Che cos'è la vibrazione lineare?

Vibrazione lineare: l'elasticità dei componenti del sistema è soggetta alla legge di Hooke e la forza di smorzamento generata durante il moto è proporzionale alla prima equazione della velocità generalizzata (derivata temporale delle coordinate generalizzate).

concetto

Un sistema lineare è solitamente un modello astratto della vibrazione di un sistema reale. Il sistema di vibrazione lineare applica il principio di sovrapposizione, ovvero, se la risposta del sistema è y1 sotto l'azione dell'ingresso x1 e y2 sotto l'azione dell'ingresso x2, allora la risposta del sistema sotto l'azione degli ingressi x1 e x2 è y1+y2.

In base al principio di sovrapposizione, un ingresso arbitrario può essere scomposto nella somma di una serie di impulsi infinitesimi, ottenendo così la risposta totale del sistema. La somma delle componenti armoniche di un'eccitazione periodica può essere espansa in una serie di componenti armoniche tramite la trasformata di Fourier, e l'effetto di ciascuna componente armonica sul sistema può essere studiato separatamente. Pertanto, le caratteristiche di risposta dei sistemi lineari con parametri costanti possono essere descritte mediante risposta impulsiva o risposta in frequenza.

La risposta impulsiva si riferisce alla risposta del sistema all'impulso unitario, che caratterizza le caratteristiche di risposta del sistema nel dominio del tempo. La risposta in frequenza si riferisce alla caratteristica di risposta del sistema all'ingresso armonico unitario. La corrispondenza tra le due è determinata dalla trasformata di Fourier.

classificazione

Le vibrazioni lineari possono essere suddivise in vibrazioni lineari di sistemi a un grado di libertà e vibrazioni lineari di sistemi a più gradi di libertà.

(1) La vibrazione lineare di un sistema a un grado di libertà è una vibrazione lineare la cui posizione può essere determinata da una coordinata generalizzata. È la vibrazione più semplice da cui si possono derivare molti concetti e caratteristiche di base della vibrazione. Include la vibrazione armonica semplice, la vibrazione libera, la vibrazione di attenuazione e la vibrazione forzata.

Vibrazione armonica semplice: moto alternato di un oggetto in prossimità della sua posizione di equilibrio secondo una legge sinusoidale sotto l'azione di una forza di richiamo proporzionale al suo spostamento.

Vibrazione smorzata: vibrazione la cui ampiezza viene continuamente attenuata dalla presenza di attrito e resistenza dielettrica o da altri processi di dissipazione di energia.

Vibrazione forzata: vibrazione di un sistema sottoposto a eccitazione costante.

(2) La vibrazione lineare del sistema a più gradi di libertà è la vibrazione del sistema lineare con n≥2 gradi di libertà. Un sistema a n gradi di libertà ha n frequenze naturali e n modi principali. Qualsiasi configurazione di vibrazione del sistema può essere rappresentata come una combinazione lineare dei modi principali. Pertanto, il metodo di sovrapposizione dei modi principali è ampiamente utilizzato nell'analisi della risposta dinamica dei sistemi a più gradi di libertà. In questo modo, la misurazione e l'analisi delle caratteristiche di vibrazione naturale del sistema diventano una fase di routine nella progettazione dinamica del sistema. Le caratteristiche dinamiche dei sistemi a più gradi di libertà possono anche essere descritte dalle caratteristiche di frequenza. Poiché esiste una funzione caratteristica di frequenza tra ogni ingresso e uscita, viene costruita una matrice caratteristica di frequenza. Esiste una relazione definita tra la caratteristica di frequenza e il modo principale. La curva caratteristica ampiezza-frequenza del sistema a più gradi di libertà è diversa da quella del sistema a singolo grado di libertà.

Vibrazione lineare di un sistema a un grado di libertà

Una vibrazione lineare in cui la posizione di un sistema può essere determinata da una coordinata generalizzata. È la vibrazione più semplice e fondamentale da cui si possono derivare molti concetti e caratteristiche di base della vibrazione. Comprende la vibrazione armonica semplice, la vibrazione smorzata e la vibrazione forzata.

vibrazione armonica

Sotto l'azione di una forza di richiamo proporzionale allo spostamento, l'oggetto oscilla in modo sinusoidale vicino alla sua posizione di equilibrio (FIG. 1). X rappresenta lo spostamento e t rappresenta il tempo. L'espressione matematica di questa vibrazione è:

(1)Dove A è il valore massimo dello spostamento x, chiamato ampiezza, e rappresenta l'intensità della vibrazione; Omega n è l'incremento angolare dell'ampiezza della vibrazione al secondo, chiamato frequenza angolare o frequenza circolare; Questa è chiamata fase iniziale. In termini di f = n/2, il numero di oscillazioni al secondo è chiamato frequenza; L'inverso di questo, T = 1/f, è il tempo necessario per oscillare un ciclo, e questo è chiamato periodo. Ampiezza A, frequenza f (o frequenza angolare n), la fase iniziale, nota come vibrazione armonica semplice tre elementi.

FIG. 1 Curva di vibrazione armonica semplice

Come mostrato in FIG. 2, un oscillatore armonico semplice è formato dalla massa concentrata m collegata tramite una molla lineare. Quando lo spostamento di vibrazione viene calcolato dalla posizione di equilibrio, l'equazione di vibrazione è:

Dove si trova la rigidità della molla. La soluzione generale dell'equazione precedente è (1). A e possono essere determinati dalla posizione iniziale x0 e dalla velocità iniziale a t=0:

Ma omega n è determinato unicamente dalle caratteristiche del sistema stesso m e k, indipendentemente dalle condizioni iniziali aggiuntive, quindi omega n è anche noto come frequenza naturale.

FIG. 2 Sistema a singolo grado di libertà

Per un oscillatore armonico semplice, la somma della sua energia cinetica e della sua energia potenziale è costante, ovvero l'energia meccanica totale del sistema si conserva. Nel processo di vibrazione, l'energia cinetica e l'energia potenziale si trasformano continuamente l'una nell'altra.

La vibrazione smorzante

Una vibrazione la cui ampiezza viene continuamente attenuata dall'attrito e dalla resistenza dielettrica o da altri processi di dissipazione di energia. Per le microvibrazioni, la velocità non è generalmente molto elevata e la resistenza del mezzo è proporzionale alla velocità elevata alla prima potenza, che può essere scritta come c, dove c è il coefficiente di smorzamento. Pertanto, l'equazione di vibrazione di un grado di libertà con smorzamento lineare può essere scritta come:

(2)Dove m =c/2m è chiamato parametro di smorzamento e. La soluzione generale della formula (2) può essere scritta:

(3)La relazione numerica tra omega n e PI può essere suddivisa nei seguenti tre casi:

N > (nel caso di smorzamento ridotto) la particella produce un'attenuazione della vibrazione, l'equazione della vibrazione è:

La sua ampiezza diminuisce nel tempo secondo la legge esponenziale mostrata nell'equazione, come illustrato dalla linea tratteggiata in FIG. 3. A rigor di termini, questa vibrazione è aperiodica, ma la frequenza del suo picco può essere definita come:

Si chiama tasso di riduzione dell'ampiezza, dove è il periodo di vibrazione. Il logaritmo naturale del tasso di riduzione dell'ampiezza è chiamato tasso logaritmo meno (ampiezza). Ovviamente, =, in questo caso, è uguale a 2/1. Direttamente attraverso il test sperimentale delta e, utilizzando la formula sopra, è possibile calcolare c.

In questo momento, la soluzione dell'equazione (2) può essere scritta come:

Insieme alla direzione della velocità iniziale, può essere suddiviso in tre casi di non vibrazione, come mostrato in FIG. 4.

N < (nel caso di smorzamento elevato), la soluzione dell'equazione (2) è mostrata nell'equazione (3). A questo punto, il sistema non vibra più.

Vibrazione forzata

Vibrazione di un sistema sottoposto a eccitazione costante. L'analisi delle vibrazioni studia principalmente la risposta del sistema all'eccitazione. L'eccitazione periodica è una tipica eccitazione regolare. Poiché l'eccitazione periodica può sempre essere scomposta nella somma di diverse eccitazioni armoniche, secondo il principio di sovrapposizione, è necessaria solo la risposta del sistema a ciascuna eccitazione armonica. Sotto l'azione dell'eccitazione armonica, l'equazione differenziale del moto di un sistema smorzato a un grado di libertà può essere scritta come:

La risposta è la somma di due parti. Una parte è la risposta della vibrazione smorzata, che decade rapidamente nel tempo. La risposta dell'altra parte della vibrazione forzata può essere scritta come:

FIG. 3 Curva di vibrazione smorzata

FIG. 4 curve di tre condizioni iniziali con smorzamento critico

Digita il

H /F0= h (), è il rapporto tra l'ampiezza della risposta stazionaria e l'ampiezza dell'eccitazione, che caratterizza le caratteristiche ampiezza-frequenza, o funzione di guadagno; bit per la risposta allo stato stazionario e incentivo di fase, caratterizzazione delle caratteristiche di frequenza di fase. La relazione tra di essi e la frequenza di eccitazione è mostrata nelle FIG. 5 e FIG. 6.

Come si può osservare dalla curva ampiezza-frequenza (FIG. 5), nel caso di smorzamento ridotto, la curva ampiezza-frequenza presenta un singolo picco. Minore è lo smorzamento, più ripido è il picco; la frequenza corrispondente al picco è chiamata frequenza di risonanza del sistema. Nel caso di smorzamento ridotto, la frequenza di risonanza non è molto diversa dalla frequenza naturale. Quando la frequenza di eccitazione è vicina alla frequenza naturale, l'ampiezza aumenta bruscamente. Questo fenomeno è chiamato risonanza. Alla risonanza, il guadagno del sistema è massimizzato, ovvero la vibrazione forzata è massima. Pertanto, in generale, è sempre opportuno cercare di evitare la risonanza, a meno che alcuni strumenti e apparecchiature non la utilizzino per ottenere vibrazioni di grande intensità.

FIG. 5 Curva ampiezza-frequenza

Come si può vedere dalla curva di frequenza di fase (figura 6), indipendentemente dall'entità dello smorzamento, in omega zero differenza di fase bit = PI / 2, questa caratteristica può essere efficacemente utilizzata nella misurazione della risonanza.

Oltre all'eccitazione costante, i sistemi a volte sono soggetti a eccitazione non costante. Questa può essere approssimativamente suddivisa in due tipi: l'impatto improvviso e l'effetto duraturo di una variazione casuale. In presenza di eccitazione non costante, anche la risposta del sistema risulta non costante.

Uno strumento efficace per l'analisi delle vibrazioni instabili è il metodo della risposta impulsiva. Esso descrive le caratteristiche dinamiche del sistema attraverso la risposta transitoria all'impulso unitario in ingresso. L'impulso unitario può essere espresso come una funzione delta. In ingegneria, la funzione delta è spesso definita come:

Dove 0- rappresenta il punto sull'asse t che si avvicina a zero da sinistra; 0+ è il punto che va a 0 da destra.

FIG. 6 Curva di frequenza di fase

FIG. 7 qualsiasi ingresso può essere considerato come la somma di una serie di elementi impulsivi

Il sistema corrisponde alla risposta h(t) generata dall'impulso unitario in t=0, che viene chiamata funzione di risposta impulsiva. Supponendo che il sistema sia stazionario prima dell'impulso, h(t)=0 per t<0. Conoscendo la funzione di risposta impulsiva del sistema, possiamo trovare la risposta del sistema a qualsiasi ingresso x(t). A questo punto, si può pensare a x(t) come alla somma di una serie di elementi impulsivi (FIG. 7). La risposta del sistema è:

In base al principio di sovrapposizione, la risposta totale del sistema corrispondente a x(t) è:

Questo integrale è chiamato integrale di convoluzione o integrale di sovrapposizione.

Vibrazione lineare di un sistema a più gradi di libertà

Vibrazione di un sistema lineare con n≥2 gradi di libertà.

La Figura 8 mostra due semplici sottosistemi risonanti collegati da una molla di accoppiamento. Essendo un sistema a due gradi di libertà, sono necessarie due coordinate indipendenti per determinarne la posizione. In questo sistema sono presenti due frequenze naturali:

Ogni frequenza corrisponde a una modalità di vibrazione. Gli oscillatori armonici eseguono oscillazioni armoniche della stessa frequenza, passando sincronicamente attraverso la posizione di equilibrio e raggiungendo sincronicamente la posizione estrema. Nella vibrazione principale corrispondente a omega uno, x1 è uguale a x2; nella vibrazione principale corrispondente a omega omega due, omega omega uno. Nella vibrazione principale, il rapporto di spostamento di ciascuna massa mantiene una certa relazione e forma una certa modalità, che viene chiamata modalità principale o modalità naturale. L'ortogonalità di massa e rigidezza esiste tra le modalità principali, il che riflette l'indipendenza di ciascuna vibrazione. La frequenza naturale e la modalità principale rappresentano le caratteristiche di vibrazione intrinseche del sistema a più gradi di libertà.

FIG. 8 Sistema con molteplici gradi di libertà

Un sistema con n gradi di libertà possiede n frequenze naturali e n modi principali. Qualsiasi configurazione di vibrazione del sistema può essere rappresentata come una combinazione lineare dei modi principali. Pertanto, il metodo di sovrapposizione dei modi principali è ampiamente utilizzato nell'analisi della risposta dinamica di sistemi multi-grado di libertà. In questo modo, la misurazione e l'analisi delle caratteristiche di vibrazione naturale del sistema diventano una fase di routine nella progettazione dinamica del sistema.

Le caratteristiche dinamiche dei sistemi multi-grado di libertà possono essere descritte anche tramite le caratteristiche di frequenza. Poiché esiste una funzione caratteristica di frequenza tra ciascun ingresso e uscita, viene costruita una matrice caratteristica di frequenza. La curva caratteristica ampiezza-frequenza del sistema multi-grado di libertà è diversa da quella del sistema a singolo grado di libertà.

L'elastomero vibra

Il sistema a più gradi di libertà sopra descritto rappresenta un modello meccanico approssimato dell'elastomero. Un elastomero possiede un numero infinito di gradi di libertà. Esiste una differenza quantitativa, ma non sostanziale, tra i due. Ogni elastomero ha un numero infinito di frequenze naturali e un numero infinito di modi corrispondenti, e vi è ortogonalità tra i modi di massa e di rigidità. Qualsiasi configurazione vibrazionale dell'elastomero può essere rappresentata anche come una sovrapposizione lineare dei modi principali. Pertanto, per l'analisi della risposta dinamica dell'elastomero, il metodo di sovrapposizione dei modi principali è ancora applicabile (vedere vibrazione lineare dell'elastomero).

Consideriamo la vibrazione di una corda. Supponiamo che una corda sottile di massa m per unità di lunghezza, lunga l, sia tesa ad entrambe le estremità e che la tensione sia T. In questo caso, la frequenza naturale della corda è determinata dalla seguente equazione:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Dove è la velocità di propagazione dell'onda trasversale lungo la direzione della corda. Le frequenze naturali delle corde risultano essere multipli della frequenza fondamentale su 2l. Questa molteplicità intera porta a una piacevole struttura armonica. In generale, non esiste una tale relazione di multipli interi tra le frequenze naturali dell'elastomero.

Le prime tre modalità della corda tesa sono mostrate in FIG. 9. Sono presenti alcuni nodi sulla curva della modalità principale. Nella vibrazione principale, i nodi non vibrano. La FIG. 10 mostra diverse modalità tipiche della piastra circolare supportata circonferenzialmente con alcune linee nodali composte da cerchi e diametri.

La formulazione esatta del problema della vibrazione degli elastomeri può essere ricondotta al problema ai valori al contorno delle equazioni differenziali parziali. Tuttavia, la soluzione esatta può essere trovata solo in alcuni dei casi più semplici, quindi per il problema complesso della vibrazione degli elastomeri è necessario ricorrere a soluzioni approssimate. L'essenza delle varie soluzioni approssimate consiste nel trasformare l'infinito in finito, ovvero nel discretizzare il sistema a più gradi di libertà senza arti (sistema continuo) in un sistema a più gradi di libertà finito (sistema discreto). Nell'analisi ingegneristica si utilizzano principalmente due tipi di metodi di discretizzazione: il metodo degli elementi finiti e il metodo della sintesi modale.

FIG. 9 modo di corda

FIG. 10 modalità della piastra circolare

Il metodo degli elementi finiti è una struttura composita che astrae una struttura complessa in un numero finito di elementi e li collega in un numero finito di nodi. Ogni unità è un elastomero; lo spostamento di distribuzione dell'elemento è espresso da una funzione di interpolazione dello spostamento del nodo. Quindi i parametri di distribuzione di ciascun elemento vengono concentrati in ogni nodo in un formato specifico, e si ottiene il modello meccanico del sistema discreto.

La sintesi modale è la decomposizione di una struttura complessa in diverse sottostrutture più semplici. Sulla base della comprensione delle caratteristiche vibrazionali di ciascuna sottostruttura, quest'ultima viene sintetizzata in una struttura generale in base alle condizioni di coordinazione all'interfaccia, e la morfologia vibrazionale della struttura generale viene ottenuta utilizzando la morfologia vibrazionale di ciascuna sottostruttura.

I due metodi sono diversi ma correlati e possono essere utilizzati come riferimento. Il metodo di sintesi modale può anche essere efficacemente combinato con la misurazione sperimentale per formare un metodo di analisi teorico-sperimentale per le vibrazioni di sistemi di grandi dimensioni.