ارتعاش خطی چیست؟

ارتعاش خطی: الاستیسیته اجزای سیستم تابع قانون هوک است و نیروی میرایی ایجاد شده در حین حرکت متناسب با معادله اول سرعت تعمیم‌یافته (مشتق زمانی مختصات تعمیم‌یافته) است.

مفهوم

سیستم خطی معمولاً یک مدل انتزاعی از ارتعاش سیستم واقعی است. سیستم ارتعاش خطی از اصل برهم‌نهی استفاده می‌کند، یعنی اگر پاسخ سیستم تحت عمل ورودی x1 برابر با y1 و تحت عمل ورودی x2 برابر با y2 باشد، پاسخ سیستم تحت عمل ورودی‌های x1 و x2 برابر با y1+y2 خواهد بود.

بر اساس اصل برهم‌نهی، یک ورودی دلخواه را می‌توان به مجموع یک سری از ضربه‌های بی‌نهایت کوچک تجزیه کرد و سپس پاسخ کل سیستم را به دست آورد. مجموع مؤلفه‌های هارمونیک یک تحریک تناوبی را می‌توان با تبدیل فوریه به یک سری از مؤلفه‌های هارمونیک بسط داد و تأثیر هر مؤلفه هارمونیک بر سیستم را می‌توان به طور جداگانه بررسی کرد. بنابراین، ویژگی‌های پاسخ سیستم‌های خطی با پارامترهای ثابت را می‌توان با پاسخ ضربه یا پاسخ فرکانسی توصیف کرد.

پاسخ ضربه به پاسخ سیستم به ضربه واحد اشاره دارد که مشخصه‌های پاسخ سیستم را در حوزه زمان مشخص می‌کند. پاسخ فرکانسی به مشخصه پاسخ سیستم به ورودی هارمونیک واحد اشاره دارد. تطابق بین این دو توسط تبدیل فوریه تعیین می‌شود.

طبقه بندی

ارتعاشات خطی را می‌توان به ارتعاشات خطی سیستم تک درجه آزادی و ارتعاشات خطی سیستم چند درجه آزادی تقسیم کرد.

(1) ارتعاش خطی یک سیستم تک درجه آزادی، ارتعاش خطی است که موقعیت آن را می‌توان با یک مختصات تعمیم‌یافته تعیین کرد. این ساده‌ترین ارتعاشی است که بسیاری از مفاهیم و ویژگی‌های اساسی ارتعاش را می‌توان از آن استخراج کرد. این شامل ارتعاش هارمونیک ساده، ارتعاش آزاد، ارتعاش میرایی و ارتعاش اجباری است.

ارتعاش هارمونیک ساده: حرکت رفت و برگشتی یک جسم در مجاورت موقعیت تعادلش طبق قانون سینوسی تحت عمل نیروی بازگرداننده متناسب با جابجایی آن.

ارتعاش میرا: ارتعاشی که دامنه آن به طور مداوم توسط وجود اصطکاک و مقاومت دی الکتریک یا سایر مصرف انرژی کاهش می‌یابد.

ارتعاش اجباری: ارتعاش یک سیستم تحت تحریک ثابت.

(2) ارتعاش خطی سیستم چند درجه آزادی، ارتعاش سیستم خطی با n≥2 درجه آزادی است. یک سیستم n درجه آزادی دارای n فرکانس طبیعی و n مد اصلی است. هر پیکربندی ارتعاشی سیستم را می‌توان به صورت ترکیبی خطی از مدهای اصلی نشان داد. بنابراین، روش برهم‌نهی مد اصلی به طور گسترده در تحلیل پاسخ دینامیکی سیستم‌های چند درجه آزادی استفاده می‌شود. به این ترتیب، اندازه‌گیری و تحلیل ویژگی‌های ارتعاش طبیعی سیستم به یک گام معمول در طراحی دینامیکی سیستم تبدیل می‌شود. ویژگی‌های دینامیکی سیستم‌های چند درجه آزادی را می‌توان با ویژگی‌های فرکانسی نیز توصیف کرد. از آنجایی که بین هر ورودی و خروجی یک تابع مشخصه فرکانس وجود دارد، یک ماتریس مشخصه فرکانسی ساخته می‌شود. رابطه مشخصی بین مشخصه فرکانس و مد اصلی وجود دارد. منحنی مشخصه دامنه-فرکانس سیستم چند درجه آزادی با سیستم تک آزادی متفاوت است.

ارتعاش خطی سیستم یک درجه آزادی

ارتعاش خطی که در آن موقعیت یک سیستم را می‌توان با یک مختصات تعمیم‌یافته تعیین کرد. این ساده‌ترین و اساسی‌ترین ارتعاشی است که بسیاری از مفاهیم و ویژگی‌های اساسی ارتعاش را می‌توان از آن استخراج کرد. این شامل ارتعاش هارمونیک ساده، ارتعاش میرا و ارتعاش اجباری است.

ارتعاش هارمونیک

تحت اثر نیروی بازگرداننده متناسب با جابجایی، جسم به صورت سینوسی در نزدیکی موقعیت تعادل خود حرکت رفت و برگشتی انجام می‌دهد (شکل 1). X نشان دهنده جابجایی و t نشان دهنده زمان است. بیان ریاضی این ارتعاش به صورت زیر است:

(1)که در آن A حداکثر مقدار جابجایی x است که دامنه نامیده می‌شود و نشان دهنده شدت ارتعاش است؛ امگا n دامنه افزایش زاویه ارتعاش در ثانیه است که فرکانس زاویه‌ای یا فرکانس دایره‌ای نامیده می‌شود؛ این فاز اولیه نامیده می‌شود. بر حسب f=n/2، تعداد نوسانات در ثانیه فرکانس نامیده می‌شود؛ معکوس این، T=1/f، زمانی است که طول می‌کشد تا یک سیکل نوسان کند و آن دوره تناوب نامیده می‌شود. دامنه A، فرکانس f (یا فرکانس زاویه‌ای n)، فاز اولیه، که به عنوان ارتعاش هارمونیک ساده شناخته می‌شود، سه عنصر دارد.

شکل 1 منحنی ارتعاش هارمونیک ساده

همانطور که در شکل 2 نشان داده شده است، یک نوسانگر هارمونیک ساده توسط جرم متمرکز m که توسط یک فنر خطی متصل شده است، تشکیل می‌شود. هنگامی که جابجایی ارتعاش از موقعیت تعادل محاسبه می‌شود، معادله ارتعاش به صورت زیر است:

که در آن سختی فنر است. جواب کلی معادله فوق (1) است.A و می‌توان آن را با موقعیت اولیه x0 و سرعت اولیه در t=0 تعیین کرد:

اما امگا n تنها توسط ویژگی‌های خود سیستم m و k، مستقل از شرایط اولیه اضافی، تعیین می‌شود، بنابراین امگا n به عنوان فرکانس طبیعی نیز شناخته می‌شود.

شکل 2. سیستم تک درجه آزادی

برای یک نوسانگر هماهنگ ساده، مجموع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل آن ثابت است، یعنی کل انرژی مکانیکی سیستم پایسته می‌ماند. در فرآیند ارتعاش، انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل دائماً به یکدیگر تبدیل می‌شوند.

ارتعاش میرایی

ارتعاشی که دامنه آن به طور مداوم توسط اصطکاک و مقاومت دی‌الکتریک یا سایر مصرف‌های انرژی تضعیف می‌شود. برای ارتعاشات میکرو، سرعت عموماً خیلی زیاد نیست و مقاومت محیط متناسب با سرعت با توان اول است که می‌توان آن را به صورت ضریب میرایی نوشت. بنابراین، معادله ارتعاش یک درجه آزادی با میرایی خطی را می‌توان به صورت زیر نوشت:

(2)که در آن، m =c/2m پارامتر میرایی نامیده می‌شود، و. جواب کلی فرمول (2) را می‌توان به صورت زیر نوشت:

(3)رابطه عددی بین امگا n و PI را می‌توان به سه حالت زیر تقسیم کرد:

N > (در مورد میرایی کوچک) ذره تولید شده، ارتعاش میرایی، معادله ارتعاش عبارت است از:

دامنه آن با گذشت زمان طبق قانون نمایی نشان داده شده در معادله، همانطور که در خط چین در شکل 3 نشان داده شده است، کاهش می‌یابد. به طور دقیق، این ارتعاش غیر تناوبی است، اما فرکانس اوج آن را می‌توان به صورت زیر تعریف کرد:

نرخ کاهش دامنه نامیده می‌شود، که در آن دوره ارتعاش است. لگاریتم طبیعی نرخ کاهش دامنه، نرخ لگاریتم منهای (دامنه) نامیده می‌شود. بدیهی است که در این مورد، =، برابر با 2/1 است. مستقیماً از طریق دلتای آزمایش تجربی و با استفاده از فرمول بالا می‌توان c را محاسبه کرد.

در این حالت، جواب معادله (2) را می‌توان به صورت زیر نوشت:

همراه با جهت سرعت اولیه، می‌توان آن را به سه حالت غیر ارتعاشی تقسیم کرد، همانطور که در شکل ۴ نشان داده شده است.

N < (در مورد میرایی بزرگ)، جواب معادله (2) در معادله (3) نشان داده شده است. در این نقطه، سیستم دیگر ارتعاش نمی‌کند.

ارتعاش اجباری

ارتعاش یک سیستم تحت تحریک ثابت. تحلیل ارتعاش عمدتاً پاسخ سیستم به تحریک را بررسی می‌کند. تحریک تناوبی یک تحریک منظم معمولی است. از آنجایی که تحریک تناوبی همیشه می‌تواند به مجموع چندین تحریک هارمونیک تجزیه شود، طبق اصل برهم‌نهی، فقط پاسخ سیستم به هر تحریک هارمونیک مورد نیاز است. تحت عمل تحریک هارمونیک، معادله دیفرانسیل حرکت یک سیستم با یک درجه آزادی میرا را می‌توان به صورت زیر نوشت:

پاسخ مجموع دو بخش است. یک بخش، پاسخ ارتعاش میرا است که با گذشت زمان به سرعت کاهش می‌یابد. پاسخ بخش دیگر ارتعاش اجباری را می‌توان به صورت زیر نوشت:

شکل 3 منحنی ارتعاش میرا شده

شکل ۴ منحنی‌های سه شرط اولیه با میرایی بحرانی

تایپ کنید

H /F0= h()، نسبت دامنه پاسخ پایدار به دامنه تحریک است که مشخصه‌های دامنه-فرکانس یا تابع بهره را مشخص می‌کند؛ بیت‌ها برای پاسخ حالت پایدار و تحریک فاز، مشخصه‌های فرکانس فاز را مشخص می‌کنند. رابطه بین آنها و فرکانس تحریک در شکل‌های 5 و 6 نشان داده شده است.

همانطور که از منحنی دامنه-فرکانس (شکل 5) مشاهده می‌شود، در مورد میرایی کوچک، منحنی دامنه-فرکانس یک پیک واحد دارد. هرچه میرایی کوچکتر باشد، پیک تندتر است. فرکانس مربوط به پیک، فرکانس رزونانس سیستم نامیده می‌شود. در مورد میرایی کوچک، فرکانس رزونانس تفاوت چندانی با فرکانس طبیعی ندارد. وقتی فرکانس تحریک نزدیک به فرکانس طبیعی باشد، دامنه به شدت افزایش می‌یابد. این پدیده رزونانس نامیده می‌شود. در رزونانس، بهره سیستم به حداکثر می‌رسد، یعنی ارتعاش اجباری شدیدترین حالت را دارد. بنابراین، به طور کلی، همیشه سعی کنید از رزونانس جلوگیری کنید، مگر اینکه برخی از ابزارها و تجهیزات از رزونانس برای دستیابی به ارتعاش بزرگ استفاده کنند.

شکل 5 منحنی فرکانس دامنه

از منحنی فرکانس فاز (شکل ۶) می‌توان دریافت که صرف نظر از اندازه میرایی، در بیت‌های اختلاف فاز امگا صفر = PI / 2، این ویژگی می‌تواند به طور موثر در اندازه‌گیری رزونانس مورد استفاده قرار گیرد.

علاوه بر تحریک پایدار، سیستم‌ها گاهی اوقات با تحریک ناپایدار نیز مواجه می‌شوند. این تحریک را می‌توان تقریباً به دو نوع تقسیم کرد: یکی ضربه ناگهانی. دوم اثر پایدار تصادفی. تحت تحریک ناپایدار، پاسخ سیستم نیز ناپایدار است.

یک ابزار قدرتمند برای تحلیل ارتعاشات ناپایدار، روش پاسخ ضربه است. این روش، ویژگی‌های دینامیکی سیستم را با پاسخ گذرای ورودی ضربه واحد سیستم توصیف می‌کند. ضربه واحد را می‌توان به صورت یک تابع دلتا بیان کرد. در مهندسی، تابع دلتا اغلب به صورت زیر تعریف می‌شود:

که در آن 0- نقطه‌ای روی محور t است که از سمت چپ به صفر نزدیک می‌شود؛ 0+ نقطه‌ای است که از سمت راست به 0 می‌رود.

شکل ۶: منحنی فرکانس فاز

شکل 7 هر ورودی را می‌توان به عنوان مجموع یک سری از عناصر ضربه‌ای در نظر گرفت

این سیستم مطابق با پاسخ h(t) تولید شده توسط ضربه واحد در t=0 است که تابع پاسخ ضربه نامیده می‌شود. با فرض اینکه سیستم قبل از پالس ثابت باشد، h(t)=0 برای t<0. با دانستن تابع پاسخ ضربه سیستم، می‌توانیم پاسخ سیستم را به هر ورودی x(t) پیدا کنیم. در این مرحله، می‌توانید x(t) را به عنوان مجموع یک سری از عناصر ضربه در نظر بگیرید (شکل 7). پاسخ سیستم عبارت است از:

بر اساس اصل برهم‌نهی، پاسخ کل سیستم مربوط به x(t) برابر است با:

این انتگرال، انتگرال کانولوشن یا انتگرال برهم‌نهی نامیده می‌شود.

ارتعاش خطی یک سیستم چند درجه آزادی

ارتعاش یک سیستم خطی با n≥2 درجه آزادی.

شکل ۸ دو زیرسیستم رزونانس ساده را نشان می‌دهد که توسط یک فنر کوپلینگ به هم متصل شده‌اند. از آنجا که این یک سیستم دو درجه آزادی است، برای تعیین موقعیت آن به دو مختصات مستقل نیاز است. در این سیستم دو فرکانس طبیعی وجود دارد:

هر فرکانس مربوط به یک مد ارتعاش است. نوسانگرهای هارمونیک، نوسانات هارمونیک با فرکانس یکسان را انجام می‌دهند، به طور همزمان از موقعیت تعادل عبور می‌کنند و به طور همزمان به موقعیت نهایی می‌رسند. در ارتعاش اصلی مربوط به امگا یک، x1 برابر با x2 است؛ در ارتعاش اصلی مربوط به امگا دو، امگا یک. در ارتعاش اصلی، نسبت جابجایی هر جرم رابطه خاصی را حفظ می‌کند و یک مد خاص را تشکیل می‌دهد که مد اصلی یا مد طبیعی نامیده می‌شود. متعامد بودن جرم و سختی در بین مدهای اصلی وجود دارد که نشان دهنده استقلال هر ارتعاش است. فرکانس طبیعی و مد اصلی، ویژگی‌های ارتعاش ذاتی سیستم چند درجه آزادی را نشان می‌دهند.

شکل ۸ سیستم با چندین درجه آزادی

یک سیستم با n درجه آزادی، n فرکانس طبیعی و n مد اصلی دارد. هر پیکربندی ارتعاشی سیستم را می‌توان به صورت ترکیبی خطی از مدهای اصلی نمایش داد. بنابراین، روش برهم‌نهی مد اصلی به طور گسترده در تحلیل پاسخ دینامیکی سیستم‌های چند درجه آزادی استفاده می‌شود. به این ترتیب، اندازه‌گیری و تحلیل ویژگی‌های ارتعاش طبیعی سیستم به یک گام روتین در طراحی دینامیکی سیستم تبدیل می‌شود.

ویژگی‌های دینامیکی سیستم‌های چند درجه آزادی را می‌توان با ویژگی‌های فرکانسی نیز توصیف کرد. از آنجایی که بین هر ورودی و خروجی یک تابع مشخصه فرکانسی وجود دارد، یک ماتریس مشخصه فرکانسی ساخته می‌شود. منحنی مشخصه دامنه-فرکانس سیستم چند آزادی با سیستم تک آزادی متفاوت است.

الاستومر ارتعاش می‌کند

سیستم چند درجه آزادی فوق، یک مدل مکانیکی تقریبی از الاستومر است. یک الاستومر دارای تعداد نامتناهی درجه آزادی است. تفاوت کمی بین این دو وجود دارد اما هیچ تفاوت اساسی وجود ندارد. هر الاستومر دارای تعداد نامتناهی فرکانس طبیعی و تعداد نامتناهی مد متناظر است و بین مدهای جرم و سختی، تعامد وجود دارد. هر پیکربندی ارتعاشی الاستومر را می‌توان به صورت یک برهم‌نهی خطی از مدهای اصلی نیز نشان داد. بنابراین، برای تحلیل پاسخ دینامیکی الاستومر، روش برهم‌نهی مد اصلی همچنان قابل استفاده است (به ارتعاش خطی الاستومر مراجعه کنید).

ارتعاش یک ریسمان را در نظر بگیرید. فرض کنید یک ریسمان نازک با جرم m در واحد طول، به طول l، از دو انتها کشیده شده است و کشش آن T است. در این زمان، فرکانس طبیعی ریسمان با معادله زیر تعیین می‌شود:

F =na/2l (n = 1،2،3…).

که در آن، سرعت انتشار موج عرضی در امتداد جهت ریسمان است. فرکانس‌های طبیعی ریسمان‌ها مضربی از فرکانس اساسی روی 2l هستند. این تعدد عدد صحیح منجر به یک ساختار هارمونیک مطلوب می‌شود. به طور کلی، چنین رابطه مضرب عدد صحیحی بین فرکانس‌های طبیعی الاستومر وجود ندارد.

سه مود اول ریسمان کشیده شده در شکل ۹ نشان داده شده است. در منحنی مود اصلی، تعدادی گره وجود دارد. در ارتعاش اصلی، گره‌ها ارتعاش نمی‌کنند. شکل ۱۰ چندین مود معمول از صفحه دایره‌ای با تکیه‌گاه محیطی را با برخی خطوط گره‌ای متشکل از دایره‌ها و قطرها نشان می‌دهد.

فرمول‌بندی دقیق مسئله ارتعاش الاستومر را می‌توان به عنوان مسئله مقدار مرزی معادلات دیفرانسیل جزئی نتیجه گرفت. با این حال، راه‌حل دقیق را فقط در برخی از ساده‌ترین موارد می‌توان یافت، بنابراین باید به راه‌حل تقریبی برای مسئله ارتعاش الاستومر پیچیده متوسل شویم. اساس راه‌حل‌های تقریبی مختلف، تبدیل بی‌نهایت به متناهی است، یعنی گسسته‌سازی سیستم چند درجه آزادی بدون عضو (سیستم پیوسته) به یک سیستم چند درجه آزادی متناهی (سیستم گسسته). دو نوع روش گسسته‌سازی وجود دارد که به طور گسترده در تحلیل مهندسی استفاده می‌شوند: روش المان محدود و روش سنتز مودال.

شکل ۹ حالت رشته

شکل 10 حالت صفحه دایره‌ای

روش المان محدود یک ساختار مرکب است که یک ساختار پیچیده را به تعداد محدودی المان خلاصه می‌کند و آنها را در تعداد محدودی گره به هم متصل می‌کند. هر واحد یک الاستومر است. جابجایی توزیع المان با تابع درون‌یابی جابجایی گره بیان می‌شود. سپس پارامترهای توزیع هر المان در هر گره با فرمت خاصی متمرکز می‌شوند و مدل مکانیکی سیستم گسسته به دست می‌آید.

سنتز مودال، تجزیه یک سازه پیچیده به چندین زیرسازه ساده‌تر است. بر اساس درک ویژگی‌های ارتعاشی هر زیرسازه، زیرسازه با توجه به شرایط هماهنگی روی سطح مشترک، به یک ساختار کلی تبدیل می‌شود و مورفولوژی ارتعاشی سازه کلی با استفاده از مورفولوژی ارتعاشی هر زیرسازه بدست می‌آید.

این دو روش متفاوت و مرتبط هستند و می‌توانند به عنوان مرجع مورد استفاده قرار گیرند. روش سنتز مودال همچنین می‌تواند به طور مؤثر با اندازه‌گیری تجربی ترکیب شود تا یک روش تحلیل نظری و تجربی برای ارتعاش سیستم‌های بزرگ تشکیل دهد.