Какво е линейна вибрация?

Линейна вибрацияЕластичността на компонентите в системата се подчинява на закона на Хук, а силата на затихване, генерирана по време на движението, е пропорционална на първото уравнение на обобщената скорост (времева производна на обобщените координати).

концепция

Линейната система обикновено е абстрактен модел на вибрациите на реална система. Линейната вибрационна система прилага принципа на суперпозицията, т.е. ако отговорът на системата е y1 под действието на вход x1 и y2 под действието на вход x2, тогава отговорът на системата под действието на вход x1 и x2 е y1+y2.

Въз основа на принципа на суперпозицията, произволен вход може да се разложи на сума от поредица от безкрайно малки импулси и след това да се получи общият отговор на системата. Сумата от хармоничните компоненти на периодично възбуждане може да се разложи на поредица от хармонични компоненти чрез преобразуване на Фурие и ефектът на всеки хармоничен компонент върху системата може да се изследва поотделно. Следователно, характеристиките на отговор на линейни системи с постоянни параметри могат да бъдат описани чрез импулсен отговор или честотен отговор.

Импулсният отклик се отнася до реакцията на системата към единичен импулс, който характеризира характеристиките на реакцията на системата във времевата област. Честотният отклик се отнася до характеристиката на реакцията на системата към входния единичен хармоник. Съответствието между двете се определя от преобразуването на Фурие.

класификация

Линейните вибрации могат да бъдат разделени на линейни вибрации на системи с една степен на свобода и линейни вибрации на системи с много степени на свобода.

(1) Линейната вибрация на система с една степен на свобода е линейна вибрация, чието положение може да се определи чрез обобщена координата. Това е най-простата вибрация, от която могат да се извлекат много основни понятия и характеристики на вибрациите. Тя включва проста хармонична вибрация, свободна вибрация, вибрация със затихване и принудителна вибрация.

Проста хармонична вибрация: възвратно-постъпателно движение на обект в близост до равновесното му положение съгласно синусоидален закон под действието на възстановяваща сила, пропорционална на неговото преместване.

Затихнала вибрация: вибрация, чиято амплитуда непрекъснато се намалява от наличието на триене и диелектрично съпротивление или друг разход на енергия.

Принудителна вибрация: вибрация на система при постоянно възбуждане.

(2) Линейната вибрация на система с много степени на свобода е вибрацията на линейна система с n≥2 степени на свобода. Система с n степени на свобода има n собствени честоти и n основни режима. Всяка конфигурация на вибрациите на системата може да бъде представена като линейна комбинация от основните режими. Следователно, методът на суперпозиция на основните режими се използва широко в анализа на динамичния отговор на системи с много степени на свобода. По този начин измерването и анализът на характеристиките на собствените вибрации на системата се превръща в рутинна стъпка в динамичното проектиране на системата. Динамичните характеристики на системите с много степени на свобода могат да бъдат описани и чрез честотни характеристики. Тъй като има честотна характеристична функция между всеки вход и изход, се изгражда матрица на честотните характеристики. Съществува определена връзка между честотната характеристика и основния режим. Кривата на амплитудно-честотната характеристика на системата с много степени на свобода е различна от тази на системата с единична свобода.

Линейно трептене на система с една степен на свобода

Линейна вибрация, при която позицията на системата може да се определи чрез обобщена координата. Това е най-простата и фундаментална вибрация, от която могат да се извлекат много основни понятия и характеристики на вибрациите. Тя включва прости хармонични вибрации, затихващи вибрации и принудителни вибрации.

Хармонични вибрации

Под действието на възстановяваща сила, пропорционална на преместването, обектът се движи синусоидално възвратно-постъпателно близо до равновесното си положение (фиг. 1). X представлява преместването, а t представлява времето. Математическият израз на тази вибрация е:

(1)Където A е максималната стойност на изместване x, която се нарича амплитуда и представлява интензитета на вибрацията; Omega n е ъгловото нарастване на амплитудата на вибрацията в секунда, което се нарича ъглова честота или кръгова честота; Това се нарича начална фаза. По отношение на f = n/2, броят на трептенията в секунда се нарича честота; Обратната стойност на това, T = 1/f, е времето, необходимо за трептене за един цикъл, и това се нарича период. Амплитуда A, честота f (или ъглова честота n), е началната фаза, известна като проста хармонична вибрация от три елемента.

Фиг. 1 проста хармонична вибрационна крива

Както е показано на Фиг. 2, прост хармоничен осцилатор се образува от концентрираната маса m, свързана с линейна пружина. Когато вибрационното изместване се изчисли от равновесното положение, уравнението на вибрациите е:

Където е твърдостта на пружината. Общото решение на горното уравнение е (1).A и може да се определи от началната позиция x0 и началната скорост при t=0:

Но омега n се определя само от характеристиките на самата система m и k, независимо от допълнителните начални условия, така че омега n е известна още като естествена честота.

ФИГ. 2 система с една степен на свобода

За един прост хармоничен осцилатор, сумата от неговата кинетична енергия и потенциална енергия е постоянна, т.е. общата механична енергия на системата се запазва. В процеса на вибрация, кинетичната и потенциалната енергия постоянно се трансформират една в друга.

Затихваща вибрация

Вибрация, чиято амплитуда непрекъснато се отслабва от триене и диелектрично съпротивление или друга консумация на енергия. При микровибрациите скоростта обикновено не е много голяма, а съпротивлението на средата е пропорционално на скоростта на първа степен, което може да се запише като c е коефициентът на затихване. Следователно, уравнението на вибрациите с една степен на свобода с линейно затихване може да се запише като:

(2)Където m = c/2m се нарича параметър на затихване, а. Общото решение на формула (2) може да се запише:

(3)Числовата връзка между омега n и PI може да бъде разделена на следните три случая:

N > (в случай на малко затихване) произведени от частици вибрации на затихване, уравнението на вибрациите е:

Амплитудата му намалява с времето съгласно експоненциалния закон, показан в уравнението, както е показано с пунктираната линия на Фиг. 3. Строго погледнато, тази вибрация е апериодична, но честотата на нейния пик може да се определи като:

Нарича се скорост на намаляване на амплитудата, където е периодът на вибрация. Натуралният логаритъм на скоростта на намаляване на амплитудата се нарича логаритъм минус (амплитудната) скорост. Очевидно е, че в този случай = е равно на 2/1. Директно чрез експерименталния тест делта и, използвайки горната формула, може да се изчисли c.

В този момент решението на уравнение (2) може да се запише:

Заедно с посоката на началната скорост, тя може да бъде разделена на три случая без вибрации, както е показано на Фиг. 4.

N < (в случай на голямо затихване), решението на уравнение (2) е показано в уравнение (3). В този момент системата вече не вибрира.

Принудителна вибрация

Вибрация на система при постоянно възбуждане. Анализът на вибрациите изследва главно реакцията на системата на възбуждане. Периодичното възбуждане е типично редовно възбуждане. Тъй като периодичното възбуждане винаги може да се разложи на сума от няколко хармонични възбуждания, съгласно принципа на суперпозицията, е необходим само отговорът на системата на всяко хармонично възбуждане. Под действието на хармонично възбуждане, диференциалното уравнение на движение на система с една степен на свобода може да се запише:

Отговорът е сума от две части. Едната част е отговорът на затихнала вибрация, която бързо затихва с времето. Отговорът на друга част на принудителната вибрация може да се запише:

Фиг. 3 крива на затихналите вибрации

Фиг. 4 криви на три начални условия с критично затихване

Въведете

H /F0= h (), е съотношението на амплитудата на установения отговор към амплитудата на възбуждане, характеризиращо амплитудно-честотните характеристики или функция на усилване; Битове за установения отговор и фазово стимулиране, характеризиране на фазово-честотните характеристики. Връзката между тях и честотата на възбуждане е показана на Фиг. 5 и Фиг. 6.

Както може да се види от амплитудно-честотната крива (фиг. 5), в случай на малко затихване, амплитудно-честотната крива има един пик. Колкото по-малко е затихването, толкова по-стръмен е пикът; честотата, съответстваща на пика, се нарича резонансна честота на системата. В случай на малко затихване, резонансната честота не се различава много от собствената честота. Когато честотата на възбуждане е близка до собствената честота, амплитудата се увеличава рязко. Това явление се нарича резонанс. При резонанс коефициентът на усилване на системата е максимален, т.е. принудителните вибрации са най-интензивни. Следователно, като цяло, винаги се стремим да избягваме резонанс, освен ако някои инструменти и оборудване не използват резонанс за постигане на големи вибрации.

ФИГ. 5 Амплитудно-честотна крива

От кривата на фазовата честота (фигура 6) може да се види, че независимо от размера на затихването, при омега нулева фазова разлика битове = PI / 2, тази характеристика може да се използва ефективно при измерване на резонанс.

В допълнение към постоянното възбуждане, системите понякога се сблъскват с нестационарно възбуждане. То може грубо да се раздели на два вида: единият е внезапен удар. Вторият е траен ефект на произвол. При нестационарно възбуждане, реакцията на системата също е нестационарна.

Мощен инструмент за анализ на нестационарни вибрации е методът на импулсния отклик. Той описва динамичните характеристики на системата с преходния отклик на входния импулс на системата. Единичният импулс може да бъде изразен като делта функция. В инженерството делта функцията често се определя като:

Където 0- представлява точката на t-оста, която се приближава към нула отляво; 0 плюс е точката, която се приближава към 0 отдясно.

ФИГ. 6 Крива на фазовата честота

ФИГ. 7 всеки вход може да се разглежда като сума от поредица от импулсни елементи

Системата съответства на отговора h(t), генериран от единичния импулс при t=0, който се нарича функция на импулсния отговор. Ако приемем, че системата е неподвижна преди импулса, h(t)=0 за t<0. Познавайки функцията на импулсния отговор на системата, можем да намерим отговора на системата на всеки вход x(t). В този момент можете да мислите за x(t) като за сума от поредица от импулсни елементи (фиг. 7). Отговорът на системата е:

Въз основа на принципа на суперпозицията, общият отговор на системата, съответстващ на x(t), е:

Този интеграл се нарича конволюционен интеграл или суперпозиционен интеграл.

Линейно трептене на система с много степени на свобода

Трептене на линейна система с n≥2 степени на свобода.

Фигура 8 показва две прости резонансни подсистеми, свързани чрез свързваща пружина. Тъй като това е система с две степени на свобода, са необходими две независими координати, за да се определи нейната позиция. В тази система има две собствени честоти:

Всяка честота съответства на режим на вибрация. Хармоничните осцилатори извършват хармонични трептения с една и съща честота, синхронно преминавайки през равновесно положение и синхронно достигайки крайната позиция. При основната вибрация, съответстваща на омега едно, x1 е равно на x2; при основната вибрация, съответстваща на омега омега две, омега омега едно. При основната вибрация коефициентът на изместване на всяка маса поддържа определена връзка и образува определен режим, който се нарича основен режим или естествен режим. Съществува ортогоналност на масата и коравината между основните режими, което отразява независимостта на всяка вибрация. Собствената честота и основният режим представляват присъщите вибрационни характеристики на системата с много степени на свобода.

ФИГ. 8 система с множество степени на свобода

Система от n степени на свобода има n собствени честоти и n основни режима. Всяка вибрационна конфигурация на системата може да бъде представена като линейна комбинация от основните режими. Следователно, методът на суперпозиция на основните режими се използва широко в анализа на динамичния отговор на системи с множество степени на свобода. По този начин измерването и анализът на характеристиките на собствените вибрации на системата се превръща в рутинна стъпка в динамичното проектиране на системата.

Динамичните характеристики на многостепенните системи могат да бъдат описани и чрез честотни характеристики. Тъй като между всеки вход и изход има честотна характеристична функция, се конструира матрица на честотните характеристики. Амплитудно-честотната характеристична крива на многостепенната система е различна от тази на едностепенната система.

Еластомерът вибрира

Горната система с множество степени на свобода е приблизителен механичен модел на еластомер. Еластомерът има безкраен брой степени на свобода. Има количествена разлика, но няма съществена разлика между двете. Всеки еластомер има безкраен брой собствени честоти и безкраен брой съответстващи модове, като съществува ортогоналност между модовете на масата и твърдостта. Всяка вибрационна конфигурация на еластомера може да бъде представена и като линейна суперпозиция на основните модове. Следователно, за анализ на динамичния отговор на еластомера, методът на суперпозиция на основния мод е все още приложим (вижте линейни вибрации на еластомер).

Вземете вибрацията на струна. Да кажем, че тънка струна с маса m на единица дължина и дължина l е опъната в двата края, а опъването е T. В този момент собствената честота на струната се определя от следното уравнение:

F = na/2l (n = 1, 2, 3…).

Където е скоростта на разпространение на напречната вълна по посока на струната. Собствените честоти на струните са кратни на основната честота над 2l. Тази целочислена кратност води до приятна хармонична структура. Като цяло няма такава целочислена кратна връзка между собствените честоти на еластомера.

Първите три режима на опънатата струна са показани на Фиг. 9. Има някои възли на кривата на основния режим. При основната вибрация възлите не вибрират. Фиг. 10 показва няколко типични режима на периферно поддържаната кръгла плоча с някои възлови линии, съставени от окръжности и диаметри.

Точната формулировка на проблема с вибрациите на еластомера може да се заключи като гранична задача на частни диференциални уравнения. Точното решение обаче може да се намери само в някои от най-простите случаи, така че трябва да прибегнем до приблизителното решение за сложния проблем с вибрациите на еластомера. Същността на различните приблизителни решения е да се промени безкрайното в крайно, т.е. да се дискретизира безкрайната многостепенна система на свобода (непрекъсната система) в крайна многостепенна система на свобода (дискретна система). В инженерния анализ се използват широко два вида методи за дискретизация: метод на крайните елементи и метод на модален синтез.

ФИГ. 9 режим на струна

ФИГ. 10 режим на кръгла плоча

Методът на крайните елементи е композитна структура, която разделя сложна структура на краен брой елементи и ги свързва в краен брой възли. Всяка единица е еластомер; разпределението на изместването на елемента се изразява чрез интерполационна функция на изместването на възела. След това параметрите на разпределение на всеки елемент се концентрират към всеки възел в определен формат и се получава механичният модел на дискретната система.

Модалният синтез е разлагане на сложна структура на няколко по-прости подструктури. Въз основа на разбирането на вибрационните характеристики на всяка подструктура, тя се синтезира в обща структура според координационните условия на интерфейса, а вибрационната морфология на общата структура се получава чрез използване на вибрационната морфология на всяка подструктура.

Двата метода са различни и свързани и могат да се използват като ориентир. Методът на модален синтез може също така ефективно да се комбинира с експериментално измерване, за да се формира теоретичен и експериментален метод за анализ на вибрациите на големи системи.