/1-gyel. Közvetlenül a kísérleti teszt delta és a fenti képlet segítségével kiszámítható c.

Ekkor a (2) egyenlet megoldása felírható:

A kezdeti sebesség irányával együtt három rezgésmentes esetre osztható, amint az 1. ábrán látható.4.

N < (nagy csillapítás esetén), a (2) egyenlet megoldását a (3) egyenlet mutatja. Ekkor a rendszer már nem rezeg.

Kényszerrezgés

Rendszer rezgése állandó gerjesztés mellett. A rezgésanalízis elsősorban a rendszer gerjesztésre adott válaszát vizsgálja. A periodikus gerjesztés tipikus szabályos gerjesztés. Mivel a periodikus gerjesztés mindig több harmonikus gerjesztés összegére bontható, a szuperpozíció elve szerint csak a rendszernek minden harmonikus gerjesztésre adott válasza szükséges. Harmonikus gerjesztés hatására egyetlen szabadságfokú csillapított rendszer mozgási differenciálegyenlete felírható:

A válasz két rész összege.Az egyik része a csillapított rezgés válasza, amely gyorsan csökken az idő múlásával. A kényszerrezgés másik részének válasza felírható:

ÁBRA.3 csillapított rezgésgörbe

ÁBRA.4 görbe három kezdeti állapotból kritikus csillapítással

Írja be a

H /F0= h (), az állandósult válasz amplitúdójának és a gerjesztési amplitúdónak az aránya, amely az amplitúdó-frekvencia karakterisztikát vagy az erősítési függvényt jellemzi; Bitek az egyensúlyi reakcióhoz és a fázis ösztönzéséhez, a fázisfrekvenciás jellemzők jellemzéséhez. ábrán látható a gerjesztési frekvencia.az 5. és a 3. ábra.6.

Amint az amplitúdó-frekvencia görbéből (5. ÁBRA) látható, kis csillapítás esetén az amplitúdó-frekvencia görbének egyetlen csúcsa van. Minél kisebb a csillapítás, annál meredekebb a csúcs; A csúcsnak megfelelő frekvencia a rendszer rezonanciafrekvenciájának nevezzük.Kis csillapítás esetén a rezonanciafrekvencia nem sokban különbözik a sajátfrekvenciától.Amikor a gerjesztési frekvencia közel van a sajátfrekvenciához, az amplitúdó meredeken növekszik.Ezt a jelenséget rezonanciának nevezik. A rezonanciánál a rendszer erősítését maximalizálják, vagyis a kényszerrezgés a legintenzívebb. Ezért általában mindig törekedni kell a rezonancia elkerülésére, kivéve, ha egyes műszerek és berendezések rezonanciát használnak a nagy teljesítmény elérésére. rezgés.

ÁBRA.5 amplitúdójú frekvencia görbe

A fázisfrekvencia görbéről (6. ábra) látható, a csillapítás nagyságától függetlenül, omega nulla fáziskülönbség bitekben = PI / 2, ez a karakterisztikája hatékonyan használható a rezonancia mérésére.

Az állandó gerjesztés mellett a rendszerek néha bizonytalan gerjesztéssel is találkoznak. Nagyjából két típusra osztható: az egyik a hirtelen becsapódás. A második az önkény tartós hatása. Instabil gerjesztés esetén a rendszer reakciója is instabil.

Az instabil rezgések elemzésének hatékony eszköze az impulzusválasz módszer. A rendszer dinamikus jellemzőit írja le a rendszer egységimpulzus-bemenetének tranziens válaszával. Az egységimpulzus delta függvényként fejezhető ki. A mérnöki tudományban a delta A funkciót gyakran a következőképpen határozzák meg:

Ahol 0- a t-tengely azon pontja, amely balról közelít a nullához; 0 plusz az a pont, amely jobbról a 0-hoz megy.

ÁBRA.6 fázisú frekvencia görbe

ÁBRA.7 bármely bemenet impulzuselemek sorozatának összegének tekinthető

A rendszer megfelel az egységimpulzus által t=0-nál generált h(t) válasznak, amit impulzusválasz függvénynek nevezünk. Feltéve, hogy a rendszer az impulzus előtt álló helyzetben van, h(t)=0 t<0 esetén. a rendszer impulzusválasz függvénye, megkereshetjük a rendszer válaszát bármely x(t) bemenetre. Ezen a ponton az x(t) impulzuselemek sorozatának összegeként fogható fel (7. ÁBRA). .A rendszer válasza:

A szuperpozíció elve alapján az x(t)-nek megfelelő rendszer teljes válasza:

Ezt az integrált konvolúciós integrálnak vagy szuperpozíciós integrálnak nevezzük.

Több szabadságfokú rendszer lineáris rezgése

Egy n≥2 szabadságfokú lineáris rendszer rezgése.

A 8. ábra két egyszerű rezonáns alrendszert mutat, amelyeket tengelykapcsoló rugó köt össze. Mivel ez egy két szabadságfokú rendszer, két független koordináta szükséges a helyzet meghatározásához. Ebben a rendszerben két saját frekvencia van:

Mindegyik frekvencia egy rezgésmódnak felel meg. A harmonikus oszcillátorok azonos frekvenciájú harmonikus rezgéseket hajtanak végre, szinkronban áthaladva az egyensúlyi helyzeten és szinkronban elérve a szélső pozíciót. Az omega one-nak megfelelő főrezgésben x1 egyenlő x2-vel;In az omega omega kettőnek megfelelő főrezgés, az omega omega egy. A fő rezgésben az egyes tömegek elmozdulási aránya egy bizonyos viszonyt tart, és egy bizonyos módust alkot, amelyet főmódusnak vagy természetes módusnak nevezünk. A tömeg ortogonalitása, ill. A fő módusok között van merevség, ami az egyes rezgések függetlenségét tükrözi. A sajátfrekvencia és a főmódus a több szabadságfokú rendszerben rejlő rezgési jellemzőket képviseli.

ÁBRA.8 rendszer több szabadságfokkal

Egy n szabadságfokú rendszernek n saját frekvenciája és n fő módusa van. A rendszer bármely rezgéskonfigurációja a főbb módusok lineáris kombinációjaként ábrázolható. Ezért a fő módusú szuperpozíciós módszert széles körben használják több dinamikus válaszelemzésben. -dof rendszerek.Ily módon a rendszer természetes rezgési jellemzőinek mérése és elemzése a rendszer dinamikus tervezésének rutin lépésévé válik.

A multi-dof rendszerek dinamikus jellemzői frekvenciakarakterisztikával is leírhatók.Mivel az egyes bemenetek és kimenetek között frekvenciakarakterisztikai függvény van, frekvenciakarakterisztikai mátrix készül. A többszabadságos rendszer amplitúdó-frekvencia jelleggörbéje eltérő az egyszabadság rendszerétől.

Az elasztomer vibrál

A fenti több szabadságfokú rendszer az elasztomer közelítő mechanikai modellje. Egy elasztomernek végtelen számú szabadsági foka van. Van mennyiségi különbség, de nincs lényeges különbség a kettő között. Bármely elasztomernek végtelen számú természetes frekvenciája van, és végtelen számú megfelelő módus, és ortogonalitás van a tömeg és a merevség módusai között.Az elasztomer bármilyen rezgési konfigurációja a fő módusok lineáris szuperpozíciójaként is ábrázolható. Ezért az elasztomer dinamikus válaszelemzéséhez a szuperpozíciós módszer a fő mód továbbra is alkalmazható (lásd az elasztomer lineáris vibrációját).

Vegyük egy húr rezgését. Tegyük fel, hogy egy vékony, m tömegű, egységnyi hosszon l hosszú húr mindkét végén megfeszül, és a feszültség T. Ekkor a húr természetes frekvenciáját a következő határozza meg. egyenlet:

F = na/2l (n = 1,2,3…).

Hol van a keresztirányú hullám terjedési sebessége a húr iránya mentén. A húrok sajátfrekvenciái történetesen az alapfrekvencia többszörösei 2 l-nél. Ez az egész számszerű multiplicitás kellemes harmonikus szerkezethez vezet. Általában nincs ilyen egész számú többszörös reláció az elasztomer sajátfrekvenciái között.

A feszített húr első három üzemmódja a 3. ábrán látható.9. A fő üzemmódgörbén néhány csomópont található.A fő rezgésben a csomópontok nem rezegnek.ÁBRA.A 10. ábra a kerület mentén alátámasztott kör alakú lemez néhány tipikus módját mutatja, néhány csomóponti vonallal, amelyek körökből és átmérőkből állnak.

Az elasztomer rezgésfeladatának pontos megfogalmazása a parciális differenciálegyenletek határérték-problémájaként adódik. A pontos megoldás azonban csak a legegyszerűbb esetekben adható meg, ezért a komplex elasztomer esetében a közelítő megoldáshoz kell folyamodnunk. rezgési probléma.A különféle közelítő megoldások lényege, hogy a végtelent végessé változtatjuk, vagyis a végtag nélküli több szabadságfokú rendszert (folyamatos rendszert) véges több szabadságfokú rendszerré (diszkrét rendszer) diszkretáljuk. .A mérnöki elemzésben kétféle diszkretizációs módszert használnak széles körben: a végeselemes módszert és a modális szintézis módszert.

ÁBRA.9 módú húr

ÁBRA.10 módú kör alakú lemez

A végeselemes módszer egy olyan összetett szerkezet, amely egy összetett struktúrát véges számú elemre absztrahál, és véges számú csomóponton köti össze őket. Minden egység egy elasztomer; Az elem eloszlási elmozdulását a csomópont-elmozdulás interpolációs függvénye fejezi ki. Az egyes elemek eloszlási paramétereit minden csomópontra koncentráljuk egy bizonyos formátumban, és megkapjuk a diszkrét rendszer mechanikai modelljét.

A modális szintézis egy összetett szerkezet több egyszerűbb alépítményre bontása. Az egyes alépítmények rezgési jellemzőinek megértése alapján az alépítményt általános struktúrává szintetizálják a felületen lévő koordinációs feltételeknek és az általános rezgésmorfológiának megfelelően. a szerkezetet az egyes alépítmények rezgésmorfológiájának felhasználásával kapjuk meg.

A két módszer különbözik és rokon, referenciaként használható. A modális szintézis módszer a kísérleti méréssel is hatékonyan kombinálható, így elméleti és kísérleti elemzési módszert alkothatunk nagy rendszerek rezgéseinek vizsgálatához.