Што такое лінейная вібрацыя?

Лінейная вібрацыя: пругкасць кампанентаў у сістэме падпарадкоўваецца закону Гука, а дэмпфуючая сіла, якая ўтвараецца падчас руху, прапарцыянальная першаму раўнанню абагульненай хуткасці (вытворная па часе ад абагульненых каардынат).

канцэпцыя

Лінейная сістэма звычайна з'яўляецца абстрактнай мадэллю вібрацыі рэальнай сістэмы. Лінейная вібрацыйная сістэма прымяняе прынцып суперпазіцыі, гэта значыць, калі рэакцыя сістэмы роўна y1 пад дзеяннем уваходнага сігналу x1 і y2 пад дзеяннем уваходнага сігналу x2, тады адказ сістэмы пад дзеяннем уваходных дадзеных x1 і x2 будзе y1+y2.

На падставе прынцыпу суперпазіцыі адвольны ўваходны сігнал можа быць раскладзены на суму серыі бясконца малых імпульсаў, і тады можа быць атрыманы агульны водгук сістэмы. Суму гарманічных кампанентаў перыядычнага ўзбуджэння можна раскласці ў шэраг гарманічных кампанентаў з дапамогай пераўтварэння Фур'е, і ўплыў кожнага гарманічнага кампанента на сістэму можна даследаваць асобна. Такім чынам, характарыстыкі водгуку лінейных сістэм з пастаяннымі параметрамі можна апісаць імпульснай характарыстыкай або частотнай характарыстыкай.

Імпульсная характарыстыка адносіцца да рэакцыі сістэмы на адзінкавы імпульс, які характарызуе характарыстыкі рэакцыі сістэмы ў часовай вобласці. Частотная характарыстыка адносіцца да характарыстыкі рэакцыі сістэмы на адзінкавы гарманічны ўваход. Вызначаецца адпаведнасць паміж імі пераўтварэннем Фур'е.

класіфікацыя

Лінейную вібрацыю можна падзяліць на лінейную вібрацыю сістэмы з адной ступенню свабоды і лінейную вібрацыю сістэмы з некалькімі ступенямі свабоды.

(1) лінейная вібрацыя сістэмы з адной ступенню свабоды - гэта лінейная вібрацыя, становішча якой можна вызначыць па абагульненай каардынаце. Гэта самая простая вібрацыя, з якой можна вывесці мноства асноўных паняццяў і характарыстык вібрацыі. Яна ўключае ў сябе простыя гарманічная вібрацыя, свабодная вібрацыя, вібрацыя згасання і вымушаная вібрацыя.

Простая гарманічная вібрацыя: зваротна-паступальны рух аб'екта ў раёне яго становішча раўнавагі па сінусоіднаму закону пад дзеяннем аднаўляючай сілы, прапарцыйнай яго зрушэнню.

Згасаючая вібрацыя: вібрацыя, амплітуда якой пастаянна аслабляецца прысутнасцю трэння і дыэлектрычнага супраціўлення або іншым спажываннем энергіі.

Вымушаная вібрацыя: вібрацыя сістэмы пры пастаянным узбуджэнні.

(2) лінейная вібрацыя сістэмы з некалькімі ступенямі свабоды - гэта вібрацыя лінейнай сістэмы з n≥2 ступенямі свабоды. Сістэма з n ступенямі свабоды мае n уласных частот і n асноўных рэжымаў. Любая канфігурацыя вібрацыі сістэмы можа быць прадстаўлена ў выглядзе лінейнай камбінацыі асноўных рэжымаў. Такім чынам, метад суперпазіцыі асноўнага рэжыму шырока выкарыстоўваецца ў аналізе дынамічнага водгуку сістэм з некалькімі прасторамі. Такім чынам, вымярэнне і аналіз характарыстык натуральнай вібрацыі сістэма становіцца звычайным крокам у дынамічнай канструкцыі сістэмы. Дынамічныя характарыстыкі сістэм з некалькімі ступенямі ступені здольнасці таксама можна апісаць частотнымі характарыстыкамі. Паколькі паміж кожным уваходам і выхадам існуе функцыя частотнай характарыстыкі, будуецца матрыца частотных характарыстык. гэта пэўная залежнасць паміж частатнай характарыстыкай і асноўным рэжымам. Крывая амплітудна-частотнай характарыстыкі сістэмы з некалькімі свабодамі адрозніваецца ад крывай з адной свабодай.

Лінейныя ваганні сістэмы з адной ступенню свабоды

Лінейная вібрацыя, у якой становішча сістэмы можа быць вызначана абагульненай каардынатай. Гэта самая простая і фундаментальная вібрацыя, з якой можна вывесці многія асноўныя паняцці і характарыстыкі вібрацыі. Яна ўключае простую гарманічную вібрацыю, згасаючую вібрацыю і вымушаную вібрацыю .

Гарманічная вібрацыя

Пад дзеяннем аднаўляючай сілы, прапарцыянальнай зрушэнню, аб'ект здзяйсняе зваротна-паступальны рух сінусоідным спосабам каля свайго становішча раўнавагі (МАЛ. 1). X уяўляе сабой зрушэнне, а t - час.Матэматычны выраз гэтай вібрацыі:

(1)Дзе A — максімальнае значэнне зрушэння x, якое называецца амплітудай і ўяўляе інтэнсіўнасць вібрацыі; Omega n — амплітуда прырашчэння вугла вібрацыі ў секунду, якая называецца вуглавой частатой або кругавой частатой; гэта называецца пачатковай фазай. З пункту гледжання f = n/2, колькасць ваганняў у секунду называецца частатой; адваротная значэнне, T = 1 / f, з'яўляецца часам, неабходным для ваганняў за адзін цыкл, і гэта называецца перыяд.Амплітуда A, частата f (або вуглавая частата n), пачатковая фаза, вядомая як простыя гарманічныя ваганні трох элементаў.

ФІГ.1 простая гарманічная крывая вібрацыі

Як паказана на мал.2, просты гарманічны асцылятар утвораны засяроджанай масай m, злучанай лінейнай спружынай. Калі вібрацыйнае зрушэнне разлічваецца ад становішча раўнавагі, ураўненне вібрацыі мае выгляд:

Дзе калянасць спружыны. Агульным рашэннем прыведзенага вышэй ураўнення з'яўляецца (1).A і можа быць вызначана пачатковым становішчам x0 і пачатковай хуткасцю пры t=0:

Але амега n вызначаецца толькі характарыстыкамі самой сістэмы m і k, незалежна ад дадатковых пачатковых умоў, таму амега n таксама вядомая як уласная частата.

ФІГ.Сістэма з 2 адзінкавымі ступенямі свабоды

Для простага гарманічнага асцылятара сума яго кінетычнай энергіі і патэнцыяльнай энергіі пастаянная, гэта значыць поўная механічная энергія сістэмы захоўваецца. У працэсе вібрацыі кінэтычная энергія і патэнцыяльная энергія пастаянна ператвараюцца адна ў адну.

Гашэнне вібрацыі

Вібрацыя, амплітуда якой пастаянна аслабляецца трэннем і дыэлектрычным супраціўленнем або іншым спажываннем энергіі. Для мікравібрацыі хуткасць звычайна не вельмі вялікая, а сярэдняе супраціўленне прапарцыянальна хуткасці ў першай ступені, што можна запісаць як с каэфіцыент згасання. Такім чынам, ураўненне ваганняў адной ступені свабоды з лінейным згасаннем можна запісаць так:

(2)Дзе m =c/2m называецца параметрам згасання, а агульнае рашэнне формулы (2) можна запісаць:

(3)Лікавую залежнасць паміж амегай n і PI можна падзяліць на наступныя тры выпадкі:

N> (у выпадку невялікага згасання) часціца, вырабленая згасаннем вібрацыі, ураўненне вібрацыі:

Яго амплітуда памяншаецца з часам у адпаведнасці з экспанентным законам, паказаным ва ўраўненні, як паказана пункцірам на мал.3. Строга кажучы, гэтая вібрацыя неперыядычная, але частата яе піка можа быць вызначана як:

Называецца хуткасцю памяншэння амплітуды, дзе - перыяд вібрацыі. Натуральны лагарыфм хуткасці памяншэння амплітуды называецца лагарыфмам мінус (амплітуда) хуткасці. Відавочна, што = у гэтым выпадку роўна 2/1. Непасрэдна праз эксперыментальны тэст дэльта і, выкарыстоўваючы прыведзеную вышэй формулу можа быць вылічана c.

У гэты час рашэнне ўраўнення (2) можна запісаць:

Разам з напрамкам пачатковай хуткасці яе можна падзяліць на тры выпадкі без вібрацыі, як паказана на мал.4.

N < (у выпадку вялікага згасання), рашэнне ўраўнення (2) паказана ва ўраўненні (3). У гэты момант сістэма больш не вібруе.

Вымушаная вібрацыя

Вібрацыя сістэмы пры пастаянным узбуджэнні. Аналіз вібрацыі ў асноўным даследуе рэакцыю сістэмы на ўзбуджэнне. Перыядычнае ўзбуджэнне з'яўляецца тыповым рэгулярным узбуджаннем. Паколькі перыядычнае ўзбуджэнне заўсёды можна раскласці на суму некалькіх гарманічных узбуджэнняў, у адпаведнасці з прынцыпам суперпазіцыі, толькі патрабуецца адказ сістэмы на кожнае гарманічнае ўзбуджэнне. Пад дзеяннем гарманічнага ўзбуджэння дыферэнцыяльнае ўраўненне руху сістэмы з затуханнем адной ступені свабоды можна запісаць:

Адказ складаецца з дзвюх частак.Адна частка - гэта рэакцыя згасаючай вібрацыі, якая з часам хутка згасае. Рэакцыю іншай часткі вымушанай вібрацыі можна запісаць:

ФІГ.3 затухаючая крывая вібрацыі

ФІГ.4 крывыя трох пачатковых умоў з крытычным згасаннем

Увядзіце

H /F0= h (), гэта стаўленне амплітуды ўстойлівай рэакцыі да амплітуды ўзбуджэння, якая характарызуе амплітудна-частотныя характарыстыкі або функцыю ўзмацнення; Біты для рэакцыі ў стацыянарным стане і стымул фазы, характарыстыка частатных характарыстык фазы. Суадносіны паміж імі і частата ўзбуджэння паказана на мал.5 і мал.6.

Як відаць з амплітудна-частотнай крывой (мал. 5), у выпадку невялікага згасання амплітудна-частотная крывая мае адзіны пік. Чым меншае згасанне, тым круцей пік; частата, якая адпавядае піку, роўная называецца рэзананснай частатой сістэмы. У выпадку малога згасання рэзанансная частата мала чым адрозніваецца ад уласнай частаты. Калі частата ўзбуджэння блізкая да ўласнай частаты, амплітуда рэзка ўзрастае.Гэта з'ява называецца рэзанансам. Пры рэзанансе каэфіцыент узмацнення сістэмы максімальны, гэта значыць вымушаная вібрацыя найбольш інтэнсіўная. Таму, у цэлым, заўсёды імкніцеся пазбягаць рэзанансу, за выключэннем выпадкаў, калі некаторыя інструменты і абсталяванне выкарыстоўваюць рэзананс для дасягнення вялікіх вібрацыя.

ФІГ.5 амплітудна-частотная крывая

Як відаць на частатнай крывой фазы (малюнак 6), незалежна ад памеру згасання, у амега-нулявой рознасці фаз = PI / 2, гэтая характарыстыка можа быць эфектыўна выкарыстана для вымярэння рэзанансу.

У дадатак да ўстойлівага ўзбуджэння сістэмы часам сутыкаюцца з няўстойлівым узбуджаннем. Яго можна ўмоўна падзяліць на два тыпу: адзін - гэта раптоўнае ўздзеянне. Другі - працяглы эфект адвольнасці. Пры няўстойлівым узбуджэнні рэакцыя сістэмы таксама няўстойлівая.

Магутным інструментам для аналізу няўстойлівай вібрацыі з'яўляецца метад імпульснай характарыстыкі. Ён апісвае дынамічныя характарыстыкі сістэмы з дапамогай пераходнай характарыстыкі адзінкавага імпульсу на ўваходзе сістэмы. Адзінкавы імпульс можна выказаць як дэльта-функцыю. У тэхніцы дэльта функцыя часта вызначаецца як:

Дзе 0- - гэта кропка на восі Т, якая набліжаецца да нуля злева; 0 плюс - гэта кропка, якая ідзе да 0 справа.

ФІГ.6-фазная частатная крывая

ФІГ.7 любы ўваход можна разглядаць як суму серыі імпульсных элементаў

Сістэма адпавядае рэакцыі h(t), генераванай адзінкавым імпульсам пры t=0, якая называецца функцыяй рэакцыі на імпульс. Пры ўмове, што сістэма стацыянарная перад імпульсам, h(t)=0 для t<0. функцыі імпульснай характарыстыкі сістэмы, мы можам знайсці рэакцыю сістэмы на любы ўваход x(t). У гэты момант вы можаце разглядаць x(t) як суму серыі імпульсных элементаў (мал. 7) .Адказ сістэмы:

Зыходзячы з прынцыпу суперпазіцыі, сумарны водгук сістэмы, які адпавядае x(t), складае:

Гэты інтэграл называецца інтэгралам згорткі або інтэгралам суперпазіцыі.

Лінейныя ваганні сістэмы з многімі ступенямі свабоды

Вібрацыя лінейнай сістэмы з n≥2 ступенямі свабоды.

На малюнку 8 паказаны дзве простыя рэзанансныя падсістэмы, злучаныя злучальнай спружынай. Паколькі гэта сістэма з дзвюма ступенямі свабоды, для вызначэння яе становішча неабходны дзве незалежныя каардынаты. У гэтай сістэме ёсць дзве ўласныя частоты:

Кожная частата адпавядае рэжыму вібрацыі. Гарманічныя асцылятары здзяйсняюць гарманічныя ваганні адной і той жа частоты, сінхронна праходзячы праз становішча раўнавагі і сінхронна дасягаючы крайняга становішча. У асноўнай вібрацыі, якая адпавядае амега-1, x1 роўна x2; In асноўная вібрацыя, якая адпавядае амега амега два, амега амега адна. У асноўнай вібрацыі каэфіцыент зрушэння кожнай масы захоўвае пэўныя адносіны і ўтварае пэўны рэжым, які называецца галоўным або натуральным рэжымам. Артаганальнасць масы і калянасць існуе сярод асноўных рэжымаў, што адлюстроўвае незалежнасць кожнай вібрацыі. Уласная частата і асноўны рэжым прадстаўляюць характэрныя характарыстыкі вібрацыі сістэмы з некалькімі ступенямі свабоды.

ФІГ.8 сістэма з некалькімі ступенямі свабоды

Сістэма з n ступеняў свабоды мае n уласных частот і n асноўных рэжымаў. Любую вібрацыйную канфігурацыю сістэмы можна прадставіць як лінейную камбінацыю асноўных рэжымаў. Такім чынам, метад суперпазіцыі асноўных рэжымаў шырока выкарыстоўваецца ў аналізе дынамічнага водгуку некалькіх -dof сістэмы. Такім чынам, вымярэнне і аналіз характарыстык натуральнай вібрацыі сістэмы становіцца звычайным этапам дынамічнага праектавання сістэмы.

Дынамічныя характарыстыкі сістэм з многімі ступенямі ступені здольнасці таксама можна апісаць частотнымі характарыстыкамі. Паколькі паміж кожным уваходам і выхадам існуе функцыя частотнай характарыстыкі, будуецца матрыца частотных характарыстык. Крывая амплітудна-частотнай характарыстыкі сістэмы з многімі свабодамі адрозніваецца ад сістэмы адзінай свабоды.

Эластамер вібруе

Прыведзеная вышэй сістэма з некалькімі ступенямі свабоды з'яўляецца прыблізнай механічнай мадэллю эластамера. Эластамер мае бясконцую колькасць ступеняў свабоды. Існуе колькасная розніца, але істотнай розніцы паміж імі няма. Любы эластамер мае бясконцую колькасць уласных частот і бясконцая колькасць адпаведных рэжымаў, і існуе артаганальнасць паміж рэжымамі масы і калянасці. Любую вібрацыйную канфігурацыю эластамера таксама можна прадставіць у выглядзе лінейнай суперпазіцыі асноўных рэжымаў. Такім чынам, для аналізу дынамічнага водгуку эластамера метад суперпазіцыі асноўнага рэжыму ўсё яшчэ прымяняецца (гл. лінейная вібрацыя эластамера).

Возьмем вібрацыю струны. Дапусцім, што тонкая струна масай m на адзінку даўжыні, даўжынёй l, нацягнутая з абодвух канцоў, і нацяжэнне роўна T. У гэты час уласная частата струны вызначаецца наступным чынам: раўнанне:

F = na/2l (n = 1,2,3…).

Дзе - хуткасць распаўсюджвання папярочнай хвалі ўздоўж напрамку струны. Уласныя частоты струн кратныя асноўнай частаце больш за 2l. Гэтая цэлая кратнасць прыводзіць да прыемнай гарманічнай структуры. Увогуле, няма такая цэлая множная сувязь паміж уласнымі частотамі эластамера.

Першыя тры рэжыму нацягнутай струны паказаны на мал.9. Ёсць некалькі вузлоў на крывой асноўнага рэжыму. Пры асноўнай вібрацыі вузлы не вібруюць. РИС.10 паказвае некалькі тыповых відаў круглай пласціны, якая падтрымліваецца па акружнасці, з некаторымі вузлавымі лініямі, якія складаюцца з акружнасцей і дыяметраў.

Дакладная пастаноўка задачы аб вібрацыі эластамера можа быць заключана як гранічная задача дыферэнцыяльных ураўненняў у частковых вытворных. Аднак дакладнае рашэнне можа быць знойдзена толькі ў некаторых з самых простых выпадкаў, таму мы павінны звярнуцца да прыбліжанага рашэння для складанага эластамера праблема вібрацыі. Сутнасць розных набліжаных рашэнняў заключаецца ў замене бясконцага на канечнае, гэта значыць у дыскрэтызацыі бесканечнай сістэмы з многімі ступенямі свабоды (бесперапыннай сістэмы) у канечную сістэму з многімі ступенямі свабоды (дыскрэтная сістэма) .Ёсць два віды метадаў дыскрэтызацыі, якія шырока выкарыстоўваюцца ў інжынерным аналізе: метад канечных элементаў і метад мадальнага сінтэзу.

ФІГ.9 спосаб радка

ФІГ.10 рэжым круглай пласціны

Метад канечных элементаў - гэта кампазітная структура, якая абстрагуе складаную структуру на канечную колькасць элементаў і злучае іх у канечнай колькасці вузлоў. Кожная адзінка ўяўляе сабой эластамер; зрушэнне размеркавання элемента выражаецца праз інтэрпаляцыйную функцыю зрушэння вузла. параметры размеркавання кожнага элемента канцэнтруюцца ў кожным вузле ў пэўным фармаце, і атрымліваецца механічная мадэль дыскрэтнай сістэмы.

Мадальны сінтэз - гэта разлажэнне складанай структуры на некалькі больш простых субструктур. На аснове разумення вібрацыйных характарыстык кожнай субструктуры субструктура сінтэзуецца ў агульную структуру ў адпаведнасці з умовамі каардынацыі на мяжы падзелу і марфалогіяй вібрацыі агульнай структура атрымліваецца з дапамогай вібрацыйнай марфалогіі кожнай падструктуры.

Гэтыя два метады розныя і звязаныя паміж сабой і могуць быць выкарыстаны ў якасці эталона. Метад мадальнага сінтэзу таксама можна эфектыўна спалучаць з эксперыментальнымі вымярэннямі для стварэння тэарэтычнага і эксперыментальнага метаду аналізу вібрацыі вялікіх сістэм.