線形振動とは何ですか?

線形振動: システム内のコンポーネントの弾性はフックの法則に従い、動作中に生成される減衰力は一般化速度の最初の方程式 (一般化座標の時間導関数) に比例します。

コンセプト

線形システムは通常、実際のシステムの振動の抽象モデルです。線形振動システムは重ね合わせ原理を適用します。つまり、システムの応答が入力 x1 の作用下で y1 であり、入力 x2 の作用下で y2 である場合、この場合、入力 x1 および x2 の作用下でのシステムの応答は y1+y2 になります。

重ね合わせの原理に基づいて、任意の入力を一連の微小なインパルスの合計に分解し、システムの全体の応答を取得できます。周期的な励起の高調波成分の合計は次のように展開できます。したがって、パラメータが一定の線形システムの応答特性は、インパルス応答または周波数応答で表すことができます。

インパルス応答は、時間領域でのシステムの応答特性を特徴付ける単位インパルスに対するシステムの応答を指します。周波数応答は、単位高調波入力に対するシステムの応答特性を指します。両者の対応関係が決定されます。フーリエ変換による。

分類

線形振動は一自由度系の線形振動と多自由度系の線形振動に分けられます。

(1) 1 自由度系の線形振動は、その位置が一般化された座標によって決定できる線形振動です。これは、振動の多くの基本概念と特性を導き出すことができる最も単純な振動です。調和振動、自由振動、減衰振動、強制振動。

単調和振動: 物体の変位に比例する復元力の作用下で、正弦波の法則に従って平衡位置付近で物体が往復運動すること。

減衰振動: 摩擦や誘電抵抗、その他のエネルギー消費の存在によって振幅が継続的に減衰する振動。

強制振動: 一定の励起下でのシステムの振動。

(2) 多自由度系の線形振動は、n≧2 自由度の線形系の振動です。n 自由度の系には、n 個の固有振動数と n 個の主モードがあります。任意の振動構成システムの固有振動特性は、主モードの線形結合として表すことができます。したがって、主モード重ね合わせ法は、多自由度システムの動的応答解析に広く使用されています。このようにして、システムの固有振動特性の測定と解析が可能になります。システムは、システムの動的設計における日常的なステップになります。多自由度システムの動的特性は、周波数特性によっても説明できます。各入力と出力の間には周波数特性関数があるため、周波数特性行列が構築されます。は、周波数特性とメインモードとの間に明確な関係があります。多自由度システムの振幅周波数特性曲線は、単一自由度システムの振幅周波数特性曲線とは異なります。

単一自由度系の線形振動

システムの位置を一般化された座標によって決定できる線形振動。これは、振動の多くの基本的な概念と特性を導き出すことができる最も単純かつ最も基本的な振動です。単振動、減衰振動、および強制振動が含まれます。 。

調和振動

物体は変位に比例した復元力が働くため、平衡位置付近で正弦波状に往復運動します(図1)。Xは変位、tは時間を表します。この振動の数学的表現は次のとおりです。

(1)ここで、A は変位 x の最大値であり、振幅と呼ばれ、振動の強度を表します。オメガ n は、1 秒あたりの振動の振幅角度増分であり、角周波数または円周波と呼ばれます。これは、は初期位相と呼ばれます。f= n/2 に関して、1 秒あたりの振動数を周波数といいます。これの逆数、T=1/f が 1 周期の振動にかかる時間を、これを周波数といいます。周期、振幅A、周波数f(または角周波数n)、初期位相の3要素を単振動といいます。

イチジク。1 単調波振動曲線

図１に示すように、図 2 に示すように、単振動子は線形バネで接続された集中質量 m によって形成されます。平衡位置から振動変位を計算すると、振動方程式は次のようになります。

ここで、バネの剛性は次のようになります。上式の一般的な解は (1).A であり、t=0 での初期位置 x0 と初速度によって決定できます。

ただし、オメガ n は、追加の初期条件とは無関係に、システム自体の特性 m と k によってのみ決定されるため、オメガ n は固有振動数としても知られています。

イチジク。2 単一自由度システム

単純な調和振動子の場合、その運動エネルギーと位置エネルギーの和は一定です。つまり、システムの総機械エネルギーは保存されます。振動の過程で、運動エネルギーと位置エネルギーは常に相互に変換されます。

振動の減衰

振幅が摩擦や誘電抵抗、その他のエネルギー消費によって継続的に減衰する振動。微小振動の場合、速度は一般にそれほど大きくなく、媒体抵抗は速度の 1 乗に比例します。これは c と書くことができます。したがって、線形減衰を伴う 1 自由度の振動方程式は次のように記述できます。

(2)ここで、m =c/2m は減衰パラメータと呼ばれ、式 (2) の一般解は次のように書くことができます。

(3)オメガ n と PI の数値関係は、次の 3 つのケースに分類できます。

N > (減衰が小さい場合) 粒子生成減衰振動の場合、振動方程式は次のとおりです。

その振幅は、図２の点線で示すように、式に示される指数則に従って時間とともに減少する。3.厳密に言えば、この振動は非周期的ですが、そのピークの周波数は次のように定義できます。

は振幅低減率と呼ばれ、 は振動の周期です。振幅低減率の自然対数は、対数マイナス（振幅）率と呼ばれます。明らかに、この場合、= は 2/1 に等しくなります。実験的テストデルタは、上記の式を使用して計算できます。 ｃ．

このとき、方程式 (2) の解は次のように書けます。

初速度の方向により、図３に示すように無振動の場合に３つに分類できる。4.

N < (減衰が大きい場合) の場合、式 (2) の解は式 (3) に示されます。この時点で、システムは振動していません。

強制振動

一定の励起下でのシステムの振動。振動解析は主に励起に対するシステムの応答を調査します。周期的励起は典型的な規則的な励起です。周期的励起は常にいくつかの高調波励起の合計に分解できるため、重ね合わせ原理に従って、各高調波励起に対するシステムの応答が必要です。高調波励起の作用の下では、単一自由度の減衰システムの微分運動方程式を書くことができます。

応答は 2 つの部分の合計です。1 つの部分は減衰振動の応答であり、時間の経過とともに急速に減衰します。強制振動の別の部分の応答は次のように書くことができます。

イチジク。3 減衰振動曲線

イチジク。臨界減衰を伴う 3 つの初期条件の 4 つの曲線

を入力してください

H /F0= h () は、定常応答振幅と励振振幅の比であり、振幅周波数特性を特徴付ける、またはゲイン関数です。定常状態応答および位相インセンティブのビット、位相周波数特性を特徴付けます。それらとの関係励起周波数を図２に示す。図５および図６に示す。6.

振幅-周波数曲線(図5)からわかるように、減衰が小さい場合、振幅-周波数曲線には単一のピークがあります。減衰が小さいほど、ピークは急峻になります。ピークに対応する周波数は減衰が小さい場合、共振周波数は固有周波数とあまり変わりません。励振周波数が固有周波数に近づくと、振幅は急激に増加します。この現象は共振と呼ばれます。共振時はシステムのゲインが最大化され、つまり強制振動が最も強くなります。したがって、共振を利用して大きな目標を達成する一部の機器や装置を除いて、一般的には常に共振を避けるように努めます。振動。

イチジク。5 振幅周波数曲線

位相周波数曲線 (図 6) からわかるように、減衰の大きさに関係なく、オメガ ゼロ位相差ビット = PI / 2 では、この特性は共振の測定に効果的に使用できます。

定常励磁に加えて、システムは時々非定常励振に遭遇します。それは大きく 2 つのタイプに分けることができます。1 つは突然の衝撃、もう 1 つは恣意性の持続的な影響です。非定常励振下では、システムの応答も不安定になります。

非定常振動を解析するための強力なツールは、インパルス応答法です。これは、システムの単位インパルス入力の過渡応答を使用してシステムの動的特性を記述します。単位インパルスはデルタ関数として表すことができます。工学では、デルタ関数は多くの場合次のように定義されます。

ここで、0- は左からゼロに近づく t 軸上の点を表し、0 プラスは右から 0 に向かう点を表します。

イチジク。6相周波数曲線

イチジク。7 あらゆる入力は、一連のインパルス要素の合計として考えることができます。

このシステムは、t=0 で単位インパルスによって生成される応答 h(t) に対応します。これは、インパルス応答関数と呼ばれます。システムがパルスの前に静止していると仮定すると、t<0 の場合、h(t)=0 となります。システムのインパルス応答関数を使用すると、任意の入力 x(t) に対するシステムの応答を見つけることができます。この時点で、x(t) を一連のインパルス要素の合計と考えることができます (図 7)。システムの応答は次のとおりです。

重ね合わせの原理に基づくと、x(t) に対応するシステムの合計応答は次のようになります。

この積分は畳み込み積分または重ね合わせ積分と呼ばれます。

多自由度系の線形振動

n≥2 自由度の線形システムの振動。

図 8 は、結合バネによって接続された 2 つの単純な共振サブシステムを示しています。これは 2 自由度のシステムであるため、その位置を決定するには 2 つの独立した座標が必要です。このシステムには 2 つの固有振動数があります。

各周波数は振動モードに対応します。調和発振器は同じ周波数の調和振動を実行し、同期して平衡位置を通過し、同期して極限位置に到達します。オメガ 1 に対応する主振動では、x1 は x2 に等しくなります。オメガオメガ2、オメガオメガ1に対応する主振動。主振動では各質量の変位比が一定の関係を保ち、一定のモードを形成し、これをメインモードまたは固有モードと呼びます。質量と固有モードの直交性メイン モードの間には剛性が存在し、各振動の独立性を反映しています。固有振動数とメイン モードは、多自由度システムの固有の振動特性を表します。

イチジク。複数の自由度を備えた 8 システム

n 自由度のシステムには、n 個の固有振動数と n 個の主モードがあります。システムのあらゆる振動形状は、主モードの線形結合として表現できます。そのため、主モード重ね合わせ法は、多要素の動的応答解析に広く使用されています。 -dof システム。このようにして、システムの固有振動特性の測定と解析は、システムの動的設計における日常的なステップになります。

多自由度システムの動特性は、周波数特性によっても説明できます。各入力と出力の間には周波数特性関数があるため、周波数特性行列が構築されます。多自由度システムの振幅周波数特性曲線は異なります。単一自由システムのシステムから。

エラストマーが振動する

上記の多自由度系はエラストマーの近似機械モデルです。エラストマーには無限の自由度があります。両者の間には量的な違いはありますが、本質的な違いはありません。どのエラストマーにも無限の固有振動数があり、対応するモードは無数にあり、質量と剛性のモード間には直交性があります。エラストマーの振動構成は、主要モードの線形重ね合わせとして表すこともできます。したがって、エラストマーの動的応答解析には、重ね合わせ法が使用されます。メイン モードの機能は引き続き適用されます (エラストマーの線形振動を参照)。

弦の振動を考えてみましょう。単位長さ当たり質量m、長さlの細い弦の両端に張力があり、その張力をTとします。このとき、弦の固有振動数は次式で決まります。方程式:

F =na/2l (n= 1,2,3…)。

ここで、 は弦の方向に沿った横波の伝播速度です。弦の固有周波数は、偶然にも 2l を超える基本周波数の倍数になります。この整数の倍数により、快適な調和構造が得られます。一般に、エラストマーの固有振動数間の整数倍の関係。

張られた弦の最初の３つのモードが図２に示されている。主モード曲線上にはいくつかの節がある。主振動では、節は振動しない。図１０は、円と直径から構成されるいくつかの節線を有する円周方向に支持された円形プレートのいくつかの典型的なモードを示す。

エラストマーの振動問題の正確な定式化は、偏微分方程式の境界値問題として結論付けることができます。ただし、正確な解は、最も単純な場合の一部でしか見つからないため、複雑なエラストマーの近似解に頼らなければなりません。さまざまな近似解の本質は、無限を有限に変えること、つまり四肢のない多自由度系（連続系）を有限の多自由度系（離散系）に離散化することにある。工学解析で広く使用されている離散化手法には、有限要素法とモーダル合成法の 2 種類があります。

イチジク。9 文字列のモード

イチジク。円板の10モード

有限要素法とは、複雑な構造を有限の要素に抽象化し、それらを有限の節点で接続した複合構造です。各ユニットはエラストマーであり、要素の分布変位は節点変位の補間関数で表現されます。各要素の分布パラメータが一定の形式で各ノードに集約され、離散系の力学モデルが得られます。

モーダル合成とは、複雑な構造をいくつかのより単純な部分構造に分解することです。各部分構造の振動特性の理解に基づいて、界面の配位条件と一般的な振動形態に従って部分構造を一般的な構造に合成します。各部分構造の振動形態を利用して構造を取得します。

2 つの方法は異なるものですが関連しており、参考として使用できます。また、モーダル合成方法を実験測定と効果的に組み合わせて、大規模システムの振動の理論的および実験的解析方法を形成することもできます。