रेखीय कम्पन भनेको के हो?

रेखीय कम्पन: प्रणालीमा कम्पोनेन्टहरूको लोच हुकको नियमको अधीनमा छ, र गतिको समयमा उत्पन्न हुने ड्याम्पिङ बल सामान्यीकृत वेगको पहिलो समीकरण (सामान्यीकृत निर्देशांकहरूको समय व्युत्पन्न) सँग समानुपातिक छ।

अवधारणा

रेखीय प्रणाली सामान्यतया वास्तविक प्रणालीको कम्पनको एक अमूर्त मोडेल हो। रेखीय कम्पन प्रणालीले सुपरपोजिसन सिद्धान्त लागू गर्दछ, अर्थात्, यदि इनपुट x1 को कार्य अन्तर्गत प्रणालीको प्रतिक्रिया y1 छ, र इनपुट x2 को कार्य अन्तर्गत y2 छ भने, इनपुट x1 र x2 को कार्य अन्तर्गत प्रणालीको प्रतिक्रिया y1+y2 छ।

सुपरपोजिसन सिद्धान्तको आधारमा, एक मनमानी इनपुटलाई अनन्त आवेगहरूको श्रृंखलाको योगफलमा विघटन गर्न सकिन्छ, र त्यसपछि प्रणालीको कुल प्रतिक्रिया प्राप्त गर्न सकिन्छ। आवधिक उत्तेजनाको हार्मोनिक घटकहरूको योगफललाई फुरियर रूपान्तरणद्वारा हार्मोनिक घटकहरूको श्रृंखलामा विस्तार गर्न सकिन्छ, र प्रणालीमा प्रत्येक हार्मोनिक घटकको प्रभावलाई छुट्टाछुट्टै अनुसन्धान गर्न सकिन्छ।त्यसकारण, स्थिर प्यारामिटरहरू भएका रेखीय प्रणालीहरूको प्रतिक्रिया विशेषताहरू आवेग प्रतिक्रिया वा आवृत्ति प्रतिक्रियाद्वारा वर्णन गर्न सकिन्छ।

आवेग प्रतिक्रियाले एकाइ आवेगमा प्रणालीको प्रतिक्रियालाई जनाउँछ, जसले समय डोमेनमा प्रणालीको प्रतिक्रिया विशेषताहरूलाई चित्रण गर्दछ।आवृत्ति प्रतिक्रियाले एकाइ हार्मोनिक इनपुटमा प्रणालीको प्रतिक्रिया विशेषतालाई जनाउँछ।दुई बीचको पत्राचार फूरियर रूपान्तरणद्वारा निर्धारण गरिन्छ।

वर्गीकरण

रेखीय कम्पनलाई एकल-डिग्री-स्वतन्त्रता प्रणालीको रेखीय कम्पन र बहु-डिग्री-स्वतन्त्रता प्रणालीको रेखीय कम्पनमा विभाजन गर्न सकिन्छ।

(१) एकल-डिग्री-स्वतन्त्रता प्रणालीको रेखीय कम्पन एक रेखीय कम्पन हो जसको स्थिति सामान्यीकृत निर्देशांक द्वारा निर्धारण गर्न सकिन्छ। यो सबैभन्दा सरल कम्पन हो जसबाट कम्पनको धेरै आधारभूत अवधारणाहरू र विशेषताहरू प्राप्त गर्न सकिन्छ। यसमा साधारण हार्मोनिक कम्पन, मुक्त कम्पन, क्षीणन कम्पन र जबरजस्ती कम्पन समावेश छ।

साधारण हार्मोनिक कम्पन: कुनै वस्तुको विस्थापनको समानुपातिक पुनर्स्थापित बलको कार्य अन्तर्गत साइनोसाइडल नियम अनुसार यसको सन्तुलन स्थितिको वरपरको पारस्परिक गति।

भिजेको कम्पन: घर्षण र डाइलेक्ट्रिक प्रतिरोध वा अन्य ऊर्जा खपतको उपस्थितिले निरन्तर कम हुने कम्पन।

जबरजस्ती कम्पन: निरन्तर उत्तेजनामा ​​प्रणालीको कम्पन।

(२) बहु-डिग्री-स्वतन्त्रता प्रणालीको रेखीय कम्पन भनेको n≥2 डिग्री स्वतन्त्रता भएको रेखीय प्रणालीको कम्पन हो। n डिग्री स्वतन्त्रताको प्रणालीमा n प्राकृतिक आवृत्तिहरू र n मुख्य मोडहरू हुन्छन्। प्रणालीको कुनै पनि कम्पन कन्फिगरेसनलाई प्रमुख मोडहरूको रेखीय संयोजनको रूपमा प्रतिनिधित्व गर्न सकिन्छ।त्यसकारण, बहु-डोफ प्रणालीहरूको गतिशील प्रतिक्रिया विश्लेषणमा मुख्य मोड सुपरपोजिसन विधि व्यापक रूपमा प्रयोग गरिन्छ।यस तरिकाले, प्रणालीको प्राकृतिक कम्पन विशेषताहरूको मापन र विश्लेषण प्रणालीको गतिशील डिजाइनमा एक नियमित चरण बन्छ।बहु-डोफ प्रणालीहरूको गतिशील विशेषताहरूलाई आवृत्ति विशेषताहरूद्वारा पनि वर्णन गर्न सकिन्छ।प्रत्येक इनपुट र आउटपुट बीच फ्रिक्वेन्सी विशेषता प्रकार्य भएकोले, फ्रिक्वेन्सी विशेषता म्याट्रिक्स निर्माण गरिन्छ।फ्रिक्वेन्सी विशेषता र मुख्य मोड बीच एक निश्चित सम्बन्ध छ।बहु-स्वतन्त्रता प्रणालीको आयाम-आवृत्ति विशेषता वक्र एकल-स्वतन्त्रता प्रणालीको भन्दा फरक छ।

एकल डिग्री स्वतन्त्रता प्रणालीको रेखीय कम्पन

एक रेखीय कम्पन जसमा प्रणालीको स्थिति सामान्यीकृत निर्देशांकद्वारा निर्धारण गर्न सकिन्छ। यो सबैभन्दा सरल र आधारभूत कम्पन हो जसबाट कम्पनको धेरै आधारभूत अवधारणाहरू र विशेषताहरू प्राप्त गर्न सकिन्छ। यसमा साधारण हार्मोनिक कम्पन, भिजेको कम्पन र जबरजस्ती कम्पन समावेश छ।

हार्मोनिक कम्पन

विस्थापनको समानुपातिक बल पुनर्स्थापित गर्ने कार्य अन्तर्गत, वस्तुले आफ्नो सन्तुलन स्थिति नजिक साइनोसाइडल तरिकाले प्रतिदान गर्दछ (चित्र १)। X ले विस्थापनलाई प्रतिनिधित्व गर्दछ र t ले समयलाई प्रतिनिधित्व गर्दछ। यस कम्पनको गणितीय अभिव्यक्ति हो:

(१)जहाँ A विस्थापन x को अधिकतम मान हो, जसलाई आयाम भनिन्छ, र कम्पनको तीव्रतालाई प्रतिनिधित्व गर्दछ; ओमेगा n प्रति सेकेन्ड कम्पनको आयाम कोण वृद्धि हो, जसलाई कोणीय आवृत्ति, वा गोलाकार आवृत्ति भनिन्छ; यसलाई प्रारम्भिक चरण भनिन्छ। f= n/2 को सन्दर्भमा, प्रति सेकेन्ड दोलनहरूको संख्यालाई आवृत्ति भनिन्छ; यसको उल्टो, T=1/f, एक चक्र दोलन गर्न लाग्ने समय हो, र त्यसलाई अवधि भनिन्छ। आयाम A, आवृत्ति f (वा कोणीय आवृत्ति n), प्रारम्भिक चरण, जसलाई साधारण हार्मोनिक कम्पन तीन तत्वहरू भनिन्छ।

चित्र १ साधारण हार्मोनिक कम्पन वक्र

चित्र २ मा देखाइए अनुसार, रेखीय स्प्रिङद्वारा जोडिएको केन्द्रित द्रव्यमान m द्वारा एक साधारण हार्मोनिक ओसिलेटर बनाइन्छ। जब कम्पन विस्थापन सन्तुलन स्थितिबाट गणना गरिन्छ, कम्पन समीकरण यो हो:

स्प्रिङको कठोरता कहाँ छ? माथिको समीकरणको सामान्य समाधान (1) हो। A र प्रारम्भिक स्थिति x0 र t=0 मा प्रारम्भिक वेग द्वारा निर्धारण गर्न सकिन्छ:

तर ओमेगा n केवल प्रणालीको विशेषताहरू m र k द्वारा मात्र निर्धारण गरिन्छ, अतिरिक्त प्रारम्भिक अवस्थाहरूबाट स्वतन्त्र, त्यसैले ओमेगा n लाई प्राकृतिक आवृत्ति पनि भनिन्छ।

चित्र २ एकल डिग्री स्वतन्त्रता प्रणाली

साधारण हार्मोनिक ओसिलेटरको लागि, यसको गतिज ऊर्जा र सम्भाव्य ऊर्जाको योग स्थिर हुन्छ, अर्थात्, प्रणालीको कुल यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षित हुन्छ। कम्पनको प्रक्रियामा, गतिज ऊर्जा र सम्भाव्य ऊर्जा निरन्तर एकअर्कामा रूपान्तरण हुन्छन्।

भिजाउने कम्पन

एउटा कम्पन जसको आयाम घर्षण र डाइलेक्ट्रिक प्रतिरोध वा अन्य ऊर्जा खपतद्वारा निरन्तर कम हुन्छ। सूक्ष्म कम्पनको लागि, वेग सामान्यतया धेरै ठूलो हुँदैन, र मध्यम प्रतिरोध पहिलो शक्तिको वेगसँग समानुपातिक हुन्छ, जसलाई c को रूपमा लेख्न सकिन्छ ड्याम्पिङ गुणांक हो। त्यसकारण, रेखीय ड्याम्पिङको साथ एक डिग्री स्वतन्त्रताको कम्पन समीकरण यसरी लेख्न सकिन्छ:

(२)जहाँ, m =c/2m लाई ड्याम्पिङ प्यारामिटर भनिन्छ, र। सूत्र (2) को सामान्य समाधान लेख्न सकिन्छ:

(३)ओमेगा n र PI बीचको संख्यात्मक सम्बन्धलाई निम्न तीन अवस्थामा विभाजन गर्न सकिन्छ:

N > (सानो ड्याम्पिङको अवस्थामा) कणले उत्पादन गरेको क्षीणन कम्पन, कम्पन समीकरण यो हो:

चित्र ३ मा देखाइएको डटेड लाइनमा देखाइए अनुसार समीकरणमा देखाइएको घातांकीय नियम अनुसार यसको आयाम समयसँगै घट्दै जान्छ। कडा शब्दमा भन्नुपर्दा, यो कम्पन अपेरियोडिक छ, तर यसको शिखरको आवृत्तिलाई यसरी परिभाषित गर्न सकिन्छ:

आयाम घटाउने दर भनिन्छ, जहाँ कम्पनको अवधि हुन्छ। आयाम घटाउने दरको प्राकृतिक लघुगणकलाई लघुगणक माइनस (एम्प्लिट्यूड) दर भनिन्छ। स्पष्ट रूपमा, =, यस अवस्थामा, २/१ बराबर छ। प्रयोगात्मक परीक्षण डेल्टा मार्फत र माथिको सूत्र प्रयोग गरेर c गणना गर्न सकिन्छ।

यस समयमा, समीकरण (2) को समाधान लेख्न सकिन्छ:

प्रारम्भिक वेगको दिशासँगै, यसलाई चित्र ४ मा देखाइए अनुसार तीन गैर-कम्पन अवस्थामा विभाजन गर्न सकिन्छ।

N < (ठूलो ड्याम्पिङको अवस्थामा), समीकरण (2) को समाधान समीकरण (3) मा देखाइएको छ। यस बिन्दुमा, प्रणाली अब कम्पन भइरहेको छैन।

जबरजस्ती कम्पन

स्थिर उत्तेजना अन्तर्गत प्रणालीको कम्पन। कम्पन विश्लेषणले मुख्यतया उत्तेजनाको लागि प्रणालीको प्रतिक्रियाको अनुसन्धान गर्दछ। आवधिक उत्तेजना एक विशिष्ट नियमित उत्तेजना हो। आवधिक उत्तेजना सधैं धेरै हार्मोनिक उत्तेजनाको योगमा विघटन गर्न सकिने भएकोले, सुपरपोजिसन सिद्धान्त अनुसार, प्रत्येक हार्मोनिक उत्तेजनाको लागि प्रणालीको प्रतिक्रिया मात्र आवश्यक छ। हार्मोनिक उत्तेजनाको कार्य अन्तर्गत, स्वतन्त्रताको एकल डिग्रीको गतिको भिन्न समीकरण लेख्न सकिन्छ:

प्रतिक्रिया दुई भागहरूको योगफल हो। एउटा भाग भिजेको कम्पनको प्रतिक्रिया हो, जुन समयसँगै द्रुत गतिमा क्षय हुन्छ। जबरजस्ती कम्पनको अर्को भागको प्रतिक्रिया लेख्न सकिन्छ:

चित्र ३ भिजेको कम्पन वक्र

चित्र: क्रिटिकल ड्याम्पिङ सहितको तीन प्रारम्भिक अवस्थाका ४ वक्रहरू

टाइप गर्नुहोस्

H /F0= h (), स्थिर प्रतिक्रिया आयाम र उत्तेजना आयामको अनुपात हो, आयाम-फ्रिक्वेन्सी विशेषताहरू, वा लाभ प्रकार्यको विशेषता; स्थिर अवस्था प्रतिक्रिया र चरणको प्रोत्साहनको लागि बिट्स, चरण आवृत्ति विशेषताहरूको विशेषता। तिनीहरू र उत्तेजना आवृत्ति बीचको सम्बन्ध चित्र ५ र चित्र ६ मा देखाइएको छ।

आयाम-फ्रिक्वेन्सी कर्भ (चित्र ५) बाट देख्न सकिन्छ, सानो ड्याम्पिङको अवस्थामा, आयाम-फ्रिक्वेन्सी कर्भको एउटै शिखर हुन्छ। ड्याम्पिङ जति सानो हुन्छ, शिखर त्यति नै उचाइ हुन्छ; शिखरसँग मिल्दोजुल्दो फ्रिक्वेन्सीलाई प्रणालीको रेजोनन्ट फ्रिक्वेन्सी भनिन्छ। सानो ड्याम्पिङको अवस्थामा, रेजोनन्स फ्रिक्वेन्सी प्राकृतिक फ्रिक्वेन्सी भन्दा धेरै फरक हुँदैन। जब उत्तेजना फ्रिक्वेन्सी प्राकृतिक फ्रिक्वेन्सीको नजिक हुन्छ, रेजोनन्स तीव्र रूपमा बढ्छ। यो घटनालाई रेजोनन्स भनिन्छ। रेजोनन्समा, प्रणालीको लाभ अधिकतम हुन्छ, अर्थात्, जबरजस्ती कम्पन सबैभन्दा तीव्र हुन्छ। त्यसकारण, सामान्यतया, सधैं रेजोनन्सबाट बच्न प्रयास गर्नुहोस्, जबसम्म केही उपकरणहरू र उपकरणहरूले ठूलो कम्पन प्राप्त गर्न रेजोनन्स प्रयोग गर्दैनन्।

चित्र ५ आयाम आवृत्ति वक्र

ओमेगा शून्य चरण भिन्नता बिट = PI / २ मा, ड्याम्पिङको आकारलाई ध्यान नदिई, चरण आवृत्ति वक्र (चित्र ६) बाट देख्न सकिन्छ, यो विशेषतालाई अनुनाद मापन गर्न प्रभावकारी रूपमा प्रयोग गर्न सकिन्छ।

स्थिर उत्तेजनाको अतिरिक्त, प्रणालीहरूले कहिलेकाहीं अस्थिर उत्तेजनाको सामना गर्छन्।यसलाई लगभग दुई प्रकारमा विभाजन गर्न सकिन्छ: एउटा अचानक प्रभाव हो।दोस्रो मनमानीपनको स्थायी प्रभाव हो।अस्थिर उत्तेजना अन्तर्गत, प्रणालीको प्रतिक्रिया पनि अस्थिर हुन्छ।

अस्थिर कम्पन विश्लेषण गर्ने एउटा शक्तिशाली उपकरण आवेग प्रतिक्रिया विधि हो। यसले प्रणालीको एकाइ आवेग इनपुटको क्षणिक प्रतिक्रियाको साथ प्रणालीको गतिशील विशेषताहरू वर्णन गर्दछ। एकाइ आवेगलाई डेल्टा प्रकार्यको रूपमा व्यक्त गर्न सकिन्छ। इन्जिनियरिङमा, डेल्टा प्रकार्यलाई प्रायः यसरी परिभाषित गरिन्छ:

जहाँ ०- ले बायाँबाट शून्यमा पुग्ने t-अक्षको बिन्दुलाई प्रतिनिधित्व गर्दछ; ० प्लस भनेको दायाँबाट ० मा जाने बिन्दु हो।

चित्र ६ चरण आवृत्ति वक्र

चित्र ७ कुनै पनि इनपुटलाई आवेग तत्वहरूको श्रृंखलाको योगफलको रूपमा मान्न सकिन्छ।

यो प्रणाली t=0 मा एकाइ आवेगद्वारा उत्पन्न हुने प्रतिक्रिया h(t) सँग मेल खान्छ, जसलाई आवेग प्रतिक्रिया प्रकार्य भनिन्छ। प्रणाली पल्स अघि स्थिर छ भनी मान्दै, t<0 को लागि h(t)=0। प्रणालीको आवेग प्रतिक्रिया प्रकार्य थाहा पाएर, हामी कुनै पनि इनपुट x(t) मा प्रणालीको प्रतिक्रिया फेला पार्न सक्छौं। यस बिन्दुमा, तपाईं x(t) लाई आवेग तत्वहरूको श्रृंखलाको योगको रूपमा सोच्न सक्नुहुन्छ (चित्र 7)। प्रणालीको प्रतिक्रिया हो:

सुपरपोजिसन सिद्धान्तको आधारमा, x(t) सँग सम्बन्धित प्रणालीको कुल प्रतिक्रिया हो:

यो इन्टिग्रललाई कन्भोलुसन इन्टिग्रल वा सुपरपोजिसन इन्टिग्रल भनिन्छ।

बहु-डिग्री-स्वतन्त्रता प्रणालीको रेखीय कम्पन

n≥2 डिग्री स्वतन्त्रता भएको रेखीय प्रणालीको कम्पन।

चित्र ८ ले कपलिंग स्प्रिङद्वारा जोडिएका दुई साधारण रेजोनन्ट उपप्रणालीहरू देखाउँछ। किनभने यो दुई-डिग्री-स्वतन्त्रता प्रणाली हो, यसको स्थिति निर्धारण गर्न दुई स्वतन्त्र निर्देशांकहरू आवश्यक पर्दछ। यस प्रणालीमा दुई प्राकृतिक आवृत्तिहरू छन्:

प्रत्येक फ्रिक्वेन्सी कम्पनको मोडसँग मेल खान्छ। हार्मोनिक ओसिलेटरहरूले समान फ्रिक्वेन्सीको हार्मोनिक दोलनहरू गर्छन्, समकालिक रूपमा सन्तुलन स्थितिबाट गुज्रँदै र समकालिक रूपमा चरम स्थितिमा पुग्छन्। ओमेगा एकसँग सम्बन्धित मुख्य कम्पनमा, x1 x2 बराबर हुन्छ; ओमेगा ओमेगा दुई, ओमेगा ओमेगा एकसँग सम्बन्धित मुख्य कम्पनमा। मुख्य कम्पनमा, प्रत्येक द्रव्यमानको विस्थापन अनुपातले एक निश्चित सम्बन्ध राख्छ र एक निश्चित मोड बनाउँछ, जसलाई मुख्य मोड वा प्राकृतिक मोड भनिन्छ। द्रव्यमान र कठोरताको ओर्थोगोनालिटी मुख्य मोडहरूमा अवस्थित छ, जसले प्रत्येक कम्पनको स्वतन्त्रतालाई प्रतिबिम्बित गर्दछ। प्राकृतिक आवृत्ति र मुख्य मोडले बहु-डिग्री स्वतन्त्रता प्रणालीको अन्तर्निहित कम्पन विशेषताहरूलाई प्रतिनिधित्व गर्दछ।

चित्र ८ स्वतन्त्रताको धेरै डिग्री भएको प्रणाली

n डिग्रीको स्वतन्त्रताको प्रणालीमा n प्राकृतिक आवृत्तिहरू र n मुख्य मोडहरू हुन्छन्। प्रणालीको कुनै पनि कम्पन कन्फिगरेसनलाई प्रमुख मोडहरूको रेखीय संयोजनको रूपमा प्रतिनिधित्व गर्न सकिन्छ। त्यसकारण, बहु-डोफ प्रणालीहरूको गतिशील प्रतिक्रिया विश्लेषणमा मुख्य मोड सुपरपोजिसन विधि व्यापक रूपमा प्रयोग गरिन्छ। यस तरिकाले, प्रणालीको प्राकृतिक कम्पन विशेषताहरूको मापन र विश्लेषण प्रणालीको गतिशील डिजाइनमा एक नियमित चरण बन्छ।

बहु-स्वतन्त्रता प्रणालीहरूको गतिशील विशेषताहरूलाई आवृत्ति विशेषताहरूद्वारा पनि वर्णन गर्न सकिन्छ। प्रत्येक इनपुट र आउटपुट बीच आवृत्ति विशेषता प्रकार्य भएकोले, आवृत्ति विशेषता म्याट्रिक्स निर्माण गरिन्छ। बहु-स्वतन्त्रता प्रणालीको आयाम-आवृत्ति विशेषता वक्र एकल-स्वतन्त्रता प्रणालीको भन्दा फरक छ।

इलास्टोमर कम्पन हुन्छ

माथिको बहु-डिग्री स्वतन्त्रता प्रणाली इलास्टोमरको अनुमानित मेकानिकल मोडेल हो।इलास्टोमरमा असीमित संख्यामा स्वतन्त्रता डिग्रीहरू हुन्छन्। दुई बीच मात्रात्मक भिन्नता हुन्छ तर कुनै आवश्यक भिन्नता हुँदैन।कुनै पनि इलास्टोमरमा अनन्त संख्यामा प्राकृतिक फ्रिक्वेन्सीहरू र अनन्त संख्यामा सम्बन्धित मोडहरू हुन्छन्, र द्रव्यमान र कठोरताको मोडहरू बीच ओर्थोगोनालिटी हुन्छ।इलास्टोमरको कुनै पनि कम्पन कन्फिगरेसनलाई प्रमुख मोडहरूको रेखीय सुपरपोजिसनको रूपमा पनि प्रतिनिधित्व गर्न सकिन्छ।त्यसकारण, इलास्टोमरको गतिशील प्रतिक्रिया विश्लेषणको लागि, मुख्य मोडको सुपरपोजिसन विधि अझै पनि लागू हुन्छ (इलास्टोमरको रेखीय कम्पन हेर्नुहोस्)।

एउटा तारको कम्पन लिनुहोस्। मानौं, प्रति एकाइ लम्बाइ m द्रव्यमान भएको पातलो तार, लामो l, दुवै छेउमा तनावपूर्ण छ, र तनाव T हो। यस समयमा, तारको प्राकृतिक आवृत्ति निम्न समीकरणद्वारा निर्धारण गरिन्छ:

F = na/2l (n= १,२,३…)।

स्ट्रिङको दिशामा ट्रान्सभर्स वेभको प्रसार वेग कहाँ छ? स्ट्रिङहरूको प्राकृतिक फ्रिक्वेन्सीहरू 2l भन्दा बढी आधारभूत फ्रिक्वेन्सीको गुणन हुन्छन्। यो पूर्णांक गुणनले एक सुखद हार्मोनिक संरचना निम्त्याउँछ। सामान्यतया, इलास्टोमरको प्राकृतिक फ्रिक्वेन्सीहरू बीच त्यस्तो कुनै पूर्णांक बहु सम्बन्ध हुँदैन।

तनावयुक्त स्ट्रिङका पहिलो तीन मोडहरू चित्र ९ मा देखाइएका छन्। मुख्य मोड कर्भमा केही नोडहरू छन्। मुख्य कम्पनमा, नोडहरू कम्पन हुँदैनन्। चित्र १० ले सर्कल र व्यास मिलेर बनेको केही नोडल रेखाहरू सहित परिधिगत रूपमा समर्थित गोलाकार प्लेटका धेरै विशिष्ट मोडहरू देखाउँछ।

इलास्टोमर कम्पन समस्याको सही सूत्रीकरणलाई आंशिक भिन्नता समीकरणहरूको सीमा मान समस्याको रूपमा निष्कर्ष निकाल्न सकिन्छ। यद्यपि, सही समाधान केही सरल अवस्थामा मात्र फेला पार्न सकिन्छ, त्यसैले हामीले जटिल इलास्टोमर कम्पन समस्याको लागि अनुमानित समाधानको सहारा लिनुपर्छ। विभिन्न अनुमानित समाधानहरूको सार भनेको अनन्तलाई परिमितमा परिवर्तन गर्नु हो, अर्थात्, अंग-रहित बहु-डिग्री स्वतन्त्रता प्रणाली (निरन्तर प्रणाली) लाई परिमित बहु-डिग्री स्वतन्त्रता प्रणाली (असत्य प्रणाली) मा विभेदित गर्नु हो। इन्जिनियरिङ विश्लेषणमा व्यापक रूपमा प्रयोग हुने दुई प्रकारका विभेदीकरण विधिहरू छन्: परिमित तत्व विधि र मोडल संश्लेषण विधि।

चित्र ९ स्ट्रिङको मोड

चित्र १० गोलाकार प्लेटको मोड

सीमित तत्व विधि भनेको एक समग्र संरचना हो जसले जटिल संरचनालाई सीमित संख्याका तत्वहरूमा सारांशित गर्दछ र तिनीहरूलाई सीमित संख्याका नोडहरूमा जोड्दछ। प्रत्येक एकाइ एक इलास्टोमर हो; तत्वको वितरण विस्थापन नोड विस्थापनको इन्टरपोलेसन प्रकार्यद्वारा व्यक्त गरिन्छ। त्यसपछि प्रत्येक तत्वको वितरण प्यारामिटरहरू निश्चित ढाँचामा प्रत्येक नोडमा केन्द्रित हुन्छन्, र असतत प्रणालीको मेकानिकल मोडेल प्राप्त हुन्छ।

मोडल संश्लेषण भनेको जटिल संरचनालाई धेरै सरल उप-संरचनाहरूमा विघटन गर्नु हो।प्रत्येक उप-संरचनाको कम्पन विशेषताहरू बुझ्ने आधारमा, इन्टरफेसमा समन्वय अवस्था अनुसार उप-संरचनालाई सामान्य संरचनामा संश्लेषित गरिन्छ, र प्रत्येक उप-संरचनाको कम्पन आकारविज्ञान प्रयोग गरेर सामान्य संरचनाको कम्पन आकारविज्ञान प्राप्त गरिन्छ।

दुई विधिहरू फरक र सम्बन्धित छन्, र सन्दर्भको रूपमा प्रयोग गर्न सकिन्छ। ठूला प्रणालीहरूको कम्पनको लागि सैद्धान्तिक र प्रयोगात्मक विश्लेषण विधि बनाउन मोडल संश्लेषण विधिलाई प्रयोगात्मक मापनसँग प्रभावकारी रूपमा संयोजन गर्न सकिन्छ।