Doğrusal titreşim nedir?

Doğrusal titreşimSistemdeki bileşenlerin esnekliği Hooke yasasına tabidir ve hareket sırasında oluşan sönümleme kuvveti, genelleştirilmiş hızın birinci denklemine (genelleştirilmiş koordinatların zamana göre türevi) orantılıdır.

kavram

Doğrusal sistem genellikle gerçek sistemin titreşiminin soyut bir modelidir. Doğrusal titreşim sistemi süperpozisyon prensibini uygular; yani, sistemin tepkisi x1 girişi altında y1 ve x2 girişi altında y2 ise, sistemin x1 ve x2 girişleri altındaki tepkisi y1+y2 olur.

Süperpozisyon prensibine dayanarak, keyfi bir giriş, bir dizi sonsuz küçük dürtünün toplamına ayrıştırılabilir ve daha sonra sistemin toplam tepkisi elde edilebilir. Periyodik bir uyarının harmonik bileşenlerinin toplamı, Fourier dönüşümü ile bir dizi harmonik bileşene açılabilir ve her bir harmonik bileşenin sistem üzerindeki etkisi ayrı ayrı incelenebilir. Bu nedenle, sabit parametreli doğrusal sistemlerin tepki karakteristikleri, dürtü tepkisi veya frekans tepkisi ile tanımlanabilir.

Darbe tepkisi, sistemin birim darbeye verdiği tepkiyi ifade eder ve sistemin zaman alanındaki tepki özelliklerini belirler. Frekans tepkisi ise sistemin birim harmonik girişe verdiği tepki özelliğini ifade eder. İkisi arasındaki ilişki Fourier dönüşümü ile belirlenir.

sınıflandırma

Doğrusal titreşim, tek serbestlik dereceli sistemin doğrusal titreşimi ve çok serbestlik dereceli sistemin doğrusal titreşimi olmak üzere ikiye ayrılabilir.

(1) Tek serbestlik dereceli bir sistemin doğrusal titreşimi, pozisyonu genelleştirilmiş bir koordinatla belirlenebilen doğrusal bir titreşimdir. Titreşimin birçok temel kavramı ve özelliğinin türetilebileceği en basit titreşimdir. Basit harmonik titreşim, serbest titreşim, sönümleme titreşimi ve zorlanmış titreşimi içerir.

Basit harmonik titreşim: Bir cismin denge konumunun yakınında, yer değiştirmesine orantılı bir geri çağırıcı kuvvetin etkisi altında, sinüzoidal bir yasaya göre yaptığı ileri geri hareket.

Sönümlü titreşim: Genliği, sürtünme ve dielektrik direnci veya diğer enerji tüketimi nedeniyle sürekli olarak azalan titreşim.

Zorlamalı titreşim: Bir sistemin sabit bir uyarım altında titreşimi.

(2) Çok serbestlik dereceli sistemin doğrusal titreşimi, n≥2 serbestlik derecesine sahip doğrusal sistemin titreşimidir. n serbestlik dereceli bir sistemin n doğal frekansı ve n ana modu vardır. Sistemin herhangi bir titreşim konfigürasyonu, ana modların doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir. Bu nedenle, ana mod süperpozisyon yöntemi, çok serbestlik dereceli sistemlerin dinamik tepki analizinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu şekilde, sistemin doğal titreşim özelliklerinin ölçülmesi ve analizi, sistemin dinamik tasarımında rutin bir adım haline gelir. Çok serbestlik dereceli sistemlerin dinamik özellikleri, frekans karakteristikleri ile de tanımlanabilir. Her giriş ve çıkış arasında bir frekans karakteristik fonksiyonu olduğundan, bir frekans karakteristik matrisi oluşturulur. Frekans karakteristiği ile ana mod arasında belirli bir ilişki vardır. Çok serbestlik dereceli sistemin genlik-frekans karakteristik eğrisi, tek serbestlik dereceli sisteminkinden farklıdır.

Tek serbestlik dereceli bir sistemin doğrusal titreşimi

Bir sistemin konumunun genelleştirilmiş bir koordinat sistemiyle belirlenebildiği doğrusal titreşim. Titreşimin birçok temel kavramı ve özelliğinin türetilebileceği en basit ve en temel titreşim türüdür. Basit harmonik titreşim, sönümlü titreşim ve zorlanmış titreşimi içerir.

Harmonik titreşim

Yer değiştirmeye orantılı geri döndürücü kuvvetin etkisi altında, cisim denge konumuna yakın bir yerde sinüzoidal bir şekilde ileri geri hareket eder (Şekil 1). X yer değiştirmeyi, t ise zamanı temsil eder. Bu titreşimin matematiksel ifadesi şöyledir:

(1)Burada A, genlik olarak adlandırılan ve titreşimin yoğunluğunu temsil eden x yer değiştirmesinin maksimum değeridir; Omega n, saniyedeki titreşimin açısal artışıdır ve açısal frekans veya dairesel frekans olarak adlandırılır; buna başlangıç ​​fazı denir. f= n/2 formülüyle, saniyedeki salınım sayısı frekans olarak adlandırılır; bunun tersi, T=1/f, bir döngüyü tamamlamak için geçen süredir ve buna periyot denir. Genlik A, frekans f (veya açısal frekans n), başlangıç ​​fazı olmak üzere üç temel unsurdan oluşan basit harmonik titreşim, bu üç temel unsurla ifade edilir.

Şekil 1. Basit harmonik titreşim eğrisi

Şekil 2'de gösterildiği gibi, doğrusal bir yay ile birbirine bağlı yoğunlaştırılmış kütle m tarafından basit bir harmonik osilatör oluşturulmuştur. Denge konumundan titreşim yer değiştirmesi hesaplandığında, titreşim denklemi şu şekildedir:

Yayın sertliği nerededir? Yukarıdaki denklemin genel çözümü (1)'dir. A ve t=0'daki başlangıç ​​pozisyonu x0 ve başlangıç ​​hızı ile belirlenebilir:

Ancak omega n, ek başlangıç ​​koşullarından bağımsız olarak, yalnızca sistemin kendi özellikleri olan m ve k tarafından belirlenir; bu nedenle omega n aynı zamanda doğal frekans olarak da bilinir.

ŞEKİL 2 tek serbestlik dereceli sistem

Basit harmonik osilatör için, kinetik enerjisi ve potansiyel enerjisinin toplamı sabittir, yani sistemin toplam mekanik enerjisi korunur. Titreşim sürecinde, kinetik enerji ve potansiyel enerji sürekli olarak birbirine dönüşür.

Sönümleme titreşimi

Genliği sürtünme, dielektrik direnci veya diğer enerji tüketimiyle sürekli olarak azalan bir titreşim. Mikro titreşimde, hız genellikle çok büyük değildir ve ortam direnci, hızın birinci kuvvetiyle orantılıdır; bu da c sönümleme katsayısı olmak üzere şu şekilde yazılabilir: Bu nedenle, doğrusal sönümlemeli tek serbestlik dereceli titreşim denklemi şu şekilde yazılabilir:

(2)Burada m =c/2m sönümleme parametresi olarak adlandırılır ve formül (2)'nin genel çözümü şu şekilde yazılabilir:

(3)Omega n ve PI arasındaki sayısal ilişki aşağıdaki üç duruma ayrılabilir:

N > (küçük sönümleme durumunda) parçacık tarafından üretilen sönümleme titreşimi, titreşim denklemi şöyledir:

Genliği, Şekil 3'teki noktalı çizgide gösterildiği gibi, denklemde gösterilen üstel yasaya göre zamanla azalır. Kesin olarak söylemek gerekirse, bu titreşim periyodik değildir, ancak tepe noktasının frekansı şu şekilde tanımlanabilir:

Genlik azalma oranı olarak adlandırılır; burada titreşim periyodudur. Genlik azalma oranının doğal logaritmasına logaritma eksi (genlik) oranı denir. Açıkça, =, bu durumda 2/1'e eşittir. Doğrudan deneysel test deltası ve yukarıdaki formül kullanılarak c hesaplanabilir.

Bu aşamada, denklem (2)'nin çözümü şu şekilde yazılabilir:

Başlangıç ​​hızının yönüne bağlı olarak, Şekil 4'te gösterildiği gibi üç titreşimsiz duruma ayrılabilir.

N < (büyük sönümleme durumunda), denklem (2)'nin çözümü denklem (3)'te gösterilmiştir. Bu noktada sistem artık titreşmiyor.

Zorlamalı titreşim

Sabit uyarım altında bir sistemin titreşimi. Titreşim analizi esas olarak sistemin uyarım karşısındaki tepkisini inceler. Periyodik uyarım, tipik bir düzenli uyarım türüdür. Periyodik uyarım her zaman birkaç harmonik uyarımın toplamına ayrıştırılabildiğinden, süperpozisyon prensibine göre, sistemin yalnızca her bir harmonik uyarım karşısındaki tepkisi gereklidir. Harmonik uyarımın etkisi altında, tek serbestlik dereceli sönümlü bir sistemin hareketinin diferansiyel denklemi şu şekilde yazılabilir:

Tepki iki parçanın toplamıdır. Bir parça, zamanla hızla azalan sönümlü titreşim tepkisidir. Zorlamalı titreşimin diğer parçasının tepkisi ise şu şekilde yazılabilir:

Şekil 3 sönümlü titreşim eğrisi

Şekil 4, kritik sönümlemeye sahip üç başlangıç ​​koşulunun eğrilerini göstermektedir.

İçeriye şunu yazın:

H /F0= h (), kararlı durum tepki genliğinin uyarı genliğine oranıdır ve genlik-frekans özelliklerini veya kazanç fonksiyonunu karakterize eder; Bitler, kararlı durum tepkisi ve fazın teşviki için olup, faz frekans özelliklerinin karakterizasyonunu sağlar. Bunlar ile uyarı frekansı arasındaki ilişki Şekil 5 ve Şekil 6'da gösterilmiştir.

Genlik-frekans eğrisinden (Şekil 5) görülebileceği gibi, küçük sönümleme durumunda, genlik-frekans eğrisi tek bir tepe noktasına sahiptir. Sönümleme ne kadar küçükse, tepe noktası o kadar dik olur; tepe noktasına karşılık gelen frekansa sistemin rezonans frekansı denir. Küçük sönümleme durumunda, rezonans frekansı doğal frekanstan çok farklı değildir. Uyarıcı frekans doğal frekansa yaklaştığında, genlik keskin bir şekilde artar. Bu olaya rezonans denir. Rezonansta, sistemin kazancı maksimuma ulaşır, yani zorlanmış titreşim en yoğun olur. Bu nedenle, genel olarak, rezonansı büyük titreşim elde etmek için kullanan bazı alet ve ekipmanlar olmadıkça, her zaman rezonanstan kaçınmaya çalışılır.

ŞEKİL 5 genlik frekans eğrisi

Faz frekans eğrisinden (şekil 6) görülebileceği gibi, sönümlemenin büyüklüğünden bağımsız olarak, omega sıfır faz farkı bitlerinde = PI / 2, bu özellik rezonans ölçümünde etkili bir şekilde kullanılabilir.

Sistemler, sürekli uyarımın yanı sıra bazen kararsız uyarımlarla da karşılaşırlar. Bu durum kabaca iki tipe ayrılabilir: birincisi ani etki, ikincisi ise keyfiliğin kalıcı etkisidir. Kararsız uyarım altında, sistemin tepkisi de kararsızdır.

Kararsız titreşimlerin analizinde güçlü bir araç, dürtü yanıtı yöntemidir. Bu yöntem, sistemin dinamik özelliklerini, sisteme uygulanan birim dürtü girişinin geçici yanıtıyla tanımlar. Birim dürtü, delta fonksiyonu olarak ifade edilebilir. Mühendislikte delta fonksiyonu genellikle şu şekilde tanımlanır:

Burada 0-, t ekseni üzerinde soldan sıfıra yaklaşan noktayı; 0+ ise sağdan sıfıra giden noktayı temsil eder.

Şekil 6 faz frekans eğrisi

Şekil 7'de görüldüğü gibi, herhangi bir giriş, bir dizi dürtü elemanının toplamı olarak düşünülebilir.

Sistem, t=0 anındaki birim dürtü tarafından üretilen h(t) yanıtına karşılık gelir ve bu yanıta dürtü yanıt fonksiyonu denir. Dürtüden önce sistemin durağan olduğunu varsayarsak, t<0 için h(t)=0 olur. Sistemin dürtü yanıt fonksiyonunu bilerek, sistemin herhangi bir giriş x(t)'ye verdiği yanıtı bulabiliriz. Bu noktada, x(t)'yi bir dizi dürtü elemanının toplamı olarak düşünebilirsiniz (Şekil 7). Sistemin yanıtı şöyledir:

Süperpozisyon prensibine göre, x(t)'ye karşılık gelen sistemin toplam tepkisi şöyledir:

Bu integrale evrişim integrali veya süperpozisyon integrali denir.

Çok serbestlik dereceli bir sistemin doğrusal titreşimi

n≥2 serbestlik derecesine sahip doğrusal bir sistemin titreşimi.

Şekil 8, bir bağlantı yayı ile birbirine bağlı iki basit rezonans alt sistemini göstermektedir. İki serbestlik dereceli bir sistem olduğu için, konumunu belirlemek için iki bağımsız koordinata ihtiyaç duyulmaktadır. Bu sistemde iki doğal frekans vardır:

Her frekans bir titreşim moduna karşılık gelir. Harmonik osilatörler aynı frekansta harmonik salınımlar gerçekleştirir, denge konumundan eş zamanlı olarak geçer ve uç konuma eş zamanlı olarak ulaşır. Omega bire karşılık gelen ana titreşimde x1, x2'ye eşittir; omega omega ikiye karşılık gelen ana titreşimde ise omega omega bir'e eşittir. Ana titreşimde, her kütlenin yer değiştirme oranı belirli bir ilişkiyi korur ve ana mod veya doğal mod olarak adlandırılan belirli bir mod oluşturur. Ana modlar arasında kütle ve rijitliğin ortogonalliği mevcuttur, bu da her titreşimin bağımsızlığını yansıtır. Doğal frekans ve ana mod, çok serbestlik dereceli sistemin doğal titreşim özelliklerini temsil eder.

ŞEKİL 8: Çoklu serbestlik derecesine sahip sistem

n serbestlik derecesine sahip bir sistemin n doğal frekansı ve n ana modu vardır. Sistemin herhangi bir titreşim konfigürasyonu, ana modların doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir. Bu nedenle, ana mod süperpozisyon yöntemi, çok serbestlik dereceli sistemlerin dinamik tepki analizinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu şekilde, sistemin doğal titreşim özelliklerinin ölçülmesi ve analizi, sistemin dinamik tasarımında rutin bir adım haline gelir.

Çok serbestlik dereceli sistemlerin dinamik özellikleri, frekans karakteristikleri ile de tanımlanabilir. Her giriş ve çıkış arasında bir frekans karakteristik fonksiyonu bulunduğundan, bir frekans karakteristik matrisi oluşturulur. Çok serbestlik dereceli sistemin genlik-frekans karakteristik eğrisi, tek serbestlik dereceli sisteminkinden farklıdır.

Elastomer titreşiyor

Yukarıdaki çok serbestlik dereceli sistem, elastomerin yaklaşık bir mekanik modelidir. Bir elastomerin sonsuz sayıda serbestlik derecesi vardır. İkisi arasında niceliksel bir fark vardır, ancak esaslı bir fark yoktur. Herhangi bir elastomerin sonsuz sayıda doğal frekansı ve sonsuz sayıda karşılık gelen modu vardır ve kütle ve sertlik modları arasında ortogonallik vardır. Elastomerin herhangi bir titreşimsel konfigürasyonu, ana modların doğrusal süperpozisyonu olarak da temsil edilebilir. Bu nedenle, elastomerin dinamik tepki analizi için, ana modların süperpozisyon yöntemi hala uygulanabilir (elastomerin doğrusal titreşimine bakınız).

Bir telin titreşimini ele alalım. Birim uzunluk başına kütlesi m olan, uzunluğu l olan ince bir telin her iki ucuna da gerilim uygulandığını ve gerilimin T olduğunu varsayalım. Bu durumda, telin doğal frekansı aşağıdaki denklemle belirlenir:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Burada, telin doğrultusu boyunca enine dalganın yayılma hızıdır. Tellerin doğal frekansları, temel frekansın 2l ile katlarıdır. Bu tam sayı katları, hoş bir harmonik yapıya yol açar. Genel olarak, elastomerlerin doğal frekansları arasında böyle bir tam sayı kat ilişkisi yoktur.

Gerilmiş telin ilk üç modu Şekil 9'da gösterilmiştir. Ana mod eğrisinde bazı düğümler bulunmaktadır. Ana titreşimde, düğümler titreşmez. Şekil 10, daireler ve çaplardan oluşan bazı düğüm çizgileriyle, çevresel olarak desteklenen dairesel plakanın birkaç tipik modunu göstermektedir.

Elastomer titreşim probleminin kesin formülasyonu, kısmi diferansiyel denklemlerin sınır değer problemi olarak özetlenebilir. Bununla birlikte, kesin çözüm yalnızca en basit durumlarda bulunabilir, bu nedenle karmaşık elastomer titreşim problemi için yaklaşık çözüme başvurmak zorundayız. Çeşitli yaklaşık çözümlerin özü, sonsuzu sonluya dönüştürmek, yani uzuvsuz çok serbestlik dereceli sistemi (sürekli sistem) sonlu çok serbestlik dereceli bir sisteme (ayrık sistem) dönüştürmektir. Mühendislik analizinde yaygın olarak kullanılan iki tür ayrıştırma yöntemi vardır: sonlu eleman yöntemi ve modal sentez yöntemi.

ŞEKİL 9. Telin modu

ŞEKİL 10 dairesel plakanın çalışma şekli

Sonlu eleman yöntemi, karmaşık bir yapıyı sonlu sayıda elemana soyutlayan ve bunları sonlu sayıda düğümde birleştiren bir bileşik yapıdır. Her birim bir elastomerdir; elemanın dağılım yer değiştirmesi, düğüm yer değiştirmesinin interpolasyon fonksiyonu ile ifade edilir. Daha sonra her elemanın dağılım parametreleri belirli bir biçimde her düğüme yoğunlaştırılır ve ayrık sistemin mekanik modeli elde edilir.

Modal sentez, karmaşık bir yapının birkaç daha basit alt yapıya ayrıştırılmasıdır. Her bir alt yapının titreşim özelliklerinin anlaşılması temelinde, alt yapı, arayüzdeki koordinasyon koşullarına göre genel bir yapıya sentezlenir ve genel yapının titreşim morfolojisi, her bir alt yapının titreşim morfolojisi kullanılarak elde edilir.

İki yöntem farklı ve birbiriyle ilişkilidir ve referans olarak kullanılabilir. Modal sentez yöntemi, büyük sistemlerin titreşimi için teorik ve deneysel bir analiz yöntemi oluşturmak üzere deneysel ölçümle de etkili bir şekilde birleştirilebilir.