Wat is lineêre vibrasie?

Lineêre vibrasie: die elastisiteit van komponente in die sisteem is onderhewig aan haak se wet, en die dempingskrag wat tydens die beweging gegenereer word, is eweredig aan die eerste vergelyking van die veralgemeende snelheid (tydafgeleide van die veralgemeende koördinate).

konsep

Lineêre sisteem is gewoonlik 'n abstrakte model van die vibrasie van werklike stelsel. Die lineêre vibrasiestelsel pas die superposisie-beginsel toe, dit wil sê as die reaksie van die sisteem y1 is onder die aksie van inset x1, en y2 onder die aksie van inset x2, dan is die reaksie van die stelsel onder die aksie van insette x1 en x2 y1+y2.

Op grond van superposisie-beginsel kan 'n arbitrêre inset ontbind word in die som van 'n reeks infinitesimale impulse, en dan kan die totale reaksie van die sisteem verkry word. Die som van die harmoniese komponente van 'n periodieke opwekking kan uitgebrei word tot 'n reeks harmoniese komponente deur Fourier-transform, en die effek van elke harmoniese komponent op die sisteem kan afsonderlik ondersoek word.Daarom kan die responseienskappe van lineêre sisteme met konstante parameters beskryf word deur impulsrespons of frekwensierespons.

Impulsrespons verwys na die reaksie van die sisteem op die eenheidsimpuls, wat die responseienskappe van die sisteem in die tyddomein kenmerk.Frekwensierespons verwys na die responseienskap van die sisteem op die eenheidsharmoniese inset.Die ooreenstemming tussen die twee word bepaal deur die Fourier-transform.

klassifikasie

Lineêre vibrasie kan verdeel word in lineêre vibrasie van enkel-vryheidsgraad-stelsel en lineêre vibrasie van multi-vryheidsgraad-stelsel.

(1) lineêre vibrasie van 'n enkel-vryheidsgraad-stelsel is 'n lineêre vibrasie waarvan die posisie deur 'n algemene koördinaat bepaal kan word. Dit is die eenvoudigste vibrasie waaruit baie basiese konsepte en kenmerke van vibrasie afgelei kan word. Dit sluit eenvoudige in harmoniese vibrasie, vrye vibrasie, attenuasie vibrasie en gedwonge vibrasie.

Eenvoudige harmoniese vibrasie: die resiprokerende beweging van 'n voorwerp in die omgewing van sy ewewigsposisie volgens 'n sinusvormige wet onder die werking van 'n herstelkrag wat eweredig is aan sy verplasing.

Gedempte vibrasie: vibrasie waarvan die amplitude voortdurend verswak word deur die teenwoordigheid van wrywing en diëlektriese weerstand of ander energieverbruik.

Geforseerde vibrasie: vibrasie van 'n sisteem onder konstante opwekking.

(2) die lineêre vibrasie van die meervoudige vryheidsgraadstelsel is die vibrasie van die lineêre stelsel met n≥2 vryheidsgrade. 'n Stelsel van n vryheidsgrade het n natuurlike frekwensies en n hoofmodusse.Enige vibrasiekonfigurasie van die sisteem kan voorgestel word as 'n lineêre kombinasie van die hoofmodusse.Daarom word die hoofmodus-superposisiemetode wyd gebruik in dinamiese reaksie-analise van multi-dof-stelsels.Op hierdie manier kan die meting en ontleding van die natuurlike vibrasie-eienskappe van die stelsel word 'n roetinestap in die dinamiese ontwerp van die stelsel.Die dinamiese kenmerke van multi-dof-stelsels kan ook beskryf word deur frekwensie-eienskappe.Aangesien daar 'n frekwensiekenmerkfunksie tussen elke inset en uitset is, word 'n frekwensiekenmerkmatriks gekonstrueer.Daar is 'n definitiewe verband tussen die frekwensiekenmerk en die hoofmodus. Die amplitude-frekwensiekenmerkkromme van die multivryheidstelsel verskil van dié van die enkelvryheidstelsel.

Lineêre vibrasie van 'n enkele vryheidsgraadstelsel

'n Lineêre vibrasie waarin die posisie van 'n sisteem deur 'n algemene koördinaat bepaal kan word. Dit is die eenvoudigste en mees fundamentele vibrasie waaruit baie basiese konsepte en kenmerke van vibrasie afgelei kan word. Dit sluit eenvoudige harmoniese vibrasie, gedempte vibrasie en gedwonge vibrasie in .

Harmoniese vibrasie

Onder die werking van die herstel van krag eweredig aan die verplasing, beweeg die voorwerp op 'n sinusvormige wyse naby sy ewewigsposisie (FIG. 1). X verteenwoordig die verplasing en t verteenwoordig die tyd.Die wiskundige uitdrukking van hierdie vibrasie is:

(1)Waar A die maksimum waarde van verplasing x is, wat die amplitude genoem word, en die intensiteit van die vibrasie verteenwoordig;Omega n is die amplitude Hoek-inkrement van die vibrasie per sekonde, wat die hoekfrekwensie of die sirkelfrekwensie genoem word; word die beginfase genoem.In terme van f= n/2, word die aantal ossillasies per sekonde die frekwensie genoem;Die omgekeerde hiervan, T=1/f, is die tyd wat dit neem om een ​​siklus te ossilleer, en dit word genoem die periode. Amplitude A, frekwensie f (of hoekfrekwensie n), die aanvanklike fase, bekend as eenvoudige harmoniese vibrasie drie elemente.

FIG.1 eenvoudige harmoniese vibrasiekromme

Soos in FIG.2, word 'n eenvoudige harmoniese ossillator gevorm deur die gekonsentreerde massa m wat deur 'n lineêre veer verbind word. Wanneer die vibrasieverplasing vanaf die ewewigsposisie bereken word, is die vibrasievergelyking:

Waar is die styfheid van die veer. Die algemene oplossing vir bogenoemde vergelyking is (1).A en kan bepaal word deur die beginposisie x0 en beginsnelheid by t=0:

Maar omega n word slegs bepaal deur die eienskappe van die sisteem self m en k, onafhanklik van die bykomende begintoestande, dus staan ​​omega n ook bekend as die natuurlike frekwensie.

FIG.2 enkele graad van vryheid stelsel

Vir 'n eenvoudige harmoniese ossillator is die som van sy kinetiese energie en potensiële energie konstant, dit wil sê die totale meganiese energie van die sisteem word bewaar.In die proses van vibrasie word kinetiese energie en potensiële energie voortdurend in mekaar getransformeer.

Die dempende vibrasie

'n Vibrasie waarvan die amplitude voortdurend verswak word deur wrywing en diëlektriese weerstand of ander energieverbruik. Vir mikrovibrasie is die snelheid oor die algemeen nie baie groot nie, en die medium weerstand is eweredig aan die snelheid tot die eerste drywing, wat geskryf kan word as c is die dempingskoëffisiënt.Daarom kan die vibrasievergelyking van een vryheidsgraad met lineêre demping geskryf word as:

(2)Waar, m =c/2m die dempingsparameter genoem word, en.Die algemene oplossing van formule (2) kan geskryf word:

(3)Die numeriese verwantskap tussen omega n en PI kan in die volgende drie gevalle verdeel word:

N > (in die geval van klein demping) deeltjie geproduseer attenuasie vibrasie, die vibrasie vergelyking is:

Sy amplitude neem af met tyd volgens die eksponensiële wet wat in die vergelyking getoon word, soos getoon in die stippellyn in FIG.3. Streng gesproke is hierdie vibrasie aperiodies, maar die frekwensie van sy piek kan gedefinieer word as:

Word die amplitude-reduksietempo genoem, waar die tydperk van vibrasie is.Die natuurlike logaritme van die amplitudeverminderingstempo word die logaritme minus (amplitude)tempo genoem.Natuurlik is =, in hierdie geval, gelyk aan 2/1.Direk deur die eksperimentele toets delta en, met behulp van die bogenoemde formule kan bereken word c.

Op hierdie tydstip kan die oplossing van vergelyking (2) geskryf word:

Saam met die rigting van beginsnelheid kan dit in drie nie-vibrasiegevalle verdeel word soos in FIG.4.

N < (in die geval van groot demping), word die oplossing vir vergelyking (2) in vergelyking (3) getoon. Op hierdie punt vibreer die stelsel nie meer nie.

Geforseerde vibrasie

Vibrasie van 'n stelsel onder konstante opwekking. Vibrasie-analise ondersoek hoofsaaklik die reaksie van die stelsel op opwekking. Periodieke opwekking is 'n tipiese gereelde opwekking. Aangesien periodieke opwekking altyd in die som van verskeie harmoniese opwekking ontbind kan word, volgens die superposisie-beginsel, slegs die reaksie van die sisteem op elke harmoniese opwekking word vereis.Onder die werking van harmoniese opwekking kan die differensiaalvergelyking van beweging van 'n enkele vryheidsgraad gedempte sisteem geskryf word:

Die respons is die som van twee dele.Een deel is die reaksie van gedempte vibrasie, wat vinnig met tyd verval. Die reaksie van 'n ander deel van gedwonge vibrasie kan geskryf word:

FIG.3 gedempte vibrasiekurwe

FIG.4 kurwes van drie begintoestande met kritieke demping

Tik die

H /F0= h (), is die verhouding van bestendige reaksie-amplitude tot opwekkingsamplitude, kenmerkende amplitude-frekwensie-eienskappe, of versterkingsfunksie;Bisse vir bestendige-toestandreaksie en aansporing van fase, karakterisering van fasefrekwensie-eienskappe. Die verband tussen hulle en opwekkingsfrekwensie word in FIG.5 en FIG.6.

Soos gesien kan word uit die amplitude-frekwensie kurwe (FIG. 5), in die geval van klein demping, het die amplitude-frekwensie kurwe 'n enkele piek. Hoe kleiner die demping, hoe steiler die piek; Die frekwensie wat ooreenstem met die piek is die resonansiefrekwensie van die stelsel genoem.In die geval van klein demping verskil die resonansiefrekwensie nie veel van die natuurlike frekwensie nie.Wanneer die opwekkingsfrekwensie naby die natuurlike frekwensie is, neem die amplitude skerp toe.Hierdie verskynsel word genoem resonansie.By resonansie, die wins van die stelsel is gemaksimeer, dit wil sê, die gedwonge vibrasie is die mees intense. Daarom, in die algemeen, altyd daarna streef om resonansie te vermy, tensy sommige instrumente en toerusting om resonansie te gebruik om groot te bereik vibrasie.

FIG.5 amplitude frekwensie kurwe

Kan gesien word uit die fasefrekwensiekurwe (figuur 6), ongeag die grootte van demping, in omega nul faseverskilbissies = PI / 2, kan hierdie eienskap effektief gebruik word om resonansie te meet.

Benewens bestendige opwekking, ondervind stelsels soms onstabiele opwekking. Dit kan rofweg in twee tipes verdeel word: een is die skielike impak. Die tweede is die blywende effek van willekeur. Onder onstabiele opwekking is die reaksie van die stelsel ook onstabiel.

'n Kragtige hulpmiddel vir die ontleding van onstabiele vibrasie is die impulsresponsmetode. Dit beskryf die dinamiese eienskappe van die stelsel met die verbygaande reaksie van die eenheidsimpulsinvoer van die stelsel. Die eenheidsimpuls kan uitgedruk word as 'n deltafunksie.In ingenieurswese is die delta funksie word dikwels gedefinieer as:

Waar 0- die punt op die t-as voorstel wat nul van links af nader; 0 plus is die punt wat van regs na 0 gaan.

FIG.6 fase frekwensie kurwe

FIG.7 enige inset kan beskou word as die som van 'n reeks impulselemente

Die sisteem stem ooreen met die respons h(t) wat deur die eenheidsimpuls by t=0 gegenereer word, wat die impulsresponsfunksie genoem word. Aanvaar dat die sisteem stilstaan ​​voor die puls, h(t)=0 vir t<0.Weet die impulsresponsfunksie van die sisteem, kan ons die reaksie van die sisteem op enige inset x(t) vind.Op hierdie punt kan jy aan x(t) dink as die som van 'n reeks impulselemente (FIG. 7) .Die reaksie van die stelsel is:

Gebaseer op die superposisie-beginsel, is die totale reaksie van die sisteem wat met x(t) ooreenstem::

Hierdie integraal word 'n konvolusie-integraal of 'n superposisie-integraal genoem.

Lineêre vibrasie van 'n multi-grade-van-vryheid stelsel

Vibrasie van 'n lineêre sisteem met n≥2 vryheidsgrade.

Figuur 8 toon twee eenvoudige resonante subsisteme wat deur 'n koppelveer verbind is. Omdat dit 'n twee-vryheidsgraad-stelsel is, is twee onafhanklike koördinate nodig om sy posisie te bepaal. Daar is twee natuurlike frekwensies in hierdie stelsel:

Elke frekwensie stem ooreen met 'n modus van vibrasie. Die harmoniese ossillators voer harmoniese ossillasies uit met dieselfde frekwensie, wat sinchronies deur die ewewigsposisie beweeg en sinchronies die uiterste posisie bereik. In die hoofvibrasie wat ooreenstem met omega een, is x1 gelyk aan x2;In die hoofvibrasie wat ooreenstem met omega omega twee, omega omega een.In die hoofvibrasie hou die verplasingsverhouding van elke massa 'n sekere verhouding en vorm 'n sekere modus, wat die hoofmodus of die natuurlike modus genoem word.Die ortogonaliteit van massa en styfheid bestaan ​​onder die hoofmodusse, wat die onafhanklikheid van elke vibrasie weerspieël. Die natuurlike frekwensie en hoofmodus verteenwoordig die inherente vibrasie-eienskappe van die multi-grade van vryheidstelsel.

FIG.8-stelsel met veelvuldige grade van vryheid

'n Stelsel van n vryheidsgrade het n natuurlike frekwensies en n hoofmodusse.Enige vibrasiekonfigurasie van die stelsel kan voorgestel word as 'n lineêre kombinasie van die hoofmodusse.Daarom word die hoofmodus-superposisiemetode wyd gebruik in dinamiese reaksie-analise van multi -dof-stelsels.Op hierdie manier word die meting en ontleding van die natuurlike vibrasie-eienskappe van die stelsel 'n roetine-stap in die dinamiese ontwerp van die stelsel.

Die dinamiese kenmerke van multi-dof-stelsels kan ook beskryf word deur frekwensie-eienskappe.Aangesien daar 'n frekwensiekenmerkfunksie tussen elke inset en uitset is, word 'n frekwensiekenmerkmatriks gekonstrueer.Die amplitude-frekwensiekenmerkkromme van die multivryheidstelsel verskil van dié van die enkelvryheidstelsel.

Die elastomeer vibreer

Die bogenoemde multi-vryheidsgraadstelsel is 'n benaderde meganiese model van elastomeer. 'n Elastomeer het 'n oneindige aantal vryheidsgrade. Daar is 'n kwantitatiewe verskil maar geen wesenlike verskil tussen die twee nie. Enige elastomeer het 'n oneindige aantal natuurlike frekwensies en 'n oneindige aantal ooreenstemmende modusse, en daar is ortogonaliteit tussen die modi van massa en styfheid.Enige vibrasiekonfigurasie van die elastomeer kan ook voorgestel word as 'n lineêre superposisie van die hoofmodusse.Daarom, vir dinamiese reaksie-analise van elastomeer, die superposisiemetode van hoofmodus is steeds van toepassing (sien lineêre vibrasie van elastomeer).

Neem die vibrasie van 'n tou. Kom ons sê dat 'n dun tou met massa m per lengte-eenheid, lang l, aan albei kante gespan is, en die spanning is T. Op hierdie tydstip word die natuurlike frekwensie van die tou bepaal deur die volgende vergelyking:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Waar, is die voortplantingssnelheid van die transversale golf langs die rigting van die snaar. Die natuurlike frekwensies van die snare is toevallig veelvoude van die fundamentele frekwensie oor 2l. Hierdie heelgetalveelvoud lei tot 'n aangename harmoniese struktuur. Oor die algemeen is daar geen so 'n heelgetal meervoudige verhouding tussen die natuurlike frekwensies van die elastomeer.

Die eerste drie modusse van die gespanne snaar word in FIG.9. Daar is 'n paar nodusse op die hoofmoduskurwe.In die hoofvibrasie vibreer die nodusse nie.FIG.10 toon verskeie tipiese modusse van die omtrek ondersteunde sirkelvormige plaat met 'n paar nodale lyne wat saamgestel is uit sirkels en diameters.

Die presiese formulering van die elastomeervibrasieprobleem kan tot die gevolgtrekking gekom word as die grenswaardeprobleem van parsiële differensiaalvergelykings. Die presiese oplossing kan egter slegs in sommige van die eenvoudigste gevalle gevind word, dus moet ons na die benaderde oplossing vir die komplekse elastomeer toevlug. vibrasieprobleem.Die essensie van verskeie benaderde oplossings is om die oneindige na die eindige te verander, dit wil sê om die ledemaat-lose multi-graad van vryheid sisteem (kontinue sisteem) te diskretiseer in 'n eindige multi-graad van vryheid sisteem (diskrete sisteem) .Daar is twee soorte diskretiseringsmetodes wat wyd in ingenieursanalise gebruik word: eindige-elementmetode en modale sintesemetode.

FIG.9 modus van snaar

FIG.10 modus van sirkelvormige plaat

Eindige elementmetode is 'n saamgestelde struktuur wat 'n komplekse struktuur in 'n eindige aantal elemente abstraheer en hulle by 'n eindige aantal nodusse verbind. Elke eenheid is 'n elastomeer; Die verspreidingsverplasing van element word uitgedruk deur interpolasiefunksie van nodusverplasing. verspreidingsparameters van elke element word na elke nodus in 'n sekere formaat gekonsentreer, en die meganiese model van die diskrete stelsel word verkry.

Modale sintese is die ontbinding van 'n komplekse struktuur in verskeie eenvoudiger substrukture. Op grond van die begrip van die vibrasie-eienskappe van elke substruktuur, word die substruktuur gesintetiseer in 'n algemene struktuur volgens die koördinasietoestande op die koppelvlak, en die vibrasiemorfologie van die algemene struktuur word verkry deur die vibrasiemorfologie van elke onderbou te gebruik.

Die twee metodes is verskillend en verwant, en kan as verwysing gebruik word. Die modale sintese metode kan ook effektief gekombineer word met die eksperimentele meting om 'n teoretiese en eksperimentele analise metode vir die vibrasie van groot sisteme te vorm.