Што такое лінейныя вібрацыі?

Лінейная вібрацыя: пругкасць кампанентаў сістэмы падпарадкоўваецца закону Гука, а сіла затухання, якая ўзнікае падчас руху, прапарцыйная першаму ўраўненню абагульненай хуткасці (вытворнай па часе ад абагульненых каардынат).

канцэпцыя

Лінейная сістэма звычайна з'яўляецца абстрактнай мадэллю вібрацыі рэальнай сістэмы. Лінейная вібрацыйная сістэма выкарыстоўвае прынцып суперпазіцыі, гэта значыць, калі рэакцыя сістэмы роўная y1 пад уздзеяннем уваходнага сігналу x1 і y2 пад уздзеяннем уваходнага сігналу x2, то рэакцыя сістэмы пад уздзеяннем уваходных сігналаў x1 і x2 роўная y1+y2.

На аснове прынцыпу суперпазіцыі адвольны ўваходны сігнал можна раскласці на суму серыі бясконца малых імпульсаў, і тады можна атрымаць агульную рэакцыю сістэмы. Суму гарманічных кампанент перыядычнага ўзбуджэння можна раскласці на серыю гарманічных кампанентаў з дапамогай пераўтварэння Фур'е, і ўплыў кожнага гарманічнага кампанента на сістэму можна даследаваць асобна. Такім чынам, характарыстыкі рэакцыі лінейных сістэм з пастаяннымі параметрамі можна апісаць імпульснай рэакцыяй або частотнай рэакцыяй.

Імпульсная рэакцыя адносіцца да рэакцыі сістэмы на адзінкавы імпульс, які характарызуе характарыстыкі рэакцыі сістэмы ў часовай вобласці. Частотная рэакцыя адносіцца да характарыстыкі рэакцыі сістэмы на ўваходны гармонік адзінкі. Адпаведнасць паміж імі вызначаецца пераўтварэннем Фур'е.

класіфікацыя

Лінейныя вібрацыі можна падзяліць на лінейныя вібрацыі сістэмы з адной ступенню свабоды і лінейныя вібрацыі сістэмы з некалькімі ступенямі свабоды.

(1) лінейныя ваганні сістэмы з адной ступенню свабоды — гэта лінейныя ваганні, становішча якіх можна вызначыць абагульненай каардынатай. Гэта найпрасцейшыя ваганні, з якіх можна атрымаць многія асноўныя паняцці і характарыстыкі ваганняў. Яны ўключаюць простыя гарманічныя ваганні, свабодныя ваганні, ваганні з затуханнем і вымушаныя ваганні.

Простае гарманічнае ваганне: зваротна-паступальны рух аб'екта паблізу яго становішча раўнавагі паводле сінусаідальнага закона пад дзеяннем аднаўляльнай сілы, прапарцыйнай яго перамяшчэнню.

Затухаючая вібрацыя: вібрацыя, амплітуда якой пастаянна памяншаецца з-за трэння і дыэлектрычнага супраціўлення або іншых фактараў спажывання энергіі.

Вымушаная вібрацыя: вібрацыя сістэмы пад пастаянным узбуджэннем.

(2) лінейныя вібрацыі сістэмы з некалькімі ступенямі свабоды — гэта вібрацыі лінейнай сістэмы з n ≥ 2 ступенямі свабоды. Сістэма з n ступеняў свабоды мае n уласных частот і n асноўных мод. Любую канфігурацыю вібрацый сістэмы можна прадставіць як лінейную камбінацыю асноўных мод. Такім чынам, метад суперпазіцыі асноўных мод шырока выкарыстоўваецца ў аналізе дынамічнага водгуку сістэм з некалькімі ступенямі свабоды. Такім чынам, вымярэнне і аналіз уласных характарыстык вібрацый сістэмы становіцца звычайным этапам дынамічнага праектавання сістэмы. Дынамічныя характарыстыкі сістэм з некалькімі ступенямі свабоды таксама можна апісаць частотнымі характарыстыкамі. Паколькі паміж кожным уваходам і выхадам існуе частотная характарыстыка, будуецца матрыца частотных характарыстык. Існуе пэўная сувязь паміж частотнай характарыстыкай і асноўным модам. Крывая амплітудна-частотнай характарыстыкі сістэмы з некалькімі ступенямі свабоды адрозніваецца ад крывой сістэмы з адной свабодай.

Лінейныя ваганні сістэмы з адной ступенню свабоды

Лінейнае ваганне, пры якім становішча сістэмы можа быць вызначана абагульненай каардынатай. Гэта найпрасцейшае і найбольш фундаментальнае ваганне, з якога можна атрымаць многія асноўныя паняцці і характарыстыкі вібрацыі. Яно ўключае ў сябе простае гарманічнае ваганне, затухаючае ваганне і вымушанае ваганне.

Гарманічныя ваганні

Пад дзеяннем аднаўляльнай сілы, прапарцыйнай зрушэнню, аб'ект здзяйсняе зваротна-паступальны рух сінусаідальна паблізу свайго становішча раўнавагі (мал. 1). X абазначае зрушэнне, а t — час. Матэматычны выраз гэтай ваганні мае выгляд:

(1)Дзе A — максімальнае значэнне зрушэння x, якое называецца амплітудай і прадстаўляе інтэнсіўнасць вібрацыі; Ω n — гэта прырашчэнне амплітуды вібрацыі ў секунду, якое называецца вуглавой частатой або кругавой частатой; гэта называецца пачатковай фазай. У тэрмінах f = n/2 колькасць ваганняў у секунду называецца частатой; адваротная велічыня, T = 1/f, — гэта час, неабходны для аднаго цыклу ваганняў, і гэта называецца перыядам. Амплітуда A, частата f (або вуглавая частата n), пачатковая фаза, вядомая як простая гарманічная вібрацыя з трох элементаў.

МАЛ. 1 простая гарманічная крывая ваганняў

Як паказана на мал. 2, просты гарманічны асцылятар утвораны канцэнтраванай масай m, злучанай лінейнай спружынай. Калі вібрацыйнае зрушэнне вылічваецца з становішча раўнавагі, ураўненне вібрацый мае выгляд:

Дзе — калянасць спружыны. Агульнае рашэнне вышэйпаказанага ўраўнення мае выгляд (1). А і можа быць вызначана пачатковым становішчам x0 і пачатковай хуткасцю пры t=0:

Але амега n вызначаецца толькі характарыстыкамі самой сістэмы m і k, незалежна ад дадатковых пачатковых умоў, таму амега n таксама вядома як уласная частата.

РЫС. 2 сістэма з адной ступенню свабоды

Для простага гарманічнага асцылятара сума яго кінетычнай энергіі і патэнцыяльнай энергіі пастаянная, гэта значыць поўная механічная энергія сістэмы захоўваецца. У працэсе вібрацыі кінетычная і патэнцыяльная энергія пастаянна пераўтвараюцца адна ў адну.

Затухальныя вібрацыі

Вібрацыя, амплітуда якой пастаянна аслабляецца трэннем і дыэлектрычным супраціўленнем або іншымі спосабамі спажывання энергіі. Для мікравібрацыі хуткасць звычайна не вельмі вялікая, а супраціўленне асяроддзя прапарцыйнае хуткасці ў першай ступені, што можна запісаць як c - каэфіцыент затухання. Такім чынам, ураўненне вібрацыі адной ступені свабоды з лінейным затуханнем можна запісаць наступным чынам:

(2)Дзе m = c/2m называецца параметрам затухання, а. Агульнае рашэнне формулы (2) можна запісаць як:

(3)Лікавую сувязь паміж амега-n і π можна падзяліць на наступныя тры выпадкі:

N > (у выпадку малога затухання) ваганні, выкліканыя часціцамі, маюць выгляд:

Яго амплітуда памяншаецца з часам у адпаведнасці з экспанентным законам, паказаным у раўнанні, як паказана пункцірнай лініяй на мал. 3. Строга кажучы, гэта ваганне неперыядычнае, але частату яго піка можна вызначыць як:

Называецца хуткасцю зніжэння амплітуды, дзе — перыяд ваганняў. Натуральны лагарыфм хуткасці зніжэння амплітуды называецца лагарыфмам мінус хуткасць (амплітуда). Відавочна, што ў гэтым выпадку = роўна 2/1. Непасрэдна праз эксперыментальную дэльту і , выкарыстоўваючы прыведзеную вышэй формулу, можна вылічыць c.

У гэты момант рашэнне ўраўнення (2) можна запісаць як:

Разам з напрамкам пачатковай хуткасці, яе можна падзяліць на тры выпадкі без вібрацый, як паказана на мал. 4.

N < (у выпадку вялікага затухання), рашэнне ўраўнення (2) паказана ў ўраўненні (3). У гэты момант сістэма больш не вібруе.

Вымушаная вібрацыя

Вібрацыя сістэмы пры пастаянным узбуджэнні. Аналіз вібрацый у асноўным даследуе рэакцыю сістэмы на ўзбуджэнне. Перыядычнае ўзбуджэнне — гэта тыповае рэгулярнае ўзбуджэнне. Паколькі перыядычнае ўзбуджэнне заўсёды можна раскласці на суму некалькіх гарманічных узбуджэнняў, згодна з прынцыпам суперпазіцыі, патрабуецца толькі рэакцыя сістэмы на кожнае гарманічнае ўзбуджэнне. Пад дзеяннем гарманічнага ўзбуджэння дыферэнцыяльнае ўраўненне руху сістэмы з адной ступенню свабоды з затуханнем можна запісаць наступным чынам:

Рэакцыя складаецца з дзвюх частак. Адна частка — гэта рэакцыя на затухаючую вібрацыю, якая хутка згасае з часам. Рэакцыя іншай часткі на вымушаную вібрацыю можна запісаць:

Мал. 3 крывая затухаючых ваганняў

Мал. 4 крывыя трох пачатковых умоў з крытычным затуханнем

Увядзіце

H /F0= h (), — стаўленне амплітуды ўсталяванай рэакцыі да амплітуды ўзбуджэння, якое характарызуе амплітудна-частотныя характарыстыкі або функцыю ўзмацнення; біты для ўсталяванай рэакцыі і стымулявання фазы, характарыстыка фазава-частотных характарыстык. Сувязь паміж імі і частатой ўзбуджэння паказана на мал. 5 і мал. 6.

Як відаць з крывой амплітуда-частота (мал. 5), у выпадку малога затухання крывая амплітуда-частота мае адзін пік. Чым меншае затуханне, тым больш стромкі пік; частата, якая адпавядае піку, называецца рэзананснай частатой сістэмы. У выпадку малога затухання рэзанансная частата не моцна адрозніваецца ад уласнай частаты. Калі частата ўзбуджэння блізкая да ўласнай частаты, амплітуда рэзка павялічваецца. Гэтая з'ява называецца рэзанансам. Пры рэзанансе каэфіцыент узмацнення сістэмы максімальны, гэта значыць вымушаныя ваганні найбольш інтэнсіўныя. Таму, як правіла, заўсёды імкнуцца пазбягаць рэзанансу, калі толькі некаторыя прыборы і абсталяванне не выкарыстоўваюць рэзананс для дасягнення вялікіх ваганняў.

Мал. 5 крывая амплітуды і частаты

З крывой фазавай частаты (малюнак 6) відаць, што незалежна ад велічыні затухання, пры нулявой рознасці фаз амега-біт = PI / 2, гэтая характарыстыка можа быць эфектыўна выкарыстана пры вымярэнні рэзанансу.

Акрамя ўстойлівага ўзбуджэння, сістэмы часам сутыкаюцца з неўстойлівым узбуджэннем. Яго можна ўмоўна падзяліць на два тыпы: першы — гэта раптоўны ўдар. Другі — гэта працяглы эфект адвольнасці. Пры неўстойлівым узбуджэнні рэакцыя сістэмы таксама неўстойлівая.

Магутным інструментам для аналізу нестацыянарных вібрацый з'яўляецца метад імпульснай рэакцыі. Ён апісвае дынамічныя характарыстыкі сістэмы з дапамогай пераходнай рэакцыі адзінкавага імпульснага ўваходу сістэмы. Адзінкавы імпульс можна выразіць як дэльта-функцыю. У тэхніцы дэльта-функцыя часта вызначаецца як:

Дзе 0- — гэта кропка на восі t, якая імкнецца да нуля злева; 0 плюс — гэта кропка, якая імкнецца да 0 справа.

Мал. 6 Крывая фазнай частаты

РЫС. 7 любы ўваходны сігнал можна разглядаць як суму серыі імпульсных элементаў

Сістэма адпавядае рэакцыі h(t), згенераванай адзінкавым імпульсам пры t=0, якая называецца функцыяй імпульснай рэакцыі. Калі выказаць здагадку, што сістэма нерухомая перад імпульсам, h(t)=0 пры t<0. Ведаючы функцыю імпульснай рэакцыі сістэмы, мы можам знайсці рэакцыю сістэмы на любы ўваходны сігнал x(t). У гэты момант можна ўявіць x(t) як суму серыі імпульсных элементаў (мал. 7). Рэакцыя сістэмы:

Зыходзячы з прынцыпу суперпазіцыі, поўны адказ сістэмы, які адпавядае x(t), мае выгляд:

Гэты інтэграл называецца згортачным інтэгралам або інтэгралам суперпазіцыі.

Лінейныя ваганні сістэмы з некалькімі ступенямі свабоды

Вібрацыя лінейнай сістэмы з n≥2 ступенямі свабоды.

На малюнку 8 паказаны дзве простыя рэзанансныя падсістэмы, злучаныя злучальнай спружынай. Паколькі гэта сістэма з дзвюма ступенямі свабоды, для вызначэння яе становішча патрэбныя дзве незалежныя каардынаты. У гэтай сістэме ёсць дзве ўласныя частоты:

Кожная частата адпавядае пэўнай моды вібрацыі. Гарманічныя асцылятары здзяйсняюць гарманічныя ваганні адной частаты, сінхронна праходзячы праз становішча раўнавагі і сінхронна дасягаючы крайняга становішча. У асноўнай вібрацыі, якая адпавядае амега адзін, x1 роўна x2; у асноўнай вібрацыі, якая адпавядае амега амега два, амега амега адзін. У асноўнай вібрацыі каэфіцыент зрушэння кожнай масы захоўвае пэўную сувязь і ўтварае пэўны рэжым, які называецца асноўным рэжымам або натуральным рэжымам. Паміж асноўнымі рэжымамі існуе артаганальнасць масы і калянасці, што адлюстроўвае незалежнасць кожнага вібрацыі. Уласная частата і асноўны рэжым прадстаўляюць уласцівыя характарыстыкі вібрацыі шматступеннай сістэмы свабоды.

РЫС. 8 сістэма з некалькімі ступенямі свабоды

Сістэма з n ступеняў свабоды мае n уласных частот і n асноўных мод. Любую канфігурацыю вібрацый сістэмы можна прадставіць як лінейную камбінацыю асноўных мод. Такім чынам, метад суперпазіцыі асноўных мод шырока выкарыстоўваецца ў аналізе дынамічнага водгуку шматступенчатых сістэм. Такім чынам, вымярэнне і аналіз уласных характарыстык вібрацый сістэмы становіцца руцінным этапам дынамічнага праектавання сістэмы.

Дынамічныя характарыстыкі шматступенчатых сістэм таксама можна апісаць частотнымі характарыстыкамі. Паколькі паміж кожным уваходам і выхадам існуе частотная характарыстыка, будуецца матрыца частотных характарыстык. Амплітудна-частотная характарыстыка шматступенчатай сістэмы адрозніваецца ад крывой аднаступенчатай сістэмы.

Эластамер вібруе

Вышэйпаказаная сістэма з некалькімі ступенямі свабоды з'яўляецца прыблізнай механічнай мадэллю эластомера. Эластомер мае бясконцую колькасць ступеней свабоды. Паміж імі існуе колькасная розніца, але няма істотнай. Любы эластомер мае бясконцую колькасць уласных частот і бясконцую колькасць адпаведных мод, і існуе артаганальнасць паміж модамі масы і калянасці. Любую вібрацыйную канфігурацыю эластомера таксама можна прадставіць як лінейную суперпазіцыю асноўных мод. Такім чынам, для аналізу дынамічнага водгуку эластомера метад суперпазіцыі асноўных мод усё яшчэ прыдатны (гл. лінейныя вібрацыі эластомера).

Возьмем ваганні струны. Дапусцім, што тонкая струна масай m на адзінку даўжыні, даўжынёй l, нацягнутая з абодвух канцоў, і нацяжэнне роўнае T. У гэты момант уласная частата струны вызначаецца наступным ураўненнем:

F = na/2l (n = 1, 2, 3…).

Дзе — хуткасць распаўсюджвання папярочнай хвалі ўздоўж кірунку струны. Уласныя частоты струн аказваюцца кратнымі асноўнай частаце больш за 2l. Гэтая цэлаліковая кратнасць прыводзіць да прыемнай гарманічнай структуры. У цэлым, такой цэлалікавай кратнасці паміж уласнымі частотамі эластомера няма.

Першыя тры моды нацягнутай струны паказаны на мал. 9. На крывой асноўнага мода ёсць некалькі вузлоў. Пры асноўнай вібрацыі вузлы не вібруюць. На мал. 10 паказаны некалькі тыповых мод акружнай круглай пласціны з некаторымі вузлавымі лініямі, якія складаюцца з акружнасцей і дыяметраў.

Дакладную фармулёўку задачы вібрацыі эластамера можна заключыць як краёвую задачу дыферэнцыяльных ураўненняў у частных вытворных. Аднак дакладнае рашэнне можна знайсці толькі ў некаторых з самых простых выпадкаў, таму нам даводзіцца звяртацца да прыбліжанага рашэння для складанай задачы вібрацыі эластамера. Сутнасць розных прыбліжных рашэнняў заключаецца ў пераўтварэнні бясконцага ў канечнае, гэта значыць у дыскрэтызацыі шматступеннай сістэмы свабоды без канечнасцяў (бесперапыннай сістэмы) у канечную шматступенную сістэму свабоды (дыскрэтную сістэму). У інжынерным аналізе шырока выкарыстоўваюцца два віды метадаў дыскрэтызацыі: метад канчатковых элементаў і метад мадальнага сінтэзу.

РЫС. 9 рэжым струны

РЫС. 10 рэжым круглай пласціны

Метад канчатковых элементаў — гэта кампазітная структура, якая абстрагуе складаную структуру на канечную колькасць элементаў і злучае іх у канечнай колькасці вузлоў. Кожная адзінка — гэта эластамер; размеркаванне зрушэння элемента выражаецца інтэрпаляцыйнай функцыяй зрушэння вузла. Затым параметры размеркавання кожнага элемента канцэнтруюцца ў кожным вузле ў пэўным фармаце, і атрымліваецца механічная мадэль дыскрэтнай сістэмы.

Мадальны сінтэз — гэта раскладанне складанай структуры на некалькі больш простых падструктур. На падставе разумення вібрацыйных характарыстык кожнай падструктуры падструктура сінтэзуецца ў агульную структуру ў адпаведнасці з умовамі каардынацыі на мяжы падзелу, і марфалогія вібрацыі агульнай структуры атрымліваецца з выкарыстаннем марфалогіі вібрацыі кожнай падструктуры.

Гэтыя два метады розныя і звязаныя паміж сабой, і могуць быць выкарыстаны ў якасці арыенціру. Метад мадальнага сінтэзу таксама можа быць эфектыўна спалучаны з эксперыментальнымі вымярэннямі для стварэння тэарэтычнага і эксперыментальнага метаду аналізу вібрацыі вялікіх сістэм.