Vibrasyon lineyèElastisite konpozan ki nan sistèm nan sijè a lwa Hooke a, epi fòs amortisman ki pwodui pandan mouvman an pwopòsyonèl ak premye ekwasyon vitès jeneralize a (derive tan kowòdone jeneralize yo).
konsèp
Sistèm lineyè a anjeneral se yon modèl abstrè nan vibrasyon yon sistèm reyèl. Sistèm vibrasyon lineyè a aplike prensip sipèpozisyon an, sa vle di, si repons sistèm lan se y1 anba aksyon antre x1, epi y2 anba aksyon antre x2, alò repons sistèm lan anba aksyon antre x1 ak x2 se y1 + y2.
Sou baz prensip sipèpozisyon an, yon antre abitrè ka dekonpoze an sòm yon seri enpilsyon enfini, epi answit yo ka jwenn repons total sistèm nan. Sòm konpozan amonik yon eksitasyon peryodik ka elaji an yon seri konpozan amonik pa transfòmasyon Fourier, epi yo ka envestige efè chak konpozan amonik sou sistèm nan separeman. Se poutèt sa, karakteristik repons sistèm lineyè ak paramèt konstan yo ka dekri pa repons enpilsyon oswa repons frekans.
Repons enpilsyon an refere a repons sistèm nan bay enpilsyon inite a, ki karakterize karakteristik repons sistèm nan nan domèn tan an. Repons frekans lan refere a karakteristik repons sistèm nan bay antre amonik inite a. Korespondans ant de yo detèmine pa transfòmasyon Fourier la.
klasifikasyon
Vibrasyon lineyè a kapab divize an vibrasyon lineyè nan sistèm ki gen yon sèl degre libète ak vibrasyon lineyè nan sistèm ki gen plizyè degre libète.
(1) Vibrasyon lineyè nan yon sistèm ki gen yon sèl degre libète se yon vibrasyon lineyè ki gen pozisyon li ka detèmine pa yon kowòdone jeneralize. Li se vibrasyon ki pi senp lan kote anpil konsèp debaz ak karakteristik vibrasyon ka sòti. Li gen ladan vibrasyon amonik senp, vibrasyon lib, vibrasyon atenyasyon ak vibrasyon fòse.
Vibrasyon amonik senp: mouvman resipwòk yon objè nan vwazinaj pozisyon ekilib li dapre yon lwa sinisoyidal anba aksyon yon fòs restorasyon pwopòsyonèl ak deplasman li.
Vibrasyon amortisman: vibrasyon ki gen anplitid ki diminye kontinyèlman akòz prezans friksyon ak rezistans dyelèktrik oswa lòt konsomasyon enèji.
Vibrasyon fòse: vibrasyon yon sistèm anba eksitasyon konstan.
(2) Vibrasyon lineyè sistèm plizyè degre libète a se vibrasyon sistèm lineyè a ki gen n ≥ 2 degre libète. Yon sistèm ki gen n degre libète gen n frekans natirèl ak n mòd prensipal. Nenpòt konfigirasyon vibrasyon sistèm nan ka reprezante kòm yon konbinezon lineyè mòd prensipal yo. Se poutèt sa, metòd sipèpozisyon mòd prensipal la lajman itilize nan analiz repons dinamik sistèm plizyè degre libète. Nan fason sa a, mezi ak analiz karakteristik vibrasyon natirèl sistèm nan vin tounen yon etap woutin nan konsepsyon dinamik sistèm nan. Karakteristik dinamik sistèm plizyè degre libète yo kapab tou dekri pa karakteristik frekans. Piske gen yon fonksyon karakteristik frekans ant chak antre ak sòti, yo konstwi yon matris karakteristik frekans. Gen yon relasyon definitif ant karakteristik frekans lan ak mòd prensipal la. Koub karakteristik anplitid-frekans sistèm plizyè degre libète a diferan de sa ki nan sistèm yon sèl libète a.
Vibrasyon lineyè nan yon sistèm yon sèl degre libète
Yon vibrasyon lineyè kote yo ka detèmine pozisyon yon sistèm pa yon kowòdone jeneralize. Li se vibrasyon ki pi senp epi ki pi fondamantal kote yo ka sòti anpil konsèp ak karakteristik debaz vibrasyon. Li gen ladan vibrasyon amonik senp, vibrasyon amortisman ak vibrasyon fòse.
Vibrasyon amonik
Anba aksyon fòs restorasyon pwopòsyonèl ak deplasman an, objè a deplase nan yon fason sinisoyidal toupre pozisyon ekilib li (FIG. 1). X reprezante deplasman an epi t reprezante tan an. Ekspresyon matematik vibrasyon sa a se:
(1)Kote A se valè maksimòm deplasman x la, yo rele sa anplitid la, epi li reprezante entansite vibrasyon an; Omega n se ogmantasyon ang anplitid vibrasyon an pa segonn, yo rele sa frekans angilè a, oubyen frekans sikilè a; Yo rele sa faz inisyal la. An tèm de f= n/2, yo rele kantite osilasyon pa segonn frekans lan; Envès sa a, T=1/f, se tan li pran pou osile yon sik, yo rele sa peryòd la. Anplitid A, frekans f (oubyen frekans angilè n), faz inisyal la, ke yo rekonèt kòm vibrasyon amonik senp twa eleman yo.
FIG. 1 koub vibrasyon amonik senp
Jan yo montre nan FIG. 2, yon senp osilatè amonik fòme pa mas konsantre m ki konekte pa yon resò lineyè. Lè yo kalkile deplasman vibrasyon an apati pozisyon ekilib la, ekwasyon vibrasyon an se:
Ki kote se rèd prentan an. Solisyon jeneral pou ekwasyon ki anwo a se (1).A epi li ka detèmine pa pozisyon inisyal x0 ak vitès inisyal la nan t=0:
Men, omega n sèlman detèmine pa karakteristik sistèm nan li menm m ak k, endepandan de kondisyon inisyal adisyonèl yo, kidonk omega n ke yo rele tou frekans natirèl la.
FIG. 2 sistèm yon sèl degre libète
Pou yon osilatè amonik senp, sòm enèji sinetik li ak enèji potansyèl li konstan, sa vle di, enèji mekanik total sistèm nan konsève. Nan pwosesis vibrasyon an, enèji sinetik ak enèji potansyèl yo toujou ap transfòme youn nan lòt.
Vibrasyon amortisman an
Yon vibrasyon ki gen anplitid li a diminye kontinyèlman pa friksyon ak rezistans dyelèktrik oswa lòt konsomasyon enèji. Pou mikwo vibrasyon, vitès la jeneralman pa twò gwo, epi rezistans mwayen an pwopòsyonèl ak vitès la rive nan premye puisans lan, sa ka ekri kòm c se koyefisyan amortisman an. Se poutèt sa, ekwasyon vibrasyon yon degre libète ak amortisman lineyè ka ekri kòm:
(2)Kote, m =c/2m yo rele paramèt amortisman an, epi. Solisyon jeneral fòmil (2) an kapab ekri:
(3)Relasyon nimerik ant omega n ak PI a kapab divize an twa ka sa yo:
N > (nan ka ti amortisman) patikil ki pwodui vibrasyon atenuasyon, ekwasyon vibrasyon an se:
Anplitid li diminye avèk tan dapre lalwa eksponansyèl ki montre nan ekwasyon an, jan yo montre nan liy pwentiye a nan FIG. 3. Strikteman pale, vibrasyon sa a se aperiyodik, men frekans pik li a ka defini kòm:
Yo rele sa to rediksyon anplitid la, kote se peryòd vibrasyon an. Logaritm natirèl to rediksyon anplitid la rele logaritm mwens to (anplitid) la. Li evidan, =, nan ka sa a, egal a 2/1. Dirèkteman atravè tès eksperimantal la delta epi, lè l sèvi avèk fòmil ki anwo a, yo ka kalkile c.
Nan moman sa a, solisyon ekwasyon (2) an kapab ekri:
Ansanm ak direksyon vitès inisyal la, li kapab divize an twa ka ki pa gen vibrasyon jan yo montre nan FIG. 4.
N < (nan ka gwo amortisman), solisyon ekwasyon (2) an parèt nan ekwasyon (3). Nan pwen sa a, sistèm nan pa vibre ankò.
Vibrasyon fòse
Vibrasyon yon sistèm anba yon eksitasyon konstan. Analiz vibrasyon an sitou envestige repons sistèm nan an eksitasyon. Eksitasyon peryodik se yon eksitasyon regilye tipik. Piske eksitasyon peryodik la ka toujou dekonpoze an sòm plizyè eksitasyon amonik, dapre prensip sipèpozisyon an, se sèlman repons sistèm nan an chak eksitasyon amonik ki nesesè. Anba aksyon eksitasyon amonik la, ekwasyon diferansyèl mouvman yon sistèm ki gen yon sèl degre libète ki amortise ka ekri:
Repons lan se sòm de pati. Yon pati se repons vibrasyon amortise a, ki diminye rapidman avèk tan. Repons yon lòt pati vibrasyon fòse a ka ekri konsa:
FIG. 3 koub vibrasyon amortisman
FIG. 4 koub twa kondisyon inisyal ak amortisman kritik
Tape nan
H /F0= h (), se rapò ant anplitid repons konstan ak anplitid eksitasyon an, ki karakterize karakteristik anplitid-frekans, oubyen fonksyon genyen; Bit pou repons eta konstan ak ankourajman faz, karakterizasyon karakteristik frekans faz. Relasyon ki genyen ant yo ak frekans eksitasyon an montre nan FIG. 5 ak FIG. 6.
Jan nou ka wè nan koub anplitid-frekans lan (FIG. 5), nan ka yon ti amortisman, koub anplitid-frekans lan gen yon sèl pik. Plis amortisman an piti, se plis pik la apik; Frekans ki koresponn ak pik la rele frekans rezonans sistèm nan. Nan ka yon ti amortisman, frekans rezonans lan pa twò diferan de frekans natirèl la. Lè frekans eksitasyon an pre frekans natirèl la, anplitid la ogmante rapidman. Fenomèn sa a rele rezonans. Nan rezonans, gen sistèm nan maksimize, sa vle di, vibrasyon fòse a pi entans. Se poutèt sa, an jeneral, toujou fè efò pou evite rezonans, sof si gen kèk enstriman ak ekipman ki itilize rezonans pou reyalize gwo vibrasyon.
FIG. 5 koub frekans anplitid
Nou ka wè sa nan koub frekans faz la (figi 6), kèlkeswa gwosè amortisman an, nan bit diferans faz omega zewo = PI / 2, karakteristik sa a ka itilize efektivman nan mezire rezonans.
Anplis eksitasyon konstan, sistèm yo pafwa rankontre eksitasyon enstab. Li ka divize an de kalite: youn se enpak sibit la. Dezyèm lan se efè dirab abitrè a. Anba eksitasyon enstab, repons sistèm nan tou enstab.
Yon zouti pwisan pou analize vibrasyon enstab se metòd repons enpilsyon an. Li dekri karakteristik dinamik sistèm nan ak repons pasajè enpilsyon inite sistèm nan. Enpilsyon inite a ka eksprime kòm yon fonksyon delta. Nan jeni, fonksyon delta a souvan defini kòm:
Kote 0- reprezante pwen sou aks t la ki apwoche zewo soti agoch; 0 plis se pwen ki ale nan 0 soti adwat.
FIG. 6 koub frekans faz
FIG. 7 nenpòt antre ka konsidere kòm sòm yon seri eleman enpilsyon
Sistèm nan koresponn ak repons h(t) ki pwodui pa enpilsyon inite a nan t=0, ke yo rele fonksyon repons enpilsyon an. Sipoze ke sistèm nan estasyonè anvan enpilsyon an, h(t)=0 pou t<0. Lè nou konnen fonksyon repons enpilsyon sistèm nan, nou ka jwenn repons sistèm nan a nenpòt antre x(t). Nan pwen sa a, ou ka panse a x(t) kòm sòm yon seri eleman enpilsyon (FIG. 7). Repons sistèm nan se:
Baze sou prensip sipèpozisyon an, repons total sistèm ki koresponn ak x(t) la se:
Entegral sa a rele yon entegral konvolisyon oubyen yon entegral sipèpozisyon.
Vibrasyon lineyè nan yon sistèm plizyè degre libète
Vibrasyon yon sistèm lineyè ak n≥2 degre libète.
Figi 8 la montre de senp sousistèm rezonans ki konekte pa yon resò kouplaj. Paske li se yon sistèm de degre libète, de kowòdone endepandan nesesè pou detèmine pozisyon li. Gen de frekans natirèl nan sistèm sa a:
Chak frekans koresponn ak yon mòd vibrasyon. Osilatè amonik yo fè osilasyon amonik nan menm frekans lan, yo pase senkronize nan pozisyon ekilib la epi yo rive nan pozisyon ekstrèm nan senkronize. Nan vibrasyon prensipal ki koresponn ak omega en, x1 egal a x2; Nan vibrasyon prensipal ki koresponn ak omega omega de, omega omega en. Nan vibrasyon prensipal la, rapò deplasman chak mas kenbe yon sèten relasyon epi li fòme yon sèten mòd, yo rele sa mòd prensipal la oswa mòd natirèl la. Ortogonalite mas ak rèd egziste pami mòd prensipal yo, sa ki reflete endepandans chak vibrasyon. Frekans natirèl la ak mòd prensipal la reprezante karakteristik vibrasyon enheran sistèm libète milti-degre a.
FIG. 8 sistèm ak plizyè degre libète
Yon sistèm ki gen n degre libète gen n frekans natirèl ak n mòd prensipal. Nenpòt konfigirasyon vibrasyon sistèm nan ka reprezante kòm yon konbinezon lineyè mòd prensipal yo. Se poutèt sa, metòd sipèpozisyon mòd prensipal la lajman itilize nan analiz repons dinamik sistèm milti-dof. Nan fason sa a, mezi ak analiz karakteristik vibrasyon natirèl sistèm nan vin tounen yon etap woutin nan konsepsyon dinamik sistèm nan.
Karakteristik dinamik sistèm milti-dof yo kapab dekri tou pa karakteristik frekans. Piske gen yon fonksyon karakteristik frekans ant chak antre ak sòti, yo konstwi yon matris karakteristik frekans. Koub karakteristik anplitid-frekans sistèm milti-libète a diferan de koub sistèm yon sèl libète a.
Elastomè a vibre
Sistèm plizyè degre libète ki anwo a se yon modèl mekanik apwoksimatif elastomè a. Yon elastomè gen yon kantite enfini degre libète. Gen yon diferans kantitatif men pa gen okenn diferans esansyèl ant de yo. Nenpòt elastomè gen yon kantite enfini frekans natirèl ak yon kantite enfini mòd korespondan, epi gen ortogonalite ant mòd mas ak rèd yo. Nenpòt konfigirasyon vibrasyonèl elastomè a kapab reprezante tou kòm yon sipèpozisyon lineyè mòd prensipal yo. Se poutèt sa, pou analiz repons dinamik elastomè a, metòd sipèpozisyon mòd prensipal la toujou aplikab (gade vibrasyon lineyè elastomè a).
Pran vibrasyon yon kòd. Ann sipoze yon kòd mens ki gen mas m pou chak inite longè, longè l, gen tansyon nan tou de bout yo, epi tansyon an se T. Nan moman sa a, frekans natirèl kòd la detèmine pa ekwasyon sa a:
F =na/2l (n= 1,2,3…).
Kote, se vitès pwopagasyon ond transvèsal la sou direksyon kòd la. Frekans natirèl kòd yo se miltip frekans fondamantal la sou 2l. Miltiplikasyon antye sa a mennen nan yon estrikti amonik agreyab. An jeneral, pa gen okenn relasyon miltip antye konsa pami frekans natirèl elastomè a.
Twa premye mòd kòd tansyon an yo montre nan FIG. 9. Gen kèk ne sou koub mòd prensipal la. Nan vibrasyon prensipal la, ne yo pa vibre. FIG. 10 montre plizyè mòd tipik plak sikilè ki sipòte sikonferansyèlman ak kèk liy ne ki konpoze de sèk ak dyamèt.
Nou ka konkli fòmilasyon egzak pwoblèm vibrasyon elastomè a kòm pwoblèm valè limit ekwasyon diferansyèl pasyèl yo. Sepandan, nou ka jwenn solisyon egzak la sèlman nan kèk nan ka ki pi senp yo, kidonk nou oblije itilize solisyon apwoksimatif pou pwoblèm vibrasyon elastomè konplèks la. Esans divès solisyon apwoksimatif yo se chanje enfini an fini, sa vle di, diskretize sistèm plizyè degre libète san branch lan (sistèm kontinyèl) an yon sistèm plizyè degre libète fini (sistèm diskrè). Gen de kalite metòd diskretizasyon ki lajman itilize nan analiz jeni: metòd eleman fini ak metòd sentèz modal.
FIG. 9 mòd fisèl la
FIG. 10 mòd plak sikilè a
Metòd eleman fini an se yon estrikti konpoze ki divize yon estrikti konplèks an yon kantite fini eleman epi konekte yo nan yon kantite fini ne. Chak inite se yon elastomè; Deplasman distribisyon eleman an eksprime pa fonksyon entèpolasyon deplasman ne a. Lè sa a, paramèt distribisyon chak eleman yo konsantre sou chak ne nan yon fòma espesifik, epi yo jwenn modèl mekanik sistèm disrè a.
Sentèz modal se dekonpozisyon yon estrikti konplèks an plizyè sou-estrikti ki pi senp. Sou baz konpreyansyon karakteristik vibrasyon chak sou-estrikti, yo sentetize sou-estrikti a nan yon estrikti jeneral dapre kondisyon kowòdinasyon yo sou koòdone a, epi yo jwenn mòfoloji vibrasyon estrikti jeneral la lè yo itilize mòfoloji vibrasyon chak sou-estrikti.
De metòd yo diferan e yo gen rapò, epi yo ka itilize kòm referans. Metòd sentèz modal la kapab tou konbine avèk mezi eksperimantal la pou fòme yon metòd analiz teyorik ak eksperimantal pou vibrasyon gwo sistèm yo.
Dat piblikasyon: 3 avril 2020
