Ano ang linear na panginginig ng boses?

Linya ng panginginig: ang elastisidad ng mga bahagi sa sistema ay napapailalim sa batas ni Hooke, at ang puwersa ng damping na nalilikha habang nagaganap ang galaw ay proporsyonal sa unang equation ng generalized velocity (time derivative ng mga generalized coordinate).

konsepto

Ang linear na sistema ay karaniwang isang abstraktong modelo ng panginginig ng totoong sistema. Ang linear na sistema ng panginginig ay gumagamit ng prinsipyo ng superposisyon, ibig sabihin, kung ang tugon ng sistema ay y1 sa ilalim ng aksyon ng input x1, at y2 sa ilalim ng aksyon ng input x2, kung gayon ang tugon ng sistema sa ilalim ng aksyon ng input x1 at x2 ay y1+y2.

Batay sa prinsipyo ng superposisyon, ang isang arbitraryong input ay maaaring hatiin sa kabuuan ng isang serye ng mga napakaliit na impulso, at pagkatapos ay makukuha ang kabuuang tugon ng sistema. Ang kabuuan ng mga harmonikong bahagi ng isang pana-panahong paggulo ay maaaring palawakin sa isang serye ng mga harmonikong bahagi sa pamamagitan ng Fourier transform, at ang epekto ng bawat harmonikong bahagi sa sistema ay maaaring siyasatin nang hiwalay. Samakatuwid, ang mga katangian ng tugon ng mga linear na sistema na may mga pare-parehong parameter ay maaaring ilarawan sa pamamagitan ng tugon ng impulso o tugon ng dalas.

Ang tugon ng impulso ay tumutukoy sa tugon ng sistema sa unit impulse, na nagpapakilala sa mga katangian ng tugon ng sistema sa time domain. Ang tugon ng dalas ay tumutukoy sa katangian ng tugon ng sistema sa unit harmonic input. Ang pagkakatugma sa pagitan ng dalawa ay natutukoy ng Fourier transform.

klasipikasyon

Ang linear na panginginig ng boses ay maaaring hatiin sa linear na panginginig ng boses ng single-degree-of-freedom system at linear na panginginig ng boses ng multi-degree-of-freedom system.

(1) ang linear na vibration ng isang single-degree-of-freedom system ay isang linear na vibration na ang posisyon ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng isang pangkalahatang coordinate. Ito ang pinakasimpleng vibration kung saan maaaring makuha ang maraming pangunahing konsepto at katangian ng vibration. Kabilang dito ang simpleng harmonic vibration, free vibration, attenuation vibration at forced vibration.

Simpleng harmonic vibration: ang reciprocating motion ng isang bagay malapit sa posisyon ng equilibrium nito ayon sa sinusoidal law sa ilalim ng aksyon ng isang restoring force na proporsyonal sa displacement nito.

Damped vibration: vibration na ang amplitude ay patuloy na pinapahina ng pagkakaroon ng friction at dielectric resistance o iba pang pagkonsumo ng enerhiya.

Sapilitang panginginig ng boses: panginginig ng boses ng isang sistema sa ilalim ng patuloy na paggulo.

(2) ang linear na panginginig ng sistemang multi-degree-of-freedom ay ang panginginig ng sistemang linear na may n≥2 digri ng kalayaan. Ang isang sistemang may n digri ng kalayaan ay may n natural na frequency at n pangunahing mode. Anumang konpigurasyon ng panginginig ng sistema ay maaaring katawanin bilang isang linear na kombinasyon ng mga pangunahing mode. Samakatuwid, ang pamamaraan ng superposisyon ng pangunahing mode ay malawakang ginagamit sa dynamic na pagsusuri ng tugon ng mga multi-dof system. Sa ganitong paraan, ang pagsukat at pagsusuri ng mga natural na katangian ng panginginig ng sistema ay nagiging isang karaniwang hakbang sa dynamic na disenyo ng sistema. Ang mga dynamic na katangian ng mga multi-dof system ay maaari ding ilarawan sa pamamagitan ng mga katangian ng dalas. Dahil mayroong isang function ng katangian ng dalas sa pagitan ng bawat input at output, isang frequency characteristic matrix ang binubuo. Mayroong isang tiyak na ugnayan sa pagitan ng katangian ng dalas at ng pangunahing mode. Ang amplitude-frequency characteristic curve ng multi-freedom system ay naiiba sa single-freedom system.

Linear na panginginig ng isang sistema ng iisang antas ng kalayaan

Isang linear na vibration kung saan ang posisyon ng isang sistema ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng isang pangkalahatang coordinate. Ito ang pinakasimple at pinakapangunahing vibration kung saan maaaring makuha ang maraming pangunahing konsepto at katangian ng vibration. Kabilang dito ang simpleng harmonic vibration, damped vibration at forced vibration.

Harmonic na panginginig

Sa ilalim ng aksyon ng puwersang nagpapanumbalik na proporsyonal sa displacement, ang bagay ay gumaganti sa isang sinusoidal na paraan malapit sa posisyon ng ekwilibriyo nito (FIG. 1). Ang X ay kumakatawan sa displacement at ang t ay kumakatawan sa oras. Ang matematikal na ekspresyon ng vibration na ito ay:

(1)Kung saan ang A ay ang pinakamataas na halaga ng displacement x, na tinatawag na amplitude, at kumakatawan sa tindi ng vibration; Ang Omega n ay ang amplitude Angle increment ng vibration kada segundo, na tinatawag na angular frequency, o ang circular frequency; Ito ay tinatawag na initial phase. Sa mga tuntunin ng f= n/2, ang bilang ng mga oscillations kada segundo ay tinatawag na frequency; Ang kabaligtaran nito, T=1/f, ay ang oras na kinakailangan upang mag-oscillate ng isang cycle, at iyon ay tinatawag na period. Ang Amplitude A, frequency f (o angular frequency n), ang initial phase, na kilala bilang simpleng harmonic vibration three elements.

FIG. 1 simpleng kurba ng harmonikong panginginig

Gaya ng ipinapakita sa FIG. 2, isang simpleng harmonic oscillator ang nabubuo ng concentrated mass m na konektado sa pamamagitan ng isang linear spring. Kapag ang vibration displacement ay kinalkula mula sa equilibrium position, ang vibration equation ay:

Kung saan ang ay ang stiffness ng spring. Ang pangkalahatang solusyon sa equation sa itaas ay (1).A at maaaring matukoy sa pamamagitan ng panimulang posisyon na x0 at panimulang bilis sa t=0:

Ngunit ang omega n ay natutukoy lamang ng mga katangian ng sistema mismo na m at k, na hindi nakadepende sa mga karagdagang panimulang kondisyon, kaya ang omega n ay kilala rin bilang natural frequency.

FIG. 2 sistemang iisang antas ng kalayaan

Para sa isang simpleng harmonic oscillator, ang kabuuan ng kinetic energy at potential energy nito ay pare-pareho, ibig sabihin, ang kabuuang mechanical energy ng sistema ay nakonserba. Sa proseso ng vibration, ang kinetic energy at potential energy ay patuloy na nagbabago sa isa't isa.

Ang panginginig ng boses ng damping

Isang panginginig ng boses na ang amplitude ay patuloy na pinapahina ng friction at dielectric resistance o iba pang pagkonsumo ng enerhiya. Para sa micro vibration, ang velocity ay karaniwang hindi masyadong malaki, at ang medium resistance ay proporsyonal sa velocity sa unang power, na maaaring isulat bilang c ay ang damping coefficient. Samakatuwid, ang vibration equation ng isang degree of freedom na may linear damping ay maaaring isulat bilang:

(2)Kung saan, ang m =c/2m ay tinatawag na damping parameter, at. Ang pangkalahatang solusyon ng pormula (2) ay maaaring isulat:

(3)Ang numerikal na ugnayan sa pagitan ng omega n at PI ay maaaring hatiin sa sumusunod na tatlong kaso:

N > (sa kaso ng maliit na damping) na partikulo na nagdulot ng attenuation vibration, ang equation ng vibration ay:

Ang amplitude nito ay bumababa sa paglipas ng panahon ayon sa exponential law na ipinapakita sa equation, gaya ng ipinapakita sa tuldok-tuldok na linya sa FIG. 3. Sa mahigpit na pagsasalita, ang vibration na ito ay aperiodic, ngunit ang frequency ng peak nito ay maaaring tukuyin bilang:

Tinatawag na amplitude reduction rate, kung saan ang ay ang panahon ng vibration. Ang natural logarithm ng amplitude reduction rate ay tinatawag na logarithm minus (amplitude) rate. Malinaw na ang =, sa kasong ito, ay katumbas ng 2/1. Direkta sa pamamagitan ng experimental test delta at, gamit ang formula sa itaas, maaaring kalkulahin ang c.

Sa ngayon, ang solusyon ng ekwasyon (2) ay maaaring isulat:

Kasama ng direksyon ng panimulang bilis, maaari itong hatiin sa tatlong kaso ng hindi panginginig gaya ng ipinapakita sa FIG. 4.

N < (sa kaso ng malaking damping), ang solusyon sa equation (2) ay ipinapakita sa equation (3). Sa puntong ito, ang sistema ay hindi na nanginginig.

Sapilitang panginginig ng boses

Panginginig ng isang sistema sa ilalim ng patuloy na paggulo. Pangunahing sinisiyasat ng pagsusuri ng panginginig ang tugon ng sistema sa paggulo. Ang pana-panahong paggulo ay isang tipikal na regular na paggulo. Dahil ang pana-panahong paggulo ay palaging maaaring hatiin sa kabuuan ng ilang harmonic excitation, ayon sa prinsipyo ng superposisyon, tanging ang tugon ng sistema sa bawat harmonic excitation ang kinakailangan. Sa ilalim ng aksyon ng harmonic excitation, ang differential equation of motion ng isang single degree of freedom damped system ay maaaring isulat:

Ang tugon ay ang kabuuan ng dalawang bahagi. Ang isang bahagi ay ang tugon ng damped vibration, na mabilis na humihina sa paglipas ng panahon. Ang tugon ng isa pang bahagi ng forced vibration ay maaaring isulat:

FIG. 3 kurba ng nababad na panginginig

FIG. 4 na mga kurba ng tatlong paunang kondisyon na may kritikal na damping

I-type ang

Ang H /F0= h (), ay ang ratio ng steady response amplitude sa excitation amplitude, na nagpapakilala sa mga katangian ng amplitude-frequency, o gain function; Mga bit para sa steady state response at incentive ng phase, paglalarawan ng mga katangian ng phase frequency. Ang ugnayan sa pagitan ng mga ito at excitation frequency ay ipinapakita sa FIG. 5 at FIG. 6.

Gaya ng makikita sa amplitude-frequency curve (FIG. 5), sa kaso ng small damping, ang amplitude-frequency curve ay may iisang peak. Kung mas maliit ang damping, mas matarik ang peak; Ang frequency na katumbas ng peak ay tinatawag na resonant frequency ng sistema. Sa kaso ng small damping, ang resonance frequency ay hindi gaanong naiiba sa natural frequency. Kapag ang excitation frequency ay malapit sa natural frequency, ang amplitude ay biglang tumataas. Ang phenomenon na ito ay tinatawag na resonance. Sa resonance, ang gain ng sistema ay na-maximize, ibig sabihin, ang forced vibration ang pinakamatindi. Samakatuwid, sa pangkalahatan, palaging sikaping iwasan ang resonance, maliban kung ang ilang instrumento at kagamitan ay gumamit ng resonance upang makamit ang malaking vibration.

FIG. 5 kurba ng dalas ng amplitude

Makikita mula sa phase frequency curve (figure 6), anuman ang laki ng damping, sa omega zero phase difference bits = PI / 2, ang katangiang ito ay maaaring epektibong magamit sa pagsukat ng resonance.

Bukod sa tuluy-tuloy na paggulo, ang mga sistema ay minsan nakakaranas ng hindi matatag na paggulo. Maaari itong hatiin sa dalawang uri: ang isa ay ang biglaang pagtama. Ang pangalawa ay ang pangmatagalang epekto ng arbitrariness. Sa ilalim ng hindi matatag na paggulo, ang tugon ng sistema ay hindi rin matatag.

Isang makapangyarihang kasangkapan para sa pagsusuri ng hindi matatag na panginginig ng boses ang paraan ng pagtugon sa impulso. Inilalarawan nito ang mga dinamikong katangian ng sistema kasama ang lumilipas na tugon ng input ng unit impulso ng sistema. Ang unit impulse ay maaaring ipahayag bilang isang delta function. Sa inhinyeriya, ang delta function ay kadalasang binibigyang kahulugan bilang:

Kung saan ang 0- ay kumakatawan sa punto sa t-axis na papalapit sa zero mula sa kaliwa; ang 0 plus ay ang puntong papunta sa 0 mula sa kanan.

FIG. 6 na kurba ng dalas ng yugto

FIG. 7 anumang input ay maaaring ituring bilang kabuuan ng isang serye ng mga elemento ng impulso

Ang sistema ay tumutugma sa tugon na h(t) na nabuo ng unit impulse sa t=0, na tinatawag na impulse response function. Sa pag-aakalang ang sistema ay nakatigil bago ang pulso, h(t)=0 para sa t<0. Alam ang impulse response function ng sistema, mahahanap natin ang tugon ng sistema sa anumang input na x(t). Sa puntong ito, maaari mong isipin ang x(t) bilang ang kabuuan ng isang serye ng mga elemento ng impulse (FIG. 7). Ang tugon ng sistema ay:

Batay sa prinsipyo ng superposisyon, ang kabuuang tugon ng sistemang katumbas ng x(t) ay:

Ang integral na ito ay tinatawag na convolution integral o superposition integral.

Linear na panginginig ng boses ng isang multi-degree-of-freedom system

Pag-vibrate ng isang linear na sistema na may n≥2 degrees of freedom.

Ipinapakita ng Figure 8 ang dalawang simpleng resonant subsystem na konektado sa pamamagitan ng isang coupling spring. Dahil ito ay isang two-degree-of-freedom system, dalawang independent coordinate ang kailangan upang matukoy ang posisyon nito. Mayroong dalawang natural na frequency sa sistemang ito:

Ang bawat frequency ay tumutugma sa isang mode ng vibration. Ang mga harmonic oscillator ay nagsasagawa ng mga harmonic oscillations ng parehong frequency, na sabay-sabay na dumadaan sa posisyon ng equilibrium at sabay-sabay na umaabot sa dulong posisyon. Sa pangunahing vibration na katumbas ng omega one, ang x1 ay katumbas ng x2; sa pangunahing vibration na katumbas ng omega one, omega one. Sa pangunahing vibration, ang displacement ratio ng bawat masa ay nagpapanatili ng isang tiyak na relasyon at bumubuo ng isang tiyak na mode, na tinatawag na main mode o natural mode. Ang orthogonality ng masa at stiffness ay umiiral sa mga pangunahing mode, na sumasalamin sa kalayaan ng bawat vibration. Ang natural frequency at main mode ay kumakatawan sa mga likas na katangian ng vibration ng multi-degree of freedom system.

FIG. 8 sistema na may maraming antas ng kalayaan

Ang isang sistema ng n degrees of freedom ay may n natural na frequency at n main mode. Anumang vibration configuration ng sistema ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon ng mga major mode. Samakatuwid, ang main mode superposition method ay malawakang ginagamit sa dynamic response analysis ng multi-dof systems. Sa ganitong paraan, ang pagsukat at pagsusuri ng natural na vibration characteristics ng sistema ay nagiging isang regular na hakbang sa dynamic na disenyo ng sistema.

Ang mga dinamikong katangian ng mga multi-dof system ay maaari ring ilarawan sa pamamagitan ng mga katangian ng dalas. Dahil mayroong isang frequency characteristic function sa pagitan ng bawat input at output, isang frequency characteristic matrix ang binubuo. Ang amplitude-frequency characteristic curve ng multi-freedom system ay naiiba sa single-freedom system.

Nag-vibrate ang elastomer

Ang nabanggit na multi-degree of freedom system ay isang tinatayang mekanikal na modelo ng elastomer. Ang isang elastomer ay may walang katapusang bilang ng mga degree of freedom. Mayroong quantitative difference ngunit walang mahalagang pagkakaiba sa pagitan ng dalawa. Anumang elastomer ay may walang katapusang bilang ng mga natural na frequency at walang katapusang bilang ng mga katumbas na mode, at mayroong orthogonality sa pagitan ng mga mode ng masa at stiffness. Anumang vibrational configuration ng elastomer ay maaari ding katawanin bilang isang linear superposition ng mga pangunahing mode. Samakatuwid, para sa dynamic response analysis ng elastomer, ang superposition method ng main mode ay naaangkop pa rin (tingnan ang linear vibration ng elastomer).

Kunin ang panginginig ng isang tali. Sabihin nating ang isang manipis na tali na may masa na m bawat yunit ng haba, na may habang l, ay naka-tension sa magkabilang dulo, at ang tensyon ay T. Sa oras na ito, ang natural na frequency ng tali ay natutukoy ng sumusunod na equation:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Kung saan, ang ay ang bilis ng paglaganap ng transverse wave sa direksyon ng string. Ang mga natural na frequency ng mga string ay mga multiple ng fundamental frequency sa 2l. Ang integer multiplicity na ito ay humahantong sa isang kaaya-ayang harmonic structure. Sa pangkalahatan, walang ganitong integer multiple relation sa mga natural na frequency ng elastomer.

Ang unang tatlong mode ng naka-tension na string ay ipinapakita sa FIG. 9. May ilang node sa main mode curve. Sa main vibration, ang mga node ay hindi nag-vibrate. Ipinapakita ng FIG. 10 ang ilang tipikal na mode ng circumferencially supported circumferencial plate na may ilang nodal lines na binubuo ng mga bilog at diyametro.

Ang eksaktong pormulasyon ng problema sa panginginig ng elastomer ay maaaring mahinuha bilang problema sa hangganan ng mga partial differential equation. Gayunpaman, ang eksaktong solusyon ay matatagpuan lamang sa ilan sa mga pinakasimpleng kaso, kaya kailangan nating gamitin ang tinatayang solusyon para sa kumplikadong problema sa panginginig ng elastomer. Ang esensya ng iba't ibang tinatayang solusyon ay ang pagbabago ng infinite tungo sa finite, ibig sabihin, ang pag-discretize ng limb-less multi-degree of freedom system (continuous system) tungo sa isang finite multi-degree of freedom system (discrete system). Mayroong dalawang uri ng mga pamamaraan ng discretization na malawakang ginagamit sa pagsusuri ng inhinyeriya: finite element method at modal synthesis method.

FIG. 9 paraan ng string

FIG. 10 paraan ng pabilog na plato

Ang pamamaraan ng may hangganang elemento ay isang pinagsama-samang istruktura na nagbubuklod ng isang kumplikadong istruktura sa isang may hangganang bilang ng mga elemento at nag-uugnay sa mga ito sa isang may hangganang bilang ng mga node. Ang bawat yunit ay isang elastomer; Ang distribution displacement ng elemento ay ipinapahayag ng interpolation function ng node displacement. Pagkatapos, ang mga parameter ng distribusyon ng bawat elemento ay kinokonsentra sa bawat node sa isang partikular na format, at ang mekanikal na modelo ng discrete system ay nakukuha.

Ang modal synthesis ay ang paghahati ng isang kumplikadong istruktura sa ilang mas simpleng mga substructure. Batay sa pag-unawa sa mga katangian ng vibration ng bawat substructure, ang substructure ay isinasama sa isang pangkalahatang istruktura ayon sa mga kondisyon ng koordinasyon sa interface, at ang morpolohiya ng vibration ng pangkalahatang istruktura ay nakukuha gamit ang morpolohiya ng vibration ng bawat substructure.

Ang dalawang pamamaraan ay magkaiba at magkaugnay, at maaaring gamitin bilang sanggunian. Ang pamamaraan ng modal synthesis ay maaari ring epektibong pagsamahin sa eksperimental na pagsukat upang bumuo ng isang teoretikal at eksperimental na pamamaraan ng pagsusuri para sa panginginig ng boses ng malalaking sistema.