直線振動システム内のコンポーネントの弾性はフックの法則に従い、運動中に発生する減衰力は一般化速度（一般化座標の時間微分）の最初の式に比例します。
コンセプト
線形システムは通常、実際のシステムの振動の抽象モデルです。線形振動システムは重ね合わせの原理を適用します。つまり、入力x1の作用下でシステムの応答がy1であり、入力x2の作用下でシステムの応答がy2である場合、入力x1とx2の作用下でのシステムの応答はy1+y2となります。
重ね合わせの原理に基づき、任意の入力は一連の微小インパルスの和に分解でき、それによってシステムの全体応答が得られます。周期的な励振の調和成分の和は、フーリエ変換によって一連の調和成分に展開でき、各調和成分がシステムに与える影響を個別に調べることができます。したがって、定数パラメータを持つ線形システムの応答特性は、インパルス応答または周波数応答によって記述できます。
インパルス応答とは、単位インパルスに対するシステムの応答を指し、時間領域におけるシステムの応答特性を表します。周波数応答とは、単位高調波入力に対するシステムの応答特性を指します。この2つの対応関係はフーリエ変換によって決定されます。
分類
線形振動は、1自由度系の線形振動と多自由度系の線形振動に分類できる。
（１）1自由度系の線形振動は、一般化座標によって位置が決定できる線形振動です。これは、振動の多くの基本概念や特性を導き出すことができる最も単純な振動です。これには、単純調和振動、自由振動、減衰振動、強制振動が含まれます。
単振動：物体が平衡位置付近で、変位に比例する復元力の作用を受けて正弦波法則に従って往復運動する現象。
減衰振動：摩擦や誘電抵抗、その他のエネルギー消費によって振幅が継続的に減衰する振動。
強制振動：一定の励振を受けたシステムの振動。
（２）多自由度システムの線形振動は、n≥2自由度の線形システムの振動です。n自由度のシステムにはn個の固有振動数とn個の主モードがあります。システムの任意の振動構成は、主モードの線形結合として表すことができます。したがって、主モード重ね合わせ法は、多自由度システムの動的応答解析で広く使用されています。このようにして、システムの固有振動特性の測定と解析は、システムの動的設計におけるルーチン手順となります。多自由度システムの動的特性は、周波数特性によっても記述できます。各入力と出力の間には周波数特性関数があるため、周波数特性行列が構築されます。周波数特性と主モードの間には明確な関係があります。多自由度システムの振幅周波数特性曲線は、単自由度システムのそれとは異なります。
1自由度系の線形振動
システムの位置を一般化座標で決定できる線形振動。これは最も単純で基本的な振動であり、振動に関する多くの基本的な概念や特性を導き出すことができる。単純調和振動、減衰振動、強制振動が含まれる。
調和振動
変位に比例する復元力の作用により、物体は平衡位置付近で正弦波状に往復運動する（図1）。Xは変位、tは時間を表す。この振動の数式表現は以下のとおりである。
（１）ここで、A は変位 x の最大値であり、振幅と呼ばれ、振動の強度を表します。Ω n は、1 秒あたりの振動の振幅角度増分であり、角周波数または円周波数と呼ばれます。これは初期位相と呼ばれます。f = n/2 で表すと、1 秒あたりの振動の回数は周波数と呼ばれます。この逆数 T = 1/f は、1 サイクル振動するのにかかる時間であり、周期と呼ばれます。振幅 A、周波数 f (または角周波数 n)、初期位相は、単振動の 3 つの要素として知られています。
図1 単純調和振動曲線
図2に示すように、線形ばねで接続された集中質量mによって単純調和振動子が形成される。平衡位置からの振動変位を計算すると、振動方程式は次のようになる。
はばねの剛性です。上記の式の一般解は（1）です。Aと は、t=0 における初期位置 x0 と初期速度によって決定できます。
しかし、ωnはシステム自体の特性mとkのみによって決定され、追加の初期条件とは無関係であるため、ωnは固有振動数としても知られています。
図2 1自由度システム
単純調和振動子の場合、運動エネルギーと位置エネルギーの合計は一定であり、つまり、系の全機械エネルギーは保存されます。振動の過程では、運動エネルギーと位置エネルギーは絶えず相互に変換されます。
減衰振動
摩擦や誘電抵抗、その他のエネルギー消費によって振幅が継続的に減衰する振動。微小振動の場合、速度は一般的にそれほど大きくなく、媒体抵抗は速度の1乗に比例し、次のように表すことができます。cは減衰係数です。したがって、線形減衰を持つ1自由度の振動方程式は次のように表すことができます。
（２）ここで、m = c/2m は減衰パラメータと呼ばれ、式 (2) の一般解は次のように表すことができます。
（３）ωnとPIの数値的な関係は、以下の3つのケースに分類できます。
N > (減衰が小さい場合) 粒子が減衰振動を発生させる場合、振動方程式は次のようになります。
その振幅は、図3の点線で示されているように、式で示される指数法則に従って時間とともに減少します。厳密に言えば、この振動は非周期的ですが、そのピーク周波数は次のように定義できます。
は振幅減少率と呼ばれ、 は振動周期です。振幅減少率の自然対数は、対数マイナス（振幅）率と呼ばれます。明らかに、 = であり、この場合、 は 2/1 に等しくなります。実験テストデルタを直接使用して、上記の式を使用して c を計算できます。
この時点で、方程式（2）の解は次のように表すことができます。
初期速度の方向とともに、図4に示すように3つの非振動ケースに分類できます。
N < (減衰が大きい場合)、式(2)の解は式(3)で示される。この時点で、システムはもはや振動していない。
強制振動
一定の励振下におけるシステムの振動。振動解析は主に、励振に対するシステムの応答を調査する。周期励振は典型的な規則的な励振である。周期励振は常に複数の調和励振の和に分解できるため、重ね合わせの原理によれば、各調和励振に対するシステムの応答のみが必要となる。調和励振の作用下では、1自由度減衰システムの運動の微分方程式は次のように記述できる。
応答は2つの部分の合計です。1つは減衰振動の応答で、時間とともに急速に減衰します。もう1つの強制振動の応答は次のように表すことができます。
図3 減衰振動曲線
図4 臨界減衰を伴う3つの初期条件の曲線
入力してください
H /F0= h () は、定常応答振幅と励起振幅の比であり、振幅周波数特性、またはゲイン関数を表します。位相の定常状態応答とインセンティブのビットは、位相周波数特性を表します。これらの関係と励起周波数の関係は、図 5 および図 6 に示されています。
振幅周波数曲線（図 5）からわかるように、減衰が小さい場合、振幅周波数曲線には単一のピークがあります。減衰が小さいほど、ピークは急になります。ピークに対応する周波数は、システムの共振周波数と呼ばれます。減衰が小さい場合、共振周波数は固有振動数とあまり変わりません。励振周波数が固有振動数に近い場合、振幅は急激に増加します。この現象を共振と呼びます。共振では、システムのゲインが最大になり、強制振動が最も激しくなります。したがって、一般的には、大きな振動を実現するために共振を利用する機器や装置を除き、常に共振を避けるように努めます。
図5 振幅周波数曲線
位相周波数曲線（図6）からわかるように、減衰の大きさに関係なく、オメガゼロ位相差ビット=PI/2では、この特性は共振の測定に効果的に使用できます。
定常励起に加えて、システムは時として非定常励起に遭遇する。これは大きく分けて2種類に分類できる。1つは突然の衝撃、もう1つは不確定性の持続的な影響である。非定常励起下では、システムの応答も非定常となる。
非定常振動を解析するための強力なツールとして、インパルス応答法があります。これは、システムの単位インパルス入力に対する過渡応答によってシステムの動的特性を記述します。単位インパルスはデルタ関数で表すことができます。工学分野では、デルタ関数はしばしば次のように定義されます。
ここで、0- は t 軸上で左側からゼロに近づく点を表し、0+ は右側からゼロに向かう点を表します。
図6 位相周波数曲線
図7に示すように、任意の入力は一連のインパルス要素の和として考えることができる。
このシステムは、t=0 における単位インパルスによって生成される応答 h(t) に対応しており、これはインパルス応答関数と呼ばれます。パルスの前にシステムが定常状態にあると仮定すると、t<0 の場合、h(t)=0 となります。システムのインパルス応答関数が分かれば、任意の入力 x(t) に対するシステムの応答を求めることができます。この時点で、x(t) は一連のインパルス要素の和と考えることができます (図 7)。システムの応答は次のとおりです。
重ね合わせの原理に基づくと、x(t)に対応するシステムの全体応答は次のようになる。
この積分は畳み込み積分または重ね合わせ積分と呼ばれます。
多自由度システムの線形振動
n≥2自由度を持つ線形システムの振動。
図8は、結合ばねで接続された2つの単純な共振サブシステムを示しています。これは2自由度システムであるため、その位置を決定するには2つの独立した座標が必要です。このシステムには2つの固有振動数があります。
各周波数は振動モードに対応します。調和振動子は同じ周波数の調和振動を行い、同期して平衡位置を通過し、同期して極値位置に到達します。ω 1 に対応する主振動では、x1 は x2 と等しく、ω ω2 に対応する主振動では、ω ω1 と等しくなります。主振動では、各質量の変位比は一定の関係を保ち、特定のモードを形成します。これを主モードまたは固有モードと呼びます。主モード間には質量と剛性の直交性が存在し、各振動の独立性を反映しています。固有振動数と主モードは、多自由度システムの固有の振動特性を表します。
図8 複数の自由度を持つシステム
n自由度を持つシステムには、n個の固有振動数とn個の主モードがあります。システムの任意の振動構成は、主モードの線形結合として表すことができます。そのため、主モード重ね合わせ法は、多自由度システムの動的応答解析で広く使用されています。このようにして、システムの固有振動特性の測定と解析は、システムの動的設計におけるルーチン手順となります。
多自由度システムの動的特性は、周波数特性によっても記述できます。各入力と出力の間には周波数特性関数が存在するため、周波数特性行列が構築されます。多自由度システムの振幅周波数特性曲線は、単自由度システムのそれとは異なります。
エラストマーが振動する
上記の多自由度システムは、エラストマーの近似的な力学モデルです。エラストマーは無限の自由度を持っています。両者の間には量的な違いはありますが、本質的な違いはありません。どのエラストマーも無限の固有振動数とそれに対応する無限のモードを持ち、質量と剛性のモード間には直交性があります。エラストマーの任意の振動構成は、主要モードの線形重ね合わせとして表すこともできます。したがって、エラストマーの動的応答解析には、主要モードの重ね合わせ法が依然として適用可能です（エラストマーの線形振動を参照）。
弦の振動を考えてみましょう。単位長さあたりの質量が m で長さが l の細い弦の両端に張力がかけられ、張力が T であるとします。このとき、弦の固有振動数は次の式で求められます。
F = na/2l (n = 1, 2, 3…)。
ここで、は弦の方向に沿った横波の伝播速度です。弦の固有振動数は、2lを超える基本周波数の整数倍になります。この整数倍は心地よい調和構造につながります。一般に、エラストマーの固有振動数の間には、このような整数倍の関係はありません。
図9に張力のかかった弦の最初の3つのモードを示します。主モード曲線にはいくつかの節があります。主振動では、節は振動しません。図10は、円周方向に支持された円形プレートのいくつかの典型的なモードを示しており、いくつかの節線は円と直径で構成されています。
エラストマー振動問題の正確な定式化は、偏微分方程式の境界値問題として結論付けることができます。ただし、正確な解は最も単純なケースでのみ見つけることができるため、複雑なエラストマー振動問題には近似解に頼る必要があります。さまざまな近似解の本質は、無限を有限に変更すること、つまり、肢のない多自由度システム（連続システム）を有限の多自由度システム（離散システム）に離散化することです。工学解析で広く使用されている離散化方法には、有限要素法とモード合成法の2種類があります。
図9 弦のモード
図10 円形プレートのモード
有限要素法は、複雑な構造を有限個の要素に抽象化し、有限個の節点でそれらを接続する複合構造です。各要素は弾性体であり、要素の分布変位は節点変位の補間関数によって表されます。次に、各要素の分布パラメータを特定の形式で各節点に集中させ、離散システムの力学モデルを取得します。
モーダル合成とは、複雑な構造をいくつかのより単純な部分構造に分解することです。各部分構造の振動特性を理解することに基づいて、界面の調整条件に従って部分構造を一般的な構造に合成し、各部分構造の振動形態を用いて一般的な構造の振動形態を取得します。
この2つの方法は異なりながらも関連性があり、参考として使用できます。モード合成法は、実験測定と効果的に組み合わせることで、大型システムの振動に関する理論的かつ実験的な解析方法を構築することもできます。
投稿日時：2020年4月3日
