Wat is lineêre vibrasie?

Lineêre vibrasieDie elastisiteit van komponente in die stelsel is onderhewig aan Hooke se wet, en die dempingskrag wat tydens die beweging gegenereer word, is eweredig aan die eerste vergelyking van die veralgemeende snelheid (tydafgeleide van die veralgemeende koördinate).

konsep

'n Lineêre stelsel is gewoonlik 'n abstrakte model van die vibrasie van 'n werklike stelsel. Die lineêre vibrasiestelsel pas die superposisiebeginsel toe, dit wil sê, as die respons van die stelsel y1 is onder die werking van invoer x1, en y2 onder die werking van invoer x2, dan is die respons van die stelsel onder die werking van invoer x1 en x2 y1+y2.

Op grond van superposisiebeginsel kan 'n arbitrêre invoer ontbind word in die som van 'n reeks infinitesimale impulse, en dan kan die totale respons van die stelsel verkry word. Die som van die harmoniese komponente van 'n periodieke opwekking kan deur Fourier-transform uitgebrei word na 'n reeks harmoniese komponente, en die effek van elke harmoniese komponent op die stelsel kan afsonderlik ondersoek word. Daarom kan die responseienskappe van lineêre stelsels met konstante parameters beskryf word deur impulsrespons of frekwensierespons.

Impulsrespons verwys na die respons van die stelsel op die eenheidsimpuls, wat die responseienskappe van die stelsel in die tyddomein karakteriseer. Frekwensierespons verwys na die responseienskap van die stelsel op die eenheidsharmoniese inset. Die ooreenstemming tussen die twee word bepaal deur die Fourier-transform.

klassifikasie

Lineêre vibrasie kan verdeel word in lineêre vibrasie van 'n enkelvryheidsgraadstelsel en lineêre vibrasie van 'n multivryheidsgraadstelsel.

(1) lineêre vibrasie van 'n enkelvryheidsgraadstelsel is 'n lineêre vibrasie waarvan die posisie deur 'n veralgemeende koördinaat bepaal kan word. Dit is die eenvoudigste vibrasie waaruit baie basiese konsepte en eienskappe van vibrasie afgelei kan word. Dit sluit eenvoudige harmoniese vibrasie, vrye vibrasie, verswakkingsvibrasie en geforseerde vibrasie in.

Eenvoudige harmoniese vibrasie: die heen-en-weer beweging van 'n voorwerp in die omgewing van sy ewewigsposisie volgens 'n sinusvormige wet onder die werking van 'n herstelkrag eweredig aan sy verplasing.

Gedempte vibrasie: vibrasie waarvan die amplitude voortdurend verswak word deur die teenwoordigheid van wrywing en diëlektriese weerstand of ander energieverbruik.

Gedwonge vibrasie: vibrasie van 'n stelsel onder konstante opwekking.

(2) die lineêre vibrasie van die multi-vryheidsgraadstelsel is die vibrasie van die lineêre stelsel met n≥2 vryheidsgrade. 'n Stelsel van n vryheidsgrade het n natuurlike frekwensies en n hoofmodusse. Enige vibrasiekonfigurasie van die stelsel kan voorgestel word as 'n lineêre kombinasie van die hoofmodusse. Daarom word die hoofmodus-superposisiemetode wyd gebruik in dinamiese responsanalise van multi-dof-stelsels. Op hierdie manier word die meting en analise van die natuurlike vibrasie-eienskappe van die stelsel 'n roetinestap in die dinamiese ontwerp van die stelsel. Die dinamiese eienskappe van multi-dof-stelsels kan ook beskryf word deur frekwensie-eienskappe. Aangesien daar 'n frekwensie-eienskapfunksie tussen elke invoer en uitvoer is, word 'n frekwensie-eienskapmatriks gekonstrueer. Daar is 'n definitiewe verband tussen die frekwensie-eienskap en die hoofmodus. Die amplitude-frekwensie-eienskapkromme van die multi-vryheidstelsel verskil van dié van die enkelvryheidstelsel.

Lineêre vibrasie van 'n enkelvryheidsgraadstelsel

'n Lineêre vibrasie waarin die posisie van 'n stelsel deur 'n veralgemeende koördinaat bepaal kan word. Dit is die eenvoudigste en mees fundamentele vibrasie waaruit baie basiese konsepte en eienskappe van vibrasie afgelei kan word. Dit sluit eenvoudige harmoniese vibrasie, gedempte vibrasie en geforseerde vibrasie in.

Harmoniese vibrasie

Onder die werking van die herstelkrag eweredig aan die verplasing, beweeg die voorwerp sinusvormig heen en weer naby sy ewewigsposisie (FIG. 1). X verteenwoordig die verplasing en t verteenwoordig die tyd. Die wiskundige uitdrukking van hierdie vibrasie is:

(1)Waar A die maksimum waarde van verplasing x is, wat die amplitude genoem word, en die intensiteit van die vibrasie verteenwoordig; Omega n is die amplitude Hoektoename van die vibrasie per sekonde, wat die hoekfrekwensie, of die sirkelfrekwensie genoem word; Dit word die aanvanklike fase genoem. In terme van f = n / 2, word die aantal ossillasies per sekonde die frekwensie genoem; Die inverse hiervan, T = 1 / f, is die tyd wat dit neem om een ​​siklus te ossilleer, en dit word die periode genoem. Amplitude A, frekwensie f (of hoekfrekwensie n), die aanvanklike fase, bekend as eenvoudige harmoniese vibrasie drie elemente.

FIG. 1 eenvoudige harmoniese vibrasiekromme

Soos getoon in FIG. 2, word 'n eenvoudige harmoniese ossillator gevorm deur die gekonsentreerde massa m wat deur 'n lineêre veer verbind word. Wanneer die vibrasieverplasing vanaf die ewewigsposisie bereken word, is die vibrasievergelyking:

Waar die styfheid van die veer is. Die algemene oplossing vir die bogenoemde vergelyking is (1).A en kan bepaal word deur die beginposisie x0 en die beginsnelheid by t=0:

Maar omega n word slegs bepaal deur die eienskappe van die stelsel self m en k, onafhanklik van die bykomende aanvangsvoorwaardes, daarom staan ​​omega n ook bekend as die natuurlike frekwensie.

FIG. 2 enkelvryheidsgraadstelsel

Vir 'n eenvoudige harmoniese ossillator is die som van sy kinetiese energie en potensiële energie konstant, dit wil sê, die totale meganiese energie van die stelsel word behoue ​​gebly. In die proses van vibrasie word kinetiese energie en potensiële energie voortdurend in mekaar omgeskakel.

Die dempende vibrasie

'n Vibrasie waarvan die amplitude voortdurend verswak word deur wrywing en diëlektriese weerstand of ander energieverbruik. Vir mikrovibrasie is die snelheid oor die algemeen nie baie groot nie, en die mediumweerstand is eweredig aan die snelheid tot die eerste mag, wat geskryf kan word as c die dempingskoëffisiënt is. Daarom kan die vibrasievergelyking van een vryheidsgraad met lineêre demping geskryf word as:

(2)Waar m = c/2m die dempingsparameter genoem word, en. Die algemene oplossing van formule (2) kan geskryf word as:

(3)Die numeriese verband tussen omega n en PI kan in die volgende drie gevalle verdeel word:

N > (in die geval van klein demping) deeltjie-geproduseerde verswakkingsvibrasie, is die vibrasievergelyking:

Die amplitude daarvan neem af met tyd volgens die eksponensiële wet wat in die vergelyking getoon word, soos getoon in die stippellyn in FIG. 3. Streng gesproke is hierdie vibrasie aperiodies, maar die frekwensie van die piek daarvan kan gedefinieer word as:

Word die amplitude-verminderingskoers genoem, waar die vibrasieperiode is. Die natuurlike logaritme van die amplitude-verminderingskoers word die logaritme minus (amplitude) koers genoem. Dit is duidelik dat =, in hierdie geval, gelyk is aan 2/1. Direk deur die eksperimentele toetsdelta en, met behulp van die bogenoemde formule, kan c bereken word.

Op hierdie tydstip kan die oplossing van vergelyking (2) geskryf word as:

Saam met die rigting van die aanvanklike snelheid, kan dit in drie nie-vibrasiegevalle verdeel word soos getoon in FIG. 4.

N < (in die geval van groot demping), word die oplossing vir vergelyking (2) in vergelyking (3) getoon. Op hierdie punt vibreer die stelsel nie meer nie.

Gedwonge vibrasie

Vibrasie van 'n stelsel onder konstante opwekking. Vibrasie-analise ondersoek hoofsaaklik die reaksie van die stelsel op opwekking. Periodieke opwekking is 'n tipiese gereelde opwekking. Aangesien periodieke opwekking altyd in die som van verskeie harmoniese opwekkings ontbind kan word, word volgens die superposisiebeginsel slegs die reaksie van die stelsel op elke harmoniese opwekking vereis. Onder die werking van harmoniese opwekking kan die differensiaalvergelyking van beweging van 'n enkele vryheidsgraadgedempte stelsel geskryf word:

Die respons is die som van twee dele. Een deel is die respons van gedempte vibrasie, wat vinnig met tyd afneem. Die respons van 'n ander deel van geforseerde vibrasie kan geskryf word as:

FIG. 3 gedempte vibrasiekromme

FIG. 4 krommes van drie aanvangstoestande met kritieke demping

Tik die

H /F0= h(), is die verhouding van die bestendige reaksie-amplitude tot die opwekkingsamplitude, wat die amplitude-frekwensie-eienskappe, of die versterkingsfunksie, karakteriseer; Bisse vir die bestendige reaksie en die aansporing van die fase, karakterisering van die fasefrekwensie-eienskappe. Die verband tussen hulle en die opwekkingsfrekwensie word in FIG. 5 en FIG. 6 getoon.

Soos gesien kan word uit die amplitude-frekwensie-kromme (FIG. 5), het die amplitude-frekwensie-kromme in die geval van klein demping 'n enkele piek. Hoe kleiner die demping, hoe steiler die piek; Die frekwensie wat ooreenstem met die piek word die resonante frekwensie van die stelsel genoem. In die geval van klein demping verskil die resonansie-frekwensie nie veel van die natuurlike frekwensie nie. Wanneer die opwekkingsfrekwensie naby die natuurlike frekwensie is, neem die amplitude skerp toe. Hierdie verskynsel word resonansie genoem. By resonansie word die wins van die stelsel gemaksimeer, dit wil sê, die geforseerde vibrasie is die intensste. Daarom, in die algemeen, streef altyd daarna om resonansie te vermy, tensy sommige instrumente en toerusting resonansie gebruik om groot vibrasie te bereik.

FIG. 5 amplitude-frekwensiekromme

Kan gesien word uit die fasefrekwensiekromme (figuur 6), ongeag die grootte van die demping, in omega nul faseverskilbitte = PI / 2, kan hierdie eienskap effektief gebruik word in die meting van resonansie.

Benewens bestendige opwekking, ervaar stelsels soms onbestendige opwekking. Dit kan rofweg in twee tipes verdeel word: een is die skielike impak. Die tweede is die blywende effek van arbitrêre aktiwiteit. Onder onbestendige opwekking is die reaksie van die stelsel ook onbestendig.

'n Kragtige instrument vir die analise van onbestendige vibrasie is die impulsresponsmetode. Dit beskryf die dinamiese eienskappe van die stelsel met die oorgangsrespons van die eenheidsimpulsinset van die stelsel. Die eenheidsimpuls kan as 'n deltafunksie uitgedruk word. In ingenieurswese word die deltafunksie dikwels gedefinieer as:

Waar 0- die punt op die t-as verteenwoordig wat nul van links nader; 0 plus die punt is wat van regs na 0 gaan.

FIG. 6 fasefrekwensiekromme

FIG. 7 enige invoer kan beskou word as die som van 'n reeks impulselemente

Die stelsel stem ooreen met die respons h(t) wat gegenereer word deur die eenheidsimpuls by t=0, wat die impulsresponsfunksie genoem word. As ons aanvaar dat die stelsel stilstaan ​​voor die puls, is h(t)=0 vir t<0. As ons die impulsresponsfunksie van die stelsel ken, kan ons die respons van die stelsel op enige invoer x(t) vind. Op hierdie stadium kan jy aan x(t) dink as die som van 'n reeks impulselemente (FIG. 7). Die respons van die stelsel is:

Gebaseer op die superposisiebeginsel, is die totale respons van die stelsel wat ooreenstem met x(t):

Hierdie integraal word 'n konvolusie-integraal of 'n superposisie-integraal genoem.

Lineêre vibrasie van 'n multi-vryheidsgraadstelsel

Vibrasie van 'n lineêre stelsel met n≥2 vryheidsgrade.

Figuur 8 toon twee eenvoudige resonante substelsels wat deur 'n koppelveer verbind is. Omdat dit 'n twee-grade-van-vryheid-stelsel is, is twee onafhanklike koördinate nodig om die posisie daarvan te bepaal. Daar is twee natuurlike frekwensies in hierdie stelsel:

Elke frekwensie stem ooreen met 'n vibrasiemodus. Die harmoniese ossillators voer harmoniese ossillasies van dieselfde frekwensie uit, wat sinchroon deur die ewewigsposisie beweeg en sinchroon die uiterste posisie bereik. In die hoofvibrasie wat ooreenstem met omega een, is x1 gelyk aan x2; in die hoofvibrasie wat ooreenstem met omega twee, omega omega een. In die hoofvibrasie handhaaf die verplasingsverhouding van elke massa 'n sekere verhouding en vorm 'n sekere modus, wat die hoofmodus of die natuurlike modus genoem word. Die ortogonaliteit van massa en styfheid bestaan ​​tussen die hoofmodusse, wat die onafhanklikheid van elke vibrasie weerspieël. Die natuurlike frekwensie en hoofmodus verteenwoordig die inherente vibrasie-eienskappe van die multigraad-van-vryheidstelsel.

FIG. 8 stelsel met veelvuldige vryheidsgrade

'n Stelsel van n vryheidsgrade het n natuurlike frekwensies en n hoofmodusse. Enige vibrasiekonfigurasie van die stelsel kan voorgestel word as 'n lineêre kombinasie van die hoofmodusse. Daarom word die hoofmodus-superposisiemetode wyd gebruik in dinamiese responsanalise van multi-dof-stelsels. Op hierdie manier word die meting en analise van die natuurlike vibrasie-eienskappe van die stelsel 'n roetinestap in die dinamiese ontwerp van die stelsel.

Die dinamiese eienskappe van multi-dof-stelsels kan ook beskryf word deur frekwensie-eienskappe. Aangesien daar 'n frekwensie-eienskapfunksie tussen elke invoer en uitvoer is, word 'n frekwensie-eienskapmatriks gekonstrueer. Die amplitude-frekwensie-eienskapkromme van die multi-vryheidstelsel verskil van dié van die enkel-vryheidstelsel.

Die elastomeer vibreer

Die bogenoemde multi-vryheidsgraadstelsel is 'n benaderde meganiese model van elastomeer. 'n Elastomeer het 'n oneindige aantal vryheidsgrade. Daar is 'n kwantitatiewe verskil, maar geen wesenlike verskil tussen die twee nie. Enige elastomeer het 'n oneindige aantal natuurlike frekwensies en 'n oneindige aantal ooreenstemmende modusse, en daar is ortogonaliteit tussen die modusse van massa en styfheid. Enige vibrasiekonfigurasie van die elastomeer kan ook voorgestel word as 'n lineêre superposisie van die hoofmodusse. Daarom, vir dinamiese reaksie-analise van die elastomeer, is die superposisiemetode van die hoofmodus steeds van toepassing (sien lineêre vibrasie van die elastomeer).

Neem die vibrasie van 'n toutjie. Kom ons sê 'n dun toutjie met massa m per eenheidslengte, lank l, word aan beide kante gespan, en die spanning is T. Op hierdie tydstip word die natuurlike frekwensie van die toutjie bepaal deur die volgende vergelyking:

F = na/2l (n= 1,2,3…).

Waar, die voortplantingsnelheid van die transversale golf langs die rigting van die snaar is. Die natuurlike frekwensies van die snare is veelvoude van die fundamentele frekwensie oor 2l. Hierdie heelgetalveelvoud lei tot 'n aangename harmoniese struktuur. Oor die algemeen is daar nie so 'n heelgetalveelvoudverhouding tussen die natuurlike frekwensies van die elastomeer nie.

Die eerste drie modusse van die gespanne tou word in FIG. 9 getoon. Daar is 'n paar nodusse op die hoofmoduskromme. In die hoofvibrasie vibreer die nodusse nie. FIG. 10 toon verskeie tipiese modusse van die omtreksgesteunde sirkelvormige plaat met 'n paar nodale lyne wat uit sirkels en diameters bestaan.

Die presiese formulering van die elastomeervibrasieprobleem kan afgelei word as die randwaardeprobleem van parsiële differensiaalvergelykings. Die presiese oplossing kan egter slegs in sommige van die eenvoudigste gevalle gevind word, daarom moet ons terugval op die benaderde oplossing vir die komplekse elastomeervibrasieprobleem. Die kern van verskeie benaderde oplossings is om die oneindige na die eindige te verander, dit wil sê, om die ledemaatlose multi-vryheidsgraadstelsel (kontinue stelsel) in 'n eindige multi-vryheidsgraadstelsel (diskrete stelsel) te diskretiseer. Daar is twee soorte diskretiseringsmetodes wat wyd gebruik word in ingenieursanalise: eindige elementmetode en modale sintesemetode.

FIG. 9 modus van string

FIG. 10 modus van sirkelvormige plaat

Die eindige elementmetode is 'n saamgestelde struktuur wat 'n komplekse struktuur in 'n eindige aantal elemente abstraheer en hulle by 'n eindige aantal nodusse verbind. Elke eenheid is 'n elastomeer; Die verspreidingsverplasing van die element word uitgedruk deur die interpolasiefunksie van die nodusverplasing. Dan word die verspreidingsparameters van elke element in 'n sekere formaat na elke nodus gekonsentreer, en die meganiese model van die diskrete stelsel word verkry.

Modale sintese is die ontbinding van 'n komplekse struktuur in verskeie eenvoudiger substrukture. Op grond van die begrip van die vibrasie-eienskappe van elke substruktuur, word die substruktuur gesintetiseer in 'n algemene struktuur volgens die koördinasietoestande op die koppelvlak, en die vibrasiemorfologie van die algemene struktuur word verkry deur die vibrasiemorfologie van elke substruktuur te gebruik.

Die twee metodes is verskillend en verwant, en kan as verwysing gebruik word. Die modale sintesemetode kan ook effektief gekombineer word met die eksperimentele meting om 'n teoretiese en eksperimentele analisemetode vir die vibrasie van groot stelsels te vorm.