Qu'est-ce qu'une vibration linéaire ?

Vibration linéaire: l'élasticité des composants du système est soumise à la loi de Hooke, et la force d'amortissement générée pendant le mouvement est proportionnelle à la première équation de la vitesse généralisée (dérivée temporelle des coordonnées généralisées).

concept

Un système linéaire est généralement un modèle abstrait de la vibration d'un système réel. Le système de vibration linéaire applique le principe de superposition, c'est-à-dire que si la réponse du système est y1 sous l'action de l'entrée x1, et y2 sous l'action de l'entrée x2, alors la réponse du système sous l'action des entrées x1 et x2 est y1+y2.

En se basant sur le principe de superposition, une entrée quelconque peut être décomposée en la somme d'une série d'impulsions infinitésimales, permettant ainsi d'obtenir la réponse totale du système. La somme des composantes harmoniques d'une excitation périodique peut être décomposée en une série de composantes harmoniques par transformée de Fourier, et l'effet de chaque composante harmonique sur le système peut être étudié séparément. Par conséquent, les caractéristiques de réponse des systèmes linéaires à paramètres constants peuvent être décrites par une réponse impulsionnelle ou une réponse fréquentielle.

La réponse impulsionnelle désigne la réponse du système à une impulsion unitaire, caractérisant ainsi sa réponse temporelle. La réponse fréquentielle désigne la réponse du système à une entrée harmonique unitaire. La correspondance entre les deux est établie par la transformée de Fourier.

classification

Les vibrations linéaires peuvent être divisées en vibrations linéaires d'un système à un seul degré de liberté et en vibrations linéaires d'un système à plusieurs degrés de liberté.

(1) La vibration linéaire d'un système à un seul degré de liberté est une vibration linéaire dont la position peut être déterminée par une coordonnée généralisée. C'est la vibration la plus simple à partir de laquelle de nombreux concepts et caractéristiques fondamentaux des vibrations peuvent être dérivés. Elle comprend la vibration harmonique simple, la vibration libre, la vibration atténuée et la vibration forcée.

Vibration harmonique simple : le mouvement de va-et-vient d'un objet au voisinage de sa position d'équilibre selon une loi sinusoïdale sous l'action d'une force de rappel proportionnelle à son déplacement.

Vibration amortie : vibration dont l’amplitude est continuellement atténuée par la présence de frottement et de résistance diélectrique ou par d’autres formes de consommation d’énergie.

Vibration forcée : vibration d'un système soumis à une excitation constante.

(2) La vibration linéaire d'un système à plusieurs degrés de liberté correspond à la vibration d'un système linéaire possédant n ≥ 2 degrés de liberté. Un système à n degrés de liberté présente n fréquences propres et n modes principaux. Toute configuration vibratoire du système peut être représentée comme une combinaison linéaire des modes principaux. Par conséquent, la méthode de superposition des modes principaux est largement utilisée dans l'analyse de la réponse dynamique des systèmes à plusieurs degrés de liberté. Ainsi, la mesure et l'analyse des caractéristiques vibratoires naturelles du système deviennent une étape courante de sa conception dynamique. Les caractéristiques dynamiques des systèmes à plusieurs degrés de liberté peuvent également être décrites par leurs caractéristiques fréquentielles. Puisqu'il existe une fonction caractéristique de fréquence entre chaque entrée et sortie, une matrice de caractéristiques de fréquence est construite. Il existe une relation définie entre la caractéristique de fréquence et le mode principal. La courbe caractéristique amplitude-fréquence d'un système à plusieurs degrés de liberté diffère de celle d'un système à un seul degré de liberté.

Vibration linéaire d'un système à un seul degré de liberté

Une vibration linéaire dans laquelle la position d'un système peut être déterminée par une coordonnée généralisée. C'est la vibration la plus simple et la plus fondamentale à partir de laquelle de nombreux concepts et caractéristiques de base des vibrations peuvent être dérivés. Elle comprend les vibrations harmoniques simples, les vibrations amorties et les vibrations forcées.

Vibration harmonique

Sous l'action d'une force de rappel proportionnelle au déplacement, l'objet oscille de manière sinusoïdale au voisinage de sa position d'équilibre (figure 1). X représente le déplacement et t le temps. L'expression mathématique de cette vibration est :

(1)Où A est la valeur maximale du déplacement x, appelée amplitude, et représente l'intensité de la vibration ; Ωn est l'incrément d'amplitude de la vibration par seconde, appelé fréquence angulaire ou pulsation ; ceci est appelé phase initiale. En termes de f = n/2, le nombre d'oscillations par seconde est appelé fréquence ; l'inverse de cette dernière, T = 1/f, est le temps nécessaire pour effectuer un cycle d'oscillation, et ceci est appelé période. L'amplitude A, la fréquence f (ou pulsation n), la phase initiale, sont connues sous le nom de vibrations harmoniques simples à trois éléments.

FIG. 1 courbe de vibration harmonique simple

Comme illustré sur la figure 2, un oscillateur harmonique simple est constitué d'une masse concentrée m reliée par un ressort linéaire. Lorsque le déplacement vibratoire est calculé à partir de la position d'équilibre, l'équation de vibration est :

Où est la raideur du ressort ? La solution générale de l’équation ci-dessus est (1). A et peuvent être déterminés par la position initiale x0 et la vitesse initiale à t=0 :

Mais omega n est uniquement déterminé par les caractéristiques du système lui-même m et k, indépendamment des conditions initiales supplémentaires, donc omega n est également connu sous le nom de fréquence naturelle.

FIG. 2 Système à un seul degré de liberté

Pour un oscillateur harmonique simple, la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle est constante, c'est-à-dire que l'énergie mécanique totale du système est conservée. Lors des vibrations, l'énergie cinétique et l'énergie potentielle se transforment constamment l'une en l'autre.

L'amortissement des vibrations

Une vibration dont l'amplitude est continuellement atténuée par frottement et résistance diélectrique ou par d'autres formes de consommation d'énergie. Pour les microvibrations, la vitesse est généralement faible et la résistance du milieu est proportionnelle à la vitesse à la puissance 1, ce qui peut s'écrire : où c est le coefficient d'amortissement. Par conséquent, l'équation de vibration à un degré de liberté avec amortissement linéaire s'écrit :

(2)Où m = c/2m est appelé le paramètre d'amortissement, et. La solution générale de la formule (2) peut s'écrire :

(3)La relation numérique entre omega n et PI peut être divisée en trois cas :

N > (dans le cas d'un faible amortissement) vibration d'atténuation produite par les particules, l'équation de vibration est :

Son amplitude diminue avec le temps selon la loi exponentielle représentée par l'équation, comme illustré par la ligne pointillée de la figure 3. À proprement parler, cette vibration est apériodique, mais la fréquence de son pic peut être définie comme suit :

On appelle cela le taux de réduction d'amplitude, où est la période de vibration. Le logarithme népérien du taux de réduction d'amplitude est appelé le taux logarithmique moins (amplitude). De toute évidence, =, dans ce cas, est égal à 2/1. Directement à travers le test expérimental delta et, en utilisant la formule ci-dessus, on peut calculer c.

À ce stade, la solution de l'équation (2) peut s'écrire :

En fonction de la direction de la vitesse initiale, on peut la diviser en trois cas sans vibration, comme illustré sur la figure 4.

N < (dans le cas d'un amortissement important), la solution de l'équation (2) est présentée dans l'équation (3). À ce stade, le système ne vibre plus.

Vibrations forcées

Vibration d'un système sous excitation constante. L'analyse vibratoire étudie principalement la réponse du système à l'excitation. L'excitation périodique est une excitation régulière typique. Puisqu'une excitation périodique peut toujours être décomposée en la somme de plusieurs excitations harmoniques, le principe de superposition permet de ne considérer que la réponse du système à chaque excitation harmonique. Sous l'action d'une excitation harmonique, l'équation différentielle du mouvement d'un système amorti à un degré de liberté s'écrit :

La réponse est la somme de deux parties. L'une correspond à la réponse aux vibrations amorties, qui décroît rapidement avec le temps. L'autre partie, la réponse aux vibrations forcées, peut s'écrire :

FIG. 3 courbe de vibration amortie

FIG. 4 courbes de trois conditions initiales avec amortissement critique

Saisissez le

H/F0 = h(), est le rapport de l'amplitude de la réponse en régime permanent à l'amplitude d'excitation, caractérisant les caractéristiques amplitude-fréquence, ou fonction de gain ; Bits pour la réponse en régime permanent et l'incitation de la phase, caractérisant les caractéristiques de phase-fréquence. La relation entre eux et la fréquence d'excitation est illustrée dans les figures 5 et 6.

Comme le montre la courbe amplitude-fréquence (figure 5), en cas de faible amortissement, cette courbe présente un seul pic. Plus l'amortissement est faible, plus le pic est abrupt. La fréquence correspondant à ce pic est appelée fréquence de résonance du système. En cas de faible amortissement, la fréquence de résonance est proche de la fréquence propre. Lorsque la fréquence d'excitation est proche de la fréquence propre, l'amplitude augmente brusquement. Ce phénomène est appelé résonance. À la résonance, le gain du système est maximal, c'est-à-dire que la vibration forcée est la plus intense. Par conséquent, il est généralement préférable d'éviter la résonance, sauf si certains instruments et équipements l'utilisent pour obtenir de fortes vibrations.

Figure 5 : courbe d'amplitude en fonction de la fréquence

Comme on peut le constater sur la courbe de fréquence de phase (figure 6), quelle que soit la taille de l'amortissement, dans les bits de différence de phase nulle omega = PI / 2, cette caractéristique peut être utilisée efficacement dans la mesure de la résonance.

Outre l'excitation continue, les systèmes peuvent parfois subir une excitation instable. Celle-ci peut être grossièrement divisée en deux types : l'impact soudain et l'effet durable d'une excitation aléatoire. Sous l'effet d'une excitation instable, la réponse du système est également instable.

La méthode de la réponse impulsionnelle est un outil puissant pour l'analyse des vibrations instables. Elle décrit les caractéristiques dynamiques du système à partir de la réponse transitoire à une impulsion unitaire. Cette impulsion unitaire peut être exprimée par une fonction delta. En ingénierie, la fonction delta est souvent définie comme suit :

Où 0- représente le point sur l'axe t qui tend vers zéro par la gauche ; 0 plus est le point qui tend vers 0 par la droite.

Figure 6 : courbe de fréquence de phase

FIG. 7 toute entrée peut être considérée comme la somme d'une série d'éléments impulsionnels

Le système correspond à la réponse h(t) générée par l'impulsion unitaire à t=0, appelée fonction de réponse impulsionnelle. En supposant que le système est stationnaire avant l'impulsion, h(t)=0 pour t<0. Connaissant la fonction de réponse impulsionnelle du système, on peut déterminer sa réponse à toute entrée x(t). On peut alors considérer x(t) comme la somme d'une série d'éléments impulsionnels (figure 7). La réponse du système est :

D'après le principe de superposition, la réponse totale du système correspondant à x(t) est :

Cette intégrale est appelée intégrale de convolution ou intégrale de superposition.

Vibration linéaire d'un système à plusieurs degrés de liberté

Vibration d'un système linéaire avec n≥2 degrés de liberté.

La figure 8 représente deux sous-systèmes résonants simples reliés par un ressort de couplage. Ce système possédant deux degrés de liberté, deux coordonnées indépendantes sont nécessaires pour déterminer sa position. Il présente deux fréquences propres :

Chaque fréquence correspond à un mode de vibration. Les oscillateurs harmoniques effectuent des oscillations harmoniques de même fréquence, passant de manière synchrone par leur position d'équilibre et atteignant simultanément leur position extrême. Dans la vibration principale correspondant à ω₁, x₁ = x₂ ; dans la vibration principale correspondant à ω₂ = ω₁, ω₂ = ω₁. Dans la vibration principale, le rapport de déplacement de chaque masse conserve une certaine relation et forme un mode particulier, appelé mode principal ou mode propre. L'orthogonalité de la masse et de la rigidité existe entre les modes principaux, ce qui traduit l'indépendance de chaque vibration. La fréquence propre et le mode principal représentent les caractéristiques vibratoires intrinsèques du système à plusieurs degrés de liberté.

FIG. 8 Système à plusieurs degrés de liberté

Un système à n degrés de liberté possède n fréquences propres et n modes principaux. Toute configuration vibratoire du système peut être représentée comme une combinaison linéaire des modes principaux. Par conséquent, la méthode de superposition des modes principaux est largement utilisée dans l'analyse de la réponse dynamique des systèmes à plusieurs degrés de liberté. Ainsi, la mesure et l'analyse des caractéristiques vibratoires propres du système deviennent une étape courante de sa conception dynamique.

Les caractéristiques dynamiques des systèmes à plusieurs degrés de liberté peuvent également être décrites par leurs caractéristiques fréquentielles. Puisqu'il existe une fonction caractéristique de fréquence entre chaque entrée et sortie, une matrice de caractéristiques de fréquence est construite. La courbe caractéristique amplitude-fréquence du système à plusieurs degrés de liberté est différente de celle du système à un seul degré de liberté.

L'élastomère vibre

Le système à plusieurs degrés de liberté décrit ci-dessus constitue une approximation du modèle mécanique d'un élastomère. Un élastomère possède une infinité de degrés de liberté. Il existe une différence quantitative, mais aucune différence essentielle, entre les deux. Tout élastomère possède une infinité de fréquences propres et une infinité de modes correspondants, et les modes de masse et de rigidité sont orthogonalistes. Toute configuration vibratoire de l'élastomère peut également être représentée comme une superposition linéaire des modes principaux. Par conséquent, pour l'analyse de la réponse dynamique d'un élastomère, la méthode de superposition des modes principaux reste applicable (voir vibration linéaire d'un élastomère).

Considérons la vibration d'une corde. Supposons qu'une corde mince de masse m par unité de longueur, de longueur l, soit tendue à ses deux extrémités avec une tension T. Dans ce cas, la fréquence naturelle de la corde est déterminée par l'équation suivante :

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Où représente la vitesse de propagation de l'onde transversale dans la direction de la corde. Les fréquences propres des cordes sont des multiples de la fréquence fondamentale sur 2l. Cette multiplicité entière engendre une structure harmonique agréable. En général, il n'existe pas une telle relation de multiplicité entière entre les fréquences propres de l'élastomère.

Les trois premiers modes de la corde tendue sont illustrés sur la figure 9. La courbe du mode principal présente quelques nœuds. Lors de la vibration principale, ces nœuds restent immobiles. La figure 10 montre plusieurs modes typiques de la plaque circulaire supportée circonférentiellement, avec des lignes nodales composées de cercles et de diamètres.

La formulation exacte du problème de vibration des élastomères peut être ramenée à un problème aux limites d'équations aux dérivées partielles. Cependant, la solution exacte n'existe que dans certains cas très simples ; il est donc nécessaire de recourir à une solution approchée pour les problèmes plus complexes. Le principe des différentes solutions approchées consiste à transformer l'infini en fini, c'est-à-dire à discrétiser le système continu (sans membres) à plusieurs degrés de liberté en un système discret (à nombre fini de degrés de liberté). Deux méthodes de discrétisation sont couramment utilisées en analyse : la méthode des éléments finis et la méthode de synthèse modale.

FIG. 9 mode de la corde

FIG. 10 Mode de plaque circulaire

La méthode des éléments finis est une structure composite qui décompose une structure complexe en un nombre fini d'éléments reliés par un nombre fini de nœuds. Chaque élément est un élastomère ; le déplacement de distribution de l'élément est exprimé par une fonction d'interpolation du déplacement nodal. Les paramètres de distribution de chaque élément sont ensuite concentrés sur chaque nœud selon un format précis, ce qui permet d'obtenir le modèle mécanique du système discret.

La synthèse modale est la décomposition d'une structure complexe en plusieurs sous-structures plus simples. Sur la base de la compréhension des caractéristiques vibratoires de chaque sous-structure, la sous-structure est synthétisée en une structure générale en fonction des conditions de coordination à l'interface, et la morphologie vibratoire de la structure générale est obtenue en utilisant la morphologie vibratoire de chaque sous-structure.

Les deux méthodes sont différentes et liées, et peuvent servir de référence. La méthode de synthèse modale peut également être efficacement combinée à la mesure expérimentale pour former une méthode d'analyse théorique et expérimentale des vibrations des grands systèmes.