Hvað er línuleg titringur?

Línuleg titringurTeygjanleiki íhluta kerfisins er háður lögmáli Hooke og dempunarkrafturinn sem myndast við hreyfingu er í réttu hlutfalli við fyrstu jöfnu alhæfða hraðans (tímaafleiða alhæfðu hnitanna).

hugtak

Línulegt kerfi er venjulega abstrakt líkan af titringi raunverulegs kerfis. Línulegt titringskerfi notar ofursetningarregluna, það er að segja, ef svörun kerfisins er y1 undir áhrifum inntaks x1 og y2 undir áhrifum inntaks x2, þá er svörun kerfisins undir áhrifum inntaks x1 og x2 y1+y2.

Á grundvelli ofursetningarreglunnar er hægt að sundurliða handahófskenndan inntak í summu af röð af óendanlega smávægilegum púlsum og síðan fá heildarsvörun kerfisins. Summu harmonískra þátta reglubundinnar örvunar er hægt að víkka út í röð af harmonískum þáttum með Fourier umbreytingu og áhrif hvers harmonísks þáttar á kerfið er hægt að rannsaka sérstaklega. Þess vegna er hægt að lýsa svörunareiginleikum línulegra kerfa með fasta breytur með púlssvörun eða tíðnisvörun.

Höggsvörun vísar til svörunar kerfisins við höggi einingarinnar, sem einkennir svörunareiginleika kerfisins í tímasviðinu. Tíðnisvörun vísar til svörunareiginleika kerfisins við harmoníska inntak einingarinnar. Samsvörunin milli þessara tveggja er ákvörðuð með Fourier umbreytingu.

flokkun

Línulegum titringi má skipta í línulega titring í kerfum með einni frígráðu og línulega titring í kerfum með mörgum frígráðum.

(1) Línuleg titringur í kerfi með einni frígráðu er línuleg titringur þar sem staðsetningu er hægt að ákvarða með alhæfðum hnitum. Þetta er einfaldasta titringurinn sem hægt er að leiða út frá mörgum grunnhugtökum og einkennum titrings. Hann felur í sér einfalda samhljóða titring, frjálsa titring, deyfingartitring og nauðungartitring.

Einföld harmonísk titringur: fram og til baka hreyfing hlutar nálægt jafnvægisstöðu sinni samkvæmt sinuslaga lögmáli undir áhrifum endurreisnarkrafts sem er í réttu hlutfalli við tilfærslu hans.

Dempuð titringur: titringur þar sem sveifluvídd hans er stöðugt minnkuð vegna núnings og rafviðnáms eða annarrar orkunotkunar.

Þvinguð titringur: titringur kerfis undir stöðugri örvun.

(2) Línuleg titringur í fjölfrígráðukerfi er titringur línulega kerfisins með n≥2 frígráður. Kerfi með n frígráður hefur n eigintíðni og n aðalham. Hægt er að tákna hvaða titringsstillingu sem er í kerfinu sem er sem línulega samsetningu aðalhamanna. Þess vegna er aðferðin við að setja saman aðalham mikið notuð í greiningu á kraftmiklum svörunum í fjölfrígráðukerfum. Á þennan hátt verður mæling og greining á eiginleikum titrings kerfisins venjubundið skref í kraftmikilli hönnun kerfisins. Einnig er hægt að lýsa kraftmiklum eiginleikum fjölfrígráðukerfa með tíðnieiginleikum. Þar sem tíðnieiginleikafall er á milli hvers inntaks og úttaks er tíðnieiginleikafylki smíðað. Það er ákveðið samband milli tíðnieiginleikans og aðalhamsins. Einkenniskúrfa sveifluvíddar-tíðni í fjölfrígráðukerfinu er frábrugðin þeirri í einfrígráðukerfinu.

Línuleg titringur í kerfi með einni frígráðu

Línuleg titringur þar sem hægt er að ákvarða staðsetningu kerfis með alhæfðum hnitum. Þetta er einfaldasta og grundvallaratriðið í titringnum sem hægt er að leiða út frá mörgum grunnhugtökum og einkennum titrings. Hann felur í sér einfalda samhljóða titring, deyfðan titring og nauðungartitring.

Harmonísk titringur

Undir áhrifum endurheimtarkrafts í réttu hlutfalli við tilfærsluna, hreyfist hluturinn fram og til baka á sinuslaga hátt nálægt jafnvægisstöðu sinni (Mynd 1). X táknar tilfærsluna og t táknar tímann. Stærðfræðilega framsetning þessarar titrings er:

(1)Þar sem A er hámarksgildi tilfærslunnar x, sem kallast sveifluvídd og táknar styrk titringsins; Omega n er sveifluvídd Hornhækkun titringsins á sekúndu, sem kallast horntíðni eða hringtíðni; Þetta kallast upphafsfasi. Með tilliti til f = n/2 er fjöldi sveiflna á sekúndu kallaður tíðni; Andhverfa þessa, T = 1/f, er tíminn sem það tekur að sveiflast í eina lotu og það kallast tímabilið. Sveifluvídd A, tíðnin f (eða horntíðnin n), upphafsfasi, þekktur sem einföld harmonísk titringur með þremur þáttum.

MYND 1 Einföld sveiflukúrfa fyrir harmonískar sveiflur

Eins og sést á mynd 2 er einfaldur harmonískur sveiflari myndaður af einbeittu massanum m sem er tengdur saman með línulegri fjöðri. Þegar titringsfærslan er reiknuð út frá jafnvægisstöðu er titringsjafnan:

Þar sem er stífleiki fjöðursins. Almenna lausnin á jöfnunni hér að ofan er (1).A og hægt er að ákvarða hana með upphafsstöðunni x0 og upphafshraðanum við t=0:

En omega n er aðeins ákvarðað af eiginleikum kerfisins sjálfs m og k, óháð viðbótar upphafsskilyrðum, þannig að omega n er einnig þekkt sem eigintíðni.

MYND 2 kerfi með einni frígráðu

Fyrir einfaldan harmonískan sveiflusveiflu er summa hreyfiorku og hugsanlegrar orku hans stöðug, það er að segja, heildarvélræn orka kerfisins varðveitist. Í titringsferlinu umbreytast hreyfiorka og hugsanleg orka stöðugt í hvort annað.

Dempandi titringur

Titringur þar sem sveifluvíddin er stöðugt minnkuð af núningi og rafviðnámi eða annarri orkunotkun. Fyrir örtitring er hraðinn almennt ekki mjög mikill og miðlungsviðnámið er í réttu hlutfalli við hraðann í fyrsta veldi, sem má skrifa sem c er dempunarstuðullinn. Þess vegna má skrifa titringsjöfnuna með einni frígráðu með línulegri dempun sem:

(2)Þar sem m = c/2m er kallað dempunarbreytan og almenna lausnin á formúlu (2) má rita:

(3)Tölulegt samband milli omega n og PI má skipta í eftirfarandi þrjú tilvik:

N > (ef um litla dempun er að ræða) dempunartitringur sem myndast af ögnum, þá er titringsjafnan:

Sveiflustuðull þess minnkar með tímanum samkvæmt veldisvísislögmálinu sem sýnt er í jöfnunni, eins og sýnt er með punktalínunni á mynd 3. Strangt til tekið er þessi titringur óreglulegur, en tíðni hámarks hans má skilgreina sem:

Þetta kallast sveifluvíddarlækkunarhraði, þar sem er sveiflutíðnin. Náttúruleg lógaritma sveifluvíddarlækkunarhraðans kallast lógaritmi mínus (sveifluvíddar) hraði. Augljóslega er = , í þessu tilfelli, jafnt og 2/1. Beint í gegnum tilraunaprófunardelta og með því að nota ofangreinda formúlu er hægt að reikna c.

Á þessum tímapunkti er hægt að rita lausn jöfnu (2):

Ásamt stefnu upphafshraðans má skipta honum í þrjú titringslaus tilvik eins og sýnt er á mynd 4.

N < (ef um mikla dempun er að ræða), lausnin á jöfnu (2) er sýnd í jöfnu (3). Á þessum tímapunkti er kerfið ekki lengur að titra.

Þvingaður titringur

Titringur kerfis undir stöðugri örvun. Titringsgreining rannsakar aðallega svörun kerfisins við örvun. Reglubundin örvun er dæmigerð regluleg örvun. Þar sem reglubundin örvun er alltaf hægt að sundurliða í summu nokkurra harmonískra örvuna, samkvæmt ofursetningarreglunni, er aðeins þörf á svörun kerfisins við hverri harmonískri örvun. Undir áhrifum harmonískrar örvunar er hægt að rita mismunajöfnu hreyfingar fyrir kerfi með einni frígráðu dempun:

Viðbrögðin eru summa tveggja hluta. Annar hlutinn er viðbrögð dempaðrar titrings, sem minnkar hratt með tímanum. Viðbrögð annars hluta þvingaðrar titrings má rita:

MYND 3 dempuð titringsferill

MYND 4 ferlar þriggja upphafsskilyrða með gagnrýninni dempun

Sláðu inn

H /F0 = h(), er hlutfall stöðugrar svörunaramplitude og örvunaramplitude, sem einkennir amplitude-tíðni eiginleika eða styrkingarfall; Bitar fyrir stöðugt svörun og hvata fasa, sem einkennir fasatíðni eiginleika. Sambandið milli þeirra og örvunartíðni er sýnt á mynd 5 og mynd 6.

Eins og sjá má á sveifluvíddar-tíðniferlinum (mynd 5), þegar um litla dempun er að ræða, hefur sveifluvíddar-tíðniferillinn einn topp. Því minni sem dempunin er, því brattari er toppurinn; Tíðnin sem samsvarar toppnum kallast ómsveiflutíðni kerfisins. Þegar um litla dempun er að ræða er ómsveiflutíðnin ekki mjög frábrugðin eigintíðninni. Þegar örvunartíðnin er nálægt eigintíðninni eykst sveifluvíddin skarpt. Þetta fyrirbæri kallast ómsveifla. Við ómsveiflu er ávinningur kerfisins hámarkaður, það er að segja, nauðungartitringurinn er mestur. Þess vegna skal almennt alltaf leitast við að forðast ómsveiflu, nema sum tæki og búnaður noti ómsveiflu til að ná fram miklum titringi.

MYND 5 tíðniferill fyrir sveifluvídd

Af fasatíðniferlinum (mynd 6) má sjá að óháð stærð dempunar, í omega núll fasamismunarbitum = PI / 2, er hægt að nota þennan eiginleika á áhrifaríkan hátt til að mæla ómun.

Auk stöðugrar örvunar lenda kerfi stundum í óstöðugri örvun. Hana má gróflega skipta í tvo flokka: annars vegar skyndileg áhrif og hins vegar varanleg áhrif handahófskenndra áhrifa. Við óstöðuga örvun er viðbrögð kerfisins einnig óstöðug.

Öflugt tæki til að greina óstöðuga titringa er púlssvörunaraðferðin. Hún lýsir hreyfifræðilegum eiginleikum kerfisins með tímabundinni svörun púlsinntaks kerfisins. Einingarpúlsinn er hægt að tákna sem deltafall. Í verkfræði er deltafallið oft skilgreint sem:

Þar sem 0- táknar punktinn á t-ásnum sem nálgast núll frá vinstri; 0 plús er punkturinn sem nálgast 0 frá hægri.

MYND 6 fasatíðniferill

MYND 7 má líta á hvaða inntak sem er sem summu af röð púlsaþátta

Kerfið samsvarar svöruninni h(t) sem myndast af einingarpúlsinum við t=0, sem kallast púlssvörunarfall. Að því gefnu að kerfið sé kyrrstætt fyrir púlsinn, þá er h(t)=0 fyrir t<0. Þekkjandi púlssvörunarfall kerfisins getum við fundið svörun kerfisins við hvaða inntaki sem er x(t). Á þessum tímapunkti er hægt að hugsa sér x(t) sem summu af röð púlsþátta (mynd 7). Svörun kerfisins er:

Samkvæmt ofursetningarreglunni er heildarsvörun kerfisins sem samsvarar x(t):

Þessi heildi er kallaður fellingsheildi eða ofursetningarheildi.

Línuleg titringur í fjölþrepakerfi

Titringur línulegs kerfis með n≥2 frígráður.

Mynd 8 sýnir tvö einföld ómsveiflukerfi sem tengjast með tengifjöðri. Þar sem þetta er tveggja gráðu fríðleikakerfi þarf tvö óháð hnit til að ákvarða staðsetningu þess. Það eru tvær eigintíðnir í þessu kerfi:

Hver tíðni samsvarar titringsstillingu. Harmonískar sveiflur framkvæma harmonískar sveiflur af sömu tíðni, fara samstillt í gegnum jafnvægisstöðuna og ná samstillt ysta stöðunni. Í aðaltitringnum sem samsvarar omega eitt er x1 jafnt x2; í aðaltitringnum sem samsvarar omega tvö er omega omega eitt. Í aðaltitringnum helst tilfærsluhlutfall hvers massa ákveðið samband og myndar ákveðinn stillingu, sem kallast aðalstilling eða náttúruleg stilling. Hornrétting massa og stífleika er til staðar milli aðalstillinganna, sem endurspeglar sjálfstæði hverrar titrings. Eignartíðnin og aðalstillingin tákna eðlislæga titringseiginleika fjölþrepa kerfisins.

MYND 8 kerfi með mörgum frígráðum

Kerfi með n frígráður hefur n eigintíðni og n aðalhami. Sérhver titringsstilling kerfisins er hægt að tákna sem línulega samsetningu aðalhamanna. Þess vegna er aðferðin við að setja saman aðalham mikið notuð í greiningu á breytilegri svörun í fjölpunktskerfum. Á þennan hátt verður mæling og greining á eiginleikum titrings kerfisins venjubundið skref í breytilegri hönnun kerfisins.

Einnig er hægt að lýsa hreyfifræðilegum eiginleikum fjölhornskerfa með tíðnieinkennum. Þar sem tíðnieinkennisfall er á milli hvers inntaks og úttaks er tíðnieinkennisfylki smíðað. Einkennisferill sveifluvíddar-tíðni í fjölhornskerfinu er frábrugðinn einhornskerfinu.

Teygjanlegt efni titrar

Ofangreint fjölþrepa frígráðukerfi er nálgun á vélrænu líkani af teygjuefni. Teygjuefni hefur óendanlegan fjölda frígráðu. Það er megindlegur munur en enginn grundvallarmunur á milli þessara tveggja. Sérhvert teygjuefni hefur óendanlegan fjölda eigintíðna og óendanlegan fjölda samsvarandi stillinga, og það er hornréttur á milli stillinganna massa og stífleika. Sérhver titringsstilling teygjuefnisins er einnig hægt að tákna sem línulega ofursetningu meginstillinganna. Þess vegna, fyrir greiningu á kraftmikilli svörun teygjuefnisins, er ofursetningaraðferðin fyrir aðalstillingu enn viðeigandi (sjá línulega titring teygjuefnisins).

Tökum titring strengs. Segjum að þunnur strengur með massa m á lengdareiningu, l, sé spenntur í báðum endum og spennan sé T. Á þessum tímapunkti er eigintíðni strengsins ákvörðuð með eftirfarandi jöfnu:

F = na/2l (n = 1,2,3…).

Þar sem er útbreiðsluhraði þversbylgjunnar eftir stefnu strengsins. Eignartíðni strengjanna er margfeldi af grunntíðninni yfir 2l. Þessi heiltölumargfeldi leiðir til þægilegrar harmonískrar uppbyggingar. Almennt séð er ekkert slíkt heiltölumargfeldisamband milli eigintíðna teygjanleikans.

Fyrstu þrjár stillingar spennustrengsins eru sýndar á mynd 9. Það eru nokkrir hnútar á aðalstillingarkúrfunni. Í aðaltitringnum titra hnútarnir ekki. Mynd 10 sýnir nokkra dæmigerða stillingar á hringlaga plötu sem er studd ummálslega með nokkrum hnútalínum sem samanstanda af hringjum og þvermálum.

Nákvæma framsetningu á titringsvandamálinu í teygjanlegu efni má álykta sem jaðargildisvandamál hlutafleiðujafna. Hins vegar er aðeins hægt að finna nákvæma lausn í sumum af einföldustu tilfellunum, þannig að við verðum að grípa til nálgunarlausnar fyrir flókna titringsvandamálið í teygjanlegu efni. Kjarni ýmissa nálgunarlausna er að breyta óendanleika í endanlegt, það er að segja að aðgreina limalausa fjölfrístigakerfi (samfellt kerfi) í endanlegt fjölfrístigakerfi (aðgreint kerfi). Tvær gerðir af aðferðum til aðgreiningar eru mikið notaðar í verkfræðilegri greiningu: aðferð endanlegra þátta og aðferð hreyfimyndunar.

MYND 9 stilling strengs

MYND 10 stilling hringlaga plötu

Aðferð endanlegra þátta er samsett uppbygging sem dregur flókna uppbyggingu saman í endanlegan fjölda þátta og tengir þá saman við endanlegan fjölda hnúta. Hver eining er teygjanlegt efni; Dreifingarfærsla þáttarins er tjáð með innsetningu hnútafærslunnar. Síðan eru dreifingarbreytur hvers þáttar einbeittar að hverjum hnúti í ákveðnu sniði og vélrænt líkan af stakræna kerfinu fæst.

Mótfræðileg myndun er niðurbrot flókinnar byggingar í nokkrar einfaldari undirbyggingar. Byggt á skilningi á titringseiginleikum hverrar undirbyggingar er undirbyggingin mynduð í almenna byggingargerð í samræmi við samhæfingarskilyrði á viðmótinu og titringsformgerð almennu byggingarnnar er fengin með því að nota titringsformgerð hverrar undirbyggingar.

Aðferðirnar tvær eru ólíkar og skyldar og má nota sem viðmiðun. Einnig er hægt að sameina aðferðina með mælitækni á áhrifaríkan hátt tilraunamælingum til að mynda fræðilega og tilraunakennda greiningaraðferð fyrir titring stórra kerfa.