Vibración linealA elasticidade dos compoñentes do sistema está suxeita á lei de Hooke e a forza de amortecemento xerada durante o movemento é proporcional á primeira ecuación da velocidade xeneralizada (derivada con respecto ao tempo das coordenadas xeneralizadas).
concepto
Un sistema lineal adoita ser un modelo abstracto da vibración dun sistema real. O sistema de vibración lineal aplica o principio de superposición, é dicir, se a resposta do sistema é y1 baixo a acción da entrada x1 e y2 baixo a acción da entrada x2, entón a resposta do sistema baixo a acción das entradas x1 e x2 é y1 + y2.
Baseándose no principio de superposición, unha entrada arbitraria pode descompoñerse na suma dunha serie de impulsos infinitesimais e, a continuación, pódese obter a resposta total do sistema. A suma dos compoñentes harmónicos dunha excitación periódica pode expandirse nunha serie de compoñentes harmónicos mediante a transformada de Fourier e o efecto de cada compoñente harmónico no sistema pode investigarse por separado. Polo tanto, as características de resposta dos sistemas lineais con parámetros constantes poden describirse mediante a resposta ao impulso ou a resposta en frecuencia.
A resposta ao impulso refírese á resposta do sistema ao impulso unitario, que caracteriza as características de resposta do sistema no dominio do tempo. A resposta en frecuencia refírese á característica de resposta do sistema á entrada harmónica unitaria. A correspondencia entre ambas está determinada pola transformada de Fourier.
clasificación
A vibración lineal pódese dividir en vibración lineal de sistema dun só grao de liberdade e vibración lineal de sistema de varios graos de liberdade.
(1) A vibración lineal dun sistema dun só grao de liberdade é unha vibración lineal cuxa posición pode determinarse mediante unha coordenada xeneralizada. É a vibración máis simple da que se poden derivar moitos conceptos e características básicas da vibración. Inclúe a vibración harmónica simple, a vibración libre, a vibración de atenuación e a vibración forzada.
Vibración harmónica simple: o movemento alternativo dun obxecto nas proximidades da súa posición de equilibrio segundo unha lei sinusoidal baixo a acción dunha forza restauradora proporcional ao seu desprazamento.
Vibración amortecida: vibración cuxa amplitude se atenúa continuamente pola presenza de fricción e resistencia dieléctrica ou outro consumo de enerxía.
Vibración forzada: vibración dun sistema baixo excitación constante.
(2) a vibración lineal do sistema de varios graos de liberdade é a vibración do sistema lineal con n ≥ 2 graos de liberdade. Un sistema de n graos de liberdade ten n frecuencias naturais e n modos principais. Calquera configuración de vibración do sistema pódese representar como unha combinación lineal dos modos principais. Polo tanto, o método de superposición do modo principal úsase amplamente na análise da resposta dinámica dos sistemas de varios graos de liberdade. Deste xeito, a medición e análise das características de vibración natural do sistema convértese nun paso rutineiro no deseño dinámico do sistema. As características dinámicas dos sistemas de varios graos de liberdade tamén se poden describir mediante características de frecuencia. Dado que existe unha función característica de frecuencia entre cada entrada e saída, constrúese unha matriz de características de frecuencia. Existe unha relación definida entre a característica de frecuencia e o modo principal. A curva característica amplitude-frecuencia do sistema de varios graos de liberdade é diferente da do sistema de liberdade única.
Vibración lineal dun sistema dun só grao de liberdade
Unha vibración lineal na que a posición dun sistema pode determinarse mediante unha coordenada xeneralizada. É a vibración máis simple e fundamental da que se poden derivar moitos conceptos e características básicas da vibración. Inclúe a vibración harmónica simple, a vibración amortiguada e a vibración forzada.
vibración harmónica
Baixo a acción da forza de restauración proporcional ao desprazamento, o obxecto móvese alternativamente de forma sinusoidal preto da súa posición de equilibrio (FIG. 1). X representa o desprazamento e t representa o tempo. A expresión matemática desta vibración é:
(1)Onde A é o valor máximo do desprazamento x, que se denomina amplitude, e representa a intensidade da vibración; Omega n é o incremento angular da amplitude da vibración por segundo, que se denomina frecuencia angular ou frecuencia circular; Isto chámase fase inicial. En termos de f = n/2, o número de oscilacións por segundo chámase frecuencia; O inverso disto, T = 1/f, é o tempo que tarda en oscilar un ciclo, e iso chámase período. Amplitude A, frecuencia f (ou frecuencia angular n), a fase inicial, coñecida como vibración harmónica simple de tres elementos.
FIG. 1 curva de vibración harmónica simple
Como se mostra na figura 2, un oscilador harmónico simple está formado pola masa concentrada m conectada por un resorte lineal. Cando o desprazamento por vibración se calcula desde a posición de equilibrio, a ecuación de vibración é:
Onde é a rixidez do resorte. A solución xeral da ecuación anterior é (1). A e pode determinarse pola posición inicial x0 e a velocidade inicial en t=0:
Pero omega n só está determinado polas características do propio sistema m e k, independentemente das condicións iniciais adicionais, polo que omega n tamén se coñece como frecuencia natural.
FIG. 2 Sistema dun só grao de liberdade
Para un oscilador harmónico simple, a suma da súa enerxía cinética e enerxía potencial é constante, é dicir, a enerxía mecánica total do sistema consérvase. No proceso de vibración, a enerxía cinética e a enerxía potencial transfórmanse constantemente unha na outra.
A vibración de amortiguación
Unha vibración cuxa amplitude se atenúa continuamente pola fricción e a resistencia dieléctrica ou outro consumo de enerxía. Para a microvibración, a velocidade xeralmente non é moi grande e a resistencia do medio é proporcional á velocidade á primeira potencia, que se pode escribir como c é o coeficiente de amortiguamento. Polo tanto, a ecuación de vibración dun grao de liberdade con amortiguamento lineal pódese escribir como:
(2)Onde m = c/2m chámase parámetro de amortecemento e. A solución xeral da fórmula (2) pódese escribir:
(3)A relación numérica entre omega n e PI pódese dividir nos seguintes tres casos:
N > (no caso de amortecemento pequeno) a vibración de atenuación producida por partículas, a ecuación de vibración é:
A súa amplitude diminúe co tempo segundo a lei exponencial mostrada na ecuación, como se mostra na liña punteada da figura 3. En rigor, esta vibración é aperiódica, pero a frecuencia do seu pico pódese definir como:
Chámase taxa de redución da amplitude, onde é o período da vibración. O logaritmo natural da taxa de redución da amplitude chámase logaritmo menos taxa (amplitude). Obviamente, =, neste caso, é igual a 2/1. Directamente a través do delta da proba experimental e, usando a fórmula anterior, pódese calcular c.
Neste momento, a solución da ecuación (2) pódese escribir:
Xunto coa dirección da velocidade inicial, pódese dividir en tres casos sen vibración, como se mostra na figura 4.
N < (no caso de amortecemento grande), a solución á ecuación (2) móstrase na ecuación (3). Neste punto, o sistema xa non vibra.
Vibración forzada
Vibración dun sistema baixo excitación constante. A análise de vibracións investiga principalmente a resposta do sistema á excitación. A excitación periódica é unha excitación regular típica. Dado que a excitación periódica sempre se pode descompoñer na suma de varias excitacións harmónicas, segundo o principio de superposición, só se require a resposta do sistema a cada excitación harmónica. Baixo a acción da excitación harmónica, a ecuación diferencial do movemento dun sistema amortecido cun só grao de liberdade pódese escribir:
A resposta é a suma de dúas partes. Unha parte é a resposta da vibración amortiguada, que decae rapidamente co tempo. A resposta da outra parte da vibración forzada pódese escribir:
FIG. 3 curva de vibración amortiguada
FIG. 4 curvas de tres condicións iniciais con amortecemento crítico
Escribe o
H /F0= h (), é a relación entre a amplitude da resposta estacionaria e a amplitude da excitación, caracterizando as características amplitude-frecuencia ou a función de ganancia; Bits para a resposta en estado estacionario e o incentivo da fase, caracterización das características da frecuencia de fase. A relación entre eles e a frecuencia de excitación móstrase na figura 5 e na figura 6.
Como se pode ver na curva de amplitude-frecuencia (FIG. 5), no caso dun amortecemento pequeno, a curva de amplitude-frecuencia ten un único pico. Canto menor sexa o amortecemento, máis inclinado será o pico; a frecuencia correspondente ao pico chámase frecuencia de resonancia do sistema. No caso dun amortecemento pequeno, a frecuencia de resonancia non é moi diferente da frecuencia natural. Cando a frecuencia de excitación está preto da frecuencia natural, a amplitude aumenta bruscamente. Este fenómeno chámase resonancia. Na resonancia, a ganancia do sistema maximízase, é dicir, a vibración forzada é a máis intensa. Polo tanto, en xeral, sempre se debe esforzarse por evitar a resonancia, a non ser que algúns instrumentos e equipos utilicen a resonancia para lograr unha gran vibración.
FIG. 5 curva de frecuencia de amplitude
Pódese observar na curva de frecuencia de fase (figura 6), independentemente do tamaño da amortiguación, en bits de diferenza de fase cero omega = PI / 2, esta característica pódese usar eficazmente para medir a resonancia.
Ademais da excitación estacionaria, os sistemas ás veces enfróntanse a excitación inestable. Pódese dividir aproximadamente en dous tipos: un é o impacto repentino. O segundo é o efecto duradeiro da arbitrariedade. Baixo excitación inestable, a resposta do sistema tamén é inestable.
Unha ferramenta poderosa para analizar vibracións non estacionarias é o método da resposta impulsional. Describe as características dinámicas do sistema coa resposta transitoria da entrada de impulso unitario do sistema. O impulso unitario pódese expresar como unha función delta. En enxeñaría, a función delta adoita definirse como:
Onde 0- representa o punto no eixe t que se aproxima a cero pola esquerda; 0 plus é o punto que se aproxima a 0 pola dereita.
FIG. 6 curva de frecuencia de fase
FIG. 7 calquera entrada pode considerarse como a suma dunha serie de elementos de impulso
O sistema corresponde á resposta h(t) xerada polo impulso unitario en t=0, que se denomina función de resposta ao impulso. Asumindo que o sistema está estacionario antes do pulso, h(t)=0 para t<0. Coñecendo a función de resposta ao impulso do sistema, podemos atopar a resposta do sistema a calquera entrada x(t). Neste punto, pódese pensar en x(t) como a suma dunha serie de elementos de impulso (FIG. 7). A resposta do sistema é:
Baseándose no principio de superposición, a resposta total do sistema correspondente a x(t) é:
Esta integral chámase integral de convolución ou integral de superposición.
Vibración lineal dun sistema de varios graos de liberdade
Vibración dun sistema lineal con n≥2 graos de liberdade.
A figura 8 mostra dous subsistemas resonantes simples conectados por un resorte de acoplamento. Debido a que é un sistema de dous graos de liberdade, necesítanse dúas coordenadas independentes para determinar a súa posición. Hai dúas frecuencias naturais neste sistema:
Cada frecuencia corresponde a un modo de vibración. Os osciladores harmónicos realizan oscilacións harmónicas da mesma frecuencia, pasando sincronicamente pola posición de equilibrio e alcanzando sincronicamente a posición extrema. Na vibración principal correspondente a omega un, x1 é igual a x2; na vibración principal correspondente a omega omega dous, omega omega un. Na vibración principal, a relación de desprazamento de cada masa mantén unha certa relación e forma un certo modo, que se denomina modo principal ou modo natural. Existe a ortogonalidade da masa e a rixidez entre os modos principais, o que reflicte a independencia de cada vibración. A frecuencia natural e o modo principal representan as características de vibración inherentes do sistema de varios graos de liberdade.
FIG. 8 sistema con múltiples graos de liberdade
Un sistema de n graos de liberdade ten n frecuencias naturais e n modos principais. Calquera configuración de vibración do sistema pódese representar como unha combinación lineal dos modos principais. Polo tanto, o método de superposición do modo principal úsase amplamente na análise da resposta dinámica de sistemas con varios graos de liberdade. Deste xeito, a medición e análise das características de vibración natural do sistema convértese nun paso rutineiro no deseño dinámico do sistema.
As características dinámicas dos sistemas con múltiples grados de liberdade tamén se poden describir mediante características de frecuencia. Dado que existe unha función característica de frecuencia entre cada entrada e saída, constrúese unha matriz de características de frecuencia. A curva característica amplitude-frecuencia do sistema de liberdade múltiple é diferente da do sistema de liberdade única.
O elastómero vibra
O sistema de liberdade múltiple anterior é un modelo mecánico aproximado dun elastómero. Un elastómero ten un número infinito de graos de liberdade. Existe unha diferenza cuantitativa, pero non unha diferenza esencial entre os dous. Calquera elastómero ten un número infinito de frecuencias naturais e un número infinito de modos correspondentes, e existe ortogonalidade entre os modos de masa e rixidez. Calquera configuración vibratoria do elastómero tamén se pode representar como unha superposición lineal dos modos principais. Polo tanto, para a análise da resposta dinámica do elastómero, o método de superposición do modo principal segue sendo aplicable (véxase vibración lineal do elastómero).
Tomemos a vibración dunha corda. Digamos que unha corda delgada de masa m por unidade de lonxitude, de lonxitude l, está tensada en ambos extremos e a tensión é T. Neste momento, a frecuencia natural da corda vén determinada pola seguinte ecuación:
F = na/2l (n= 1, 2, 3…).
Onde, é a velocidade de propagación da onda transversal ao longo da dirección da corda. As frecuencias naturais das cordas resultan ser múltiplos da frecuencia fundamental en 2l. Esta multiplicidade enteira leva a unha estrutura harmónica agradable. En xeral, non existe tal relación de múltiple enteiro entre as frecuencias naturais do elastómero.
Os tres primeiros modos da corda tensada móstranse na figura 9. Hai algúns nodos na curva do modo principal. Na vibración principal, os nodos non vibran. A figura 10 mostra varios modos típicos da placa circular soportada circunferencialmente con algunhas liñas nodais compostas por círculos e diámetros.
A formulación exacta do problema de vibración do elastómero pódese concluír como o problema de valor límite das ecuacións diferenciais parciais. Non obstante, a solución exacta só se pode atopar nalgúns dos casos máis sinxelos, polo que temos que recorrer á solución aproximada para o problema complexo de vibración do elastómero. A esencia de varias solucións aproximadas é cambiar o infinito a finito, é dicir, discretizar o sistema de varios graos de liberdade sen extremidades (sistema continuo) nun sistema finito de varios graos de liberdade (sistema discreto). Existen dous tipos de métodos de discretización amplamente utilizados na análise de enxeñaría: o método dos elementos finitos e o método de síntese modal.
FIG. 9 modo de cadea
FIG. 10 modo de placa circular
O método dos elementos finitos é unha estrutura composta que abstrae unha estrutura complexa nun número finito de elementos e os conecta nun número finito de nodos. Cada unidade é un elastómero; o desprazamento de distribución do elemento exprésase mediante a función de interpolación do desprazamento do nodo. Despois, os parámetros de distribución de cada elemento concéntranse en cada nodo nun determinado formato e obtense o modelo mecánico do sistema discreto.
A síntese modal é a descomposición dunha estrutura complexa en varias subestruturas máis simples. Baseándose na comprensión das características de vibración de cada subestrutura, a subestrutura sintetízase nunha estrutura xeral segundo as condicións de coordinación na interface e a morfoloxía de vibración da estrutura xeral obtense utilizando a morfoloxía de vibración de cada subestrutura.
Os dous métodos son diferentes e están relacionados, e pódense usar como referencia. O método de síntese modal tamén se pode combinar eficazmente coa medición experimental para formar un método de análise teórica e experimental para a vibración de grandes sistemas.
Data de publicación: 03 de abril de 2020
