Dridhje lineare: elasticiteti i komponentëve në sistem i nënshtrohet ligjit të Hukut, dhe forca e amortizimit e gjeneruar gjatë lëvizjes është proporcionale me ekuacionin e parë të shpejtësisë së përgjithësuar (derivati kohor i koordinatave të përgjithësuara).
koncept
Sistemi linear është zakonisht një model abstrakt i dridhjes së një sistemi real. Sistemi linear i dridhjeve zbaton parimin e mbivendosjes, domethënë, nëse përgjigja e sistemit është y1 nën veprimin e hyrjes x1 dhe y2 nën veprimin e hyrjes x2, atëherë përgjigja e sistemit nën veprimin e hyrjes x1 dhe x2 është y1+y2.
Në bazë të parimit të mbivendosjes, një hyrje arbitrare mund të zbërthehet në shumën e një serie impulsesh infinitesimale, dhe më pas mund të merret përgjigja totale e sistemit. Shuma e komponentëve harmonikë të një ngacmimi periodik mund të zgjerohet në një seri komponentësh harmonikë me anë të transformimit të Furierit, dhe efekti i secilit komponent harmonik në sistem mund të hetohet veçmas. Prandaj, karakteristikat e përgjigjes së sistemeve lineare me parametra konstantë mund të përshkruhen nga përgjigja impulsive ose përgjigja frekuencore.
Përgjigja impulsive i referohet përgjigjes së sistemit ndaj impulsit njësi, i cili karakterizon karakteristikat e përgjigjes së sistemit në domenin kohor. Përgjigja e frekuencës i referohet karakteristikës së përgjigjes së sistemit ndaj hyrjes harmonike njësi. Korrespondenca midis të dyjave përcaktohet nga transformimi i Furierit.
klasifikim
Dridhja lineare mund të ndahet në dridhje lineare të sistemit me një shkallë lirie dhe dridhje lineare të sistemit me shumë shkallë lirie.
(1) Dridhja lineare e një sistemi me një shkallë lirie është një dridhje lineare, pozicioni i së cilës mund të përcaktohet nga një koordinatë e përgjithësuar. Është dridhja më e thjeshtë nga e cila mund të nxirren shumë koncepte dhe karakteristika themelore të dridhjes. Përfshin dridhjen harmonike të thjeshtë, dridhjen e lirë, dridhjen e dobësimit dhe dridhjen e detyruar.
Dridhje harmonike e thjeshtë: lëvizja reciproke e një objekti në afërsi të pozicionit të tij të ekuilibrit sipas një ligji sinusoidal nën veprimin e një force rivendosëse proporcionale me zhvendosjen e tij.
Dridhje e amortizuar: dridhje, amplituda e së cilës dobësohet vazhdimisht nga prania e fërkimit dhe rezistencës dielektrike ose konsumit tjetër të energjisë.
Dridhje e detyruar: dridhje e një sistemi nën ngacmim të vazhdueshëm.
(2) Dridhja lineare e sistemit me shumë shkallë lirie është dridhja e sistemit linear me n≥2 gradë lirie. Një sistem me n gradë lirie ka n frekuenca natyrore dhe n moda kryesore. Çdo konfigurim dridhjeje i sistemit mund të përfaqësohet si një kombinim linear i modave kryesore. Prandaj, metoda e mbivendosjes së modalitetit kryesor përdoret gjerësisht në analizën dinamike të përgjigjes së sistemeve me shumë liri. Në këtë mënyrë, matja dhe analiza e karakteristikave të dridhjeve natyrore të sistemit bëhet një hap rutinë në projektimin dinamik të sistemit. Karakteristikat dinamike të sistemeve me shumë liri mund të përshkruhen gjithashtu nga karakteristikat e frekuencës. Meqenëse ekziston një funksion karakteristik i frekuencës midis çdo hyrjeje dhe daljeje, ndërtohet një matricë karakteristike e frekuencës. Ekziston një lidhje e përcaktuar midis karakteristikës së frekuencës dhe modalitetit kryesor. Kurba karakteristike amplitudë-frekuencë e sistemit me shumë liri është e ndryshme nga ajo e sistemit me një liri të vetme.
Dridhja lineare e një sistemi me një shkallë lirie
Një dridhje lineare në të cilën pozicioni i një sistemi mund të përcaktohet nga një koordinatë e përgjithësuar. Është dridhja më e thjeshtë dhe më themelore nga e cila mund të nxirren shumë koncepte dhe karakteristika themelore të dridhjes. Përfshin dridhjen e thjeshtë harmonike, dridhjen e amortizuar dhe dridhjen e detyruar.
Dridhje harmonike
Nën veprimin e forcës rivendosëse proporcionale me zhvendosjen, objekti lëviz në mënyrë sinusoidale pranë pozicionit të tij të ekuilibrit (FIG. 1). X përfaqëson zhvendosjen dhe t përfaqëson kohën. Shprehja matematikore e kësaj dridhjeje është:
(1)Ku A është vlera maksimale e zhvendosjes x, e cila quhet amplituda, dhe përfaqëson intensitetin e dridhjes; Omega n është rritja e këndit të amplitudës së dridhjes për sekondë, e cila quhet frekuenca këndore, ose frekuenca rrethore; Kjo quhet faza fillestare. Në terma të f= n/2, numri i lëkundjeve për sekondë quhet frekuencë; E anasjellta e kësaj, T=1/f, është koha që duhet për të lëkundur një cikël, dhe kjo quhet periudhë. Amplituda A, frekuenca f (ose frekuenca këndore n), faza fillestare, e njohur si dridhje e thjeshtë harmonike tre elementë.
FIG. 1 kurbë e thjeshtë e dridhjeve harmonike
Siç tregohet në FIG. 2, një oscilator harmonik i thjeshtë formohet nga masa e përqendruar m e lidhur nga një sustë lineare. Kur zhvendosja e dridhjes llogaritet nga pozicioni i ekuilibrit, ekuacioni i dridhjes është:
Ku është ngurtësia e sustës. Zgjidhja e përgjithshme për ekuacionin e mësipërm është (1).A dhe mund të përcaktohet nga pozicioni fillestar x0 dhe shpejtësia fillestare në t=0:
Por omega n përcaktohet vetëm nga karakteristikat e vetë sistemit m dhe k, pavarësisht nga kushtet fillestare shtesë, kështu që omega n njihet edhe si frekuenca natyrore.
FIG. 2 sistem me një shkallë lirie
Për një oscilator harmonik të thjeshtë, shuma e energjisë kinetike dhe energjisë potenciale është konstante, domethënë, energjia totale mekanike e sistemit ruhet. Në procesin e dridhjes, energjia kinetike dhe energjia potenciale transformohen vazhdimisht në njëra-tjetrën.
Dridhja zbutëse
Një dridhje, amplituda e së cilës dobësohet vazhdimisht nga fërkimi dhe rezistenca dielektrike ose konsumi tjetër i energjisë. Për mikrodridhjet, shpejtësia në përgjithësi nuk është shumë e madhe, dhe rezistenca e mjedisit është proporcionale me shpejtësinë në fuqi të parë, e cila mund të shkruhet si c është koeficienti i amortizimit. Prandaj, ekuacioni i dridhjes së një shkalle lirie me amortizim linear mund të shkruhet si:
(2)Ku, m =c/2m quhet parametri i amortizimit, dhe. Zgjidhja e përgjithshme e formulës (2) mund të shkruhet:
(3)Marrëdhënia numerike midis omega n dhe PI mund të ndahet në tre rastet e mëposhtme:
N > (në rastin e amortizimit të vogël) grimca prodhon dridhje të dobësimit, ekuacioni i dridhjes është:
Amplituda e saj zvogëlohet me kalimin e kohës sipas ligjit eksponencial të treguar në ekuacion, siç tregohet në vijën e ndërprerë në FIG. 3. Në mënyrë të rreptë, kjo dridhje është aperiodike, por frekuenca e kulmit të saj mund të përcaktohet si:
Quhet shpejtësia e reduktimit të amplitudës, ku është periudha e dridhjes. Logaritmi natyror i shpejtësisë së reduktimit të amplitudës quhet shpejtësia logaritmike minus (amplituda). Natyrisht, =, në këtë rast, është e barabartë me 2/1. Direkt përmes testit eksperimental delta dhe, duke përdorur formulën e mësipërme mund të llogaritet c.
Në këtë kohë, zgjidhja e ekuacionit (2) mund të shkruhet si më poshtë:
Së bashku me drejtimin e shpejtësisë fillestare, ajo mund të ndahet në tre raste pa dridhje siç tregohet në FIG. 4.
N < (në rastin e amortizimit të madh), zgjidhja e ekuacionit (2) tregohet në ekuacionin (3). Në këtë pikë, sistemi nuk vibron më.
Dridhje e detyruar
Dridhja e një sistemi nën ngacmim konstant. Analiza e dridhjeve heton kryesisht përgjigjen e sistemit ndaj ngacmimit. Ngacmimi periodik është një ngacmim tipik i rregullt. Meqenëse ngacmimi periodik mund të zbërthehet gjithmonë në shumën e disa ngacmimeve harmonike, sipas parimit të mbivendosjes, kërkohet vetëm përgjigja e sistemit ndaj secilit ngacmim harmonik. Nën veprimin e ngacmimit harmonik, ekuacioni diferencial i lëvizjes së një sistemi të amortizuar me një shkallë të vetme lirie mund të shkruhet:
Përgjigja është shuma e dy pjesëve. Njëra pjesë është përgjigja e dridhjes së amortizuar, e cila zvogëlohet me shpejtësi me kalimin e kohës. Përgjigja e një pjese tjetër të dridhjes së detyruar mund të shkruhet:
FIG. 3 kurba e dridhjeve të amortizuara
FIG. 4 kurba të tre kushteve fillestare me amortizim kritik
Shkruaj
H /F0= h (), është raporti i amplitudës së përgjigjes së qëndrueshme ndaj amplitudës së ngacmimit, që karakterizon karakteristikat e amplitudës-frekuencës, ose funksionin e fitimit; Bitet për përgjigjen në gjendje të qëndrueshme dhe nxitjen e fazës, karakterizimin e karakteristikave të frekuencës së fazës. Marrëdhënia midis tyre dhe frekuencës së ngacmimit tregohet në FIG. 5 dhe FIG. 6.
Siç mund të shihet nga kurba amplitudë-frekuencë (FIG. 5), në rastin e amortizimit të vogël, kurba amplitudë-frekuencë ka një kulm të vetëm. Sa më i vogël të jetë amortizimi, aq më e pjerrët është kulmi; Frekuenca që korrespondon me kulmin quhet frekuenca rezonante e sistemit. Në rastin e amortizimit të vogël, frekuenca e rezonancës nuk është shumë e ndryshme nga frekuenca natyrore. Kur frekuenca e ngacmimit është afër frekuencës natyrore, amplituda rritet ndjeshëm. Ky fenomen quhet rezonancë. Në rezonancë, fitimi i sistemit maksimizohet, domethënë, dridhja e detyruar është më intensive. Prandaj, në përgjithësi, gjithmonë përpiquni të shmangni rezonancën, përveç nëse disa instrumente dhe pajisje përdorin rezonancë për të arritur dridhje të mëdha.
FIG. 5 kurba e amplitudës së frekuencës
Mund të shihet nga kurba e frekuencës së fazës (figura 6), pavarësisht nga madhësia e amortizimit, në bitët e ndryshimit të fazës omega zero = PI / 2, kjo karakteristikë mund të përdoret në mënyrë efektive në matjen e rezonancës.
Përveç ngacmimit të qëndrueshëm, sistemet ndonjëherë hasin ngacmim të paqëndrueshëm. Mund të ndahet përafërsisht në dy lloje: njëri është ndikimi i papritur. I dyti është efekti i qëndrueshëm i arbitraritetit. Nën ngacmim të paqëndrueshëm, përgjigja e sistemit është gjithashtu e paqëndrueshme.
Një mjet i fuqishëm për analizimin e dridhjeve të paqëndrueshme është metoda e përgjigjes impulsive. Ajo përshkruan karakteristikat dinamike të sistemit me përgjigjen kalimtare të hyrjes së impulsit njësi të sistemit. Impulsi njësi mund të shprehet si një funksion delta. Në inxhinieri, funksioni delta shpesh përkufizohet si:
Ku 0- përfaqëson pikën në boshtin t që i afrohet zeros nga e majta; 0 plus është pika që shkon në 0 nga e djathta.
FIG. 6 kurba e frekuencës së fazës
FIG. 7 çdo të dhënë hyrëse mund të konsiderohet si shuma e një serie elementësh impulsiv
Sistemi korrespondon me përgjigjen h(t) të gjeneruar nga impulsi njësi në t=0, e cila quhet funksioni i përgjigjes së impulsit. Duke supozuar se sistemi është stacionar para impulsit, h(t)=0 për t<0. Duke ditur funksionin e përgjigjes së impulsit të sistemit, mund të gjejmë përgjigjen e sistemit ndaj çdo hyrjeje x(t). Në këtë pikë, mund ta mendoni x(t) si shumën e një serie elementësh të impulsit (FIG. 7). Përgjigja e sistemit është:
Bazuar në parimin e mbivendosjes, përgjigja totale e sistemit që korrespondon me x(t) është:
Ky integral quhet integral konvolucioni ose integral i mbivendosjes.
Dridhja lineare e një sistemi me shumë shkallë lirie
Dridhja e një sistemi linear me n≥2 gradë lirie.
Figura 8 tregon dy nënsisteme të thjeshta rezonante të lidhura nga një sustë çiftëzimi. Meqenëse është një sistem me dy shkallë lirie, nevojiten dy koordinata të pavarura për të përcaktuar pozicionin e tij. Ekzistojnë dy frekuenca natyrore në këtë sistem:
Çdo frekuencë korrespondon me një modë dridhjeje. Oscilatorët harmonikë kryejnë oscilime harmonike të së njëjtës frekuencë, duke kaluar në mënyrë sinkrone nëpër pozicionin e ekuilibrit dhe duke arritur në mënyrë sinkrone në pozicionin ekstrem. Në dridhjen kryesore që korrespondon me omega një, x1 është e barabartë me x2; Në dridhjen kryesore që korrespondon me omega omega dy, omega omega një. Në dridhjen kryesore, raporti i zhvendosjes së secilës masë mban një marrëdhënie të caktuar dhe formon një modë të caktuar, e cila quhet moda kryesore ose moda natyrore. Ortogonaliteti i masës dhe ngurtësisë ekziston midis modave kryesore, gjë që pasqyron pavarësinë e secilës dridhje. Frekuenca natyrore dhe mënyra kryesore përfaqësojnë karakteristikat e natyrshme të dridhjes së sistemit me shumë shkallë lirie.
FIG. 8 sistem me shkallë të shumëfishta lirie
Një sistem me n gradë lirie ka n frekuenca natyrore dhe n moda kryesore. Çdo konfigurim dridhjeje i sistemit mund të përfaqësohet si një kombinim linear i modave kryesore. Prandaj, metoda e mbivendosjes së modalitetit kryesor përdoret gjerësisht në analizën e përgjigjes dinamike të sistemeve me shumë shkallë lirie. Në këtë mënyrë, matja dhe analiza e karakteristikave natyrore të dridhjeve të sistemit bëhet një hap rutinë në projektimin dinamik të sistemit.
Karakteristikat dinamike të sistemeve me shumë liri mund të përshkruhen edhe nga karakteristikat e frekuencës. Meqenëse ekziston një funksion karakteristik i frekuencës midis çdo hyrjeje dhe daljeje, ndërtohet një matricë karakteristike e frekuencës. Kurba karakteristike amplitudë-frekuencë e sistemit me shumë liri është e ndryshme nga ajo e sistemit me një liri të vetme.
Elastomeri vibron
Sistemi i mësipërm me shumë shkallë lirie është një model mekanik i përafërt i elastomerit. Një elastomer ka një numër të pafund shkallësh lirie. Ekziston një ndryshim sasior, por jo një ndryshim thelbësor midis të dyjave. Çdo elastomer ka një numër të pafund frekuencash natyrore dhe një numër të pafund modash përkatëse, dhe ekziston ortogonalitet midis modave të masës dhe ngurtësisë. Çdo konfigurim vibrues i elastomerit mund të përfaqësohet gjithashtu si një mbivendosje lineare e modave kryesore. Prandaj, për analizën e përgjigjes dinamike të elastomerit, metoda e mbivendosjes së mënyrës kryesore është ende e zbatueshme (shih dridhjen lineare të elastomerit).
Merrni dridhjen e një fije. Le të themi se një fije e hollë me masë m për njësi gjatësie, e gjatë l, është e tensionuar në të dy skajet, dhe tensioni është T. Në këtë kohë, frekuenca natyrore e fijes përcaktohet nga ekuacioni i mëposhtëm:
F =na/2l (n= 1,2,3…).
Ku , është shpejtësia e përhapjes së valës tërthore përgjatë drejtimit të vargut. Frekuencat natyrore të vargjeve ndodh të jenë shumëfisha të frekuencës themelore mbi 2l. Ky shumëfishim i plotë çon në një strukturë harmonike të këndshme. Në përgjithësi, nuk ka një marrëdhënie të tillë të shumëfishit të plotë midis frekuencave natyrore të elastomerit.
Tre modat e para të vargut të tensionuar tregohen në FIG. 9. Ka disa nyje në kurbën e modës kryesore. Në dridhjen kryesore, nyjet nuk dridhen. FIG. 10 tregon disa moda tipike të pllakës rrethore të mbështetur në mënyrë perimetrike me disa vija nyjore të përbëra nga rrathë dhe diametra.
Formulimi i saktë i problemit të dridhjes së elastomerit mund të konkludohet si problemi i vlerës kufitare të ekuacioneve diferenciale të pjesshme. Megjithatë, zgjidhja e saktë mund të gjendet vetëm në disa nga rastet më të thjeshta, kështu që duhet të përdorim zgjidhjen e përafërt për problemin kompleks të dridhjes së elastomerit. Thelbi i zgjidhjeve të ndryshme të përafërta është të ndryshojmë të pafundmen në të fundmen, domethënë të diskretizojmë sistemin shumëshkallësh lirie pa gjymtyrë (sistem i vazhdueshëm) në një sistem shumëshkallësh lirie të fundmen (sistem diskret). Ekzistojnë dy lloje metodash diskretizimi të përdorura gjerësisht në analizën inxhinierike: metoda e elementeve të fundme dhe metoda e sintezës modale.
FIG. 9 mënyra e vargut
FIG. 10 mënyra e pllakës rrethore
Metoda e elementeve të fundme është një strukturë kompozite e cila abstrakton një strukturë komplekse në një numër të fundëm elementësh dhe i lidh ato në një numër të fundëm nyjesh. Çdo njësi është një elastomer; Zhvendosja e shpërndarjes së elementit shprehet me funksionin e interpolimit të zhvendosjes së nyjes. Pastaj parametrat e shpërndarjes së secilit element përqendrohen në secilën nyje në një format të caktuar, dhe merret modeli mekanik i sistemit diskret.
Sinteza modale është zbërthimi i një strukture komplekse në disa nënstruktura më të thjeshta. Bazuar në kuptimin e karakteristikave të dridhjes së secilës nënstrukturë, nënstruktura sintetizohet në një strukturë të përgjithshme sipas kushteve të koordinimit në ndërfaqe, dhe morfologjia e dridhjes së strukturës së përgjithshme merret duke përdorur morfologjinë e dridhjes së secilës nënstrukturë.
Të dy metodat janë të ndryshme dhe të lidhura me njëra-tjetrën, dhe mund të përdoren si referencë. Metoda e sintezës modale mund të kombinohet gjithashtu në mënyrë efektive me matjen eksperimentale për të formuar një metodë analize teorike dhe eksperimentale për dridhjen e sistemeve të mëdha.
Koha e postimit: 03 Prill 2020
