Ի՞նչ է գծային տատանումը։

Գծային տատանումՀամակարգի բաղադրիչների առաձգականությունը ենթարկվում է Հուկի օրենքին, իսկ շարժման ընթացքում առաջացող մարող ուժը համեմատական ​​է ընդհանրացված արագության առաջին հավասարմանը (ընդհանրացված կոորդինատների ժամանակային ածանցյալ):

հասկացություն

Գծային համակարգը սովորաբար իրական համակարգի տատանման աբստրակտ մոդել է։ Գծային տատանման համակարգը կիրառում է սուպերպոզիցիայի սկզբունքը, այսինքն՝ եթե համակարգի արձագանքը x1 մուտքային ազդանշանի ազդեցության տակ y1 է, իսկ x2 մուտքային ազդանշանի ազդեցության տակ՝ y2, ապա համակարգի արձագանքը x1 և x2 մուտքային ազդանշանների ազդեցության տակ y1+y2 է։

Սուպերպոզիցիայի սկզբունքի հիման վրա, կամայական մուտքային թիվը կարելի է բաժանել անվերջ փոքր ազդակների շարքի գումարի, որից հետո կարելի է ստանալ համակարգի ընդհանուր արձագանքը։ Պարբերական գրգռման հարմոնիկ բաղադրիչների գումարը կարելի է Ֆուրիեի ձևափոխության միջոցով ընդլայնել հարմոնիկ բաղադրիչների շարքի, և յուրաքանչյուր հարմոնիկ բաղադրիչի ազդեցությունը համակարգի վրա կարելի է առանձին ուսումնասիրել։ Հետևաբար, հաստատուն պարամետրերով գծային համակարգերի արձագանքի բնութագրերը կարելի է նկարագրել իմպուլսային արձագանքով կամ հաճախականության արձագանքով։

Իմպուլսային արձագանքը վերաբերում է համակարգի արձագանքին միավորային իմպուլսին, որը բնութագրում է համակարգի արձագանքի բնութագրերը ժամանակային տիրույթում: Հաճախականային արձագանքը վերաբերում է համակարգի արձագանքի բնութագրին միավորային հարմոնիկ մուտքին: Երկուսի միջև համապատասխանությունը որոշվում է Ֆուրիեի ձևափոխությամբ:

դասակարգում

Գծային տատանումները կարելի է բաժանել միաստիճան ազատության համակարգերի գծային տատանումների և բազմաստիճան ազատության համակարգերի գծային տատանումների։

(1) միաստիճան ազատության համակարգի գծային տատանումը գծային տատանում է, որի դիրքը կարելի է որոշել ընդհանրացված կոորդինատով։ Այն ամենապարզ տատանումն է, որից կարելի է ստանալ տատանման բազմաթիվ հիմնական հասկացություններ և բնութագրեր։ Այն ներառում է պարզ հարմոնիկ տատանում, ազատ տատանում, թուլացման տատանում և հարկադրական տատանում։

Պարզ հարմոնիկ տատանում. մարմնի փոխադարձ շարժումը իր հավասարակշռության դիրքի մոտակայքում՝ համաձայն սինուսոիդալ օրենքի, իր տեղաշարժին համեմատական ​​վերականգնողական ուժի ազդեցությամբ։

Մարված տատանում. տատանում, որի ամպլիտուդը անընդհատ թուլանում է շփման և դիէլեկտրիկ դիմադրության կամ այլ էներգիայի սպառման առկայությամբ։

Հարկադիր տատանում. համակարգի տատանում հաստատուն գրգռման տակ։

(2) բազմաստիճան ազատության համակարգի գծային տատանումը n≥2 աստիճան ազատությամբ գծային համակարգի տատանումն է։ n աստիճան ազատության համակարգն ունի n բնական հաճախականություններ և n հիմնական մոդ։ Համակարգի ցանկացած տատանման կոնֆիգուրացիա կարող է ներկայացվել որպես հիմնական մոդերի գծային համադրություն։ Հետևաբար, հիմնական մոդերի վերադրման մեթոդը լայնորեն կիրառվում է բազմաստիճան համակարգերի դինամիկ արձագանքի վերլուծության մեջ։ Այսպիսով, համակարգի բնական տատանման բնութագրերի չափումը և վերլուծությունը դառնում են համակարգի դինամիկ նախագծման առօրյա քայլ։ Բազմաստիճան համակարգերի դինամիկ բնութագրերը կարող են նկարագրվել նաև հաճախականության բնութագրերով։ Քանի որ յուրաքանչյուր մուտքի և ելքի միջև կա հաճախականության բնութագրական ֆունկցիա, կառուցվում է հաճախականության բնութագրական մատրից։ Հաճախականության բնութագրի և հիմնական մոդայի միջև կա որոշակի կապ։ Բազմազատության համակարգի ամպլիտուդա-հաճախականության բնութագրական կորը տարբերվում է միազատության համակարգի կորից։

Միաստիճան ազատության համակարգի գծային տատանում

Գծային տատանում, որի դեպքում համակարգի դիրքը կարող է որոշվել ընդհանրացված կոորդինատով։ Այն ամենապարզ և ամենահիմնարար տատանումն է, որից կարելի է ստանալ տատանման բազմաթիվ հիմնական հասկացություններ և բնութագրեր։ Այն ներառում է պարզ հարմոնիկ տատանում, մարված տատանում և հարկադիր տատանում։

Հարմոնիկ տատանում

Տեղաշարժին համեմատական ​​ուժի վերականգնման ազդեցության տակ մարմինը իր հավասարակշռության դիրքի մոտ սինուսոիդալ կերպով փոխադարձ շարժվում է (Նկ. 1): X-ը ներկայացնում է տեղաշարժը, իսկ t-ն՝ ժամանակը: Այս տատանման մաթեմատիկական արտահայտությունը հետևյալն է.

(1)Որտեղ A-ն տեղաշարժի x առավելագույն արժեքն է, որը կոչվում է ամպլիտուդ և ներկայացնում է տատանման ինտենսիվությունը։ Omega n-ը տատանման ամպլիտուդի անկյունային աճն է վայրկյանում, որը կոչվում է անկյունային հաճախականություն կամ շրջանաձև հաճախականություն։ Սա կոչվում է սկզբնական փուլ։ f= n/2-ի առումով, վայրկյանում տատանումների քանակը կոչվում է հաճախականություն։ Դրա հակադարձը՝ T=1/f, մեկ ցիկլի տատանման համար անհրաժեշտ ժամանակն է, և դա կոչվում է պարբերություն։ Ամպլիտուդ A-ն, հաճախականությունը f (կամ անկյունային հաճախականությունը n), սկզբնական փուլը, որը հայտնի է որպես պարզ հարմոնիկ տատանում երեք տարրերի համար։

ՆԿ. 1 պարզ հարմոնիկ տատանումների կոր

Ինչպես ցույց է տրված Նկ. 2-ում, պարզ հարմոնիկ տատանիչը ձևավորվում է գծային զսպանակով միացված կենտրոնացված m զանգվածից։ Երբ տատանման տեղաշարժը հաշվարկվում է հավասարակշռության դիրքից, տատանման հավասարումը կլինի՝

Որտեղ է զսպանակի կոշտությունը։ Վերոնշյալ հավասարման ընդհանուր լուծումը (1).A-ն է և կարող է որոշվել x0 սկզբնական դիրքով և t=0 պահին սկզբնական արագությամբ։

Սակայն օմեգա n-ը որոշվում է միայն համակարգի m և k բնութագրերով՝ անկախ լրացուցիչ սկզբնական պայմաններից, ուստի օմեգա n-ը հայտնի է նաև որպես բնական հաճախականություն։

ՆԿ. 2՝ միաստիճան ազատության համակարգ

Պարզ հարմոնիկ տատանիչի համար նրա կինետիկ էներգիայի և պոտենցիալ էներգիայի գումարը հաստատուն է, այսինքն՝ համակարգի լրիվ մեխանիկական էներգիան պահպանվում է։ Տատանումների ընթացքում կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաները անընդհատ փոխակերպվում են միմյանց։

Մարող թրթռումը

Տատանում, որի ամպլիտուդը անընդհատ թուլանում է շփման և դիէլեկտրիկ դիմադրության կամ այլ էներգիայի սպառման պատճառով։ Միկրո տատանումների դեպքում արագությունը սովորաբար շատ մեծ չէ, և միջավայրի դիմադրությունը համեմատական ​​է արագությանը առաջին աստիճանի նկատմամբ, որը կարելի է գրել որպես c-ն մարման գործակից։ Հետևաբար, գծային մարմամբ մեկ աստիճանի ազատության տատանման հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝

(2)Որտեղ m =c/2m-ը կոչվում է մարման պարամետր, և (2) բանաձևի ընդհանուր լուծումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

(3)Օմեգա n-ի և PI-ի միջև թվային կապը կարելի է բաժանել հետևյալ երեք դեպքերի՝

N > (փոքր մարման դեպքում) մասնիկի առաջացրած թուլացման տատանման դեպքում տատանման հավասարումը հետևյալն է՝

Դրա ամպլիտուդը ժամանակի ընթացքում նվազում է հավասարման մեջ ցույց տրված էքսպոնենցիալ օրենքի համաձայն, ինչպես ցույց է տրված Նկար 3-ի կետավոր գծով։ Խիստ ասած, այս տատանումը ապերիոդիկ է, բայց դրա գագաթնակետի հաճախականությունը կարող է սահմանվել որպես՝

կոչվում է ամպլիտուդի նվազման արագություն, որտեղ -ն տատանման պարբերությունն է։ Ամպլիտուդի նվազման արագության բնական լոգարիթմը կոչվում է լոգարիթմ մինուս (ամպլիտուդ) արագություն։ Ակնհայտ է, որ =, այս դեպքում, հավասար է 2/1-ի։ Ուղղակիորեն փորձարարական փորձարկման դելտայի միջոցով և, օգտագործելով վերը նշված բանաձևը, կարելի է հաշվարկել c-ն։

Այս պահին հավասարման (2) լուծումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Սկզբնական արագության ուղղության հետ մեկտեղ, այն կարելի է բաժանել երեք ոչ տատանողական դեպքերի, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 4-ում։

N < (մեծ մարման դեպքում), (2) հավասարման լուծումը ներկայացված է (3) հավասարման մեջ։ Այս պահին համակարգը այլևս չի տատանվում։

Հարկադիր թրթռում

Համակարգի տատանումը հաստատուն գրգռման պայմաններում։ Տատանումների վերլուծությունը հիմնականում ուսումնասիրում է համակարգի արձագանքը գրգռմանը։ Պարբերական գրգռումը տիպիկ կանոնավոր գրգռում է։ Քանի որ պարբերական գրգռումը միշտ կարող է բաժանվել մի քանի հարմոնիկ գրգռումների գումարի, վերադրման սկզբունքի համաձայն, պահանջվում է միայն համակարգի արձագանքը յուրաքանչյուր հարմոնիկ գրգռմանը։ Հարմոնիկ գրգռման ազդեցության տակ, մեկ աստիճան ազատության մարած համակարգի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Արձագանքը երկու մասի գումարն է։ Մեկ մասը մարված տատանման արձագանքն է, որը ժամանակի ընթացքում արագորեն նվազում է։ Հարկադիր տատանման մեկ այլ մասի արձագանքը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

ՆԿ. 3՝ մարված տատանումների կոր

ՆԿ. 4. Երեք սկզբնական պայմանների կորեր՝ կրիտիկական մարմամբ

Մուտքագրեք

H /F0= h (), որը կայուն արձագանքի ամպլիտուդի և գրգռման ամպլիտուդի հարաբերությունն է, որը բնութագրում է ամպլիտուդա-հաճախականության բնութագրերը կամ ուժեղացման ֆունկցիան։ Ստացիոնար արձագանքի և փուլի խթանման բիթերը, որոնք բնութագրում են փուլային հաճախականության բնութագրերը։ Դրանց և գրգռման հաճախականության միջև եղած կապը ցույց է տրված Նկար 5-ում և Նկար 6-ում։

Ինչպես երևում է ամպլիտուդ-հաճախականության կորից (Նկար 5), փոքր մարման դեպքում ամպլիտուդ-հաճախականության կորն ունի մեկ գագաթ։ Որքան փոքր է մարումը, այնքան ավելի զառիթափ է գագաթնակետը։ Գագաթնակետին համապատասխանող հաճախականությունը կոչվում է համակարգի ռեզոնանսային հաճախականություն։ Փոքր մարման դեպքում ռեզոնանսային հաճախականությունը շատ չի տարբերվում սեփական հաճախականությունից։ Երբ գրգռման հաճախականությունը մոտ է սեփական հաճախականությանը, ամպլիտուդը կտրուկ մեծանում է։ Այս երևույթը կոչվում է ռեզոնանս։ Ռեզոնանսի ժամանակ համակարգի ուժգնացումը մաքսիմալացվում է, այսինքն՝ հարկադրական տատանումն ամենաինտենսիվն է։ Հետևաբար, ընդհանուր առմամբ, միշտ ձգտեք խուսափել ռեզոնանսից, եթե որոշ գործիքներ և սարքավորումներ չեն օգտագործում ռեզոնանս՝ մեծ տատանումներ ստանալու համար։

ՆԿ. 5 ամպլիտուդային հաճախականության կոր

Ֆազային հաճախականության կորից (նկար 6) երևում է, որ անկախ մարման չափից, օմեգա զրոյական փուլային տարբերության բիթերում = PI / 2, այս բնութագիրը կարող է արդյունավետորեն օգտագործվել ռեզոնանսը չափելիս։

Բացի հաստատուն գրգռումից, համակարգերը երբեմն բախվում են անհաստատուն գրգռման։ Այն կարելի է մոտավորապես բաժանել երկու տեսակի՝ մեկը հանկարծակի ազդեցությունն է։ Երկրորդը՝ կամայականության երկարատև ազդեցությունը։ Անհաստատուն գրգռման դեպքում համակարգի արձագանքը նույնպես անհաստատ է։

Անկայուն տատանումները վերլուծելու հզոր գործիք է իմպուլսային արձագանքի մեթոդը։ Այն նկարագրում է համակարգի դինամիկ բնութագրերը՝ համակարգի միավորային իմպուլսային մուտքի անցումային արձագանքով։ Միավորային իմպուլսը կարող է արտահայտվել որպես դելտա ֆունկցիա։ Ճարտարագիտության մեջ դելտա ֆունկցիան հաճախ սահմանվում է որպես՝

Որտեղ 0-ը ներկայացնում է t-առանցքի վրա այն կետը, որը ձախից մոտենում է զրոյի, իսկ 0-ից գումարածը՝ այն կետը, որը աջից մոտենում է 0-ի։

ՆԿ. 6 փուլային հաճախականության կոր

ՆԿ. 7. ցանկացած մուտքային տվյալ կարող է դիտարկվել որպես իմպուլսային տարրերի շարքի գումար։

Համակարգը համապատասխանում է t=0 ժամանակում միավոր իմպուլսի կողմից առաջացած h(t) արձագանքին, որը կոչվում է իմպուլսային արձագանքի ֆունկցիա։ Ենթադրելով, որ համակարգը անշարժ է իմպուլսից առաջ, h(t)=0 է t<0-ի դեպքում։ Իմանալով համակարգի իմպուլսային արձագանքի ֆունկցիան, մենք կարող ենք գտնել համակարգի արձագանքը ցանկացած x(t) մուտքային ազդանշանին։ Այս պահին դուք կարող եք x(t)-ն դիտարկել որպես իմպուլսային տարրերի շարքի գումար (Նկ. 7)։ Համակարգի արձագանքը հետևյալն է՝

Սուպերպոզիցիայի սկզբունքի հիման վրա, x(t)-ին համապատասխանող համակարգի լրիվ արձագանքը հետևյալն է.

Այս ինտեգրալը կոչվում է կոնվոլյուցիայի ինտեգրալ կամ սուպերպոզիցիայի ինտեգրալ։

Բազմաստիճան ազատության համակարգի գծային տատանում

Գծային համակարգի տատանումը՝ n≥2 ազատության աստիճաններով։

Նկար 8-ը ցույց է տալիս երկու պարզ ռեզոնանսային ենթահամակարգեր, որոնք միացված են միացնող զսպանակով։ Քանի որ սա երկու աստիճանի ազատության համակարգ է, դրա դիրքը որոշելու համար անհրաժեշտ են երկու անկախ կոորդինատներ։ Այս համակարգում կան երկու բնական հաճախականություններ՝

Յուրաքանչյուր հաճախականություն համապատասխանում է տատանման որոշակի մոդ։ Հարմոնիկ տատանումները կատարում են նույն հաճախականության հարմոնիկ տատանումներ՝ համաժամանակ անցնելով հավասարակշռության դիրքով և համաժամանակ հասնելով ծայրահեղ դիրքի։ Օմեգա մեկին համապատասխանող գլխավոր տատանման մեջ x1-ը հավասար է x2-ի։ Օմեգա օմեգա երկուսին համապատասխանող գլխավոր տատանման մեջ՝ օմեգա օմեգա մեկ։ Գլխավոր տատանման մեջ յուրաքանչյուր զանգվածի տեղաշարժի հարաբերակցությունը պահպանում է որոշակի հարաբերություն և ձևավորում է որոշակի մոդ, որը կոչվում է գլխավոր մոդ կամ բնական մոդ։ Գլխավոր մոդերի միջև գոյություն ունի զանգվածի և կոշտության օրթոգոնալություն, որը արտացոլում է յուրաքանչյուր տատանման անկախությունը։ Բնական հաճախականությունը և գլխավոր մոդը ներկայացնում են բազմաստիճան ազատության համակարգի ներքին տատանման բնութագրերը։

ՆԿ. 8. Բազմակի ազատության աստիճաններով համակարգ

Ազատության n աստիճաններ ունեցող համակարգն ունի n բնական հաճախականություններ և n հիմնական մոդեր։ Համակարգի ցանկացած տատանման կոնֆիգուրացիա կարող է ներկայացվել որպես հիմնական մոդերի գծային համադրություն։ Հետևաբար, հիմնական մոդերի վերադրման մեթոդը լայնորեն կիրառվում է բազմադիզոնական համակարգերի դինամիկ արձագանքի վերլուծության մեջ։ Այսպիսով, համակարգի բնական տատանման բնութագրերի չափումը և վերլուծությունը դառնում է համակարգի դինամիկ նախագծման առօրյա քայլ։

Բազմազատության համակարգերի դինամիկ բնութագրերը կարող են նկարագրվել նաև հաճախականության բնութագրերով։ Քանի որ յուրաքանչյուր մուտքի և ելքի միջև կա հաճախականության բնութագրական ֆունկցիա, կառուցվում է հաճախականության բնութագրական մատրից։ Բազմազատության համակարգի ամպլիտուդա-հաճախականության բնութագրական կորը տարբերվում է միազատության համակարգի կորից։

Էլաստոմերը թրթռում է

Վերոնշյալ բազմաստիճան ազատության համակարգը էլաստոմերի մոտավոր մեխանիկական մոդել է։ Էլաստոմերն ունի անվերջ թվով ազատության աստիճաններ։ Երկուսի միջև կա քանակական տարբերություն, բայց ոչ էական տարբերություն։ Ցանկացած էլաստոմեր ունի անվերջ թվով բնական հաճախականություններ և անվերջ թվով համապատասխան մոդեր, և զանգվածի և կոշտության մոդերի միջև կա օրթոգոնալություն։ Էլաստոմերի ցանկացած տատանողական կոնֆիգուրացիա կարող է ներկայացվել նաև որպես հիմնական մոդերի գծային վերադրում։ Հետևաբար, էլաստոմերի դինամիկ արձագանքի վերլուծության համար հիմնական մոդերի վերադրման մեթոդը դեռևս կիրառելի է (տե՛ս էլաստոմերի գծային տատանում)։

Վերցնենք լարի տատանումը։ Ենթադրենք, որ երկարության միավորին m զանգվածով բարակ լարը, l երկարությամբ, լարված է երկու ծայրերից, և լարվածությունը T է։ Այս պահին լարի բնական հաճախականությունը որոշվում է հետևյալ հավասարմամբ՝

F =na/2l (n= 1,2,3…):

որտեղ -ն լայնակի ալիքի տարածման արագությունն է լարի ուղղությամբ։ Լարերի բնական հաճախականությունները պատահաբար հիմնարար հաճախականության բազմապատիկներ են 2l-ի նկատմամբ։ Այս ամբողջ թվաքանակը հանգեցնում է հաճելի հարմոնիկ կառուցվածքի։ Ընդհանուր առմամբ, էլաստոմերի բնական հաճախականությունների միջև նման ամբողջ թվաքանակի բազմապատիկի կապ չկա։

Լարված լարի առաջին երեք ռեժիմները ցույց են տրված Նկ. 9-ում: Հիմնական ռեժիմի կորի վրա կան որոշ հանգույցներ: Հիմնական տատանման ժամանակ հանգույցները չեն տատանվում: Նկ. 10-ը ցույց է տալիս շրջագծով հենված շրջանաձև թիթեղի մի քանի բնորոշ ռեժիմներ՝ շրջանագծերից և տրամագծերից կազմված որոշ հանգույցային գծերով:

Էլաստոմերի տատանման խնդրի ճշգրիտ ձևակերպումը կարելի է եզրակացնել որպես մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների սահմանային արժեքի խնդիր։ Սակայն, ճշգրիտ լուծումը կարելի է գտնել միայն ամենապարզ դեպքերում, ուստի մենք ստիպված ենք դիմել բարդ էլաստոմերի տատանման խնդրի մոտավոր լուծմանը։ Տարբեր մոտավոր լուծումների էությունն անվերջը վերջավորի փոխելն է, այսինքն՝ վերջույթներից զուրկ բազմաստիճան ազատության համակարգը (անընդհատ համակարգ) դիսկրետացնել վերջավոր բազմաստիճան ազատության համակարգի (դիսկրետ համակարգ)։ Ինժեներական վերլուծության մեջ լայնորեն կիրառվում են դիսկրետացման երկու տեսակի մեթոդներ՝ վերջավոր տարրերի մեթոդ և մոդալ սինթեզի մեթոդ։

ՆԿ. 9՝ լարային ռեժիմ

ՆԿ. 10 շրջանաձև թիթեղի ռեժիմ

Վերջավոր տարրերի մեթոդը կոմպոզիտային կառուցվածք է, որը բարդ կառուցվածքը վերացարկում է վերջավոր թվով տարրերի և միացնում դրանք վերջավոր թվով հանգույցների վրա։ Յուրաքանչյուր միավոր էլաստոմեր է։ Տարրի բաշխման տեղաշարժը արտահայտվում է հանգույցի տեղաշարժի ինտերպոլյացիոն ֆունկցիայով։ Այնուհետև յուրաքանչյուր տարրի բաշխման պարամետրերը կենտրոնացվում են յուրաքանչյուր հանգույցի վրա որոշակի ձևաչափով, և ստացվում է դիսկրետ համակարգի մեխանիկական մոդելը։

Մոդալ սինթեզը բարդ կառուցվածքի բաժանումն է մի քանի ավելի պարզ ենթակառուցվածքների։ Յուրաքանչյուր ենթակառուցվածքի տատանողական բնութագրերը հասկանալու հիման վրա, ենթակառուցվածքը սինթեզվում է ընդհանուր կառուցվածքի մեջ՝ համաձայն միջերեսի վրա կոորդինացման պայմանների, և ընդհանուր կառուցվածքի տատանողական ձևաբանությունը ստացվում է յուրաքանչյուր ենթակառուցվածքի տատանողական ձևաբանության միջոցով։

Երկու մեթոդները տարբեր են և փոխկապակցված, և կարող են օգտագործվել որպես հղումներ։ Մոդալ սինթեզի մեթոդը կարող է նաև արդյունավետորեն համակցվել փորձարարական չափման հետ՝ մեծ համակարգերի տատանումների համար տեսական և փորձարարական վերլուծության մեթոդ ձևավորելու համար։