रेखीय कंपन क्या है?

रेखीय कंपनप्रणाली में घटकों की प्रत्यास्थता हुक के नियम के अधीन है, और गति के दौरान उत्पन्न अवमंदन बल सामान्यीकृत वेग के पहले समीकरण (सामान्यीकृत निर्देशांकों के समय व्युत्पन्न) के समानुपाती होता है।

अवधारणा

रेखीय प्रणाली आमतौर पर वास्तविक प्रणाली के कंपन का एक अमूर्त मॉडल है। रेखीय कंपन प्रणाली अध्यारोपण सिद्धांत को लागू करती है, अर्थात्, यदि इनपुट x1 की क्रिया के तहत प्रणाली की प्रतिक्रिया y1 है, और इनपुट x2 की क्रिया के तहत y2 है, तो इनपुट x1 और x2 की क्रिया के तहत प्रणाली की प्रतिक्रिया y1+y2 होगी।

अध्यारोपण सिद्धांत के आधार पर, किसी भी इनपुट को सूक्ष्म आवेगों की एक श्रृंखला के योग में विघटित किया जा सकता है, और फिर सिस्टम की कुल प्रतिक्रिया प्राप्त की जा सकती है। आवधिक उत्तेजना के हार्मोनिक घटकों के योग को फूरियर रूपांतरण द्वारा हार्मोनिक घटकों की एक श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है, और सिस्टम पर प्रत्येक हार्मोनिक घटक के प्रभाव का अलग-अलग अध्ययन किया जा सकता है। इसलिए, स्थिर मापदंडों वाले रैखिक प्रणालियों की प्रतिक्रिया विशेषताओं को आवेग प्रतिक्रिया या आवृत्ति प्रतिक्रिया द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

आवेग प्रतिक्रिया से तात्पर्य इकाई आवेग के प्रति प्रणाली की प्रतिक्रिया से है, जो समय क्षेत्र में प्रणाली की प्रतिक्रिया विशेषताओं को दर्शाती है। आवृत्ति प्रतिक्रिया से तात्पर्य इकाई हार्मोनिक इनपुट के प्रति प्रणाली की प्रतिक्रिया विशेषता से है। इन दोनों के बीच संबंध फोरियर रूपांतरण द्वारा निर्धारित किया जाता है।

वर्गीकरण

रेखीय कंपन को एकल-स्वतंत्रता-डिग्री प्रणाली के रेखीय कंपन और बहु-स्वतंत्रता-डिग्री प्रणाली के रेखीय कंपन में विभाजित किया जा सकता है।

(1) एकल-स्वतंत्रता-डिग्री प्रणाली का रैखिक कंपन एक रैखिक कंपन है जिसकी स्थिति को सामान्यीकृत निर्देशांक द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। यह सबसे सरल कंपन है जिससे कंपन की कई बुनियादी अवधारणाओं और विशेषताओं को प्राप्त किया जा सकता है। इसमें सरल हार्मोनिक कंपन, मुक्त कंपन, क्षीणन कंपन और बलपूर्वक कंपन शामिल हैं।

सरल हार्मोनिक कंपन: किसी वस्तु की संतुलन स्थिति के निकटवर्ती प्रत्यावर्ती गति, जो उसके विस्थापन के समानुपाती प्रत्यानयन बल के प्रभाव में एक साइनसोइडल नियम के अनुसार होती है।

अवमंदित कंपन: ऐसा कंपन जिसका आयाम घर्षण और परावैद्युत प्रतिरोध या अन्य ऊर्जा खपत की उपस्थिति के कारण लगातार कम होता जाता है।

बलपूर्वक कंपन: निरंतर उत्तेजना के अधीन किसी प्रणाली का कंपन।

(2) बहु-स्वतंत्रता-डिग्री प्रणाली का रैखिक कंपन, n≥2 स्वतंत्रता-डिग्री वाली रैखिक प्रणाली का कंपन है। n स्वतंत्रता-डिग्री वाली प्रणाली में n प्राकृतिक आवृत्तियाँ और n मुख्य मोड होते हैं। प्रणाली के किसी भी कंपन विन्यास को मुख्य मोड के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसलिए, बहु-स्वतंत्रता-डिग्री प्रणालियों के गतिशील प्रतिक्रिया विश्लेषण में मुख्य मोड सुपरपोज़िशन विधि का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इस प्रकार, प्रणाली की प्राकृतिक कंपन विशेषताओं का मापन और विश्लेषण प्रणाली के गतिशील डिज़ाइन में एक नियमित चरण बन जाता है। बहु-स्वतंत्रता-डिग्री प्रणालियों की गतिशील विशेषताओं को आवृत्ति विशेषताओं द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है। चूंकि प्रत्येक इनपुट और आउटपुट के बीच एक आवृत्ति विशेषता फ़ंक्शन होता है, इसलिए एक आवृत्ति विशेषता मैट्रिक्स का निर्माण किया जाता है। आवृत्ति विशेषता और मुख्य मोड के बीच एक निश्चित संबंध होता है। बहु-स्वतंत्रता प्रणाली का आयाम-आवृत्ति विशेषता वक्र एकल-स्वतंत्रता प्रणाली से भिन्न होता है।

एकल डिग्री स्वतंत्रता प्रणाली का रैखिक कंपन

एक रेखीय कंपन जिसमें किसी प्रणाली की स्थिति को एक सामान्यीकृत निर्देशांक द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। यह सबसे सरल और मूलभूत कंपन है जिससे कंपन की कई बुनियादी अवधारणाओं और विशेषताओं को प्राप्त किया जा सकता है। इसमें सरल हार्मोनिक कंपन, अवमंदित कंपन और बलपूर्वक कंपन शामिल हैं।

हार्मोनिक कंपन

विस्थापन के समानुपाती प्रत्यानयन बल के प्रभाव में, वस्तु अपनी संतुलन स्थिति के निकट एक साइनसोइडल तरीके से आगे-पीछे गति करती है (चित्र 1)। X विस्थापन को और t समय को दर्शाता है। इस कंपन की गणितीय अभिव्यक्ति इस प्रकार है:

(1)यहां A विस्थापन x का अधिकतम मान है, जिसे आयाम कहा जाता है और यह कंपन की तीव्रता को दर्शाता है; ओमेगा n प्रति सेकंड कंपन के आयाम में वृद्धि है, जिसे कोणीय आवृत्ति या वृत्ताकार आवृत्ति कहा जाता है; इसे प्रारंभिक अवस्था कहा जाता है। f = n/2 के संदर्भ में, प्रति सेकंड दोलनों की संख्या आवृत्ति कहलाती है; इसका व्युत्क्रम, T = 1/f, एक चक्र पूरा करने में लगने वाला समय है, और इसे आवर्तकाल कहा जाता है। आयाम A, आवृत्ति f (या कोणीय आवृत्ति n), प्रारंभिक अवस्था, इन तीन तत्वों को मिलाकर सरल आवर्त कंपन कहलाता है।

चित्र 1 सरल हार्मोनिक कंपन वक्र

चित्र 2 में दर्शाए अनुसार, एक सरल आवर्त दोलक एक रैखिक स्प्रिंग द्वारा जुड़े केंद्रित द्रव्यमान m से बनता है। जब संतुलन स्थिति से कंपन विस्थापन की गणना की जाती है, तो कंपन समीकरण इस प्रकार है:

स्प्रिंग की कठोरता कहाँ है? उपरोक्त समीकरण का सामान्य हल (1) है। A और को t=0 पर प्रारंभिक स्थिति x0 और प्रारंभिक वेग द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

लेकिन ओमेगा n केवल सिस्टम की विशेषताओं m और k द्वारा निर्धारित होता है, जो अतिरिक्त प्रारंभिक स्थितियों से स्वतंत्र होता है, इसलिए ओमेगा n को प्राकृतिक आवृत्ति के रूप में भी जाना जाता है।

चित्र 2 एकल डिग्री स्वतंत्रता प्रणाली

एक सरल आवर्त दोलक के लिए, उसकी गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है, अर्थात्, तंत्र की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है। कंपन की प्रक्रिया में, गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा लगातार एक दूसरे में परिवर्तित होती रहती हैं।

कंपन को कम करना

एक कंपन जिसका आयाम घर्षण और परावैद्युत प्रतिरोध या अन्य ऊर्जा खपत के कारण लगातार कम होता जाता है। सूक्ष्म कंपन के लिए, वेग आमतौर पर बहुत अधिक नहीं होता है, और माध्यम प्रतिरोध वेग की प्रथम घात के समानुपाती होता है, जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: c अवमंदन गुणांक है। इसलिए, रैखिक अवमंदन के साथ एक डिग्री स्वतंत्रता के कंपन समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(2)जहां, m = c/2m को अवमंदन पैरामीटर कहा जाता है, और सूत्र (2) का सामान्य हल इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(3)ओमेगा n और PI के बीच संख्यात्मक संबंध को निम्नलिखित तीन मामलों में विभाजित किया जा सकता है:

N > (कम अवमंदन के मामले में) कण द्वारा उत्पन्न क्षीणन कंपन के लिए कंपन समीकरण इस प्रकार है:

इसका आयाम समय के साथ समीकरण में दर्शाए गए घातांकीय नियम के अनुसार घटता है, जैसा कि चित्र 3 में बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। वास्तव में, यह कंपन अनावर्ती है, लेकिन इसके शिखर की आवृत्ति को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

इसे आयाम कमी दर कहा जाता है, जहाँ λ कंपन की अवधि है। आयाम कमी दर का प्राकृतिक लघुगणक, लघुगणक माइनस (आयाम) दर कहलाता है। स्पष्ट है कि, इस मामले में, = 2/1 के बराबर है। प्रायोगिक परीक्षण डेल्टा के माध्यम से, उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके c की गणना की जा सकती है।

इस समय, समीकरण (2) का हल इस प्रकार लिखा जा सकता है:

प्रारंभिक वेग की दिशा के साथ-साथ, इसे तीन गैर-कंपन मामलों में विभाजित किया जा सकता है जैसा कि चित्र 4 में दिखाया गया है।

एन < (बड़े अवमंदन के मामले में), समीकरण (2) का हल समीकरण (3) में दिखाया गया है। इस बिंदु पर, सिस्टम अब कंपन नहीं कर रहा है।

जबरन कंपन

स्थिर उत्तेजना के अधीन एक प्रणाली का कंपन। कंपन विश्लेषण मुख्य रूप से उत्तेजना के प्रति प्रणाली की प्रतिक्रिया की जांच करता है। आवधिक उत्तेजना एक विशिष्ट नियमित उत्तेजना है। चूंकि आवधिक उत्तेजना को हमेशा कई हार्मोनिक उत्तेजनाओं के योग में विभाजित किया जा सकता है, इसलिए अध्यारोपण सिद्धांत के अनुसार, केवल प्रत्येक हार्मोनिक उत्तेजना के प्रति प्रणाली की प्रतिक्रिया की आवश्यकता होती है। हार्मोनिक उत्तेजना की क्रिया के तहत, एकल डिग्री स्वतंत्रता वाली अवमंदित प्रणाली के गति के अवकल समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

प्रतिक्रिया दो भागों का योग है। एक भाग मंद कंपन की प्रतिक्रिया है, जो समय के साथ तेजी से क्षीण होती जाती है। बलपूर्वक कंपन के दूसरे भाग की प्रतिक्रिया को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

चित्र 3 अवमंदित कंपन वक्र

चित्र 4 में क्रांतिक अवमंदन के साथ तीन प्रारंभिक स्थितियों के वक्र दर्शाए गए हैं।

टाइप करें

H/F0 = h(), स्थिर प्रतिक्रिया आयाम और उत्तेजना आयाम का अनुपात है, जो आयाम-आवृत्ति विशेषताओं या लाभ फलन को दर्शाता है; यह स्थिर अवस्था प्रतिक्रिया और चरण प्रोत्साहन के लिए बिट्स का उपयोग करता है, जो चरण आवृत्ति विशेषताओं का लक्षण वर्णन है। इनके और उत्तेजना आवृत्ति के बीच संबंध चित्र 5 और चित्र 6 में दर्शाया गया है।

आयाम-आवृत्ति वक्र (चित्र 5) से देखा जा सकता है कि कम अवमंदन की स्थिति में, आयाम-आवृत्ति वक्र में एक ही शिखर होता है। अवमंदन जितना कम होगा, शिखर उतना ही तीव्र होगा; शिखर के अनुरूप आवृत्ति को प्रणाली की अनुनाद आवृत्ति कहा जाता है। कम अवमंदन की स्थिति में, अनुनाद आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति से बहुत भिन्न नहीं होती है। जब उत्तेजना आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति के निकट होती है, तो आयाम में तेजी से वृद्धि होती है। इस घटना को अनुनाद कहते हैं। अनुनाद पर, प्रणाली का लाभ अधिकतम होता है, अर्थात्, बलपूर्वक कंपन सबसे तीव्र होता है। इसलिए, सामान्यतः, अनुनाद से बचने का प्रयास किया जाता है, जब तक कि कुछ उपकरण और यंत्र बड़े कंपन को प्राप्त करने के लिए अनुनाद का उपयोग न करते हों।

चित्र 5 आयाम आवृत्ति वक्र

चरण आवृत्ति वक्र (चित्र 6) से देखा जा सकता है कि, अवमंदन के आकार की परवाह किए बिना, ओमेगा शून्य चरण अंतर बिट्स = PI / 2 में, इस विशेषता का प्रभावी रूप से अनुनाद को मापने में उपयोग किया जा सकता है।

स्थिर उत्तेजना के अलावा, प्रणालियाँ कभी-कभी अस्थिर उत्तेजना का भी सामना करती हैं। इसे मोटे तौर पर दो प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है: एक अचानक प्रभाव और दूसरा मनमानी का दीर्घकालिक प्रभाव। अस्थिर उत्तेजना के तहत, प्रणाली की प्रतिक्रिया भी अस्थिर होती है।

अस्थिर कंपन के विश्लेषण के लिए एक शक्तिशाली उपकरण आवेग प्रतिक्रिया विधि है। यह प्रणाली के इकाई आवेग इनपुट की क्षणिक प्रतिक्रिया के साथ प्रणाली की गतिशील विशेषताओं का वर्णन करता है। इकाई आवेग को डेल्टा फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इंजीनियरिंग में, डेल्टा फ़ंक्शन को अक्सर इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

यहां 0- टी-अक्ष पर वह बिंदु दर्शाता है जो बाईं ओर से शून्य की ओर अग्रसर होता है; 0 प्लस वह बिंदु है जो दाईं ओर से शून्य की ओर जाता है।

चित्र 6 चरण आवृत्ति वक्र

चित्र 7 में, किसी भी इनपुट को आवेग तत्वों की एक श्रृंखला के योग के रूप में माना जा सकता है।

यह प्रणाली t=0 पर इकाई आवेग द्वारा उत्पन्न प्रतिक्रिया h(t) के अनुरूप है, जिसे आवेग प्रतिक्रिया फलन कहा जाता है। यह मानते हुए कि प्रणाली आवेग से पहले स्थिर है, t<0 के लिए h(t)=0 होता है। प्रणाली के आवेग प्रतिक्रिया फलन को जानकर, हम किसी भी इनपुट x(t) के लिए प्रणाली की प्रतिक्रिया ज्ञात कर सकते हैं। इस बिंदु पर, आप x(t) को आवेग तत्वों की एक श्रृंखला के योग के रूप में मान सकते हैं (चित्र 7)। प्रणाली की प्रतिक्रिया इस प्रकार है:

सुपरपोज़िशन सिद्धांत के आधार पर, x(t) के अनुरूप सिस्टम की कुल प्रतिक्रिया इस प्रकार है:

इस समाकलन को कनवोल्यूशन समाकलन या सुपरपोजिशन समाकलन कहा जाता है।

बहु-स्वतंत्रता-डिग्री प्रणाली का रैखिक कंपन

n≥2 डिग्री स्वतंत्रता वाले रैखिक तंत्र का कंपन।

चित्र 8 में एक स्प्रिंग द्वारा जुड़े दो सरल अनुनादी उपप्रणालियों को दर्शाया गया है। चूंकि यह दो-स्वतंत्रता-डिग्री प्रणाली है, इसलिए इसकी स्थिति निर्धारित करने के लिए दो स्वतंत्र निर्देशांकों की आवश्यकता होती है। इस प्रणाली में दो प्राकृतिक आवृत्तियाँ हैं:

प्रत्येक आवृत्ति कंपन के एक मोड से मेल खाती है। हार्मोनिक ऑसिलेटर समान आवृत्ति के हार्मोनिक दोलन करते हैं, समकालिक रूप से संतुलन स्थिति से गुजरते हैं और समकालिक रूप से चरम स्थिति तक पहुंचते हैं। ओमेगा एक के अनुरूप मुख्य कंपन में, x1, x2 के बराबर होता है; ओमेगा ओमेगा दो के अनुरूप मुख्य कंपन में, ओमेगा ओमेगा एक के बराबर होता है। मुख्य कंपन में, प्रत्येक द्रव्यमान का विस्थापन अनुपात एक निश्चित संबंध बनाए रखता है और एक निश्चित मोड बनाता है, जिसे मुख्य मोड या प्राकृतिक मोड कहा जाता है। मुख्य मोड के बीच द्रव्यमान और कठोरता की लंबवतता मौजूद होती है, जो प्रत्येक कंपन की स्वतंत्रता को दर्शाती है। प्राकृतिक आवृत्ति और मुख्य मोड बहु-स्वतंत्रता प्रणाली की अंतर्निहित कंपन विशेषताओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।

चित्र 8 में एकाधिक स्वतंत्रता की डिग्री वाली प्रणाली दर्शाई गई है।

n डिग्री ऑफ़ फ़्रीडम वाले एक सिस्टम में n प्राकृतिक आवृत्तियाँ और n मुख्य मोड होते हैं। सिस्टम के किसी भी कंपन विन्यास को मुख्य मोड के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसलिए, मल्टी-डीओएफ सिस्टम के गतिशील प्रतिक्रिया विश्लेषण में मुख्य मोड सुपरपोज़िशन विधि का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इस तरह, सिस्टम की प्राकृतिक कंपन विशेषताओं का मापन और विश्लेषण सिस्टम के गतिशील डिज़ाइन में एक नियमित चरण बन जाता है।

बहु-स्वतंत्रता प्रणाली की गतिशील विशेषताओं को आवृत्ति विशेषताओं द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है। चूंकि प्रत्येक इनपुट और आउटपुट के बीच एक आवृत्ति विशेषता फ़ंक्शन होता है, इसलिए एक आवृत्ति विशेषता मैट्रिक्स का निर्माण किया जाता है। बहु-स्वतंत्रता प्रणाली का आयाम-आवृत्ति विशेषता वक्र एकल-स्वतंत्रता प्रणाली से भिन्न होता है।

इलास्टोमर कंपन करता है

उपरोक्त बहु-स्वतंत्रता डिग्री प्रणाली एक लोचदार पदार्थ का अनुमानित यांत्रिक मॉडल है। एक लोचदार पदार्थ में अनंत संख्या में स्वतंत्रता डिग्री होती हैं। दोनों में मात्रात्मक अंतर है, लेकिन कोई मूलभूत अंतर नहीं है। किसी भी लोचदार पदार्थ में अनंत संख्या में प्राकृतिक आवृत्तियाँ और अनंत संख्या में संबंधित मोड होते हैं, और द्रव्यमान और कठोरता के मोड के बीच लंबवतता होती है। लोचदार पदार्थ के किसी भी कंपन विन्यास को प्रमुख मोड के रैखिक सुपरपोज़िशन के रूप में भी दर्शाया जा सकता है। इसलिए, लोचदार पदार्थ की गतिशील प्रतिक्रिया विश्लेषण के लिए, मुख्य मोड की सुपरपोज़िशन विधि अभी भी लागू होती है (देखें लोचदार पदार्थ का रैखिक कंपन)।

एक डोरी के कंपन पर विचार करें। मान लीजिए कि प्रति इकाई लंबाई m द्रव्यमान वाली एक पतली डोरी, जिसकी लंबाई l है, दोनों सिरों पर तनी हुई है और तनाव T है। इस समय, डोरी की प्राकृतिक आवृत्ति निम्नलिखित समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

यहां, अनुप्रस्थ तरंग का प्रक्षेपण वेग डोरी की दिशा में है। डोरियों की प्राकृतिक आवृत्तियाँ मूल आवृत्ति के गुणज होती हैं, जिन्हें 2l से विभाजित किया जाता है। यह पूर्णांक गुणज एक सुखद हार्मोनिक संरचना को जन्म देता है। सामान्यतः, इलास्टोमर की प्राकृतिक आवृत्तियों के बीच ऐसा कोई पूर्णांक गुणज संबंध नहीं होता है।

तनावग्रस्त डोरी के पहले तीन मोड चित्र 9 में दिखाए गए हैं। मुख्य मोड वक्र पर कुछ नोड हैं। मुख्य कंपन में, नोड कंपन नहीं करते हैं। चित्र 10 में परिधि के चारों ओर समर्थित वृत्ताकार प्लेट के कई विशिष्ट मोड दिखाए गए हैं, जिनमें वृत्तों और व्यासों से बनी कुछ नोडल रेखाएँ हैं।

इलास्टोमर कंपन समस्या का सटीक निरूपण आंशिक अवकल समीकरणों की सीमा मान समस्या के रूप में किया जा सकता है। हालांकि, सटीक समाधान केवल कुछ सबसे सरल मामलों में ही पाया जा सकता है, इसलिए जटिल इलास्टोमर कंपन समस्या के लिए हमें अनुमानित समाधान का सहारा लेना पड़ता है। विभिन्न अनुमानित समाधानों का सार अनंत को परिमित में बदलना है, अर्थात्, अंग-रहित बहु-स्वतंत्रता प्रणाली (निरंतर प्रणाली) को परिमित बहु-स्वतंत्रता प्रणाली (असतत प्रणाली) में असतत करना है। इंजीनियरिंग विश्लेषण में व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली दो प्रकार की असततकरण विधियाँ हैं: परिमित तत्व विधि और मोडल संश्लेषण विधि।

चित्र 9 स्ट्रिंग का मोड

चित्र 10 वृत्ताकार प्लेट का मॉडल

परिमित तत्व विधि एक मिश्रित संरचना विधि है जो एक जटिल संरचना को सीमित संख्या में तत्वों में विभाजित करती है और उन्हें सीमित संख्या में नोड्स पर जोड़ती है। प्रत्येक इकाई एक इलास्टोमर होती है; तत्व के विस्थापन का वितरण नोड विस्थापन के इंटरपोलेशन फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया जाता है। फिर प्रत्येक तत्व के वितरण मापदंडों को एक निश्चित प्रारूप में प्रत्येक नोड पर केंद्रित किया जाता है, और इस प्रकार असतत प्रणाली का यांत्रिक मॉडल प्राप्त किया जाता है।

मोडल संश्लेषण एक जटिल संरचना को कई सरल उपसंरचनाओं में विघटित करने की प्रक्रिया है। प्रत्येक उपसंरचना की कंपन विशेषताओं को समझने के आधार पर, इंटरफ़ेस पर समन्वय स्थितियों के अनुसार उपसंरचना को एक सामान्य संरचना में संश्लेषित किया जाता है, और प्रत्येक उपसंरचना की कंपन आकृति का उपयोग करके सामान्य संरचना की कंपन आकृति प्राप्त की जाती है।

ये दोनों विधियाँ भिन्न होते हुए भी संबंधित हैं और इन्हें संदर्भ के रूप में उपयोग किया जा सकता है। मोडल संश्लेषण विधि को प्रयोगात्मक माप के साथ प्रभावी ढंग से संयोजित करके बड़े सिस्टमों के कंपन के लिए एक सैद्धांतिक और प्रयोगात्मक विश्लेषण विधि का निर्माण किया जा सकता है।