Xətti vibrasiya nədir?

Xətti vibrasiya: sistemdəki komponentlərin elastikliyi Huk qanununa tabedir və hərəkət zamanı yaranan sönmə qüvvəsi ümumiləşdirilmiş sürətin birinci tənliyi ilə (ümumləşdirilmiş koordinatların zaman törəməsi) mütənasibdir.

konsepsiya

Xətti sistem adətən real sistemin vibrasiyasının mücərrəd modelidir. Xətti vibrasiya sistemi superpozisiya prinsipini tətbiq edir, yəni əgər sistemin cavabı x1 girişinin təsiri altında y1, x2 girişinin təsiri altında isə y2 olarsa, onda x1 və x2 girişlərinin təsiri altında sistemin cavabı y1+y2-dir.

Superpozisiya prinsipinə əsasən, ixtiyari giriş sonsuz kiçik impulslar seriyasının cəminə parçalana bilər və sonra sistemin ümumi reaksiyası əldə edilə bilər. Dövri həyəcanın harmonik komponentlərinin cəmi Furye çevrilməsi ilə bir sıra harmonik komponentlərə genişləndirilə bilər və hər bir harmonik komponentin sistemə təsiri ayrıca araşdırıla bilər. Buna görə də, sabit parametrlərə malik xətti sistemlərin reaksiya xüsusiyyətləri impuls reaksiyası və ya tezlik reaksiyası ilə təsvir edilə bilər.

İmpuls cavabı, sistemin zaman sahəsindəki cavab xüsusiyyətlərini xarakterizə edən vahid impulsa qarşı sistemin cavabını ifadə edir. Tezlik cavabı, sistemin vahid harmonik girişə qarşı cavab xüsusiyyətini ifadə edir. İkisi arasındakı uyğunluq Furye çevrilməsi ilə müəyyən edilir.

təsnifat

Xətti vibrasiya tək sərbəstlik dərəcəsi olan sistemin xətti vibrasiyasına və çox sərbəstlik dərəcəsi olan sistemin xətti vibrasiyasına bölünə bilər.

(1) tək sərbəstlik dərəcəsi olan sistemin xətti vibrasiyası, mövqeyi ümumiləşdirilmiş koordinatla təyin edilə bilən xətti vibrasiyadır. Bu, vibrasiyanın bir çox əsas anlayışlarının və xüsusiyyətlərinin əldə edilə biləcəyi ən sadə vibrasiyadır. Buraya sadə harmonik vibrasiya, sərbəst vibrasiya, zəifləmə vibrasiyası və məcburi vibrasiya daxildir.

Sadə harmonik titrəmə: sinusoidal qanuna uyğun olaraq, cismin tarazlıq mövqeyinin yaxınlığında, onun yerdəyişməsinə mütənasib bərpaedici qüvvənin təsiri altında qarşılıqlı hərəkəti.

Sönmüş vibrasiya: sürtünmə və dielektrik müqavimət və ya digər enerji istehlakının olması ilə amplitudası davamlı olaraq zəifləyən vibrasiya.

Məcburi vibrasiya: sabit həyəcan altında olan bir sistemin vibrasiyası.

(2) çoxdərəcəli sərbəstlik sisteminin xətti vibrasiyası, n≥2 sərbəstlik dərəcəsi olan xətti sistemin vibrasiyasıdır. n sərbəstlik dərəcəsi olan bir sistemin n təbii tezlik və n əsas rejimi var. Sistemin istənilən vibrasiya konfiqurasiyası əsas rejimlərin xətti kombinasiyası kimi təmsil oluna bilər. Buna görə də, əsas rejim superpozisiya metodu çoxdərəcəli sistemlərin dinamik cavab analizində geniş istifadə olunur. Bu şəkildə, sistemin təbii vibrasiya xüsusiyyətlərinin ölçülməsi və təhlili sistemin dinamik dizaynında adi bir addım halına gəlir. Çoxdərəcəli sistemlərin dinamik xüsusiyyətləri tezlik xüsusiyyətləri ilə də təsvir edilə bilər. Hər bir giriş və çıxış arasında tezlik xarakteristikası funksiyası olduğundan, tezlik xarakteristikası matrisi qurulur. Tezlik xarakteristikası ilə əsas rejim arasında müəyyən bir əlaqə mövcuddur. Çoxdərəcəli sistemin amplituda-tezlik xarakteristikası əyrisi tək sərbəstlik sisteminin əyrisindən fərqlidir.

Tək dərəcəli sərbəstlik sisteminin xətti titrəməsi

Sistemin mövqeyinin ümumiləşdirilmiş koordinatla təyin edilə biləcəyi xətti vibrasiya. Bu, vibrasiyanın bir çox əsas anlayışlarının və xüsusiyyətlərinin əldə edilə biləcəyi ən sadə və ən fundamental vibrasiyadır. Buraya sadə harmonik vibrasiya, sönmüş vibrasiya və məcburi vibrasiya daxildir.

Harmonik vibrasiya

Yerdəyişməyə mütənasib bərpaedici qüvvənin təsiri altında cisim tarazlıq mövqeyinə yaxın sinusoidal şəkildə qarşılıqlı təsir göstərir (Şəkil 1). X yerdəyişməni, t isə vaxtı təmsil edir. Bu titrəmənin riyazi ifadəsi belədir:

(1)Burada A, amplituda adlanan və vibrasiyanın intensivliyini təmsil edən yerdəyişmənin maksimum x dəyəridir; Omeqa n, bucaq tezliyi və ya dairəvi tezlik adlanan vibrasiyanın saniyədə bucaq artımının amplitudasıdır; Buna ilkin faza deyilir. f= n/2 baxımından saniyədə salınımların sayına tezlik deyilir; Bunun tərsinə, T=1/f, bir dövrə salınması üçün lazım olan vaxtdır və bu dövr adlanır. A amplitudası, f tezliyi (və ya bucaq tezliyi n), sadə harmonik vibrasiya kimi tanınan ilkin faza üç elementdən ibarətdir.

ŞƏKİL 1. Sadə harmonik vibrasiya əyrisi

Şəkil 2-də göstərildiyi kimi, xətti yayla birləşdirilmiş konsentrat kütlə m tərəfindən sadə bir harmonik osilator əmələ gəlir. Titrəmə yerdəyişməsi tarazlıq mövqeyindən hesablandıqda, vibrasiya tənliyi belə olur:

Yayın sərtliyi haradadır. Yuxarıdakı tənliyin ümumi həlli (1)-dir. A və başlanğıc mövqeyi x0 və t=0-da başlanğıc sürət ilə təyin edilə bilər:

Lakin omeqa n əlavə ilkin şərtlərdən asılı olmayaraq yalnız sistemin özünün m və k xüsusiyyətləri ilə müəyyən edilir, buna görə də omeqa n təbii tezlik kimi də tanınır.

ŞƏKİL 2 tək sərbəstlik dərəcəsi sistemi

Sadə harmonik ossillyator üçün onun kinetik enerjisi və potensial enerjisinin cəmi sabitdir, yəni sistemin ümumi mexaniki enerjisi qorunur. Titrəmə prosesində kinetik enerji və potensial enerji daim bir-birinə çevrilir.

Söndürən vibrasiya

Amplitudası sürtünmə və dielektrik müqavimət və ya digər enerji istehlakı ilə davamlı olaraq zəifləyən bir titrəmə. Mikro titrəmə üçün sürət ümumiyyətlə çox böyük deyil və mühitin müqaviməti sürətlə birinci qüvvətə mütənasibdir ki, bu da c sönmə əmsalı kimi yazıla bilər. Buna görə də, xətti sönmə ilə bir sərbəstlik dərəcəsinin titrəmə tənliyi aşağıdakı kimi yazıla bilər:

(2)Burada, m =c/2m sönmə parametri adlanır və. (2) düsturunun ümumi həlli aşağıdakı kimi yazıla bilər:

(3)Omeqa n və PI arasındakı ədədi əlaqəni aşağıdakı üç hal kimi qiymətləndirmək olar:

N > (kiçik sönmə halında) hissəciklərin yaratdığı zəifləmə vibrasiyası, vibrasiya tənliyi belədir:

Şəkil 3-də nöqtəli xəttdə göstərildiyi kimi, onun amplitudası tənlikdə göstərilən eksponensial qanuna uyğun olaraq zamanla azalır. Dəqiq desək, bu titrəmə aperiodikdir, lakin pikinin tezliyi aşağıdakı kimi təyin edilə bilər:

Amplituda reduksiya sürəti adlanır, burada vibrasiya dövrüdür. Amplituda reduksiya sürətinin təbii loqarifmi loqarifm mənfi (amplituda) sürəti adlanır. Aydındır ki, bu halda = 2/1-ə bərabərdir. Yuxarıdakı düsturdan istifadə edərək birbaşa eksperimental sınaq deltası vasitəsilə və c hesablana bilər.

Bu zaman (2) tənliyinin həlli belə yazıla bilər:

Şəkil 4-də göstərildiyi kimi, başlanğıc sürətin istiqaməti ilə yanaşı, onu üç vibrasiya olmayan hala bölmək olar.

N < (böyük sönmə halında), (2) tənliyinin həlli (3) tənliyində göstərilir. Bu nöqtədə sistem artıq titrəmir.

Məcburi vibrasiya

Daimi həyəcanlanma altında sistemin titrəməsi. Vibrasiya təhlili əsasən sistemin həyəcanlanmaya reaksiyasını araşdırır. Dövri həyəcanlanma tipik müntəzəm həyəcanlanmadır. Dövri həyəcanlanma həmişə bir neçə harmonik həyəcanlanmanın cəminə parçalana bildiyindən, superpozisiya prinsipinə əsasən, yalnız sistemin hər bir harmonik həyəcanlanmaya reaksiyası tələb olunur. Harmonik həyəcanlanmanın təsiri altında tək sərbəstlik dərəcəsi sönmüş sistemin hərəkətinin diferensial tənliyi aşağıdakı kimi yazıla bilər:

Cavab iki hissənin cəmidir. Bir hissəsi zamanla sürətlə azalan sönmüş vibrasiyanın cavabıdır. Məcburi vibrasiyanın digər hissəsinin cavabı belə yazıla bilər:

ŞƏKİL 3 Söndürülmüş vibrasiya əyrisi

ŞƏKİL 4 Kritik sönmə ilə üç ilkin şərtin əyriləri

Daxil edin

H /F0= h (), amplituda-tezlik xüsusiyyətlərini və ya qazanc funksiyasını xarakterizə edən sabit cavab amplitudasının həyəcan amplitudasına nisbətidir; Sabit vəziyyət cavabı və faza stimulu üçün bitlər, faza tezliyi xüsusiyyətlərinin xarakteristikası. Onların həyəcan tezliyi ilə əlaqəsi Şəkil 5 və Şəkil 6-da göstərilmişdir.

Amplituda-tezlik əyrisindən (Şəkil 5) göründüyü kimi, kiçik sönmə halında, amplituda-tezlik əyrisinin tək bir zirvəsi olur. Sönmə nə qədər kiçikdirsə, pik də bir o qədər dik olur; Pikə uyğun gələn tezlik sistemin rezonans tezliyi adlanır. Kiçik sönmə halında, rezonans tezliyi təbii tezlikdən çox fərqlənmir. Həyəcan tezliyi təbii tezliyə yaxın olduqda, amplituda kəskin şəkildə artır. Bu fenomen rezonans adlanır. Rezonansda sistemin qazancı maksimum dərəcədə artır, yəni məcburi vibrasiya ən intensivdir. Buna görə də, ümumiyyətlə, bəzi alətlər və avadanlıqlar böyük vibrasiyaya nail olmaq üçün rezonansdan istifadə etmədikdə, həmişə rezonansdan qaçmağa çalışın.

ŞƏKİL 5 amplituda tezlik əyrisi

Faza tezlik əyrisindən (şəkil 6) göründüyü kimi, söndürmənin ölçüsündən asılı olmayaraq, omeqa sıfır faza fərqi bitləri = PI / 2 olduqda, bu xarakteristika rezonansın ölçülməsində effektiv şəkildə istifadə edilə bilər.

Sabit həyəcanlanmaya əlavə olaraq, sistemlər bəzən qeyri-sabit həyəcanlanma ilə qarşılaşırlar. Bunu təxminən iki növə bölmək olar: biri qəfil təsirdir. İkincisi, özbaşınalığın davamlı təsiridir. Qeyri-sabit həyəcanlanma zamanı sistemin reaksiyası da qeyri-sabit olur.

Qeyri-sabit vibrasiyanı təhlil etmək üçün güclü bir vasitə impuls cavab metodudur. Sistemin dinamik xüsusiyyətlərini sistemin vahid impuls girişinin keçici cavabı ilə təsvir edir. Vahid impuls delta funksiyası kimi ifadə edilə bilər. Mühəndislikdə delta funksiyası tez-tez aşağıdakı kimi təyin olunur:

Burada 0, soldan sıfıra yaxınlaşan t oxundakı nöqtəni təmsil edir; 0 üstəgəl sağdan 0-a gedən nöqtədir.

ŞƏKİL 6 fazalı tezlik əyrisi

ŞƏKİL 7 İstənilən giriş bir sıra impuls elementlərinin cəmi kimi qəbul edilə bilər.

Sistem, t=0-da vahid impuls tərəfindən yaradılan h(t) cavabına uyğundur və bu cavab impuls cavab funksiyası adlanır. Sistemin impulsdan əvvəl stasionar olduğunu fərz etsək, t<0 üçün h(t)=0 olar. Sistemin impuls cavab funksiyasını bilərək, sistemin istənilən x(t) girişinə cavabını tapa bilərik. Bu nöqtədə x(t)-ni bir sıra impuls elementlərinin cəmi kimi düşünə bilərsiniz (Şəkil 7). Sistemin cavabı belədir:

Superpozisiya prinsipinə əsasən, sistemin x(t)-yə uyğun ümumi cavabı belədir:

Bu inteqral konvolyusiya inteqralı və ya superpozisiya inteqralı adlanır.

Çoxdərəcəli sərbəstlik sisteminin xətti titrəməsi

n≥2 sərbəstlik dərəcəsi olan xətti sistemin titrəməsi.

Şəkil 8, birləşdirici yayla birləşdirilmiş iki sadə rezonans alt sistemini göstərir. İki sərbəstlik dərəcəsi olan bir sistem olduğundan, onun mövqeyini təyin etmək üçün iki müstəqil koordinat tələb olunur. Bu sistemdə iki təbii tezlik var:

Hər tezlik bir vibrasiya rejiminə uyğundur. Harmonik osilatorlar eyni tezlikdə harmonik rəqslər həyata keçirir, tarazlıq mövqeyindən sinxron şəkildə keçir və sinxron olaraq ekstremal vəziyyətə çatır. Omeqa birə uyğun əsas vibrasiyada x1 x2-yə bərabərdir; Omeqa ikiyə uyğun əsas vibrasiyada omeqa bir. Əsas vibrasiyada hər kütlənin yerdəyişmə nisbəti müəyyən bir əlaqəni saxlayır və əsas rejim və ya təbii rejim adlanan müəyyən bir rejim əmələ gətirir. Kütlə və sərtliyin ortoqonallığı əsas rejimlər arasında mövcuddur ki, bu da hər bir vibrasiyanın müstəqilliyini əks etdirir. Təbii tezlik və əsas rejim çoxdərəcəli sərbəstlik sisteminin daxili vibrasiya xüsusiyyətlərini təmsil edir.

Şəkil 8. Çoxsaylı sərbəstlik dərəcəsinə malik sistem

n sərbəstlik dərəcəsi olan bir sistemin n təbii tezlik və n əsas rejimi var. Sistemin istənilən vibrasiya konfiqurasiyası əsas rejimlərin xətti kombinasiyası kimi təmsil oluna bilər. Buna görə də, əsas rejim superpozisiya metodu çoxdof sistemlərin dinamik cavab analizində geniş istifadə olunur. Bu şəkildə, sistemin təbii vibrasiya xüsusiyyətlərinin ölçülməsi və təhlili sistemin dinamik dizaynında adi bir addım halına gəlir.

Çoxdof sistemlərin dinamik xüsusiyyətləri tezlik xüsusiyyətləri ilə də təsvir edilə bilər. Hər giriş və çıxış arasında tezlik xarakteristikası funksiyası olduğundan, tezlik xarakteristikası matrisi qurulur. Çoxsərbəstlik sisteminin amplituda-tezlik xarakteristikası əyrisi təksərbəstlik sisteminin əyrisindən fərqlidir.

Elastomer titrəyir

Yuxarıdakı çoxsərbəstlik dərəcəsi sistemi elastomerin təxmini mexaniki modelidir. Bir elastomerin sonsuz sayda sərbəstlik dərəcəsi var. Kəmiyyət fərqi var, lakin ikisi arasında heç bir əhəmiyyətli fərq yoxdur. İstənilən elastomerin sonsuz sayda təbii tezlikləri və sonsuz sayda uyğun rejimləri var və kütlə və sərtlik rejimləri arasında ortoqonallıq mövcuddur. Elastomerin istənilən vibrasiya konfiqurasiyası əsas rejimlərin xətti superpozisiyası kimi də təmsil oluna bilər. Buna görə də, elastomerin dinamik cavab təhlili üçün əsas rejimin superpozisiya metodu hələ də tətbiq olunur (elastomerin xətti vibrasiyasına baxın).

Bir simin titrəməsini götürək. Tutaq ki, vahid uzunluğa m kütləli, uzun l olan nazik bir sim hər iki ucundan dartılır və gərginlik T-dir. Bu zaman simin təbii tezliyi aşağıdakı tənliklə müəyyən edilir:

F = na/2l (n= 1,2,3…).

Burada, - simin istiqaməti boyunca eninə dalğanın yayılma sürətidir. Simlərin təbii tezlikləri 2l üzərində əsas tezliyin qatlarıdır. Bu tam ədəd çoxluğu xoş harmonik quruluşa gətirib çıxarır. Ümumiyyətlə, elastomerin təbii tezlikləri arasında belə tam ədəd çoxluğu əlaqəsi yoxdur.

Dartılmış ipin ilk üç rejimi Şəkil 9-da göstərilmişdir. Əsas rejim əyrisində bəzi düyünlər var. Əsas vibrasiyada düyünlər titrəmir. Şəkil 10, dairələr və diametrlərdən ibarət bəzi düyün xətləri ilə çevrə boyunca dəstəklənən dairəvi lövhənin bir neçə tipik rejimini göstərir.

Elastomer vibrasiya probleminin dəqiq formulu qismən diferensial tənliklərin sərhəd qiyməti məsələsi kimi nəticəyə gəlmək olar. Lakin, dəqiq həll yalnız ən sadə hallarda tapıla bilər, buna görə də mürəkkəb elastomer vibrasiya problemi üçün təxmini həllə müraciət etməliyik. Müxtəlif təxmini həllərin mahiyyəti sonsuzu sonluya çevirmək, yəni əzasız çoxdərəcəli sərbəstlik sistemini (kəsilməz sistem) sonlu çoxdərəcəli sərbəstlik sisteminə (diskret sistem) diskretləşdirməkdir. Mühəndislik analizində geniş istifadə olunan iki növ diskretləşdirmə metodu mövcuddur: sonlu element metodu və modal sintez metodu.

ŞƏKİL 9. Sətir rejimi

ŞƏKİL 10 Dairəvi lövhə rejimi

Sonlu element metodu, mürəkkəb bir quruluşu sonlu sayda elementə mücərrədləşdirən və onları sonlu sayda düyünlərdə birləşdirən kompozit bir quruluşdur. Hər bir vahid bir elastomerdir; Elementin paylanma yerdəyişməsi düyün yerdəyişməsinin interpolasiya funksiyası ilə ifadə olunur. Sonra hər bir elementin paylanma parametrləri müəyyən bir formatda hər bir düyünə cəmləşdirilir və diskret sistemin mexaniki modeli əldə edilir.

Modal sintez mürəkkəb bir strukturun bir neçə daha sadə alt quruluşa parçalanmasıdır. Hər bir alt quruluşun vibrasiya xüsusiyyətlərini anlamaq əsasında, alt quruluş sərhəddəki koordinasiya şərtlərinə uyğun olaraq ümumi bir quruluşa sintez edilir və ümumi strukturun vibrasiya morfologiyası hər bir alt quruluşun vibrasiya morfologiyasından istifadə etməklə əldə edilir.

İki metod fərqli və əlaqəlidir və istinad kimi istifadə edilə bilər. Modal sintez metodu, böyük sistemlərin vibrasiyası üçün nəzəri və eksperimental analiz metodu yaratmaq üçün eksperimental ölçmə ilə də effektiv şəkildə birləşdirilə bilər.