રેખીય કંપન શું છે?

રેખીય કંપન: સિસ્ટમમાં ઘટકોની સ્થિતિસ્થાપકતા હૂકના નિયમને આધીન છે, અને ગતિ દરમિયાન ઉત્પન્ન થતું ભીનાશ બળ સામાન્યકૃત વેગના પ્રથમ સમીકરણ (સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સનું સમય વ્યુત્પન્ન) ના પ્રમાણસર છે.

ખ્યાલ

રેખીય સિસ્ટમ સામાન્ય રીતે વાસ્તવિક સિસ્ટમના કંપનનું એક અમૂર્ત મોડેલ હોય છે. રેખીય વાઇબ્રેશન સિસ્ટમ સુપરપોઝિશન સિદ્ધાંત લાગુ કરે છે, એટલે કે, જો ઇનપુટ x1 ની ક્રિયા હેઠળ સિસ્ટમનો પ્રતિભાવ y1 હોય, અને ઇનપુટ x2 ની ક્રિયા હેઠળ y2 હોય, તો ઇનપુટ x1 અને x2 ની ક્રિયા હેઠળ સિસ્ટમનો પ્રતિભાવ y1+y2 હોય છે.

સુપરપોઝિશન સિદ્ધાંતના આધારે, એક મનસ્વી ઇનપુટને અનંત સૂક્ષ્મ આવેગની શ્રેણીના સરવાળામાં વિઘટિત કરી શકાય છે, અને પછી સિસ્ટમનો કુલ પ્રતિભાવ મેળવી શકાય છે. સામયિક ઉત્તેજનાના હાર્મોનિક ઘટકોના સરવાળાને ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ દ્વારા હાર્મોનિક ઘટકોની શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે, અને સિસ્ટમ પર દરેક હાર્મોનિક ઘટકની અસરની અલગથી તપાસ કરી શકાય છે. તેથી, સતત પરિમાણો ધરાવતી રેખીય સિસ્ટમોની પ્રતિભાવ લાક્ષણિકતાઓને આવેગ પ્રતિભાવ અથવા આવર્તન પ્રતિભાવ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે.

ઇમ્પલ્સ પ્રતિભાવ એ યુનિટ ઇમ્પલ્સ પ્રત્યે સિસ્ટમના પ્રતિભાવનો ઉલ્લેખ કરે છે, જે સમય ક્ષેત્રમાં સિસ્ટમની પ્રતિભાવ લાક્ષણિકતાઓનું લક્ષણ દર્શાવે છે. ફ્રીક્વન્સી પ્રતિભાવ એ યુનિટ હાર્મોનિક ઇનપુટ પ્રત્યે સિસ્ટમની પ્રતિભાવ લાક્ષણિકતાનો ઉલ્લેખ કરે છે. બંને વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ દ્વારા નક્કી થાય છે.

વર્ગીકરણ

રેખીય સ્પંદનોને સિંગલ-ડિગ્રી-ઓફ-ફ્રીડમ સિસ્ટમના રેખીય સ્પંદનો અને મલ્ટિ-ડિગ્રી-ઓફ-ફ્રીડમ સિસ્ટમના રેખીય સ્પંદનોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.

(1) સિંગલ-ડિગ્રી-ઓફ-ફ્રીડમ સિસ્ટમનું રેખીય સ્પંદન એ એક રેખીય સ્પંદન છે જેની સ્થિતિ સામાન્યકૃત સંકલન દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે. તે સૌથી સરળ સ્પંદન છે જેમાંથી સ્પંદનની ઘણી મૂળભૂત વિભાવનાઓ અને લાક્ષણિકતાઓ મેળવી શકાય છે. તેમાં સરળ હાર્મોનિક સ્પંદન, મુક્ત સ્પંદન, એટેન્યુએશન સ્પંદન અને ફરજિયાત સ્પંદનનો સમાવેશ થાય છે.

સરળ હાર્મોનિક કંપન: કોઈ પદાર્થની સંતુલન સ્થિતિની નજીકમાં તેના વિસ્થાપનના પ્રમાણસર પુનઃસ્થાપિત બળની ક્રિયા હેઠળ સાઇનસૉઇડલ નિયમ અનુસાર તેની પારસ્પરિક ગતિ.

ભીના કંપન: એવું કંપન જેનું કંપનવિસ્તાર ઘર્ષણ અને ડાઇલેક્ટ્રિક પ્રતિકાર અથવા અન્ય ઉર્જા વપરાશની હાજરી દ્વારા સતત ઓછું થતું રહે છે.

ફરજિયાત કંપન: સતત ઉત્તેજના હેઠળ સિસ્ટમનું કંપન.

(2) મલ્ટી-ડિગ્રી-ઓફ-ફ્રીડમ સિસ્ટમનું રેખીય કંપન એ n≥2 ડિગ્રી ફ્રીડમ સાથે રેખીય સિસ્ટમનું કંપન છે. n ડિગ્રી ફ્રીડમ સિસ્ટમમાં n કુદરતી ફ્રીક્વન્સીઝ અને n મુખ્ય મોડ્સ હોય છે. સિસ્ટમના કોઈપણ કંપન રૂપરેખાંકનને મુખ્ય મોડ્સના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.તેથી, મલ્ટી-ડોફ સિસ્ટમ્સના ગતિશીલ પ્રતિભાવ વિશ્લેષણમાં મુખ્ય મોડ સુપરપોઝિશન પદ્ધતિનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.આ રીતે, સિસ્ટમની કુદરતી સ્પંદન લાક્ષણિકતાઓનું માપન અને વિશ્લેષણ સિસ્ટમની ગતિશીલ ડિઝાઇનમાં એક નિયમિત પગલું બની જાય છે.મલ્ટી-ડોફ સિસ્ટમ્સની ગતિશીલ લાક્ષણિકતાઓને ફ્રીક્વન્સી લાક્ષણિકતાઓ દ્વારા પણ વર્ણવી શકાય છે.દરેક ઇનપુટ અને આઉટપુટ વચ્ચે ફ્રીક્વન્સી લાક્ષણિકતા કાર્ય હોવાથી, ફ્રીક્વન્સી લાક્ષણિકતા મેટ્રિક્સ બનાવવામાં આવે છે.ફ્રીક્વન્સી લાક્ષણિકતા અને મુખ્ય મોડ વચ્ચે ચોક્કસ સંબંધ છે.મલ્ટી-ફ્રીડમ સિસ્ટમનો કંપનવિસ્તાર-આવર્તન લાક્ષણિકતા વળાંક સિંગલ-ફ્રીડમ સિસ્ટમ કરતા અલગ છે.

એક ડિગ્રીની સ્વતંત્રતા પ્રણાલીનું રેખીય કંપન

એક રેખીય સ્પંદન જેમાં સિસ્ટમની સ્થિતિ સામાન્યકૃત સંકલન દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે. તે સૌથી સરળ અને સૌથી મૂળભૂત સ્પંદન છે જેમાંથી સ્પંદનના ઘણા મૂળભૂત ખ્યાલો અને લાક્ષણિકતાઓ મેળવી શકાય છે. તેમાં સરળ હાર્મોનિક સ્પંદન, ભીના કંપન અને ફરજિયાત સ્પંદનનો સમાવેશ થાય છે.

હાર્મોનિક કંપન

વિસ્થાપનના પ્રમાણસર બળ પુનઃસ્થાપિત કરવાની ક્રિયા હેઠળ, પદાર્થ તેની સંતુલન સ્થિતિ (આકૃતિ 1) ની નજીક સાઇનસાઇડલ રીતે પરસ્પર પ્રતિક્રિયા આપે છે. X વિસ્થાપન દર્શાવે છે અને t સમય દર્શાવે છે. આ સ્પંદનની ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ છે:

(૧)જ્યાં A એ વિસ્થાપન x નું મહત્તમ મૂલ્ય છે, જેને કંપનવિસ્તાર કહેવામાં આવે છે, અને તે કંપનની તીવ્રતા દર્શાવે છે; ઓમેગા n એ કંપનવિસ્તાર પ્રતિ સેકન્ડ કોણ વધારો છે, જેને કોણીય આવર્તન અથવા ગોળાકાર આવર્તન કહેવામાં આવે છે; આને પ્રારંભિક તબક્કો કહેવામાં આવે છે. f= n/2 ની દ્રષ્ટિએ, પ્રતિ સેકન્ડ ઓસીલેટેશનની સંખ્યાને આવર્તન કહેવામાં આવે છે; આનો વ્યસ્ત, T=1/f, એ એક ચક્રને ઓસીલેટ કરવામાં લાગતો સમય છે, અને તેને સમયગાળો કહેવામાં આવે છે. કંપનવિસ્તાર A, આવર્તન f (અથવા કોણીય આવર્તન n), પ્રારંભિક તબક્કો, જેને સરળ હાર્મોનિક કંપન ત્રણ તત્વો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

આકૃતિ 1 સરળ હાર્મોનિક કંપન વળાંક

આકૃતિ 2 માં બતાવ્યા પ્રમાણે, રેખીય સ્પ્રિંગ દ્વારા જોડાયેલા સંકેન્દ્રિત દળ m દ્વારા એક સરળ હાર્મોનિક ઓસિલેટર રચાય છે. જ્યારે સંતુલન સ્થિતિથી કંપન વિસ્થાપનની ગણતરી કરવામાં આવે છે, ત્યારે કંપન સમીકરણ છે:

સ્પ્રિંગની જડતા ક્યાં છે? ઉપરોક્ત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ (1) છે.A અને તે પ્રારંભિક સ્થિતિ x0 અને t=0 પર પ્રારંભિક વેગ દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે:

પરંતુ ઓમેગા n ફક્ત સિસ્ટમની લાક્ષણિકતાઓ દ્વારા નક્કી થાય છે, જે વધારાની પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓથી સ્વતંત્ર છે, તેથી ઓમેગા n ને કુદરતી આવર્તન તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.

આકૃતિ 2 સિંગલ ડિગ્રી ફ્રીડમ સિસ્ટમ

એક સરળ હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે, તેની ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિમાન ઊર્જાનો સરવાળો અચળ હોય છે, એટલે કે, સિસ્ટમની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા સચવાયેલી રહે છે. કંપનની પ્રક્રિયામાં, ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિમાન ઊર્જા સતત એકબીજામાં રૂપાંતરિત થાય છે.

ભીનાશવાળું કંપન

એક કંપન જેનું કંપનવિસ્તાર ઘર્ષણ અને ડાઇલેક્ટ્રિક પ્રતિકાર અથવા અન્ય ઉર્જા વપરાશ દ્વારા સતત ઓછું થતું રહે છે. સૂક્ષ્મ કંપન માટે, વેગ સામાન્ય રીતે ખૂબ મોટો હોતો નથી, અને મધ્યમ પ્રતિકાર પ્રથમ શક્તિના વેગના પ્રમાણસર હોય છે, જેને c એ ભીનાશ ગુણાંક તરીકે લખી શકાય છે. તેથી, રેખીય ભીનાશ સાથે એક ડિગ્રી સ્વતંત્રતાનું કંપન સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય છે:

(૨)જ્યાં, m =c/2m ને ડેમ્પિંગ પરિમાણ કહેવામાં આવે છે, અને. સૂત્ર (2) નો સામાન્ય ઉકેલ નીચે મુજબ લખી શકાય છે:

(૩)ઓમેગા n અને PI વચ્ચેના આંકડાકીય સંબંધને નીચેના ત્રણ કિસ્સાઓમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:

N > (નાના ભીનાશના કિસ્સામાં) કણ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ એટેન્યુએશન સ્પંદન, સ્પંદન સમીકરણ છે:

આકૃતિ 3 માં ડોટેડ લાઇનમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, સમીકરણમાં દર્શાવેલ ઘાતાંકીય નિયમ અનુસાર સમય સાથે તેનું કંપનવિસ્તાર ઘટે છે. કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, આ કંપન એપેરિઓડિક છે, પરંતુ તેની ટોચની આવૃત્તિને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે:

કંપનવિસ્તાર ઘટાડો દર કહેવાય છે, જ્યાં કંપનનો સમયગાળો છે. કંપનવિસ્તાર ઘટાડો દરના કુદરતી લઘુગણકને લઘુગણક માઇનસ (કંપનવિસ્તાર) દર કહેવાય છે. દેખીતી રીતે, =, આ કિસ્સામાં, 2/1 બરાબર છે. પ્રાયોગિક પરીક્ષણ ડેલ્ટા દ્વારા સીધા અને ઉપરોક્ત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને c ની ગણતરી કરી શકાય છે.

આ સમયે, સમીકરણ (2) નો ઉકેલ લખી શકાય છે:

પ્રારંભિક વેગની દિશા સાથે, તેને આકૃતિ 4 માં બતાવ્યા પ્રમાણે ત્રણ બિન-કંપન કેસોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.

N < (મોટા ડેમ્પિંગના કિસ્સામાં), સમીકરણ (2) નો ઉકેલ સમીકરણ (3) માં બતાવવામાં આવ્યો છે. આ બિંદુએ, સિસ્ટમ હવે વાઇબ્રેટ થતી નથી.

ફરજિયાત કંપન

સતત ઉત્તેજના હેઠળ સિસ્ટમનું કંપન. કંપન વિશ્લેષણ મુખ્યત્વે ઉત્તેજના પ્રત્યે સિસ્ટમના પ્રતિભાવની તપાસ કરે છે. સામયિક ઉત્તેજના એ એક લાક્ષણિક નિયમિત ઉત્તેજના છે. સામયિક ઉત્તેજના હંમેશા અનેક હાર્મોનિક ઉત્તેજનાના સરવાળામાં વિઘટિત થઈ શકે છે, તેથી સુપરપોઝિશન સિદ્ધાંત અનુસાર, દરેક હાર્મોનિક ઉત્તેજના પ્રત્યે સિસ્ટમનો પ્રતિભાવ જ જરૂરી છે. હાર્મોનિક ઉત્તેજનાની ક્રિયા હેઠળ, સ્વતંત્રતા ભીનાશિત સિસ્ટમની એક ડિગ્રીની ગતિનું વિભેદક સમીકરણ લખી શકાય છે:

પ્રતિભાવ બે ભાગોનો સરવાળો છે. એક ભાગ ભીના કંપનનો પ્રતિભાવ છે, જે સમય જતાં ઝડપથી ક્ષીણ થઈ જાય છે. ફરજિયાત કંપનના બીજા ભાગનો પ્રતિભાવ આ રીતે લખી શકાય છે:

આકૃતિ 3 ભીના વાઇબ્રેશન કર્વ

આકૃતિ: ક્રિટિકલ ડેમ્પિંગ સાથે ત્રણ પ્રારંભિક સ્થિતિઓના 4 વળાંકો

માં લખો

H /F0= h (), એ સ્થિર પ્રતિભાવ કંપનવિસ્તાર અને ઉત્તેજના કંપનવિસ્તારનો ગુણોત્તર છે, જે કંપનવિસ્તાર-આવર્તન લાક્ષણિકતાઓ અથવા ગેઇન ફંક્શનનું લક્ષણ દર્શાવે છે; સ્થિર સ્થિતિ પ્રતિભાવ અને તબક્કાના પ્રોત્સાહન માટેના બિટ્સ, તબક્કા આવર્તન લાક્ષણિકતાઓનું લક્ષણ. તેમની અને ઉત્તેજના આવર્તન વચ્ચેનો સંબંધ આકૃતિ 5 અને આકૃતિ 6 માં દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

કંપનવિસ્તાર-આવર્તન વળાંક (આકૃતિ 5) પરથી જોઈ શકાય છે કે, નાના ભીનાશના કિસ્સામાં, કંપનવિસ્તાર-આવર્તન વળાંકમાં એક જ ટોચ હોય છે. ભીનાશ જેટલું નાનું હશે, તેટલું જ ઊંચું શિખર હશે; શિખરને અનુરૂપ આવર્તનને સિસ્ટમની રેઝોનન્ટ આવર્તન કહેવામાં આવે છે. નાના ભીનાશના કિસ્સામાં, રેઝોનન્સ આવર્તન કુદરતી આવર્તનથી ઘણી અલગ નથી. જ્યારે ઉત્તેજના આવર્તન કુદરતી આવર્તનની નજીક હોય છે, ત્યારે કંપનવિસ્તાર ઝડપથી વધે છે. આ ઘટનાને રેઝોનન્સ કહેવામાં આવે છે. રેઝોનન્સ સમયે, સિસ્ટમનો લાભ મહત્તમ થાય છે, એટલે કે, ફરજિયાત કંપન સૌથી તીવ્ર હોય છે. તેથી, સામાન્ય રીતે, હંમેશા રેઝોનન્સ ટાળવાનો પ્રયાસ કરો, સિવાય કે કેટલાક સાધનો અને સાધનો મોટા કંપન પ્રાપ્ત કરવા માટે રેઝોનન્સનો ઉપયોગ કરે.

આકૃતિ 5 કંપનવિસ્તાર આવર્તન વળાંક

ફેઝ ફ્રીક્વન્સી કર્વ (આકૃતિ 6) પરથી જોઈ શકાય છે, ડેમ્પિંગના કદને ધ્યાનમાં લીધા વિના, ઓમેગા ઝીરો ફેઝ ડિફરન્સ બિટ્સ = PI / 2 માં, આ લાક્ષણિકતાનો ઉપયોગ રેઝોનન્સ માપવામાં અસરકારક રીતે થઈ શકે છે.

સ્થિર ઉત્તેજના ઉપરાંત, સિસ્ટમો ક્યારેક અસ્થિર ઉત્તેજનાનો સામનો કરે છે.તેને આશરે બે પ્રકારમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: એક અચાનક અસર.બીજી મનસ્વીતાની કાયમી અસર છે.અસ્થિર ઉત્તેજના હેઠળ, સિસ્ટમનો પ્રતિભાવ પણ અસ્થિર હોય છે.

અસ્થિર કંપનનું વિશ્લેષણ કરવા માટેનું એક શક્તિશાળી સાધન ઇમ્પલ્સ રિસ્પોન્સ પદ્ધતિ છે. તે સિસ્ટમના યુનિટ ઇમ્પલ્સ ઇનપુટના ક્ષણિક પ્રતિભાવ સાથે સિસ્ટમની ગતિશીલ લાક્ષણિકતાઓનું વર્ણન કરે છે. યુનિટ ઇમ્પલ્સને ડેલ્ટા ફંક્શન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. એન્જિનિયરિંગમાં, ડેલ્ટા ફંક્શનને ઘણીવાર આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

જ્યાં 0- એ t-અક્ષ પરના બિંદુનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જે ડાબી બાજુથી શૂન્ય તરફ જાય છે; 0 વત્તા એ બિંદુ છે જે જમણી બાજુથી 0 પર જાય છે.

આકૃતિ 6 તબક્કો આવર્તન વળાંક

આકૃતિ 7 કોઈપણ ઇનપુટને આવેગ તત્વોની શ્રેણીના સરવાળા તરીકે ગણી શકાય

આ સિસ્ટમ t=0 પર એકમ આઘાત દ્વારા ઉત્પન્ન થતા પ્રતિભાવ h(t) ને અનુરૂપ છે, જેને આઘાત પ્રતિભાવ કાર્ય કહેવામાં આવે છે. ધારી લઈએ કે સિસ્ટમ પલ્સ પહેલાં સ્થિર છે, t<0 માટે h(t)=0. સિસ્ટમના આઘાત પ્રતિભાવ કાર્યને જાણીને, આપણે કોઈપણ ઇનપુટ x(t) માટે સિસ્ટમનો પ્રતિભાવ શોધી શકીએ છીએ. આ બિંદુએ, તમે x(t) ને આઘાત તત્વોની શ્રેણીના સરવાળા તરીકે વિચારી શકો છો (આકૃતિ 7). સિસ્ટમનો પ્રતિભાવ છે:

સુપરપોઝિશન સિદ્ધાંતના આધારે, x(t) ને અનુરૂપ સિસ્ટમનો કુલ પ્રતિભાવ છે:

આ ઇન્ટિગ્રલને કન્વોલ્યુશન ઇન્ટિગ્રલ અથવા સુપરપોઝિશન ઇન્ટિગ્રલ કહેવામાં આવે છે.

બહુ-ડિગ્રી-ઓફ-ફ્રીડમ સિસ્ટમનું રેખીય કંપન

n≥2 ડિગ્રી સ્વતંત્રતા સાથે રેખીય પ્રણાલીનું કંપન.

આકૃતિ 8 બે સરળ રેઝોનન્ટ સબસિસ્ટમ્સ દર્શાવે છે જે કપલિંગ સ્પ્રિંગ દ્વારા જોડાયેલ છે. કારણ કે તે બે-ડિગ્રી-ઓફ-ફ્રીડમ સિસ્ટમ છે, તેનું સ્થાન નક્કી કરવા માટે બે સ્વતંત્ર કોઓર્ડિનેટ્સ જરૂરી છે. આ સિસ્ટમમાં બે કુદરતી ફ્રીક્વન્સીઝ છે:

દરેક આવર્તન કંપનના એક મોડને અનુરૂપ હોય છે. હાર્મોનિક ઓસિલેટર સમાન આવર્તનના હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરે છે, સમકાલીન રીતે સંતુલન સ્થિતિમાંથી પસાર થાય છે અને સુમેળમાં આત્યંતિક સ્થિતિ સુધી પહોંચે છે. ઓમેગા વનને અનુરૂપ મુખ્ય કંપનમાં, x1 x2 ની બરાબર હોય છે; ઓમેગા ઓમેગા ટુ, ઓમેગા ઓમેગા વનને અનુરૂપ મુખ્ય કંપનમાં. મુખ્ય કંપનમાં, દરેક સમૂહનો વિસ્થાપન ગુણોત્તર ચોક્કસ સંબંધ રાખે છે અને ચોક્કસ મોડ બનાવે છે, જેને મુખ્ય મોડ અથવા કુદરતી મોડ કહેવામાં આવે છે. મુખ્ય મોડમાં દળ અને જડતાની ઓર્થોગોનાલિટી અસ્તિત્વમાં છે, જે દરેક સ્પંદનની સ્વતંત્રતાને પ્રતિબિંબિત કરે છે. કુદરતી આવર્તન અને મુખ્ય મોડ બહુ-ડિગ્રી સ્વતંત્રતા પ્રણાલીની સહજ કંપન લાક્ષણિકતાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

આકૃતિ 8 સ્વતંત્રતાના બહુવિધ ડિગ્રી સાથે સિસ્ટમ

n ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ ધરાવતી સિસ્ટમમાં n કુદરતી ફ્રીક્વન્સીઝ અને n મુખ્ય મોડ્સ હોય છે. સિસ્ટમના કોઈપણ કંપન રૂપરેખાંકનને મુખ્ય મોડ્સના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. તેથી, મલ્ટિ-ડોફ સિસ્ટમ્સના ગતિશીલ પ્રતિભાવ વિશ્લેષણમાં મુખ્ય મોડ સુપરપોઝિશન પદ્ધતિનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. આ રીતે, સિસ્ટમની કુદરતી કંપન લાક્ષણિકતાઓનું માપન અને વિશ્લેષણ સિસ્ટમની ગતિશીલ ડિઝાઇનમાં એક નિયમિત પગલું બની જાય છે.

મલ્ટિ-ડોફ સિસ્ટમ્સની ગતિશીલ લાક્ષણિકતાઓને ફ્રીક્વન્સી લાક્ષણિકતાઓ દ્વારા પણ વર્ણવી શકાય છે. દરેક ઇનપુટ અને આઉટપુટ વચ્ચે ફ્રીક્વન્સી લાક્ષણિકતા કાર્ય હોવાથી, ફ્રીક્વન્સી લાક્ષણિકતા મેટ્રિક્સ બનાવવામાં આવે છે. મલ્ટિ-ફ્રીડમ સિસ્ટમનો કંપનવિસ્તાર-આવર્તન લાક્ષણિકતા વળાંક સિંગલ-ફ્રીડમ સિસ્ટમ કરતા અલગ છે.

ઇલાસ્ટોમર વાઇબ્રેટ થાય છે

ઉપરોક્ત મલ્ટિ-ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ સિસ્ટમ એ ઇલાસ્ટોમરનું અંદાજિત યાંત્રિક મોડેલ છે. ઇલાસ્ટોમરમાં અનંત સંખ્યામાં ફ્રીડમ ડિગ્રી હોય છે. માત્રાત્મક તફાવત હોય છે પરંતુ બંને વચ્ચે કોઈ આવશ્યક તફાવત નથી. કોઈપણ ઇલાસ્ટોમરમાં અનંત સંખ્યામાં કુદરતી ફ્રીક્વન્સીઝ અને અનંત સંખ્યામાં અનુરૂપ મોડ્સ હોય છે, અને દળ અને જડતાના મોડ્સ વચ્ચે ઓર્થોગોનાલિટી હોય છે. ઇલાસ્ટોમરના કોઈપણ કંપનશીલ રૂપરેખાંકનને મુખ્ય મોડ્સના રેખીય સુપરપોઝિશન તરીકે પણ રજૂ કરી શકાય છે. તેથી, ઇલાસ્ટોમરના ગતિશીલ પ્રતિભાવ વિશ્લેષણ માટે, મુખ્ય મોડની સુપરપોઝિશન પદ્ધતિ હજુ પણ લાગુ પડે છે (ઇલાસ્ટોમરનું રેખીય વાઇબ્રેશન જુઓ).

એક તારનું કંપન લો. ધારો કે એકમ લંબાઈ દીઠ m દળનો પાતળો તાર, જે લાંબો l છે, બંને છેડે તણાવિત છે, અને તણાવ T છે. આ સમયે, તારનું કુદરતી આવર્તન નીચેના સમીકરણ દ્વારા નક્કી થાય છે:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

તારોની દિશા સાથે ત્રાંસી તરંગનો પ્રસાર વેગ ક્યાં છે? તારોની કુદરતી આવૃત્તિઓ 2l થી વધુ મૂળભૂત આવૃત્તિના ગુણાંકમાં હોય છે. આ પૂર્ણાંક ગુણાકાર એક સુખદ હાર્મોનિક રચના તરફ દોરી જાય છે. સામાન્ય રીતે, ઇલાસ્ટોમરની કુદરતી આવૃત્તિઓ વચ્ચે આવો કોઈ પૂર્ણાંક બહુવિધ સંબંધ નથી.

ટેન્શનવાળા સ્ટ્રિંગના પહેલા ત્રણ મોડ્સ આકૃતિ 9 માં બતાવવામાં આવ્યા છે. મુખ્ય મોડ કર્વ પર કેટલાક નોડ્સ છે. મુખ્ય વાઇબ્રેશનમાં, નોડ્સ વાઇબ્રેટ થતા નથી. આકૃતિ 10 વર્તુળો અને વ્યાસથી બનેલી કેટલીક નોડલ રેખાઓ સાથે પરિઘ સપોર્ટેડ ગોળાકાર પ્લેટના ઘણા લાક્ષણિક મોડ્સ બતાવે છે.

ઇલાસ્ટોમર વાઇબ્રેશન સમસ્યાનું ચોક્કસ ફોર્મ્યુલેશન આંશિક વિભેદક સમીકરણોની સીમા મૂલ્ય સમસ્યા તરીકે નિષ્કર્ષ પર આવી શકે છે.જો કે, ચોક્કસ ઉકેલ ફક્ત કેટલાક સરળ કિસ્સાઓમાં જ મળી શકે છે, તેથી આપણે જટિલ ઇલાસ્ટોમર વાઇબ્રેશન સમસ્યા માટે અંદાજિત ઉકેલનો આશરો લેવો પડશે.વિવિધ અંદાજિત ઉકેલોનો સાર એ છે કે અનંતને મર્યાદિતમાં બદલવું, એટલે કે, અંગ-રહિત બહુ-ડિગ્રી સ્વતંત્રતા પ્રણાલી (સતત પ્રણાલી) ને મર્યાદિત બહુ-ડિગ્રી સ્વતંત્રતા પ્રણાલી (ડિસ્ક્રીટ સિસ્ટમ) માં વિવેકિત કરવું.ઇજનેરી વિશ્લેષણમાં બે પ્રકારની વિવેકીકરણ પદ્ધતિઓનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે: મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ અને મોડલ સંશ્લેષણ પદ્ધતિ.

આકૃતિ 9 સ્ટ્રિંગનો મોડ

આકૃતિ 10 ગોળાકાર પ્લેટનો મોડ

મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ એ એક સંયુક્ત રચના છે જે એક જટિલ રચનાને મર્યાદિત સંખ્યામાં તત્વોમાં સંક્ષેપિત કરે છે અને તેમને મર્યાદિત સંખ્યામાં ગાંઠો પર જોડે છે. દરેક એકમ એક ઇલાસ્ટોમર છે; તત્વનું વિતરણ વિસ્થાપન નોડ વિસ્થાપનના ઇન્ટરપોલેશન ફંક્શન દ્વારા વ્યક્ત થાય છે. પછી દરેક તત્વના વિતરણ પરિમાણો ચોક્કસ ફોર્મેટમાં દરેક નોડ પર કેન્દ્રિત થાય છે, અને ડિસ્ક્રીટ સિસ્ટમનું યાંત્રિક મોડેલ મેળવવામાં આવે છે.

મોડલ સંશ્લેષણ એ એક જટિલ રચનાનું અનેક સરળ રચનાઓમાં વિઘટન છે. દરેક રચનાની કંપન લાક્ષણિકતાઓને સમજવાના આધારે, રચનાને ઇન્ટરફેસ પર સંકલન પરિસ્થિતિઓ અનુસાર સામાન્ય રચનામાં સંશ્લેષણ કરવામાં આવે છે, અને દરેક રચનાના કંપન આકારશાસ્ત્રનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય રચનાનું કંપન આકારશાસ્ત્ર મેળવવામાં આવે છે.

બંને પદ્ધતિઓ અલગ અને સંબંધિત છે, અને તેનો સંદર્ભ તરીકે ઉપયોગ કરી શકાય છે.મોડલ સંશ્લેષણ પદ્ધતિને પ્રાયોગિક માપન સાથે અસરકારક રીતે જોડીને મોટી સિસ્ટમોના કંપન માટે સૈદ્ધાંતિક અને પ્રાયોગિક વિશ્લેષણ પદ્ધતિ પણ બનાવી શકાય છે.