Vibratio linearisElasticitas partium in systemate legi Hookeianae obnoxia est, et vis attenuationis per motum generata proportionalis est primae aequationi velocitatis generalisatae (derivata temporalis coordinatarum generalisatarum).
notio
Systema lineare plerumque est exemplar abstractum vibrationis systematis realis. Systema vibrationis linearis principium superpositionis adhibet, id est, si responsio systematis est y1 sub actione input x1, et y2 sub actione input x2, tum responsio systematis sub actione input x1 et x2 est y1 + y2.
Principio superpositionis fretus, input arbitrarium in summam seriei impulsuum infinitesimalium resolvi potest, et deinde responsio totalis systematis obtineri potest. Summa partium harmonicarum excitationis periodicae in seriem partium harmonicarum per transformationem Fourier expandi potest, et effectus cuiusque partis harmonicae in systema separatim investigari potest. Ergo, proprietates responsionis systematum linearum cum parametris constantibus per responsionem impulsivam vel responsionem frequentialem describi possunt.
Responsio impulsiva ad responsionem systematis ad impulsum unitarium refertur, quae proprietates responsorum systematis in dominio temporis describit. Responsio frequentiae ad proprietatem responsorum systematis ad input harmonicum unitarium refertur. Correspondentia inter haec duo transformatione Fourier determinatur.
classificatio
Vibratio linearis dividi potest in vibrationem linearem systematis unius gradus libertatis et vibrationem linearem systematis multigradus libertatis.
(1) Vibratio linearis systematis unius gradus libertatis est vibratio linearis cuius positio coordinata generali determinari potest. Est vibratio simplicissima ex qua multae notiones fundamentales et proprietates vibrationis derivari possunt. Includit vibrationem harmonicam simplicem, vibrationem liberam, vibrationem attenuationis et vibrationem coactam.
Vibratio harmonica simplex: motus reciprocans obiecti in vicinia positionis suae aequilibrii secundum legem sinusoidalem sub actione vis restitutivae proportionalis dislocationi suae.
Vibratio remissa: vibratio cuius amplitudo continue attenuatur praesentia frictionis et resistentiae dielectricae vel alterius consumptionis energiae.
Vibratio coacta: vibratio systematis sub excitatione continua.
(2) Vibratio linearis systematis multi-gradus-libertatis est vibratio systematis linearis cum n ≥ 2 gradibus libertatis. Systema n graduum libertatis habet n frequentias naturales et n modos principales. Quaevis configuratio vibrationis systematis repraesentari potest ut combinatio linearis modorum principalium. Ergo, methodus superpositionis modi principalis late adhibetur in analysi responsus dynamici systematum multi-gradus-libertatis. Hoc modo, mensura et analysis proprietatum vibrationis naturalis systematis fit gradus consuetus in consilio dynamico systematis. Proprietates dynamicae systematum multi-gradus-libertatis etiam describi possunt per proprietates frequentiae. Cum functio proprietatis frequentiae inter singulas input et output exstet, matrix proprietatis frequentiae construitur. Relatio definita est inter proprietatem frequentiae et modum principalem. Curva proprietatis amplitudinis-frequentiae systematis multi-libertatis differt ab ea systematis unius libertatis.
Vibratio linearis systematis unius gradus libertatis
Vibratio linearis in qua positio systematis coordinata generali determinari potest. Haec est vibratio simplicissima et fundamentalissima ex qua multae notiones fundamentales et proprietates vibrationis derivari possunt. Includit vibrationem harmonicam simplicem, vibrationem remissam et vibrationem coactam.
Vibratio harmonica
Sub actione vis restitutivae proportionalis dislocationi, res reciprocat modo sinusoidali prope positionem aequilibrii sui (FIG. 1). X dislocationem et t tempus repraesentat. Expressio mathematica huius vibrationis est:
(1)Ubi A est maximus valor dislocationis x, qui amplitudo appellatur, et intensionem vibrationis repraesentat; Omega n est incrementum amplitudinis anguli vibrationis per secundum, quod frequentia angularis vel frequentia circularis appellatur; Haec phasis initialis appellatur. Secundum f = n/2, numerus oscillationum per secundum frequentia appellatur; Inversum huius, T = 1/f, est tempus quod requiritur ad unum cyclum oscillandum, et hoc periodus appellatur. Amplitudo A, frequentia f (vel frequentia angularis n), phasis initialis, vibratio harmonica simplex trium elementorum nota est.
FIG. 1 curva vibrationis harmonicae simplicis
Ut in Figura 2 demonstratur, oscillator harmonicus simplex a massa concentrata m, quae per elasticum lineare coniungitur, formatur. Cum dislocatio vibrationis ex positione aequilibrii calculatur, aequatio vibrationis est:
Ubi est rigiditas fontis. Solutio generalis aequationis supra est (1). A et determinari potest per positionem initialem x₀ et velocitatem initialem apud t=0:
Sed omega n solum per proprietates systematis ipsius m et k determinatur, independenter a condicionibus initialibus additis, ergo omega n etiam frequentia naturalis appellatur.
FIG. 2 systema unius gradus libertatis
Oscillatori harmonico simplici, summa energiae cineticae et potentialis constans est, id est, energia mechanica totalis systematis conservatur. In processu vibrationis, energia cinetica et energia potentialis perpetuo in se transformantur.
Vibratio mitigans
Vibratio cuius amplitudo continuo attenuatur frictione et resistentia dielectrica vel alia energiae consumptione. Pro microvibratione, velocitas plerumque non est magna, et resistentia media proportionalis est velocitati ad primam potentiam, quae scribi potest ut c est coefficiens attenuationis. Ergo, aequatio vibrationis unius gradus libertatis cum attenuatione lineari scribi potest ut:
(2)Ubi, m = c/2m parametrus attenuationis appellatur, et. Solutio generalis formulae (2) scribi potest:
(3)Relatio numerica inter omega n et PI in tres casus sequentes dividi potest:
N > (in casu attenuationis parvae) vibrationem attenuationis particulae productam, aequatio vibrationis est:
Amplitudo eius tempore decrescit secundum legem exponentialem in aequatione demonstratam, ut in linea punctata in Figura 3 demonstratur. Stricte loquendo, haec vibratio aperiodica est, sed frequentia culminis eius sic definiri potest:
Appellatur amplitudinis reductionis ratio, ubi est periodus vibrationis. Logarithmus naturalis amplitudinis reductionis ratio appellatur logarithmus minus (amplitudinis) ratio. Plane, =, hoc in casu, est aequalis 2/1. Directe per experimentum delta et, formula supra scripta utens, c calculari potest.
Hoc tempore, solutio aequationis (2) scribi potest:
Una cum directione velocitatis initialis, in tres casus sine vibratione dividi potest, ut in Figura 4 demonstratur.
N < (in casu magnae attenuationis), solutio aequationis (2) in aequatione (3) ostenditur. Hoc loco, systema iam non vibrat.
Vibratio coacta
Vibratio systematis sub excitatione constanti. Analysis vibrationis praecipue investigat responsionem systematis ad excitationem. Excitatio periodica est typica excitatio regularis. Cum excitatio periodica semper in summam plurium excitationum harmonicarum resolvi possit, secundum principium superpositionis, sola responsio systematis ad singulas excitationes harmonicas requiritur. Sub actione excitationis harmonicae, aequatio differentialis motus systematis unius gradus libertatis amortiguati scribi potest:
Responsio est summa duarum partium. Una pars est responsio vibrationis remissae, quae celeriter tempore decrescit. Responsio alterius partis vibrationis coactae scribi potest:
FIG. 3 curva vibrationis remissi
FIGURA IV curvae trium condicionum initialium cum attenuatione critica
Inscribe
H /F0 = h(), est proportio amplitudinis responsus stabilis ad amplitudinem excitationis, characteristicas amplitudinis-frequentiae describens, vel functionem amplificationis; Biti pro responso status stabilis et incitatione phasis, characteristicas characteristicarum frequentiae phasis. Relatio inter ea et frequentiam excitationis in Figura 5 et Figura 6 ostenditur.
Ut ex curva amplitudinis-frequentiae (FIG. 5) videri potest, in casu parvae attenuationis, curva amplitudinis-frequentiae unum culmen habet. Quo minor attenuatio, eo praeruptior culmen; Frequentia culmini correspondens frequentia resonantiae systematis appellatur. In casu parvae attenuationis, frequentia resonantiae non multum differt a frequentia naturali. Cum frequentia excitationis prope frequentiam naturalem est, amplitudo acriter augetur. Hoc phaenomenon resonantia appellatur. In resonantia, lucrum systematis maximizatur, id est, vibratio coacta est vehementissima. Ergo, in genere, semper conare resonantiam vitare, nisi quaedam instrumenta et apparatus resonantiam utantur ad magnam vibrationem consequendam.
FIG. 5 curva amplitudinis frequentiae
Ex curva frequentiae phasis (figura 6) videri potest, quacumque magnitudine attenuationis, in bitis differentiae phasis nullae omega = PI / 2, hanc proprietatem efficaciter ad resonantiam metiendam adhiberi posse.
Praeter excitationem stabilem, systemata interdum excitationem instabilem patiuntur. Haec excitatio in duas partes fere dividi potest: una est impetus subitus. Secunda est effectus diuturnus arbitrariorum. Sub excitatione instabili, responsio systematis etiam instabilis est.
Instrumentum validum ad vibrationem instabilem analysandam est methodus responsionis impulsivae. Describit proprietates dynamicas systematis cum responsione transitoria impulsus unitarii systematis. Impulsus unitarius exprimi potest ut functio delta. In arte ingeniaria, functio delta saepe definitur ut:
Ubi 0- punctum in axe t repraesentat quod a sinistra ad zero accedit; 0 plus punctum est quod a dextra ad 0 it.
FIGURA VI curva frequentiae phasium
FIG. 7 quaelibet inputatio considerari potest ut summa seriei elementorum impulsivorum.
Systema respondet responso h(t) generato ab impulsu unitario tempore t=0, quod functio responsi impulsivi appellatur. Supponendo systema stationarium esse ante impulsum, h(t)=0 pro t<0. Cognita functione responsi impulsivi systematis, responsum systematis ad quemlibet input x(t) invenire possumus. Hoc loco, x(t) cogitare potes ut summam seriei elementorum impulsivi (FIG. 7). Responsio systematis est:
Secundum principium superpositionis, responsio totalis systematis correspondentis x(t) est:
Hoc integrale appellatur integrale convolutionis vel integrale superpositionis.
Vibratio linearis systematis multigraduum libertatis
Vibratio systematis linearis cum n≥2 gradibus libertatis.
Figura VIII duo simplicia subsystemata resonantia, quae per copulae fontem coniuncta sunt, ostendit. Quia systema duorum graduum libertatis est, duae coordinatae independentes ad eius positionem determinandam necessariae sunt. Duae frequentiae naturales in hoc systemate sunt:
Unaquaeque frequentia modo vibrationis respondet. Oscillatores harmonici oscillationes harmonicas eiusdem frequentiae perficiunt, synchrone per positionem aequilibrii transeuntes et synchrone ad positionem extremam attingentes. In vibratione principali, quae omega uni respondet, x1 aequalis est x2; in vibratione principali, quae omega omega duo respondet, omega omega unum est. In vibratione principali, proportio dislocationis cuiusque massae relationem quandam servat et modum quendam format, qui modus principalis vel modus naturalis appellatur. Orthogonalitas massae et rigiditatis inter modos principales existit, quae independentiam cuiusque vibrationis reflectit. Frequentia naturalis et modus principalis proprietates vibrationis inherentes systematis multigraduum libertatis repraesentant.
FIGURA VIII systema cum multis gradibus libertatis
Systema n graduum libertatis n frequentias naturales et n modos principales habet. Quaevis configuratio vibrationis systematis repraesentari potest ut combinatio linearis modorum principalium. Ergo, methodus superpositionis modi principalis late adhibetur in analysi responsus dynamici systematum multi-gradus libertatis. Hoc modo, mensura et analysis proprietatum vibrationis naturalis systematis fit gradus consuetus in consilio dynamico systematis.
Proprietates dynamicae systematum multi-gradus libertatis etiam per proprietates frequentiae describi possunt. Cum functio proprietatis frequentiae inter singulas input et output intersit, matrix proprietatis frequentiae construitur. Curva proprietatis amplitudinis-frequentiae systematis multi-libertatis ab ea systematis singularis-libertatis differt.
Elastomer vibrat
Systema supradictum multigraduum libertatis est exemplar mechanicum approximatum elastomeri. Elastomer infinitos gradus libertatis habet. Differentia quantitativa est, sed nulla differentia essentialis inter haec duo. Quodlibet elastomer infinitas frequentias naturales et infinitos modos correspondentes habet, et orthogonalitas inter modos massae et rigiditatis existit. Quaelibet configuratio vibrationalis elastomeri etiam repraesentari potest ut superpositio linearis modorum maiorum. Ergo, ad analysin responsus dynamici elastomeri, methodus superpositionis modi principalis adhuc applicabilis est (vide vibrationem linearem elastomeri).
Accipe vibrationem chordae. Dicamus chordam tenuem, massae m per unitatem longitudinis, longam l, utroque fine tensam esse, et tensionem esse T. Hoc tempore, frequentia naturalis chordae hac aequatione determinatur:
F = na/2l (n = 1, 2, 3…).
Ubi est velocitas propagationis undae transversalis secundum directionem chordae. Frequentiae naturales chordarum casu multiplices frequentiae fundamentalis super 2l sunt. Haec multiplicitas integra ad structuram harmonicam gratam ducit. In genere, nulla talis relatio multiplicium integrarum inter frequentias naturales elastomeri existit.
Primi tres modi funiculi tensionis in Figura 9 monstrantur. Sunt quidam nodi in curva modi principalis. In vibratione principali, nodi non vibrant. Figura 10 ostendit aliquot modos typicos laminae circularis circumferentialiter sustentatae cum quibusdam lineis nodalibus ex circulis et diametris compositis.
Formula exacta problematis vibrationis elastomeri concludi potest ut problema valorum finium aequationum differentialium partialium. Attamen solutio exacta inveniri potest tantum in quibusdam casibus simplicissimis, ita ad solutionem approximatam pro problemate vibrationis elastomeri complexo confugere debemus. Essentia variarum solutionum approximatarum est infinitum in finitum mutare, id est, systema sine membris multigraduum libertatis (systema continuum) in systema finitum multigraduum libertatis (systema discretum) discretizare. Duo genera methodorum discretizationis late in analysi ingeniaria adhibentur: methodus elementorum finitorum et methodus synthesis modalis.
FIGURA IX Modus chordae
FIG. 10 modus laminae circularis
Methodus elementorum finitorum est structura composita quae structuram complexam in numerum finitum elementorum abstrahit et ea in numero finito nodorum connectit. Quaeque unitas est elastomer; distributio dislocationis elementi per functionem interpolationis dislocationis nodi exprimitur. Deinde parametri distributionis cuiusque elementi ad quemque nodum in certo formato concentrantur, et exemplar mechanicum systematis discreti obtinetur.
Synthesis modalis est decompositio structurae complexae in plures substructuras simpliciores. Fundamento in intellectu proprietatum vibrationis cuiusque substructurae, substructura in structuram generalem synthesizat secundum condiciones coordinationis in interfacie, et morphologia vibrationis structurae generalis obtinetur utendo morphologia vibrationis cuiusque substructurae.
Duae methodi differunt et inter se conexae sunt, et quasi exemplar adhiberi possunt. Methodus synthesis modalis etiam cum mensura experimentali efficaciter coniungi potest ad methodum analysis theoreticam et experimentalem pro vibratione systematum magnorum formandam.
Tempus publicationis: III Aprilis MMXX
