రేఖీయ కంపనం అంటే ఏమిటి?

రేఖీయ కంపనంవ్యవస్థలోని భాగాల స్థితిస్థాపకత హుక్ నియమానికి లోబడి ఉంటుంది మరియు చలనం సమయంలో ఉత్పన్నమయ్యే డ్యాంపింగ్ బలం సాధారణీకరించిన వేగం యొక్క మొదటి సమీకరణానికి (సాధారణీకరించిన నిరూపకాల కాల అవకలనం) అనుపాతంలో ఉంటుంది.

భావన

రేఖీయ వ్యవస్థ అనేది సాధారణంగా వాస్తవ వ్యవస్థ యొక్క కంపనానికి ఒక అమూర్త నమూనా. రేఖీయ కంపన వ్యవస్థ అధిరోపణ సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తుంది, అనగా, ఇన్‌పుట్ x1 చర్య కింద వ్యవస్థ యొక్క ప్రతిస్పందన y1 మరియు ఇన్‌పుట్ x2 చర్య కింద y2 అయితే, ఇన్‌పుట్ x1 మరియు x2 చర్య కింద వ్యవస్థ యొక్క ప్రతిస్పందన y1+y2 అవుతుంది.

సూపర్‌పొజిషన్ సూత్రం ఆధారంగా, ఏదైనా ఇన్‌పుట్‌ను అనంత సూక్ష్మ ప్రేరణల శ్రేణి మొత్తంగా విడగొట్టవచ్చు, ఆపై సిస్టమ్ యొక్క మొత్తం ప్రతిస్పందనను పొందవచ్చు. ఆవర్తన ఉద్దీపన యొక్క హార్మోనిక్ భాగాల మొత్తాన్ని ఫోరియర్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ ద్వారా హార్మోనిక్ భాగాల శ్రేణిగా విస్తరించవచ్చు మరియు సిస్టమ్‌పై ప్రతి హార్మోనిక్ భాగం యొక్క ప్రభావాన్ని విడివిడిగా పరిశోధించవచ్చు. అందువల్ల, స్థిర పారామితులతో కూడిన లీనియర్ సిస్టమ్‌ల ప్రతిస్పందన లక్షణాలను ప్రేరణ ప్రతిస్పందన లేదా పౌనఃపున్య ప్రతిస్పందన ద్వారా వివరించవచ్చు.

ఇంపల్స్ రెస్పాన్స్ అనేది యూనిట్ ఇంపల్స్‌కు సిస్టమ్ యొక్క ప్రతిస్పందనను సూచిస్తుంది, ఇది టైమ్ డొమైన్‌లో సిస్టమ్ యొక్క ప్రతిస్పందన లక్షణాలను వర్ణిస్తుంది. ఫ్రీక్వెన్సీ రెస్పాన్స్ అనేది యూనిట్ హార్మోనిక్ ఇన్‌పుట్‌కు సిస్టమ్ యొక్క ప్రతిస్పందన లక్షణాన్ని సూచిస్తుంది. ఈ రెండింటి మధ్య అనురూపత ఫోరియర్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.

వర్గీకరణ

రేఖీయ కంపనాన్ని ఏక-స్వేచ్ఛా-డిగ్రీ వ్యవస్థ యొక్క రేఖీయ కంపనం మరియు బహుళ-స్వేచ్ఛా-డిగ్రీ వ్యవస్థ యొక్క రేఖీయ కంపనంగా విభజించవచ్చు.

(1) ఒకే-డిగ్రీ-ఆఫ్-ఫ్రీడమ్ వ్యవస్థ యొక్క రేఖీయ కంపనం అనేది ఒక రేఖీయ కంపనం, దీని స్థానాన్ని సాధారణీకరించిన కోఆర్డినేట్ ద్వారా నిర్ణయించవచ్చు. ఇది సరళమైన కంపనం, దీని నుండి కంపనం యొక్క అనేక ప్రాథమిక భావనలు మరియు లక్షణాలను పొందవచ్చు. ఇందులో సరళ హార్మోనిక్ కంపనం, స్వేచ్ఛా కంపనం, క్షీణత కంపనం మరియు బలవంతపు కంపనం ఉన్నాయి.

సరళ హార్మోనిక్ కంపనం: ఒక వస్తువు యొక్క స్థానభ్రంశానికి అనుపాతంలో ఉండే పునరుద్ధరణ బలం చర్య వలన, దాని సమతాస్థితి స్థానానికి సమీపంలో సైనుసాయిడల్ నియమం ప్రకారం ఆ వస్తువు ముందుకు వెనుకకు కదలడాన్ని సరళ హార్మోనిక్ కంపనం అంటారు.

క్షీణించే కంపనం: ఘర్షణ, విద్యుద్వాహక నిరోధం లేదా ఇతర శక్తి వినియోగం వలన దాని వ్యాప్తి నిరంతరం క్షీణించే కంపనం.

బలవంతపు కంపనం: స్థిరమైన ఉత్తేజం కింద ఒక వ్యవస్థ యొక్క కంపనం.

(2) బహుళ-స్వేచ్ఛా-డిగ్రీల వ్యవస్థ యొక్క రేఖీయ కంపనం అనేది n≥2 స్వేచ్ఛా-డిగ్రీలు కలిగిన రేఖీయ వ్యవస్థ యొక్క కంపనం. n స్వేచ్ఛా-డిగ్రీలు కలిగిన వ్యవస్థకు n సహజ పౌనఃపున్యాలు మరియు n ప్రధాన మోడ్‌లు ఉంటాయి. వ్యవస్థ యొక్క ఏదైనా కంపన ఆకృతీకరణను ప్రధాన మోడ్‌ల యొక్క రేఖీయ కలయికగా సూచించవచ్చు. అందువల్ల, బహుళ-స్వేచ్ఛా-డిగ్రీల వ్యవస్థల యొక్క డైనమిక్ ప్రతిస్పందన విశ్లేషణలో ప్రధాన మోడ్ సూపర్‌పొజిషన్ పద్ధతి విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ విధంగా, వ్యవస్థ యొక్క సహజ కంపన లక్షణాల కొలత మరియు విశ్లేషణ, వ్యవస్థ యొక్క డైనమిక్ రూపకల్పనలో ఒక సాధారణ దశగా మారుతుంది. బహుళ-స్వేచ్ఛా-డిగ్రీల వ్యవస్థల యొక్క డైనమిక్ లక్షణాలను పౌనఃపున్య లక్షణాల ద్వారా కూడా వివరించవచ్చు. ప్రతి ఇన్‌పుట్ మరియు అవుట్‌పుట్ మధ్య ఒక పౌనఃపున్య లక్షణ ఫంక్షన్ ఉన్నందున, ఒక పౌనఃపున్య లక్షణ మాత్రిక నిర్మించబడుతుంది. పౌనఃపున్య లక్షణానికి మరియు ప్రధాన మోడ్‌కు మధ్య ఒక నిర్దిష్ట సంబంధం ఉంటుంది. బహుళ-స్వేచ్ఛా వ్యవస్థ యొక్క వ్యాప్తి-పౌనఃపున్య లక్షణ వక్రరేఖ ఏక-స్వేచ్ఛా వ్యవస్థ యొక్క వక్రరేఖకు భిన్నంగా ఉంటుంది.

ఒకే డిగ్రీ ఆఫ్ ఫ్రీడమ్ సిస్టమ్ యొక్క రేఖీయ కంపనం

ఒక వ్యవస్థ యొక్క స్థానాన్ని సాధారణీకరించిన నిరూపకం ద్వారా నిర్ణయించగలిగే రేఖీయ కంపనం. ఇది అత్యంత సరళమైన మరియు ప్రాథమికమైన కంపనం, దీని నుండి కంపనం యొక్క అనేక ప్రాథమిక భావనలు మరియు లక్షణాలను రాబట్టవచ్చు. ఇందులో సరళ హార్మోనిక్ కంపనం, క్షీణ కంపనం మరియు ప్రేరిత కంపనం ఉంటాయి.

హార్మోనిక్ వైబ్రేషన్

స్థానభ్రంశానికి అనుపాతంలో ఉండే పునరుద్ధరణ బలం చర్య వలన, వస్తువు దాని సమతాస్థితి స్థానానికి సమీపంలో సైనుసోయిడల్ పద్ధతిలో ముందుకు వెనుకకు కదులుతుంది (పటం 1). X స్థానభ్రంశాన్ని మరియు t సమయాన్ని సూచిస్తుంది. ఈ కంపనం యొక్క గణిత సమీకరణం:

(1)ఇక్కడ A అనేది స్థానభ్రంశం x యొక్క గరిష్ట విలువ, దీనిని కంపన తీవ్రతకు అనుగుణంగా వ్యాప్తి అంటారు; ఒమేగా n అనేది సెకనుకు కంపనం యొక్క వ్యాప్తి కోణ పెరుగుదల, దీనిని కోణీయ పౌనఃపున్యం లేదా వృత్తాకార పౌనఃపున్యం అంటారు; దీనిని ప్రారంభ దశ అంటారు. f= n/2 పరంగా, సెకనుకు జరిగే డోలనాల సంఖ్యను పౌనఃపున్యం అంటారు; దీని విలోమం, T=1/f, అనేది ఒక చక్రాన్ని పూర్తి చేయడానికి పట్టే సమయం, దీనిని ఆవర్తనం అంటారు. వ్యాప్తి A, పౌనఃపున్యం f (లేదా కోణీయ పౌనఃపున్యం n), ప్రారంభ దశ అనే ఈ మూడు అంశాలను సరళ హార్మోనిక్ కంపనం అని అంటారు.

పటం 1 సరళ హార్మోనిక్ కంపన వక్రరేఖ

పటం 2లో చూపిన విధంగా, ఒక సరళ స్ప్రింగ్‌తో అనుసంధానించబడిన కేంద్రీకృత ద్రవ్యరాశి m ద్వారా ఒక సరళ హార్మోనిక్ ఆసిలేటర్ ఏర్పడుతుంది. సమతాస్థితి స్థానం నుండి కంపన స్థానభ్రంశాన్ని లెక్కించినప్పుడు, కంపన సమీకరణం ఈ విధంగా ఉంటుంది:

స్ప్రింగ్ యొక్క దృఢత్వం ఎక్కడ ఉంది. పై సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారం (1). t=0 వద్ద ప్రారంభ స్థానం x0 మరియు ప్రారంభ వేగం ద్వారా A మరియు లను నిర్ణయించవచ్చు:

కానీ ఒమేగా n అనేది అదనపు ప్రారంభ పరిస్థితులపై ఆధారపడకుండా, కేవలం వ్యవస్థ యొక్క లక్షణాలైన m మరియు k ద్వారా మాత్రమే నిర్ణయించబడుతుంది, కాబట్టి ఒమేగా n ను సహజ పౌనఃపున్యం అని కూడా అంటారు.

పటం 2 ఏక స్వేచ్ఛా డిగ్రీ వ్యవస్థ

ఒక సరళ హార్మోనిక్ ఆసిలేటర్‌లో, దాని గతి శక్తి మరియు స్థితి శక్తిల మొత్తం స్థిరంగా ఉంటుంది, అంటే వ్యవస్థ యొక్క మొత్తం యాంత్రిక శక్తి సంరక్షించబడుతుంది. కంపన ప్రక్రియలో, గతి శక్తి మరియు స్థితి శక్తి నిరంతరం ఒకదానికొకటిగా రూపాంతరం చెందుతాయి.

డ్యాంపింగ్ వైబ్రేషన్

ఘర్షణ మరియు విద్యుద్వాహక నిరోధం లేదా ఇతర శక్తి వినియోగం ద్వారా దాని వ్యాప్తి నిరంతరం క్షీణించే కంపనం. సూక్ష్మ కంపనం కోసం, వేగం సాధారణంగా చాలా పెద్దదిగా ఉండదు, మరియు మాధ్యమ నిరోధం వేగం యొక్క మొదటి ఘాతానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది, దీనిని ఈ విధంగా వ్రాయవచ్చు, ఇక్కడ c అనేది డ్యాంపింగ్ గుణకం. అందువల్ల, సరళ డ్యాంపింగ్‌తో ఒక డిగ్రీ స్వేచ్ఛ యొక్క కంపన సమీకరణాన్ని ఈ విధంగా వ్రాయవచ్చు:

(2)ఇక్కడ, m = c/2m ను డ్యాంపింగ్ పారామీటర్ అని అంటారు, మరియు. ఫార్ములా (2) యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని ఈ విధంగా వ్రాయవచ్చు:

(3)ఒమేగా n మరియు PI మధ్య సంఖ్యా సంబంధాన్ని ఈ క్రింది మూడు సందర్భాలుగా విభజించవచ్చు:

N > (తక్కువ డ్యాంపింగ్ విషయంలో) కణం ఉత్పత్తి చేసే క్షీణత కంపనం, కంపన సమీకరణం:

FIG. 3 లో చుక్కల గీతలో చూపిన విధంగా, సమీకరణంలో చూపిన ఘాతాంక నియమం ప్రకారం దీని వ్యాప్తి కాలంతో పాటు తగ్గుతుంది. ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, ఈ కంపనం ఆవర్తనం లేనిది, కానీ దాని గరిష్ఠ పౌనఃపున్యాన్ని ఈ విధంగా నిర్వచించవచ్చు:

దీనిని కంపన ఆవర్తనం అయినప్పుడు, వ్యాప్తి తగ్గింపు రేటు అని అంటారు. వ్యాప్తి తగ్గింపు రేటు యొక్క సహజ సంవర్గమానాన్ని సంవర్గమానం మైనస్ (వ్యాప్తి) రేటు అని అంటారు. స్పష్టంగా, ఈ సందర్భంలో, = అనేది 2/1 కి సమానం. ప్రయోగాత్మక పరీక్ష డెల్టా ద్వారా నేరుగా, మరియు పై సూత్రాన్ని ఉపయోగించి c ని లెక్కించవచ్చు.

ఈ సమయంలో, సమీకరణం (2) యొక్క పరిష్కారాన్ని ఈ విధంగా వ్రాయవచ్చు:

ప్రారంభ వేగం యొక్క దిశతో పాటు, దీనిని పటం 4లో చూపిన విధంగా మూడు కంపన రహిత సందర్భాలుగా విభజించవచ్చు.

N < (అధిక డ్యాంపింగ్ విషయంలో), సమీకరణం (2) యొక్క పరిష్కారం సమీకరణం (3)లో చూపబడింది. ఈ దశలో, వ్యవస్థ ఇకపై కంపించదు.

బలవంతపు కంపనం

స్థిరమైన ఉత్తేజం కింద ఒక వ్యవస్థ యొక్క కంపనం. కంపన విశ్లేషణ ప్రధానంగా ఉత్తేజానికి వ్యవస్థ యొక్క ప్రతిస్పందనను పరిశీలిస్తుంది. ఆవర్తన ఉత్తేజం ఒక సాధారణ క్రమబద్ధమైన ఉత్తేజం. ఆవర్తన ఉత్తేజాన్ని ఎల్లప్పుడూ అనేక హార్మోనిక్ ఉత్తేజాల మొత్తంగా విభజించవచ్చు కాబట్టి, అధిరోపణ సూత్రం ప్రకారం, ప్రతి హార్మోనిక్ ఉత్తేజానికి వ్యవస్థ యొక్క ప్రతిస్పందన మాత్రమే అవసరం. హార్మోనిక్ ఉత్తేజం యొక్క చర్య కింద, ఒకే స్వేచ్ఛా పరిమాణం గల డ్యాంప్డ్ వ్యవస్థ యొక్క చలన అవకలన సమీకరణాన్ని ఈ విధంగా వ్రాయవచ్చు:

ప్రతిస్పందన రెండు భాగాల మొత్తం. ఒక భాగం క్షీణించిన కంపనం యొక్క ప్రతిస్పందన, ఇది కాలంతో పాటు వేగంగా క్షీణిస్తుంది. బలవంతపు కంపనం యొక్క మరొక భాగం యొక్క ప్రతిస్పందనను ఈ విధంగా వ్రాయవచ్చు:

పటం 3. క్షీణ కంపన వక్రరేఖ

పటం 4. క్రిటికల్ డ్యాంపింగ్‌తో మూడు ప్రారంభ పరిస్థితుల వక్రతలు

టైప్ చేయండి

H /F0= h (), అనేది స్థిర ప్రతిస్పందన వ్యాప్తికి మరియు ఉత్ప్రేరక వ్యాప్తికి గల నిష్పత్తి, ఇది వ్యాప్తి-పౌనఃపున్య లక్షణాలను లేదా గెయిన్ ఫంక్షన్‌ను వర్గీకరిస్తుంది; స్థిర స్థితి ప్రతిస్పందన మరియు దశ యొక్క ప్రోత్సాహం కోసం బిట్స్, దశ పౌనఃపున్య లక్షణాల వర్గీకరణ. వాటికి మరియు ఉత్ప్రేరక పౌనఃపున్యానికి మధ్య ఉన్న సంబంధం FIG. 5 మరియు FIG. 6 లలో చూపబడింది.

ఆంప్లిట్యూడ్-ఫ్రీక్వెన్సీ వక్రరేఖ (FIG. 5) నుండి చూడగలిగినట్లుగా, తక్కువ డ్యాంపింగ్ విషయంలో, ఆంప్లిట్యూడ్-ఫ్రీక్వెన్సీ వక్రరేఖ ఒకే శిఖరాన్ని కలిగి ఉంటుంది. డ్యాంపింగ్ ఎంత తక్కువగా ఉంటే, శిఖరం అంత నిటారుగా ఉంటుంది; శిఖరానికి అనుగుణంగా ఉండే ఫ్రీక్వెన్సీని సిస్టమ్ యొక్క రెసొనెంట్ ఫ్రీక్వెన్సీ అంటారు. తక్కువ డ్యాంపింగ్ విషయంలో, రెసొనెన్స్ ఫ్రీక్వెన్సీ సహజ ఫ్రీక్వెన్సీకి పెద్దగా భిన్నంగా ఉండదు. ఎక్సైటేషన్ ఫ్రీక్వెన్సీ సహజ ఫ్రీక్వెన్సీకి దగ్గరగా ఉన్నప్పుడు, ఆంప్లిట్యూడ్ వేగంగా పెరుగుతుంది. ఈ దృగ్విషయాన్ని రెసొనెన్స్ అంటారు. రెసొనెన్స్ వద్ద, సిస్టమ్ యొక్క గెయిన్ గరిష్ఠ స్థాయికి చేరుకుంటుంది, అంటే, బలవంతపు కంపనం అత్యంత తీవ్రంగా ఉంటుంది. అందువల్ల, సాధారణంగా, పెద్ద కంపనాన్ని సాధించడానికి రెసొనెన్స్‌ను ఉపయోగించే కొన్ని పరికరాలు మరియు యంత్రాలు తప్ప, ఎల్లప్పుడూ రెసొనెన్స్‌ను నివారించడానికి ప్రయత్నించాలి.

పటం 5 వ్యాప్తి పౌనఃపున్య వక్రం

ఫేజ్ ఫ్రీక్వెన్సీ కర్వ్ (పటం 6) నుండి గమనించినట్లయితే, డ్యాంపింగ్ పరిమాణంతో సంబంధం లేకుండా, ఒమేగా జీరో ఫేజ్ డిఫరెన్స్ బిట్స్ = PI / 2, ఈ లక్షణాన్ని రెసొనెన్స్‌ను కొలవడంలో సమర్థవంతంగా ఉపయోగించవచ్చు.

స్థిరమైన ఉత్తేజంతో పాటు, వ్యవస్థలు కొన్నిసార్లు అస్థిరమైన ఉత్తేజాన్ని కూడా ఎదుర్కొంటాయి. దీనిని స్థూలంగా రెండు రకాలుగా విభజించవచ్చు: ఒకటి ఆకస్మిక ప్రభావం. రెండవది యాదృచ్ఛికత యొక్క శాశ్వత ప్రభావం. అస్థిరమైన ఉత్తేజం కింద, వ్యవస్థ యొక్క ప్రతిస్పందన కూడా అస్థిరంగా ఉంటుంది.

అస్థిర కంపనాన్ని విశ్లేషించడానికి ఇంపల్స్ రెస్పాన్స్ పద్ధతి ఒక శక్తివంతమైన సాధనం. ఇది సిస్టమ్ యొక్క యూనిట్ ఇంపల్స్ ఇన్‌పుట్ యొక్క తాత్కాలిక ప్రతిస్పందనతో సిస్టమ్ యొక్క డైనమిక్ లక్షణాలను వివరిస్తుంది. యూనిట్ ఇంపల్స్‌ను డెల్టా ఫంక్షన్‌గా వ్యక్తీకరించవచ్చు. ఇంజనీరింగ్‌లో, డెల్టా ఫంక్షన్‌ను తరచుగా ఇలా నిర్వచిస్తారు:

ఇక్కడ 0- అనేది t-అక్షంపై ఎడమ వైపు నుండి సున్నాను సమీపించే బిందువును సూచిస్తుంది; 0 ప్లస్ అనేది కుడి వైపు నుండి 0 కు వెళ్ళే బిందువు.

పటం 6 దశ పౌనఃపున్య వక్రరేఖ

పటం 7లో చూపిన విధంగా, ఏదైనా ఇన్‌పుట్‌ను ప్రచోదన మూలకాల శ్రేణి యొక్క మొత్తంగా పరిగణించవచ్చు.

ఈ వ్యవస్థ t=0 వద్ద యూనిట్ పల్స్ ద్వారా ఉత్పత్తి చేయబడిన ప్రతిస్పందన h(t)కి అనుగుణంగా ఉంటుంది, దీనిని పల్స్ ప్రతిస్పందన ఫంక్షన్ అంటారు. పల్స్‌కు ముందు వ్యవస్థ స్థిరంగా ఉందని భావిస్తే, t<0కి h(t)=0 అవుతుంది. వ్యవస్థ యొక్క పల్స్ ప్రతిస్పందన ఫంక్షన్ తెలిసినందున, మనం ఏదైనా ఇన్‌పుట్ x(t)కి వ్యవస్థ యొక్క ప్రతిస్పందనను కనుగొనవచ్చు. ఈ దశలో, మీరు x(t)ని వరుస పల్స్ మూలకాల మొత్తం వలె భావించవచ్చు (FIG. 7). వ్యవస్థ యొక్క ప్రతిస్పందన:

సూపర్‌పొజిషన్ సూత్రం ఆధారంగా, x(t) కి అనుగుణంగా వ్యవస్థ యొక్క మొత్తం ప్రతిస్పందన:

ఈ సమాకలనాన్ని కన్వల్యూషన్ సమాకలనం లేదా సూపర్‌పొజిషన్ సమాకలనం అని అంటారు.

బహుళ-స్వేచ్ఛా-డిగ్రీల వ్యవస్థ యొక్క రేఖీయ కంపనం

n≥2 స్వేచ్ఛా డిగ్రీలు కలిగిన రేఖీయ వ్యవస్థ యొక్క కంపనం.

పటం 8 ఒక కప్లింగ్ స్ప్రింగ్ ద్వారా అనుసంధానించబడిన రెండు సరళమైన రెసొనెంట్ ఉపవ్యవస్థలను చూపుతుంది. ఇది రెండు-డిగ్రీల-స్వేచ్ఛా వ్యవస్థ కాబట్టి, దాని స్థానాన్ని నిర్ధారించడానికి రెండు స్వతంత్ర నిరూపకాలు అవసరం. ఈ వ్యవస్థలో రెండు సహజ పౌనఃపున్యాలు ఉన్నాయి:

ప్రతి పౌనఃపున్యం ఒక కంపన రీతికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. హార్మోనిక్ ఆసిలేటర్లు ఒకే పౌనఃపున్యం యొక్క హార్మోనిక్ డోలనాలను నిర్వహిస్తాయి, ఇవి సమతాస్థితి స్థానం గుండా సమకాలీనంగా ప్రయాణిస్తాయి మరియు తీవ్ర స్థానానికి సమకాలీనంగా చేరుకుంటాయి. ఒమేగా ఒకటికి అనుగుణంగా ఉండే ప్రధాన కంపనంలో, x1 అనేది x2కి సమానం; ఒమేగా ఒమేగా రెండుకు అనుగుణంగా ఉండే ప్రధాన కంపనంలో, ఒమేగా ఒమేగా ఒకటి. ప్రధాన కంపనంలో, ప్రతి ద్రవ్యరాశి యొక్క స్థానభ్రంశ నిష్పత్తి ఒక నిర్దిష్ట సంబంధాన్ని కలిగి ఉండి, ఒక నిర్దిష్ట రీతిని ఏర్పరుస్తుంది, దీనిని ప్రధాన రీతి లేదా సహజ రీతి అని పిలుస్తారు. ప్రధాన రీతుల మధ్య ద్రవ్యరాశి మరియు దృఢత్వం యొక్క లంబత్వం ఉంటుంది, ఇది ప్రతి కంపనం యొక్క స్వాతంత్ర్యాన్ని ప్రతిబింబిస్తుంది. సహజ పౌనఃపున్యం మరియు ప్రధాన రీతి బహుళ-స్వేచ్ఛా డిగ్రీల వ్యవస్థ యొక్క అంతర్గత కంపన లక్షణాలను సూచిస్తాయి.

పటం 8 బహుళ స్వేచ్ఛా డిగ్రీలు కలిగిన వ్యవస్థ

n డిగ్రీల స్వేచ్ఛ గల ఒక వ్యవస్థకు n సహజ పౌనఃపున్యాలు మరియు n ప్రధాన మోడ్‌లు ఉంటాయి. వ్యవస్థ యొక్క ఏదైనా కంపన ఆకృతీకరణను ప్రధాన మోడ్‌ల యొక్క రేఖీయ కలయికగా సూచించవచ్చు. అందువల్ల, బహుళ-డిగ్రీల స్వేచ్ఛ గల వ్యవస్థల యొక్క గతిశీల ప్రతిస్పందన విశ్లేషణలో ప్రధాన మోడ్ సూపర్‌పొజిషన్ పద్ధతి విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ విధంగా, వ్యవస్థ యొక్క సహజ కంపన లక్షణాల కొలత మరియు విశ్లేషణ, వ్యవస్థ యొక్క గతిశీల రూపకల్పనలో ఒక సాధారణ దశగా మారుతుంది.

బహుళ-స్వేచ్ఛా వ్యవస్థల గతిశీల లక్షణాలను పౌనఃపున్య లక్షణాల ద్వారా కూడా వివరించవచ్చు. ప్రతి ఇన్‌పుట్ మరియు అవుట్‌పుట్ మధ్య ఒక పౌనఃపున్య లక్షణ ఫంక్షన్ ఉన్నందున, ఒక పౌనఃపున్య లక్షణ మాత్రికను నిర్మిస్తారు. బహుళ-స్వేచ్ఛా వ్యవస్థ యొక్క వ్యాప్తి-పౌనఃపున్య లక్షణ వక్రరేఖ, ఏక-స్వేచ్ఛా వ్యవస్థ యొక్క వక్రరేఖకు భిన్నంగా ఉంటుంది.

ఎలాస్టోమర్ కంపనం

పైన పేర్కొన్న బహుళ-స్వేచ్ఛా డిగ్రీల వ్యవస్థ అనేది ఎలాస్టోమర్ యొక్క సుమారు యాంత్రిక నమూనా. ఒక ఎలాస్టోమర్‌కు అనంతమైన సంఖ్యలో స్వేచ్ఛా డిగ్రీలు ఉంటాయి. ఈ రెండింటి మధ్య పరిమాణాత్మక వ్యత్యాసం ఉంది కానీ ఆవశ్యక వ్యత్యాసం లేదు. ఏదైనా ఎలాస్టోమర్‌కు అనంతమైన సంఖ్యలో సహజ పౌనఃపున్యాలు మరియు అనంతమైన సంఖ్యలో సంబంధిత మోడ్‌లు ఉంటాయి, మరియు ద్రవ్యరాశి మరియు దృఢత్వపు మోడ్‌ల మధ్య లంబత్వం ఉంటుంది. ఎలాస్టోమర్ యొక్క ఏదైనా కంపన ఆకృతీకరణను ప్రధాన మోడ్‌ల యొక్క రేఖీయ అధిరోపణగా కూడా సూచించవచ్చు. అందువల్ల, ఎలాస్టోమర్ యొక్క గతిశీల ప్రతిస్పందన విశ్లేషణకు, ప్రధాన మోడ్ యొక్క అధిరోపణ పద్ధతి ఇప్పటికీ వర్తిస్తుంది (ఎలాస్టోమర్ యొక్క రేఖీయ కంపనం చూడండి).

ఒక తీగ యొక్క కంపనాన్ని తీసుకుందాం. యూనిట్ పొడవుకు ద్రవ్యరాశి m మరియు పొడవు l ఉన్న ఒక సన్నని తీగను రెండు చివర్లలో తన్యత T గా బిగించారని అనుకుందాం. ఈ సమయంలో, తీగ యొక్క సహజ పౌనఃపున్యం కింది సమీకరణం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

ఇక్కడ, అనేది తీగ దిశలో తిర్యక్ తరంగం యొక్క ప్రసార వేగం. తీగల సహజ పౌనఃపున్యాలు ప్రాథమిక పౌనఃపున్యం యొక్క గుణిజాలుగా 2l ఉంటాయి. ఈ పూర్ణాంక గుణకారం ఒక ఆహ్లాదకరమైన హార్మోనిక్ నిర్మాణానికి దారితీస్తుంది. సాధారణంగా, ఎలాస్టోమర్ యొక్క సహజ పౌనఃపున్యాల మధ్య అటువంటి పూర్ణాంక గుణకార సంబంధం ఉండదు.

బిగించిన తీగ యొక్క మొదటి మూడు రీతులు పటం 9లో చూపబడ్డాయి. ప్రధాన రీతి వక్రరేఖపై కొన్ని నోడ్‌లు ఉన్నాయి. ప్రధాన కంపనంలో, నోడ్‌లు కంపించవు. పటం 10, వృత్తాలు మరియు వ్యాసాలతో కూడిన కొన్ని నోడల్ రేఖలతో, చుట్టుకొలత ఆధారిత వృత్తాకార పలక యొక్క అనేక విలక్షణమైన రీతులను చూపిస్తుంది.

ఎలాస్టోమర్ కంపన సమస్య యొక్క ఖచ్చితమైన సూత్రీకరణను పాక్షిక అవకలన సమీకరణాల యొక్క సరిహద్దు విలువ సమస్యగా నిర్ధారించవచ్చు. అయితే, ఖచ్చితమైన పరిష్కారం కొన్ని సరళమైన సందర్భాలలో మాత్రమే కనుగొనబడుతుంది, కాబట్టి సంక్లిష్టమైన ఎలాస్టోమర్ కంపన సమస్యకు మనం ఉజ్జాయింపు పరిష్కారాన్ని ఆశ్రయించాల్సి ఉంటుంది. వివిధ ఉజ్జాయింపు పరిష్కారాల సారాంశం అనంతాన్ని పరిమితంగా మార్చడం, అంటే, అవయవరహిత బహుళ-స్వేచ్ఛా డిగ్రీల వ్యవస్థను (అవిచ్ఛిన్న వ్యవస్థ) పరిమిత బహుళ-స్వేచ్ఛా డిగ్రీల వ్యవస్థగా (వివిక్త వ్యవస్థ) విభజించడం. ఇంజనీరింగ్ విశ్లేషణలో విస్తృతంగా ఉపయోగించే రెండు రకాల విభజన పద్ధతులు ఉన్నాయి: పరిమిత మూలక పద్ధతి మరియు మోడల్ సంశ్లేషణ పద్ధతి.

పటం 9 తీగ యొక్క విధానం

పటం 10 వృత్తాకార పలక యొక్క విధానం

ఫైనైట్ ఎలిమెంట్ పద్ధతి అనేది ఒక సంక్లిష్టమైన నిర్మాణాన్ని పరిమిత సంఖ్యలో మూలకాలుగా విభజించి, వాటిని పరిమిత సంఖ్యలో నోడ్‌ల వద్ద అనుసంధానించే ఒక మిశ్రమ నిర్మాణం. ఇందులో ప్రతి యూనిట్ ఒక ఎలాస్టోమర్; మూలకం యొక్క వితరణ స్థానభ్రంశం, నోడ్ స్థానభ్రంశం యొక్క ఇంటర్‌పొలేషన్ ఫంక్షన్ ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. ఆ తర్వాత, ప్రతి మూలకం యొక్క వితరణ పారామితులను ఒక నిర్దిష్ట ఫార్మాట్‌లో ప్రతి నోడ్‌కు కేంద్రీకరించి, వివిక్త వ్యవస్థ యొక్క యాంత్రిక నమూనాను పొందుతారు.

మోడల్ సంశ్లేషణ అనేది ఒక సంక్లిష్ట నిర్మాణాన్ని అనేక సరళమైన ఉపనిర్మాణాలుగా విడగొట్టడం. ప్రతి ఉపనిర్మాణం యొక్క కంపన లక్షణాలను అర్థం చేసుకోవడం ఆధారంగా, ఇంటర్‌ఫేస్‌పై ఉన్న సమన్వయ పరిస్థితులకు అనుగుణంగా ఉపనిర్మాణాన్ని ఒక సాధారణ నిర్మాణంగా సంశ్లేషణ చేస్తారు, మరియు ప్రతి ఉపనిర్మాణం యొక్క కంపన స్వరూపాన్ని ఉపయోగించి ఆ సాధారణ నిర్మాణం యొక్క కంపన స్వరూపాన్ని పొందుతారు.

ఈ రెండు పద్ధతులు విభిన్నమైనవి మరియు సంబంధితమైనవి, మరియు వీటిని సూచనగా ఉపయోగించవచ్చు. పెద్ద వ్యవస్థల కంపనం కోసం ఒక సైద్ధాంతిక మరియు ప్రయోగాత్మక విశ్లేషణ పద్ధతిని రూపొందించడానికి, మోడల్ సంశ్లేషణ పద్ధతిని ప్రయోగాత్మక కొలతతో సమర్థవంతంగా కలపవచ్చు.