Ի՞նչ է գծային թրթռումը:

Գծային թրթռումՀամակարգի բաղադրիչների առաձգականությունը ենթարկվում է Հուկի օրենքին, իսկ շարժման ընթացքում առաջացող ամորտիզացիոն ուժը համաչափ է ընդհանրացված արագության առաջին հավասարմանը (ընդհանրացված կոորդինատների ժամանակի ածանցյալ):

հայեցակարգը

Գծային համակարգը սովորաբար իրական համակարգի թրթռումների վերացական մոդելն է: Գծային թրթռման համակարգը կիրառում է սուպերպոզիցիայի սկզբունքը, այսինքն, եթե համակարգի պատասխանը y1 է x1 մուտքի ազդեցության տակ, իսկ y2 մուտքի x2 գործողության ներքո, ապա համակարգի պատասխանը x1 և x2 մուտքագրման ազդեցության տակ y1+y2 է:

Սուպերպոզիցիայի սկզբունքի հիման վրա կամայական մուտքը կարող է տարրալուծվել մի շարք անվերջ փոքր իմպուլսների գումարի մեջ, այնուհետև կարելի է ստանալ համակարգի ընդհանուր պատասխանը: Պարբերական գրգռման ներդաշնակ բաղադրիչների գումարը կարող է ընդլայնվել. Ֆուրիեի փոխակերպմամբ ներդաշնակ բաղադրիչների շարքը, և յուրաքանչյուր ներդաշնակ բաղադրիչի ազդեցությունը համակարգի վրա կարելի է առանձին ուսումնասիրել: Հետևաբար, հաստատուն պարամետրերով գծային համակարգերի արձագանքման բնութագրերը կարող են նկարագրվել իմպուլսային արձագանքով կամ հաճախականության արձագանքով:

Իմպուլսային արձագանքը վերաբերում է համակարգի արձագանքին միավորի իմպուլսին, որը բնութագրում է համակարգի արձագանքման բնութագրերը ժամանակի տիրույթում: Հաճախականության արձագանքը վերաբերում է համակարգի արձագանքման բնութագրին միավորի ներդաշնակ մուտքին: Որոշվում է երկուսի միջև համապատասխանությունը: Ֆուրիեի փոխակերպմամբ։

դասակարգում

Գծային թրթռումը կարելի է բաժանել ազատության մեկ աստիճանի համակարգի գծային թրթռումների և ազատության բազմաստիճան համակարգի գծային թրթռումների:

(1) Ազատության մեկ աստիճանի համակարգի գծային թրթռումը գծային թրթռում է, որի դիրքը կարող է որոշվել ընդհանրացված կոորդինատով: Դա ամենապարզ թրթռումն է, որից կարելի է բխել թրթռման շատ հիմնական հասկացություններ և բնութագրեր: Այն ներառում է պարզ ներդաշնակ թրթռում, ազատ թրթռում, թուլացման թրթռում և հարկադիր թրթռում:

Պարզ ներդաշնակ թրթռում. առարկայի փոխադարձ շարժումն իր հավասարակշռության դիրքի մոտակայքում՝ սինուսոիդային օրենքի համաձայն՝ նրա տեղաշարժին համաչափ վերականգնող ուժի ազդեցության տակ։

Խոնավ թրթռում. թրթռում, որի ամպլիտուդը շարունակաբար թուլանում է շփման և դիէլեկտրական դիմադրության կամ էներգիայի այլ սպառման առկայության պատճառով:

Հարկադիր թրթռում. համակարգի թրթռում մշտական ​​գրգռման տակ:

(2) Ազատության բազմաստիճան համակարգի գծային թրթռումը n≥2 աստիճանի ազատության գծային համակարգի թրթռումն է։ Համակարգը կարող է ներկայացվել որպես հիմնական ռեժիմների գծային համակցություն: Հետևաբար, հիմնական ռեժիմի սուպերպոզիցիոն մեթոդը լայնորեն օգտագործվում է բազմաբնույթ համակարգերի դինամիկ արձագանքման վերլուծության մեջ: Այս կերպ, բնական թրթռումների բնութագրերի չափումն ու վերլուծությունը համակարգը դառնում է սովորական քայլ համակարգի դինամիկ նախագծման մեջ: Multi-dof համակարգերի դինամիկ բնութագրերը կարող են նկարագրվել նաև հաճախականության բնութագրերով: Քանի որ յուրաքանչյուր մուտքի և ելքի միջև կա հաճախականության բնութագրիչ ֆունկցիա, կառուցվում է հաճախականության բնութագրիչ մատրիցա: Հաճախականության բնութագրիչի և հիմնական ռեժիմի միջև որոշակի կապ է: Բազմազատության համակարգի ամպլիտուդա-հաճախականության բնութագրիչ կորը տարբերվում է մեկ ազատության համակարգի կորից:

Ազատության մեկ աստիճանի համակարգի գծային թրթռում

Գծային թրթռում, որի դեպքում համակարգի դիրքը կարող է որոշվել ընդհանրացված կոորդինատով: Սա ամենապարզ և հիմնարար թրթռումն է, որից կարելի է բխել թրթռման շատ հիմնական հասկացություններ և բնութագրեր: Այն ներառում է պարզ ներդաշնակ թրթռում, խամրված թրթռում և հարկադիր թրթռում: .

Հարմոնիկ թրթռում

Տեղաշարժին համաչափ վերականգնող ուժի գործողության ներքո առարկան իր հավասարակշռության դիրքի մոտ սինուսոիդ ձևով փոխադարձ է կատարում (Նկար 1): X-ը ներկայացնում է տեղաշարժը, իսկ t-ը ներկայացնում է ժամանակը:Այս թրթիռի մաթեմատիկական արտահայտությունը հետևյալն է.

(1)Որտեղ A-ն x-ի տեղաշարժի առավելագույն արժեքն է, որը կոչվում է ամպլիտուդ և ներկայացնում է թրթռման ինտենսիվությունը; Օմեգա n-ն ամպլիտուդիա է թրթռման անկյան աճը վայրկյանում, որը կոչվում է անկյունային հաճախականություն կամ շրջանաձև հաճախականություն. կոչվում է սկզբնական փուլ։ f= n/2-ով տատանումների թիվը վայրկյանում կոչվում է հաճախականություն։ Դրա հակադարձը՝ T=1/f, այն ժամանակն է, որն անհրաժեշտ է մեկ ցիկլը տատանելու համար, և դա կոչվում է. ամպլիտուդա A, հաճախականություն f (կամ անկյունային հաճախականություն n), սկզբնական փուլ, որը հայտնի է որպես պարզ ներդաշնակ թրթռում երեք տարրեր:

ՆԿԱՐ.1 պարզ ներդաշնակ թրթռման կոր

Ինչպես ցույց է տրված ՆԿ.2, պարզ ներդաշնակ տատանվողը ձևավորվում է կենտրոնացված m զանգվածից, որը միացված է գծային զսպանակով: Երբ թրթռման տեղաշարժը հաշվարկվում է հավասարակշռության դիրքից, թրթռման հավասարումը հետևյալն է.

Որտե՞ղ է զսպանակի կոշտությունը: Վերոնշյալ հավասարման ընդհանուր լուծումը (1) է և կարող է որոշվել x0 սկզբնական դիրքով և սկզբնական արագությամբ t=0-ում:

Բայց օմեգա n-ը որոշվում է միայն ինքնին համակարգի բնութագրերով m և k՝ անկախ լրացուցիչ սկզբնական պայմաններից, ուստի օմեգա n-ը նաև հայտնի է որպես բնական հաճախականություն։

ՆԿԱՐ.2 միասնական աստիճանի ազատության համակարգ

Պարզ ներդաշնակ տատանվողի համար նրա կինետիկ էներգիայի և պոտենցիալ էներգիայի գումարը հաստատուն է, այսինքն՝ պահպանվում է համակարգի ընդհանուր մեխանիկական էներգիան: Թրթռման գործընթացում կինետիկ էներգիան և պոտենցիալ էներգիան անընդհատ փոխակերպվում են միմյանց:

Խոնավեցնող թրթռում

Թրթռում, որի ամպլիտուդը շարունակաբար թուլանում է շփման և դիէլեկտրական դիմադրության կամ էներգիայի այլ սպառման պատճառով: Միկրո թրթռման դեպքում արագությունը սովորաբար շատ մեծ չէ, իսկ միջին դիմադրությունը համաչափ է առաջին հզորության արագությանը, որը կարելի է գրել որպես c թուլացման գործակիցը: Հետևաբար, ազատության մեկ աստիճանի թրթռման հավասարումը գծային մեղմացումով կարող է գրվել հետևյալ կերպ.

(2)Որտեղ m =c/2m կոչվում է խոնավացման պարամետր, և (2) բանաձևի ընդհանուր լուծումը կարելի է գրել.

(3)Օմեգա n-ի և PI-ի միջև թվային հարաբերությունները կարելի է բաժանել հետևյալ երեք դեպքերի.

N > (փոքր թուլացման դեպքում) արտադրված մասնիկի թուլացման թրթռումը, թրթռման հավասարումը հետևյալն է.

Դրա ամպլիտուդը ժամանակի հետ նվազում է, համաձայն հավասարման մեջ ցուցադրված էքսպոնենցիալ օրենքի, ինչպես ցույց է տրված ՆԿ-ի կետավոր գծում:3. Խստորեն ասած, այս թրթռումը պարբերական է, բայց դրա գագաթնակետի հաճախականությունը կարող է սահմանվել հետևյալ կերպ.

Կոչվում է ամպլիտուդի կրճատման արագություն, որտեղ է թրթռման ժամանակաշրջանը: Ամպլիտուդի կրճատման արագության բնական լոգարիթմը կոչվում է լոգարիթմի մինուս (ամպլիտուդի) արագություն: Ակնհայտորեն, =, այս դեպքում, հավասար է 2/1-ի: Անմիջապես փորձարարական փորձարկման դելտա և, օգտագործելով վերը նշված բանաձևը, կարելի է հաշվարկել ք.

Այս պահին (2) հավասարման լուծումը կարելի է գրել.

Սկզբնական արագության ուղղության հետ մեկտեղ այն կարելի է բաժանել երեք ոչ թրթռումային դեպքերի, ինչպես ցույց է տրված ՆԿ.4.

N < (մեծ խոնավացման դեպքում) (2) հավասարման լուծումը ցույց է տրված (3) հավասարման մեջ: Այս պահին համակարգն այլևս չի թրթռում:

Հարկադիր թրթռում

Համակարգի թրթռում մշտական ​​գրգռման տակ: Թրթռումների վերլուծությունը հիմնականում ուսումնասիրում է համակարգի արձագանքը գրգռմանը: Պարբերական գրգռումը տիպիկ կանոնավոր գրգռում է: Քանի որ պարբերական գրգռումը միշտ կարող է քայքայվել մի քանի ներդաշնակ գրգռման գումարի, ըստ սուպերպոզիցիայի սկզբունքի, միայն Համակարգի արձագանքը յուրաքանչյուր ներդաշնակ գրգռմանը պահանջվում է: Հարմոնիկ գրգռման գործողության ներքո ազատության մեկ աստիճանի խամրված համակարգի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումը կարող է գրվել.

Պատասխանը երկու մասի գումար է.Մի մասը խոնավացած թրթռման արձագանքն է, որը ժամանակի ընթացքում արագ քայքայվում է: Հարկադիր թրթիռի մեկ այլ մասի պատասխանը կարելի է գրել.

ՆԿԱՐ.3 թուլացած թրթռման կոր

ՆԿԱՐ.Երեք սկզբնական պայմանների 4 կորեր՝ կրիտիկական խոնավացումով

Մուտքագրեք

H /F0= h (), կայուն արձագանքման ամպլիտուդի և գրգռման ամպլիտուդի հարաբերակցությունն է, որը բնութագրում է ամպլիտուդա-հաճախականության բնութագրերը կամ ստացման ֆունկցիան; կայուն վիճակի արձագանքման և փուլի խթանման բիթերը, փուլային հաճախականության բնութագրերի բնութագրումը: Նրանց միջև կապը և գրգռման հաճախականությունը ցույց է տրված ՆԿ.5 և ՆԿ.6.

Ինչպես երևում է ամպլիտուդ-հաճախականության կորից (Նկար 5), փոքր խոնավացման դեպքում ամպլիտուդա-հաճախականության կորն ունի մեկ գագաթ: Որքան փոքր է ամպլիտուդը, այնքան ավելի կտրուկ է գագաթը; Պիկին համապատասխան հաճախականությունը կոչվում է համակարգի ռեզոնանսային հաճախականություն: Փոքր ամորտիզացիայի դեպքում ռեզոնանսային հաճախականությունը շատ չի տարբերվում բնական հաճախականությունից: Երբ գրգռման հաճախականությունը մոտ է բնական հաճախականությանը, ամպլիտուդան կտրուկ մեծանում է:Այս երևույթը կոչվում է ռեզոնանս: Ռեզոնանսում համակարգի հզորությունը առավելագույնի է հասցվում, այսինքն՝ հարկադիր թրթռումն ամենաուժեղն է: Հետևաբար, ընդհանուր առմամբ, միշտ ձգտեք խուսափել ռեզոնանսից, բացառությամբ այն դեպքերի, երբ որոշ գործիքներ և սարքավորումներ օգտագործեն ռեզոնանս՝ մեծ չափերի հասնելու համար: թրթռում.

ՆԿԱՐ.5 ամպլիտուդի հաճախականության կոր

Կարելի է տեսնել փուլային հաճախականության կորից (նկար 6), անկախ խոնավացման չափից, օմեգա զրոյական փուլային տարբերության բիթերում = PI / 2, այս հատկանիշը կարող է արդյունավետորեն օգտագործվել ռեզոնանսի չափման մեջ:

Ի հավելումն կայուն գրգռման, համակարգերը երբեմն հանդիպում են անկայուն գրգռման: Այն կարելի է մոտավորապես բաժանել երկու տեսակի. մեկը հանկարծակի ազդեցությունն է: Երկրորդը կամայականության տեւական ազդեցությունն է: Անկայուն գրգռման դեպքում համակարգի արձագանքը նույնպես անկայուն է:

Անկայուն թրթռումը վերլուծելու հզոր գործիք է իմպուլսային արձագանքման մեթոդը: Այն նկարագրում է համակարգի դինամիկ բնութագրերը համակարգի միավորի իմպուլսի մուտքագրման անցողիկ արձագանքով: Միավորի իմպուլսը կարող է արտահայտվել որպես դելտա ֆունկցիա: Ճարտարագիտության մեջ դելտան ֆունկցիան հաճախ սահմանվում է որպես.

Որտեղ 0-ը ներկայացնում է t առանցքի այն կետը, որը ձախից մոտենում է զրոյին, 0 գումարած այն կետն է, որը գնում է 0-ի աջից:

ՆԿԱՐ.6 փուլ հաճախականության կոր

ՆԿԱՐ.7 ցանկացած մուտքագրում կարելի է համարել որպես իմպուլսային տարրերի շարքի գումար

Համակարգը համապատասխանում է h(t) արձագանքին, որը առաջանում է միավորի իմպուլսի կողմից t=0, որը կոչվում է իմպուլսային արձագանքման ֆունկցիա։ համակարգի իմպուլսային արձագանքման ֆունկցիան, մենք կարող ենք գտնել համակարգի արձագանքը ցանկացած մուտքագրման x(t): Այս պահին դուք կարող եք պատկերացնել x(t) որպես իմպուլսային տարրերի շարքի գումար (Նկար 7): Համակարգի պատասխանն է.

Ելնելով սուպերպոզիցիայի սկզբունքից՝ x(t)-ին համապատասխան համակարգի ընդհանուր պատասխանը հետևյալն է.

Այս ինտեգրալը կոչվում է կոնվուլյացիոն ինտեգրալ կամ սուպերպոզիցիոն ինտեգրալ։

Ազատության բազմաստիճան համակարգի գծային թրթռում

n≥2 աստիճան ազատության գծային համակարգի թրթռում:

Նկար 8-ը ցույց է տալիս երկու պարզ ռեզոնանսային ենթահամակարգեր, որոնք միացված են միացման զսպանակով: Քանի որ այն երկու աստիճանի ազատության համակարգ է, դրա դիրքը որոշելու համար անհրաժեշտ են երկու անկախ կոորդինատներ: Այս համակարգում կան երկու բնական հաճախականություններ.

Յուրաքանչյուր հաճախականություն համապատասխանում է թրթռման ռեժիմին: Հարմոնիկ տատանումները կատարում են նույն հաճախականության ներդաշնակ տատանումներ՝ համաժամանակյա անցնելով հավասարակշռության դիրքով և համաժամանակյա հասնելով ծայրահեղ դիրքի: Օմեգա մեկին համապատասխանող հիմնական թրթիռում x1-ը հավասար է x2-ի: հիմնական թրթռումը, որը համապատասխանում է օմեգա օմեգա երկուսին, օմեգա օմեգա մեկին: Հիմնական թրթիռում յուրաքանչյուր զանգվածի տեղաշարժի հարաբերակցությունը պահպանում է որոշակի հարաբերություն և ձևավորում է որոշակի ռեժիմ, որը կոչվում է հիմնական ռեժիմ կամ բնական ռեժիմ: Զանգվածի ուղղանկյունությունը և կոշտությունը գոյություն ունի հիմնական ռեժիմների շարքում, որն արտացոլում է յուրաքանչյուր թրթիռի անկախությունը: Բնական հաճախականությունը և հիմնական ռեժիմը ներկայացնում են բազմաստիճան ազատության համակարգի բնորոշ թրթռման բնութագրերը:

ՆԿԱՐ.8 համակարգ՝ ազատության բազմաթիվ աստիճաններով

Ազատության n աստիճանի համակարգն ունի n բնական հաճախականություն և n հիմնական ռեժիմ: Համակարգի ցանկացած թրթռումային կոնֆիգուրացիա կարող է ներկայացվել որպես հիմնական ռեժիմների գծային համակցություն: Հետևաբար, հիմնական ռեժիմի սուպերպոզիցիայի մեթոդը լայնորեն օգտագործվում է բազմակի դինամիկ արձագանքման վերլուծության մեջ: -dof համակարգեր: Այսպիսով, համակարգի բնական թրթռման բնութագրերի չափումն ու վերլուծությունը դառնում է սովորական քայլ համակարգի դինամիկ նախագծման մեջ:

Multi-dof համակարգերի դինամիկ բնութագրերը կարող են նկարագրվել նաև հաճախականության բնութագրերով: Քանի որ յուրաքանչյուր մուտքի և ելքի միջև կա հաճախականության բնութագրիչ ֆունկցիա, կառուցվում է հաճախականության բնութագրիչ մատրիցա: Բազմազատության համակարգի ամպլիտուդա-հաճախականության բնութագրիչ կորը տարբեր է: միայնակ ազատության համակարգից։

Էլաստոմերը թրթռում է

Ազատության բազմաստիճան համակարգը էլաստոմերի մոտավոր մեխանիկական մոդելն է: Էլաստոմերն ունի անսահման թվով ազատության աստիճաններ: Երկուսի միջև կա քանակական տարբերություն, բայց ոչ էական: Ցանկացած էլաստոմեր ունի անսահման թվով բնական հաճախություններ և անսահման թվով համապատասխան ռեժիմներ, և կա ուղղանկյունություն զանգվածի և կոշտության ռեժիմների միջև: Էլաստոմերի ցանկացած թրթռումային կոնֆիգուրացիա կարող է ներկայացվել նաև որպես հիմնական ռեժիմների գծային սուպերպոզիցիա: Հետևաբար, էլաստոմերի դինամիկ արձագանքման վերլուծության համար կիրառվում է սուպերպոզիցիայի մեթոդը հիմնական ռեժիմը դեռ կիրառելի է (տես էլաստոմերի գծային թրթռումը):

Վերցնենք պարանի թրթռումը: Եկեք ասենք, որ բարակ մ զանգվածի շարանը մեկ միավորի երկարության վրա, երկար l, ձգվում է երկու ծայրերում, և լարվածությունը T է: Այս պահին լարերի բնական հաճախականությունը որոշվում է հետևյալով. հավասարում:

F =na/2l (n= 1,2,3…):

Որտե՞ղ է լայնակի ալիքի տարածման արագությունը լարային ուղղության երկայնքով: Լարերի բնական հաճախականությունները 2 լ-ից ավելի հիմնական հաճախականության բազմապատիկ են: Այս ամբողջ թվային բազմապատկությունը հանգեցնում է հաճելի ներդաշնակ կառուցվածքի: Ընդհանուր առմամբ, չկա այդպիսի ամբողջ թվային բազմակի կապ էլաստոմերի բնական հաճախականությունների միջև։

Լարված պարանի առաջին երեք ռեժիմները ներկայացված են ՆԿ.9. Հիմնական ռեժիմի կորի վրա կան որոշ հանգույցներ: Հիմնական թրթռման դեպքում հանգույցները չեն թրթռում: ՆԿ.10-ը ցույց է տալիս շրջագծով հենվող շրջանաձև թիթեղների մի քանի տիպիկ եղանակներ՝ շրջանակներից և տրամագծերից կազմված որոշ հանգույցային գծերով:

Էլաստոմերի թրթռման խնդրի ճշգրիտ ձևակերպումը կարելի է եզրակացնել որպես մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների սահմանային արժեքի խնդիր: Այնուամենայնիվ, ճշգրիտ լուծումը կարելի է գտնել միայն որոշ ամենապարզ դեպքերում, ուստի մենք պետք է դիմենք բարդ էլաստոմերի մոտավոր լուծմանը: Թրթռման խնդիր: Տարբեր մոտավոր լուծումների էությունն այն է, որ անսահմանը փոխվի վերջավորի, այսինքն՝ դիսկրետիզացվի վերջույթներից զերծ բազմաստիճան ազատության համակարգը (շարունակական համակարգ) վերջավոր բազմաստիճան ազատության համակարգի (դիսկրետ համակարգ) Գոյություն ունեն երկու տեսակի դիսկրետացման մեթոդներ, որոնք լայնորեն օգտագործվում են ինժեներական վերլուծության մեջ՝ վերջավոր տարրերի մեթոդ և մոդալ սինթեզի մեթոդ:

ՆԿԱՐ.9 ռեժիմ լարային

ՆԿԱՐ.Շրջանաձև ափսեի 10 ռեժիմ

Վերջավոր տարրերի մեթոդը կոմպոզիտային կառուցվածք է, որը վերացում է բարդ կառուցվածքը վերջավոր թվով տարրերի և դրանք միացնում է վերջավոր թվով հանգույցների մեջ: Յուրաքանչյուր միավոր էլաստոմեր է: Տարրի բաշխման տեղաշարժը արտահայտվում է հանգույցի տեղաշարժի ինտերպոլացիոն ֆունկցիայով: Այնուհետև Յուրաքանչյուր տարրի բաշխման պարամետրերը կենտրոնացված են յուրաքանչյուր հանգույցի վրա որոշակի ձևաչափով, և ստացվում է դիսկրետ համակարգի մեխանիկական մոդելը:

Մոդալ սինթեզը բարդ կառուցվածքի տարրալուծումն է մի քանի ավելի պարզ ենթակառուցվածքների: Յուրաքանչյուր ենթակառուցվածքի թրթռման բնութագրերը հասկանալու հիման վրա ենթակառուցվածքը սինթեզվում է ընդհանուր կառուցվածքի` համաձայն միջերեսի կոորդինացման պայմանների և ընդհանուրի թրթռման մորֆոլոգիայի: կառուցվածքը ստացվում է՝ օգտագործելով յուրաքանչյուր ենթակառուցվածքի թրթռման մորֆոլոգիան:

Երկու մեթոդները տարբեր են և փոխկապակցված և կարող են օգտագործվել որպես հղում: Մոդալ սինթեզի մեթոդը կարող է նաև արդյունավետորեն զուգակցվել փորձարարական չափումների հետ՝ ձևավորելու տեսական և փորձարարական վերլուծության մեթոդ մեծ համակարգերի թրթռումների համար: