Линеарне вибрацијеЕластичност компоненти у систему подлеже Хуковом закону, а сила пригушења генерисана током кретања је пропорционална првој једначини генерализоване брзине (временски извод генерализованих координата).
концепт
Линеарни систем је обично апстрактни модел вибрација реалног система. Линеарни вибрациони систем примењује принцип суперпозиције, то јест, ако је одзив система y1 под дејством улаза x1 и y2 под дејством улаза x2, онда је одзив система под дејством улаза x1 и x2 y1+y2.
На основу принципа суперпозиције, произвољни улаз може се разложити на збир низа инфинитезималних импулса, а затим се може добити укупан одзив система. Збир хармонијских компоненти периодичне побуде може се проширити на низ хармонијских компоненти помоћу Фуријеове трансформације, а ефекат сваке хармонијске компоненте на систем може се испитати одвојено. Стога се карактеристике одзива линеарних система са константним параметрима могу описати импулсним одзивом или фреквентним одзивом.
Импулсни одзив се односи на одзив система на јединични импулс, који карактерише карактеристике одзива система у временском домену. Фреквентни одзив се односи на карактеристику одзива система на улаз јединичног хармоника. Кореспонденција између њих двоје је одређена Фуријеовом трансформацијом.
класификација
Линеарне вибрације се могу поделити на линеарне вибрације система са једним степеном слободе и линеарне вибрације система са више степени слободе.
(1) Линеарна вибрација система са једним степеном слободе је линеарна вибрација чији се положај може одредити генерализованом координатом. То је најједноставнија вибрација из које се могу извести многи основни концепти и карактеристике вибрације. Укључује једноставну хармонијску вибрацију, слободну вибрацију, вибрацију са слабљењем и принудну вибрацију.
Једноставна хармонијска вибрација: осцилационо кретање објекта у близини његовог равнотежног положаја према синусоидном закону под дејством силе враћања пропорционалне његовом померању.
Пригушена вибрација: вибрација чија се амплитуда континуирано смањује присуством трења и диелектричног отпора или другом потрошњом енергије.
Присилна вибрација: вибрација система под сталним побуђивањем.
(2) линеарна вибрација система са више степени слободе је вибрација линеарног система са n≥2 степена слободе. Систем од n степени слободе има n природних фреквенција и n главних модова. Било која конфигурација вибрација система може се представити као линеарна комбинација главних модова. Стога се метода суперпозиције главних модова широко користи у анализи динамичког одзива система са више степени слободе. На овај начин, мерење и анализа природних карактеристика вибрација система постаје рутински корак у динамичком пројектовању система. Динамичке карактеристике система са више степени слободе могу се описати и фреквентним карактеристикама. Пошто постоји фреквентна карактеристична функција између сваког улаза и излаза, конструише се матрица фреквентних карактеристика. Постоји дефинитивна веза између фреквентне карактеристике и главног мода. Крива амплитудно-фреквентне карактеристике система са више степени слободе разликује се од оне код система са једном слободом.
Линеарне вибрације система са једним степеном слободе
Линеарна вибрација у којој се положај система може одредити генерализованом координатом. То је најједноставнија и најосновнија вибрација из које се могу извести многи основни концепти и карактеристике вибрације. Укључује једноставну хармонијску вибрацију, пригушену вибрацију и принудну вибрацију.
Хармонијска вибрација
Под дејством силе враћања пропорционалне померању, објекат се креће синусоидално близу свог равнотежног положаја (слика 1). X представља померање, а t представља време. Математички израз ове вибрације је:
(1)Где је А максимална вредност померања x, која се назива амплитуда и представља интензитет вибрације; Омега n је прираштај угла амплитуде вибрације у секунди, који се назива угаона фреквенција или кружна фреквенција; Ово се назива почетна фаза. У терминима f = n/2, број осцилација у секунди назива се фреквенција; Инверз овога, T = 1/f, је време потребно за осциловање једног циклуса, а то се назива период. Амплитуда А, фреквенција f (или угаона фреквенција n), почетна фаза, позната је као једноставна хармонијска вибрација са три елемента.
Сл. 1 једноставна хармонијска крива вибрација
Као што је приказано на слици 2, једноставан хармонијски осцилатор формира концентрована маса m повезана линеарном опругом. Када се померање вибрација израчуна из равнотежног положаја, једначина вибрација је:
Где је крутост опруге. Опште решење горње једначине је (1). А и може се одредити почетним положајем x0 и почетном брзином при t=0:
Али омега n је одређена само карактеристикама самог система m и k, независно од додатних почетних услова, па је омега n позната и као природна фреквенција.
Сл. 2 систем са једним степеном слободе
За једноставан хармонијски осцилатор, збир његове кинетичке енергије и потенцијалне енергије је константан, односно укупна механичка енергија система је очувана. У процесу вибрације, кинетичка и потенцијална енергија се стално трансформишу једна у другу.
Пригушивање вибрација
Вибрација чија се амплитуда континуирано смањује трењем и диелектричним отпором или другом потрошњом енергије. За микровибрације, брзина генерално није велика, а отпор средине је пропорционалан брзини на први степен, што се може написати као c је коефицијент пригушења. Стога, једначина вибрације једног степена слободе са линеарним пригушењем може се написати као:
(2)Где се m = c/2m назива параметар пригушења, а. Опште решење формуле (2) може се написати:
(3)Нумеричка веза између омега n и пи може се поделити на следећа три случаја:
N > (у случају малог пригушења) вибрације коју производе честице, једначина вибрација је:
Његова амплитуда се смањује са временом према експоненцијалном закону приказаном у једначини, као што је приказано испрекиданом линијом на слици 3. Строго говорећи, ова вибрација је апериодична, али фреквенција њеног врха може се дефинисати као:
Назива се брзина смањења амплитуде, где је период вибрације. Природни логаритам брзине смањења амплитуде назива се логаритам минус (амплитудска) брзина. Очигледно је да је у овом случају једнако 2/1. Директно кроз експериментални тест делте и , користећи горњу формулу, може се израчунати c.
У овом тренутку, решење једначине (2) може се написати:
Заједно са правцем почетне брзине, може се поделити на три случаја без вибрација, као што је приказано на слици 4.
N < (у случају великог пригушења), решење једначине (2) је приказано у једначини (3). У овом тренутку, систем више не вибрира.
Присилне вибрације
Вибрација система под константном побудом. Анализа вибрација углавном истражује одговор система на побуду. Периодична побуда је типична регуларна побуда. Пошто се периодична побуда увек може разложити на збир неколико хармонијских побуда, према принципу суперпозиције, потребан је само одговор система на сваку хармонијску побуду. Под дејством хармонијске побуде, диференцијална једначина кретања система са једним степеном слободе са пригушењем може се написати:
Одзив је збир два дела. Један део је одзив пригушених вибрација, које се брзо смањују са временом. Одзив другог дела принудних вибрација може се написати:
Сл. 3 крива пригушених вибрација
Сл. 4 криве три почетна услова са критичним пригушењем
Укуцајте
H /F0= h (), је однос амплитуде стационарног одзива и амплитуде побуде, карактеришући амплитудно-фреквентне карактеристике или функцију појачања; Битови за стационарни одзив и подстицај фазе, карактеризација фазних фреквентних карактеристика. Однос између њих и фреквенције побуде је приказан на слици 5 и слици 6.
Као што се може видети из криве амплитуде и фреквенције (слика 5), у случају малог пригушења, крива амплитуде и фреквенције има један врх. Што је пригушење мање, врх је стрмији; фреквенција која одговара врху назива се резонантна фреквенција система. У случају малог пригушења, резонантна фреквенција се не разликује много од природне фреквенције. Када је фреквенција побуде близу природне фреквенције, амплитуда нагло расте. Овај феномен се назива резонанца. Код резонанце, појачање система је максимално, односно принудне вибрације су најинтензивније. Стога, генерално, увек треба настојати да се избегне резонанција, осим ако неки инструменти и опрема не користе резонанцу за постизање великих вибрација.
Сл. 5 крива амплитудне фреквенције
Као што се види из криве фазне фреквенције (слика 6), без обзира на величину пригушења, у омега нултим фазним разликама битовима = PI / 2, ова карактеристика се може ефикасно користити у мерењу резонанције.
Поред сталног побуђивања, системи се понекад сусрећу и са нестационарним побуђивањем. Оно се може грубо поделити на два типа: један је изненадни удар. Други је трајни ефекат произвољности. Под нестационарним побуђивањем, одговор система је такође нестабилан.
Моћан алат за анализу нестационарних вибрација је метода импулсног одзива. Она описује динамичке карактеристике система помоћу прелазног одзива јединичног импулсног улаза система. Јединични импулс се може изразити као делта функција. У инжењерству, делта функција се често дефинише као:
Где 0- представља тачку на t-оси која се приближава нули слева; 0 плус је тачка која иде ка 0 здесна.
Сл. 6 крива фазне фреквенције
Сл. 7 било који улаз може се сматрати збиром низа импулсних елемената
Систем одговара одзиву h(t) генерисаном јединичним импулсом у тренутку t=0, који се назива функција одзива на импулс. Под претпоставком да је систем стационаран пре импулса, h(t)=0 за t<0. Познавајући функцију одзива на импулс система, можемо пронаћи одзив система на било који улаз x(t). У овом тренутку, x(t) можете замислити као збир низа елемената импулса (слика 7). Одзив система је:
На основу принципа суперпозиције, укупан одзив система који одговара x(t) је:
Овај интеграл се назива конволуциони интеграл или суперпозициони интеграл.
Линеарне вибрације система са више степени слободе
Вибрација линеарног система са n≥2 степена слободе.
Слика 8 приказује два једноставна резонантна подсистема повезана спојном опругом. Пошто је у питању систем са два степена слободе, потребне су две независне координате да би се одредио његов положај. У овом систему постоје две природне фреквенције:
Свака фреквенција одговара једном моду вибрације. Хармонијски осцилатори врше хармонијске осцилације исте фреквенције, синхроно пролазећи кроз равнотежни положај и синхроно достижући екстремни положај. У главној вибрацији која одговара омега један, x1 је једнако x2; у главној вибрацији која одговара омега омега два, омега омега један. У главној вибрацији, однос померања сваке масе одржава одређени однос и формира одређени мод, који се назива главни мод или природни мод. Ортогоналност масе и крутости постоји међу главним модовима, што одражава независност сваке вибрације. Природна фреквенција и главни мод представљају инхерентне карактеристике вибрација система са више степени слободе.
Сл. 8 систем са више степени слободе
Систем од n степени слободе има n природних фреквенција и n главних модова. Било која конфигурација вибрација система може се представити као линеарна комбинација главних модова. Стога се метода суперпозиције главних модова широко користи у анализи динамичког одзива система са више степени слободе. На овај начин, мерење и анализа карактеристика природних вибрација система постаје рутински корак у динамичком пројектовању система.
Динамичке карактеристике система са више степени слободе могу се описати и фреквентним карактеристикама. Пошто постоји фреквентна карактеристична функција између сваког улаза и излаза, конструише се матрица фреквентних карактеристика. Крива амплитудно-фреквентне карактеристике система са више слобода разликује се од оне код система са једном слободом.
Еластомер вибрира
Горе наведени систем са више степени слободе је приближан механички модел еластомера. Еластомер има бесконачан број степени слободе. Постоји квантитативна разлика, али не и суштинска разлика између њих двоје. Било који еластомер има бесконачан број природних фреквенција и бесконачан број одговарајућих модова, и постоји ортогоналност између модова масе и крутости. Било која вибрациона конфигурација еластомера може се представити и као линеарна суперпозиција главних модова. Стога је за анализу динамичког одзива еластомера и даље применљива метода суперпозиције главног мода (видети линеарне вибрације еластомера).
Узмимо вибрацију жице. Рецимо да је танка жица масе m по јединици дужине, дужине l, затегнута на оба краја, а затегнутост је T. У овом тренутку, природна фреквенција жице је одређена следећом једначином:
F = na/2l (n = 1, 2, 3…).
Где је брзина простирања трансверзалног таласа дуж правца жице. Природне фреквенције жица су умножци основне фреквенције преко 2l. Ова целобројна умножљивост доводи до пријатне хармонијске структуре. Генерално, не постоји таква веза целобројног умножка међу природним фреквенцијама еластомера.
Прва три мода затегнуте жице су приказана на слици 9. Постоје неки чворови на главној кривој мода. У главној вибрацији, чворови не вибрирају. Слика 10 приказује неколико типичних модова кружне плоче ослоњене по ободу са неким чворним линијама састављеним од кругова и пречника.
Тачна формулација проблема вибрација еластомера може се закључити као проблем граничних вредности парцијалних диференцијалних једначина. Међутим, тачно решење се може наћи само у неким од најједноставнијих случајева, тако да морамо да прибегнемо приближном решењу за сложени проблем вибрација еластомера. Суштина различитих приближних решења је да се бесконачно промени у коначно, односно да се дискретизује систем са више степени слободе без кракова (континуирани систем) у коначан систем са више степени слободе (дискретни систем). Постоје две врсте метода дискретизације које се широко користе у инжењерској анализи: метода коначних елемената и метода модалне синтезе.
Сл. 9 режим низа
Сл. 10 режим кружне плоче
Метода коначних елемената је композитна структура која апстрахује сложену структуру на коначан број елемената и повезује их у коначном броју чворова. Свака јединица је еластомер; расподела померања елемента изражава се интерполационом функцијом померања чвора. Затим се параметри расподеле сваког елемента концентришу на сваки чвор у одређеном формату и добија се механички модел дискретног система.
Модална синтеза је разлагање сложене структуре на неколико једноставнијих подструктура. На основу разумевања вибрационих карактеристика сваке подструктуре, подструктура се синтетише у општу структуру према координационим условима на интерфејсу, а вибрациона морфологија опште структуре се добија коришћењем вибрационе морфологије сваке подструктуре.
Две методе су различите и повезане и могу се користити као референца. Метода модалне синтезе се такође може ефикасно комбиновати са експерименталним мерењем како би се формирала теоријска и експериментална метода анализе вибрација великих система.
Време објаве: 03.04.2020.
