Dao động tuyến tính là gì?

Dao động tuyến tínhĐộ đàn hồi của các thành phần trong hệ thống tuân theo định luật Hooke, và lực cản sinh ra trong quá trình chuyển động tỷ lệ thuận với phương trình đầu tiên của vận tốc tổng quát (đạo hàm theo thời gian của các tọa độ tổng quát).

ý tưởng

Hệ thống tuyến tính thường là một mô hình trừu tượng của sự dao động của một hệ thống thực. Hệ thống dao động tuyến tính áp dụng nguyên lý chồng chất, nghĩa là, nếu đáp ứng của hệ thống là y1 dưới tác động của đầu vào x1, và y2 dưới tác động của đầu vào x2, thì đáp ứng của hệ thống dưới tác động của đầu vào x1 và x2 là y1 + y2.

Trên cơ sở nguyên lý chồng chất, một tín hiệu đầu vào bất kỳ có thể được phân tích thành tổng của một chuỗi các xung vô cùng nhỏ, và sau đó có thể thu được đáp ứng tổng thể của hệ thống. Tổng các thành phần hài của một kích thích tuần hoàn có thể được mở rộng thành một chuỗi các thành phần hài bằng phép biến đổi Fourier, và ảnh hưởng của mỗi thành phần hài lên hệ thống có thể được nghiên cứu riêng biệt. Do đó, đặc tính đáp ứng của các hệ thống tuyến tính với các tham số không đổi có thể được mô tả bằng đáp ứng xung hoặc đáp ứng tần số.

Đáp ứng xung đề cập đến đáp ứng của hệ thống đối với xung đơn vị, đặc trưng cho đặc tính đáp ứng của hệ thống trong miền thời gian. Đáp ứng tần số đề cập đến đặc tính đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu hài đơn vị. Mối tương quan giữa hai khái niệm này được xác định bởi phép biến đổi Fourier.

phân loại

Dao động tuyến tính có thể được chia thành dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do và dao động tuyến tính của hệ nhiều bậc tự do.

(1) Dao động tuyến tính của một hệ thống một bậc tự do là dao động tuyến tính mà vị trí của nó có thể được xác định bằng một tọa độ tổng quát. Đó là dao động đơn giản nhất mà từ đó có thể suy ra nhiều khái niệm và đặc điểm cơ bản của dao động. Nó bao gồm dao động điều hòa đơn giản, dao động tự do, dao động suy giảm và dao động cưỡng bức.

Dao động điều hòa đơn giản: chuyển động qua lại của một vật thể trong vùng lân cận vị trí cân bằng của nó theo quy luật hình sin dưới tác dụng của một lực phục hồi tỷ lệ thuận với độ dịch chuyển của nó.

Dao động tắt dần: dao động có biên độ liên tục bị suy giảm do ma sát, điện trở hoặc các yếu tố tiêu hao năng lượng khác.

Dao động cưỡng bức: sự dao động của một hệ thống dưới tác động kích thích không đổi.

(2) Dao động tuyến tính của hệ thống đa bậc tự do là dao động của hệ thống tuyến tính với n≥2 bậc tự do. Một hệ thống n bậc tự do có n tần số tự nhiên và n chế độ chính. Bất kỳ cấu hình dao động nào của hệ thống đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các chế độ chính. Do đó, phương pháp chồng chất chế độ chính được sử dụng rộng rãi trong phân tích đáp ứng động của hệ thống đa bậc tự do. Bằng cách này, việc đo lường và phân tích các đặc tính dao động tự nhiên của hệ thống trở thành một bước thường quy trong thiết kế động của hệ thống. Các đặc tính động của hệ thống đa bậc tự do cũng có thể được mô tả bằng các đặc tính tần số. Vì có một hàm đặc tính tần số giữa mỗi đầu vào và đầu ra, nên một ma trận đặc tính tần số được xây dựng. Có một mối quan hệ xác định giữa đặc tính tần số và chế độ chính. Đường cong đặc tính biên độ-tần số của hệ thống đa bậc tự do khác với đường cong của hệ thống đơn bậc tự do.

Dao động tuyến tính của một hệ thống có một bậc tự do

Dao động tuyến tính là dạng dao động trong đó vị trí của hệ có thể được xác định bằng một hệ tọa độ tổng quát. Đây là dạng dao động đơn giản và cơ bản nhất, từ đó có thể suy ra nhiều khái niệm và đặc điểm cơ bản của dao động. Nó bao gồm dao động điều hòa đơn giản, dao động tắt dần và dao động cưỡng bức.

dao động hài hòa

Dưới tác dụng của lực phục hồi tỷ lệ thuận với độ dịch chuyển, vật thể dao động qua lại theo dạng hình sin gần vị trí cân bằng của nó (Hình 1). X biểu thị độ dịch chuyển và t biểu thị thời gian. Biểu thức toán học của dao động này là:

(1)Trong đó A là giá trị cực đại của độ dịch chuyển x, được gọi là biên độ, và biểu thị cường độ dao động; Ωn là gia số góc dao động mỗi giây, được gọi là tần số góc, hay tần số góc tròn; đây được gọi là pha ban đầu. Theo công thức f = n/2, số dao động mỗi giây được gọi là tần số; nghịch đảo của nó, T = 1/f, là thời gian cần thiết để dao động một chu kỳ, và đó được gọi là chu kỳ. Biên độ A, tần số f (hoặc tần số góc n), pha ban đầu, được gọi là dao động điều hòa đơn giản gồm ba thành phần.

Hình 1. Đường cong dao động điều hòa đơn giản

Như thể hiện trong Hình 2, một dao động điều hòa đơn giản được tạo thành bởi khối lượng tập trung m được nối với nhau bằng một lò xo tuyến tính. Khi tính toán độ dịch chuyển dao động từ vị trí cân bằng, phương trình dao động là:

Độ cứng của lò xo ở đâu? Giải pháp tổng quát cho phương trình trên là (1).A và có thể được xác định bằng vị trí ban đầu x0 và vận tốc ban đầu tại t=0:

Nhưng omega n chỉ được xác định bởi các đặc tính m và k của chính hệ thống, độc lập với các điều kiện ban đầu bổ sung, do đó omega n còn được gọi là tần số tự nhiên.

Hình 2. Hệ thống một bậc tự do

Đối với một dao động điều hòa đơn giản, tổng động năng và thế năng của nó là một hằng số, tức là tổng năng lượng cơ học của hệ được bảo toàn. Trong quá trình dao động, động năng và thế năng liên tục chuyển hóa lẫn nhau.

Sự rung động giảm chấn

Dao động có biên độ liên tục bị suy giảm do ma sát và điện trở môi trường hoặc các yếu tố tiêu hao năng lượng khác. Đối với dao động vi mô, vận tốc thường không lớn lắm, và điện trở của môi trường tỷ lệ thuận với vận tốc mũ 1, có thể viết là c là hệ số giảm chấn. Do đó, phương trình dao động của hệ một bậc tự do với giảm chấn tuyến tính có thể được viết như sau:

(2)Trong đó, m = c/2m được gọi là tham số giảm chấn, và.Giải pháp tổng quát của công thức (2) có thể được viết như sau:

(3)Mối quan hệ số học giữa omega n và PI có thể được chia thành ba trường hợp sau:

N > (trong trường hợp giảm chấn nhỏ) hạt tạo ra sự suy giảm dao động, phương trình dao động là:

Biên độ của nó giảm dần theo thời gian theo quy luật hàm mũ được thể hiện trong phương trình, như được minh họa bằng đường chấm chấm trong Hình 3. Nói một cách chính xác, dao động này là không tuần hoàn, nhưng tần số cực đại của nó có thể được định nghĩa là:

Được gọi là hệ số giảm biên độ, trong đó là chu kỳ dao động. Logarit tự nhiên của hệ số giảm biên độ được gọi là logarit trừ (biên độ) hệ số. Rõ ràng, =, trong trường hợp này, bằng 2/1. Trực tiếp thông qua thử nghiệm thực nghiệm delta và, sử dụng công thức trên có thể tính được c.

Tại thời điểm này, nghiệm của phương trình (2) có thể được viết như sau:

Cùng với hướng của vận tốc ban đầu, nó có thể được chia thành ba trường hợp không rung động như thể hiện trong Hình 4.

N < (trong trường hợp giảm chấn lớn), nghiệm của phương trình (2) được thể hiện trong phương trình (3). Tại thời điểm này, hệ thống không còn rung động nữa.

rung động cưỡng bức

Dao động của một hệ thống dưới tác động kích thích không đổi. Phân tích dao động chủ yếu nghiên cứu phản ứng của hệ thống đối với kích thích. Kích thích tuần hoàn là một loại kích thích đều đặn điển hình. Vì kích thích tuần hoàn luôn có thể được phân giải thành tổng của một số kích thích điều hòa, theo nguyên lý chồng chất, nên chỉ cần phản ứng của hệ thống đối với mỗi kích thích điều hòa là đủ. Dưới tác động của kích thích điều hòa, phương trình vi phân chuyển động của một hệ thống giảm chấn một bậc tự do có thể được viết như sau:

Đáp ứng là tổng của hai phần. Một phần là đáp ứng của dao động tắt dần, suy giảm nhanh chóng theo thời gian. Đáp ứng của phần còn lại là dao động cưỡng bức có thể được viết như sau:

Hình 3. Đường cong dao động tắt dần

Hình 4. Đường cong của ba điều kiện ban đầu với độ giảm chấn tới hạn.

Nhập vào

H /F0= h (), là tỷ lệ giữa biên độ đáp ứng ổn định và biên độ kích thích, đặc trưng cho đặc tính biên độ-tần số, hay hàm khuếch đại; Các bit cho đáp ứng trạng thái ổn định và kích thích pha, đặc trưng cho đặc tính pha-tần số. Mối quan hệ giữa chúng và tần số kích thích được thể hiện trong Hình 5 và Hình 6.

Như có thể thấy từ đường cong biên độ-tần số (Hình 5), trong trường hợp giảm chấn nhỏ, đường cong biên độ-tần số có một đỉnh duy nhất. Giảm chấn càng nhỏ, đỉnh càng dốc; Tần số tương ứng với đỉnh được gọi là tần số cộng hưởng của hệ thống. Trong trường hợp giảm chấn nhỏ, tần số cộng hưởng không khác biệt nhiều so với tần số tự nhiên. Khi tần số kích thích gần với tần số tự nhiên, biên độ tăng mạnh. Hiện tượng này được gọi là cộng hưởng. Tại điểm cộng hưởng, độ lợi của hệ thống đạt cực đại, tức là dao động cưỡng bức mạnh nhất. Do đó, nói chung, luôn cố gắng tránh cộng hưởng, trừ khi một số dụng cụ và thiết bị sử dụng cộng hưởng để đạt được dao động lớn.

Hình 5. Đường cong biên độ tần số

Có thể thấy từ đường cong tần số pha (hình 6), bất kể độ suy giảm lớn hay nhỏ, trong trường hợp độ lệch pha omega bằng 0 bit = PI / 2, đặc tính này có thể được sử dụng hiệu quả trong việc đo cộng hưởng.

Ngoài kích thích ổn định, hệ thống đôi khi còn gặp phải kích thích không ổn định. Có thể chia kích thích không ổn định thành hai loại chính: một là tác động đột ngột, hai là tác động kéo dài mang tính ngẫu nhiên. Dưới tác động của kích thích không ổn định, phản ứng của hệ thống cũng không ổn định.

Phương pháp đáp ứng xung là một công cụ mạnh mẽ để phân tích dao động không ổn định. Nó mô tả các đặc tính động học của hệ thống bằng đáp ứng thoáng qua của xung đơn vị đầu vào của hệ thống. Xung đơn vị có thể được biểu diễn dưới dạng hàm delta. Trong kỹ thuật, hàm delta thường được định nghĩa như sau:

Trong đó, 0- biểu thị điểm trên trục t tiến đến 0 từ bên trái; 0+ là điểm tiến đến 0 từ bên phải.

Hình 6. Đường cong tần số pha

Hình 7 cho thấy bất kỳ tín hiệu đầu vào nào cũng có thể được coi là tổng của một chuỗi các phần tử xung.

Hệ thống tương ứng với đáp ứng h(t) được tạo ra bởi xung đơn vị tại t=0, được gọi là hàm đáp ứng xung. Giả sử hệ thống ở trạng thái ổn định trước xung, h(t)=0 đối với t<0. Biết hàm đáp ứng xung của hệ thống, ta có thể tìm đáp ứng của hệ thống với bất kỳ đầu vào x(t) nào. Tại điểm này, ta có thể coi x(t) là tổng của một chuỗi các phần tử xung (Hình 7). Đáp ứng của hệ thống là:

Dựa trên nguyên lý chồng chất, đáp ứng tổng thể của hệ thống tương ứng với x(t) là:

Tích phân này được gọi là tích phân chập hoặc tích phân chồng chất.

Dao động tuyến tính của một hệ thống nhiều bậc tự do

Dao động của một hệ tuyến tính với n≥2 bậc tự do.

Hình 8 thể hiện hai hệ con cộng hưởng đơn giản được nối với nhau bằng một lò xo nối. Vì đây là hệ hai bậc tự do, nên cần hai tọa độ độc lập để xác định vị trí của nó. Hệ này có hai tần số tự nhiên:

Mỗi tần số tương ứng với một chế độ dao động. Các dao động điều hòa thực hiện dao động điều hòa cùng tần số, đồng thời đi qua vị trí cân bằng và đồng thời đạt đến vị trí cực đại. Trong dao động chính tương ứng với omega một, x1 bằng x2; trong dao động chính tương ứng với omega hai, omega bằng omega một. Trong dao động chính, tỷ lệ dịch chuyển của mỗi khối lượng giữ một mối quan hệ nhất định và tạo thành một chế độ nhất định, được gọi là chế độ chính hoặc chế độ tự nhiên. Tính trực giao của khối lượng và độ cứng tồn tại giữa các chế độ chính, phản ánh tính độc lập của mỗi dao động. Tần số tự nhiên và chế độ chính thể hiện các đặc tính dao động vốn có của hệ thống đa bậc tự do.

Hình 8. Hệ thống với nhiều bậc tự do

Một hệ thống có n bậc tự do có n tần số tự nhiên và n chế độ dao động chính. Bất kỳ cấu hình dao động nào của hệ thống đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các chế độ chính. Do đó, phương pháp chồng chất các chế độ chính được sử dụng rộng rãi trong phân tích đáp ứng động của các hệ thống đa bậc tự do. Bằng cách này, việc đo lường và phân tích các đặc tính dao động tự nhiên của hệ thống trở thành một bước thường quy trong thiết kế động của hệ thống.

Các đặc tính động học của hệ thống đa bậc tự do cũng có thể được mô tả bằng đặc tính tần số. Vì có một hàm đặc tính tần số giữa mỗi đầu vào và đầu ra, nên một ma trận đặc tính tần số được xây dựng. Đường cong đặc tính biên độ-tần số của hệ thống đa bậc tự do khác với đường cong của hệ thống đơn bậc tự do.

Chất đàn hồi rung động

Hệ thống đa bậc tự do nêu trên là mô hình cơ học gần đúng của chất đàn hồi. Chất đàn hồi có vô số bậc tự do. Có sự khác biệt về định lượng nhưng không có sự khác biệt về bản chất giữa hai loại này. Bất kỳ chất đàn hồi nào cũng có vô số tần số tự nhiên và vô số mode tương ứng, và có tính trực giao giữa các mode khối lượng và độ cứng. Bất kỳ cấu hình dao động nào của chất đàn hồi cũng có thể được biểu diễn dưới dạng chồng chất tuyến tính của các mode chính. Do đó, đối với phân tích đáp ứng động của chất đàn hồi, phương pháp chồng chất của mode chính vẫn có thể áp dụng được (xem dao động tuyến tính của chất đàn hồi).

Xét sự dao động của một sợi dây. Giả sử có một sợi dây mỏng có khối lượng m trên đơn vị chiều dài, dài l, được căng ở cả hai đầu, và lực căng là T. Lúc này, tần số tự nhiên của sợi dây được xác định bởi phương trình sau:

F = na/2l (n = 1, 2, 3…).

Trong đó, là vận tốc truyền của sóng ngang dọc theo hướng của dây. Tần số tự nhiên của dây là bội số của tần số cơ bản chia cho 2l. Bội số nguyên này tạo ra cấu trúc hài hòa dễ chịu. Nói chung, không có mối quan hệ bội số nguyên như vậy giữa các tần số tự nhiên của chất đàn hồi.

Hình 9 thể hiện ba chế độ dao động đầu tiên của dây căng. Có một số điểm nút trên đường cong chế độ chính. Trong dao động chính, các điểm nút không dao động. Hình 10 thể hiện một số chế độ điển hình của tấm tròn được đỡ theo chu vi với một số đường nút được tạo thành từ các vòng tròn và đường kính.

Bài toán dao động của chất đàn hồi có thể được diễn đạt chính xác bằng bài toán giá trị biên của hệ phương trình vi phân từng phần. Tuy nhiên, lời giải chính xác chỉ có thể tìm được trong một số trường hợp đơn giản nhất, vì vậy chúng ta phải sử dụng lời giải gần đúng cho bài toán dao động phức tạp của chất đàn hồi. Bản chất của các lời giải gần đúng khác nhau là chuyển đổi từ vô hạn sang hữu hạn, tức là rời rạc hóa hệ đa bậc tự do không có chi (hệ liên tục) thành hệ đa bậc tự do hữu hạn (hệ rời rạc). Có hai loại phương pháp rời rạc hóa được sử dụng rộng rãi trong phân tích kỹ thuật: phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp tổng hợp modal.

Hình 9. Chế độ của dây đàn

Hình 10. Chế độ của tấm tròn.

Phương pháp phần tử hữu hạn là một cấu trúc phức hợp, trừu tượng hóa một cấu trúc phức tạp thành một số hữu hạn các phần tử và kết nối chúng tại một số hữu hạn các nút. Mỗi đơn vị là một chất đàn hồi; sự dịch chuyển phân bố của phần tử được biểu diễn bằng hàm nội suy của sự dịch chuyển nút. Sau đó, các tham số phân bố của mỗi phần tử được tập trung vào mỗi nút theo một định dạng nhất định, và mô hình cơ học của hệ thống rời rạc được thu được.

Tổng hợp mô hình là sự phân giải một cấu trúc phức tạp thành nhiều cấu trúc con đơn giản hơn. Trên cơ sở hiểu rõ đặc tính dao động của từng cấu trúc con, cấu trúc con được tổng hợp thành một cấu trúc tổng quát theo các điều kiện phối hợp trên giao diện, và hình thái dao động của cấu trúc tổng quát được thu được bằng cách sử dụng hình thái dao động của từng cấu trúc con.

Hai phương pháp này khác nhau nhưng có liên quan và có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo. Phương pháp tổng hợp mode cũng có thể được kết hợp hiệu quả với phép đo thực nghiệm để tạo thành phương pháp phân tích lý thuyết và thực nghiệm về dao động của các hệ thống lớn.