Apa itu getaran linier?

Getaran linierElastisitas komponen dalam sistem tunduk pada hukum Hooke, dan gaya redaman yang dihasilkan selama gerakan berbanding lurus dengan persamaan pertama kecepatan umum (turunan waktu dari koordinat umum).

konsep

Sistem linier biasanya merupakan model abstrak dari getaran sistem nyata. Sistem getaran linier menerapkan prinsip superposisi, yaitu, jika respons sistem adalah y1 di bawah pengaruh input x1, dan y2 di bawah pengaruh input x2, maka respons sistem di bawah pengaruh input x1 dan x2 adalah y1+y2.

Berdasarkan prinsip superposisi, input sembarang dapat diuraikan menjadi jumlah serangkaian impuls infinitesimal, dan kemudian respons total sistem dapat diperoleh. Jumlah komponen harmonik dari eksitasi periodik dapat diekspansikan menjadi serangkaian komponen harmonik melalui transformasi Fourier, dan pengaruh setiap komponen harmonik pada sistem dapat diteliti secara terpisah. Oleh karena itu, karakteristik respons sistem linier dengan parameter konstan dapat dijelaskan oleh respons impuls atau respons frekuensi.

Respons impuls mengacu pada respons sistem terhadap impuls satuan, yang mencirikan karakteristik respons sistem dalam domain waktu. Respons frekuensi mengacu pada karakteristik respons sistem terhadap input harmonik satuan. Kesesuaian antara keduanya ditentukan oleh transformasi Fourier.

klasifikasi

Getaran linier dapat dibagi menjadi getaran linier sistem satu derajat kebebasan dan getaran linier sistem banyak derajat kebebasan.

(1) Getaran linier dari sistem satu derajat kebebasan adalah getaran linier yang posisinya dapat ditentukan oleh koordinat umum. Ini adalah getaran paling sederhana yang darinya banyak konsep dan karakteristik dasar getaran dapat diturunkan. Ini termasuk getaran harmonik sederhana, getaran bebas, getaran redaman, dan getaran paksa.

Getaran harmonik sederhana: gerakan bolak-balik suatu objek di sekitar posisi keseimbangannya sesuai dengan hukum sinusoidal di bawah pengaruh gaya pemulih yang sebanding dengan perpindahannya.

Getaran teredam: getaran yang amplitudonya terus-menerus dilemahkan oleh adanya gesekan dan hambatan dielektrik atau konsumsi energi lainnya.

Getaran paksa: getaran suatu sistem yang mengalami eksitasi konstan.

(2) Getaran linier dari sistem multi-derajat kebebasan adalah getaran dari sistem linier dengan n≥2 derajat kebebasan. Sistem dengan n derajat kebebasan memiliki n frekuensi alami dan n mode utama. Setiap konfigurasi getaran sistem dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari mode utama. Oleh karena itu, metode superposisi mode utama banyak digunakan dalam analisis respons dinamis sistem multi-derajat kebebasan. Dengan cara ini, pengukuran dan analisis karakteristik getaran alami sistem menjadi langkah rutin dalam desain dinamis sistem. Karakteristik dinamis sistem multi-derajat kebebasan juga dapat dijelaskan oleh karakteristik frekuensi. Karena terdapat fungsi karakteristik frekuensi antara setiap input dan output, matriks karakteristik frekuensi dibangun. Terdapat hubungan yang pasti antara karakteristik frekuensi dan mode utama. Kurva karakteristik amplitudo-frekuensi dari sistem multi-derajat kebebasan berbeda dari sistem satu derajat kebebasan.

Getaran linier dari sistem dengan satu derajat kebebasan

Getaran linier di mana posisi suatu sistem dapat ditentukan oleh koordinat umum. Ini adalah getaran paling sederhana dan mendasar yang darinya banyak konsep dan karakteristik dasar getaran dapat diturunkan. Ini mencakup getaran harmonik sederhana, getaran teredam, dan getaran paksa.

Getaran harmonik

Di bawah pengaruh gaya pemulihan yang sebanding dengan perpindahan, objek bergerak bolak-balik secara sinusoidal di dekat posisi keseimbangannya (GAMBAR 1). X mewakili perpindahan dan t mewakili waktu. Ekspresi matematis dari getaran ini adalah:

(1)Di mana A adalah nilai maksimum perpindahan x, yang disebut amplitudo, dan mewakili intensitas getaran; Omega n adalah peningkatan sudut amplitudo getaran per detik, yang disebut frekuensi sudut, atau frekuensi sirkular; Ini disebut fase awal. Dalam hal f = n/2, jumlah osilasi per detik disebut frekuensi; Kebalikannya, T = 1/f, adalah waktu yang dibutuhkan untuk berosilasi satu siklus, dan itu disebut periode. Amplitudo A, frekuensi f (atau frekuensi sudut n), fase awal, dikenal sebagai getaran harmonik sederhana tiga elemen.

GAMBAR 1 Kurva getaran harmonik sederhana

Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2, osilator harmonik sederhana dibentuk oleh massa terkonsentrasi m yang dihubungkan oleh pegas linier. Ketika perpindahan getaran dihitung dari posisi kesetimbangan, persamaan getarannya adalah:

Di manakah kekakuan pegas? Solusi umum untuk persamaan di atas adalah (1). A dan dapat ditentukan oleh posisi awal x0 dan kecepatan awal pada t=0:

Namun omega n hanya ditentukan oleh karakteristik sistem itu sendiri m dan k, terlepas dari kondisi awal tambahan, sehingga omega n juga dikenal sebagai frekuensi alami.

GAMBAR 2 Sistem satu derajat kebebasan

Untuk osilator harmonik sederhana, jumlah energi kinetik dan energi potensialnya konstan, artinya energi mekanik total sistem tersebut kekal. Dalam proses getaran, energi kinetik dan energi potensial terus-menerus berubah satu sama lain.

Peredaman getaran

Getaran yang amplitudonya terus-menerus teredam oleh gesekan dan hambatan dielektrik atau konsumsi energi lainnya. Untuk getaran mikro, kecepatannya umumnya tidak terlalu besar, dan hambatan medium berbanding lurus dengan kecepatan pangkat satu, yang dapat ditulis sebagai c adalah koefisien redaman. Oleh karena itu, persamaan getaran satu derajat kebebasan dengan redaman linier dapat ditulis sebagai:

(2)Di mana, m =c/2m disebut parameter redaman, dan. Solusi umum dari rumus (2) dapat dituliskan:

(3)Hubungan numerik antara omega n dan PI dapat dibagi menjadi tiga kasus berikut:

N > (dalam kasus redaman kecil) partikel menghasilkan getaran redaman, persamaan getarannya adalah:

Amplitudo getaran ini menurun seiring waktu sesuai dengan hukum eksponensial yang ditunjukkan dalam persamaan, seperti yang ditunjukkan oleh garis putus-putus pada Gambar 3. Sebenarnya, getaran ini bersifat aperiodik, tetapi frekuensi puncaknya dapat didefinisikan sebagai:

Disebut sebagai laju pengurangan amplitudo, di mana adalah periode getaran. Logaritma natural dari laju pengurangan amplitudo disebut logaritma minus (amplitudo) rate. Jelas, =, dalam hal ini, sama dengan 2/1. Langsung melalui uji eksperimental delta dan, menggunakan rumus di atas dapat dihitung c.

Pada saat ini, solusi persamaan (2) dapat dituliskan:

Sejalan dengan arah kecepatan awal, hal ini dapat dibagi menjadi tiga kasus tanpa getaran seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.

N < (dalam kasus redaman besar), solusi persamaan (2) ditunjukkan pada persamaan (3). Pada titik ini, sistem tidak lagi bergetar.

Getaran paksa

Getaran suatu sistem di bawah eksitasi konstan. Analisis getaran terutama menyelidiki respons sistem terhadap eksitasi. Eksitasi periodik adalah eksitasi teratur yang khas. Karena eksitasi periodik selalu dapat diuraikan menjadi jumlah beberapa eksitasi harmonik, menurut prinsip superposisi, hanya respons sistem terhadap setiap eksitasi harmonik yang diperlukan. Di bawah pengaruh eksitasi harmonik, persamaan diferensial gerak dari sistem teredam satu derajat kebebasan dapat ditulis sebagai berikut:

Respons tersebut merupakan penjumlahan dari dua bagian. Satu bagian adalah respons getaran teredam, yang meluruh dengan cepat seiring waktu. Respons bagian lain dari getaran paksa dapat dituliskan sebagai:

GAMBAR 3 kurva getaran teredam

GAMBAR 4 kurva dari tiga kondisi awal dengan redaman kritis

Ketikkan

H /F0= h (), adalah rasio amplitudo respons keadaan tunak terhadap amplitudo eksitasi, yang mencirikan karakteristik amplitudo-frekuensi, atau fungsi penguatan; Bits untuk respons keadaan tunak dan insentif fase, yang mencirikan karakteristik frekuensi fase. Hubungan antara keduanya dan frekuensi eksitasi ditunjukkan pada Gambar 5 dan Gambar 6.

Seperti yang terlihat dari kurva amplitudo-frekuensi (GAMBAR 5), pada kasus redaman kecil, kurva amplitudo-frekuensi memiliki satu puncak. Semakin kecil redaman, semakin curam puncaknya; Frekuensi yang sesuai dengan puncak disebut frekuensi resonansi sistem. Pada kasus redaman kecil, frekuensi resonansi tidak jauh berbeda dari frekuensi alami. Ketika frekuensi eksitasi mendekati frekuensi alami, amplitudo meningkat tajam. Fenomena ini disebut resonansi. Pada resonansi, penguatan sistem dimaksimalkan, yaitu, getaran paksa paling kuat. Oleh karena itu, secara umum, selalu diupayakan untuk menghindari resonansi, kecuali beberapa instrumen dan peralatan menggunakan resonansi untuk mencapai getaran besar.

GAMBAR 5 kurva frekuensi amplitudo

Dapat dilihat dari kurva frekuensi fase (gambar 6), terlepas dari besarnya redaman, pada bit perbedaan fase omega nol = PI / 2, karakteristik ini dapat digunakan secara efektif dalam mengukur resonansi.

Selain eksitasi tetap, sistem terkadang mengalami eksitasi tidak tetap. Secara garis besar dapat dibagi menjadi dua jenis: pertama adalah benturan tiba-tiba. Kedua adalah efek jangka panjang yang tidak terduga. Di bawah eksitasi tidak tetap, respons sistem juga tidak tetap.

Metode respons impuls adalah alat yang ampuh untuk menganalisis getaran tak stabil. Metode ini menggambarkan karakteristik dinamis sistem dengan respons transien dari input impuls satuan sistem. Impuls satuan dapat dinyatakan sebagai fungsi delta. Dalam bidang teknik, fungsi delta sering didefinisikan sebagai:

Di mana 0- mewakili titik pada sumbu t yang mendekati nol dari kiri; 0 plus adalah titik yang menuju ke 0 dari kanan.

GAMBAR 6 kurva frekuensi fase

GAMBAR 7 Setiap masukan dapat dianggap sebagai jumlah dari serangkaian elemen impuls.

Sistem tersebut sesuai dengan respons h(t) yang dihasilkan oleh impuls satuan pada t=0, yang disebut fungsi respons impuls. Dengan asumsi bahwa sistem dalam keadaan diam sebelum impuls, h(t)=0 untuk t<0. Dengan mengetahui fungsi respons impuls dari sistem, kita dapat menemukan respons sistem terhadap input x(t) apa pun. Pada titik ini, Anda dapat menganggap x(t) sebagai jumlah dari serangkaian elemen impuls (GAMBAR 7). Respons sistem adalah:

Berdasarkan prinsip superposisi, respons total sistem yang sesuai dengan x(t) adalah:

Integral ini disebut integral konvolusi atau integral superposisi.

Getaran linier dari sistem multi-derajat kebebasan

Getaran sistem linier dengan n≥2 derajat kebebasan.

Gambar 8 menunjukkan dua subsistem resonansi sederhana yang dihubungkan oleh pegas penghubung. Karena ini adalah sistem dua derajat kebebasan, dua koordinat independen diperlukan untuk menentukan posisinya. Terdapat dua frekuensi alami dalam sistem ini:

Setiap frekuensi sesuai dengan suatu mode getaran. Osilator harmonik melakukan osilasi harmonik dengan frekuensi yang sama, secara sinkron melewati posisi kesetimbangan dan secara sinkron mencapai posisi ekstrem. Pada getaran utama yang sesuai dengan omega satu, x1 sama dengan x2; Pada getaran utama yang sesuai dengan omega omega dua, omega omega satu. Pada getaran utama, rasio perpindahan setiap massa mempertahankan hubungan tertentu dan membentuk mode tertentu, yang disebut mode utama atau mode alami. Ortogonalitas massa dan kekakuan ada di antara mode utama, yang mencerminkan independensi setiap getaran. Frekuensi alami dan mode utama mewakili karakteristik getaran inheren dari sistem multi-derajat kebebasan.

GAMBAR 8 Sistem dengan banyak derajat kebebasan

Suatu sistem dengan n derajat kebebasan memiliki n frekuensi alami dan n mode utama. Setiap konfigurasi getaran sistem dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari mode-mode utama. Oleh karena itu, metode superposisi mode utama banyak digunakan dalam analisis respons dinamis sistem multi-derajat kebebasan. Dengan cara ini, pengukuran dan analisis karakteristik getaran alami sistem menjadi langkah rutin dalam desain dinamis sistem.

Karakteristik dinamis sistem multi-derajat kebebasan juga dapat dijelaskan oleh karakteristik frekuensi. Karena terdapat fungsi karakteristik frekuensi antara setiap input dan output, maka matriks karakteristik frekuensi dapat dibangun. Kurva karakteristik amplitudo-frekuensi dari sistem multi-derajat kebebasan berbeda dari sistem satu-derajat kebebasan.

Elastomer tersebut bergetar

Sistem multi-derajat kebebasan di atas adalah model mekanik perkiraan dari elastomer. Elastomer memiliki jumlah derajat kebebasan yang tak terbatas. Terdapat perbedaan kuantitatif tetapi tidak ada perbedaan esensial antara keduanya. Setiap elastomer memiliki jumlah frekuensi alami yang tak terbatas dan jumlah mode yang sesuai yang tak terbatas, dan terdapat ortogonalitas antara mode massa dan kekakuan. Setiap konfigurasi getaran elastomer juga dapat direpresentasikan sebagai superposisi linier dari mode utama. Oleh karena itu, untuk analisis respons dinamis elastomer, metode superposisi mode utama masih berlaku (lihat getaran linier elastomer).

Perhatikan getaran sebuah senar. Misalkan sebuah senar tipis dengan massa m per satuan panjang, panjang l, ditegangkan di kedua ujungnya, dan tegangannya adalah T. Pada saat ini, frekuensi alami senar ditentukan oleh persamaan berikut:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Di mana, adalah kecepatan perambatan gelombang transversal sepanjang arah senar. Frekuensi alami senar kebetulan merupakan kelipatan frekuensi fundamental dibagi 2l. Kelipatan bilangan bulat ini menghasilkan struktur harmonik yang menyenangkan. Secara umum, tidak ada hubungan kelipatan bilangan bulat seperti itu di antara frekuensi alami elastomer.

Tiga mode pertama dari tali yang ditegangkan ditunjukkan pada Gambar 9. Terdapat beberapa simpul pada kurva mode utama. Pada getaran utama, simpul-simpul tersebut tidak bergetar. Gambar 10 menunjukkan beberapa mode tipikal dari pelat melingkar yang ditopang secara melingkar dengan beberapa garis nodal yang terdiri dari lingkaran dan diameter.

Perumusan pasti dari masalah getaran elastomer dapat disimpulkan sebagai masalah nilai batas persamaan diferensial parsial. Namun, solusi pasti hanya dapat ditemukan pada beberapa kasus paling sederhana, sehingga kita harus menggunakan solusi perkiraan untuk masalah getaran elastomer yang kompleks. Inti dari berbagai solusi perkiraan adalah mengubah yang tak hingga menjadi yang terbatas, yaitu, mendiskretisasi sistem multi-derajat kebebasan tanpa anggota (sistem kontinu) menjadi sistem multi-derajat kebebasan terbatas (sistem diskrit). Ada dua jenis metode diskretisasi yang banyak digunakan dalam analisis teknik: metode elemen hingga dan metode sintesis modal.

GAMBAR 9 mode tali

GAMBAR 10 mode pelat melingkar

Metode elemen hingga adalah struktur komposit yang mengabstraksikan struktur kompleks menjadi sejumlah elemen terbatas dan menghubungkannya pada sejumlah simpul terbatas. Setiap unit adalah elastomer; distribusi perpindahan elemen dinyatakan oleh fungsi interpolasi perpindahan simpul. Kemudian parameter distribusi setiap elemen dikonsentrasikan ke setiap simpul dalam format tertentu, dan model mekanik dari sistem diskrit diperoleh.

Sintesis modal adalah penguraian struktur kompleks menjadi beberapa substruktur yang lebih sederhana. Berdasarkan pemahaman karakteristik getaran dari setiap substruktur, substruktur tersebut disintesis menjadi struktur umum sesuai dengan kondisi koordinasi pada antarmuka, dan morfologi getaran dari struktur umum diperoleh dengan menggunakan morfologi getaran dari setiap substruktur.

Kedua metode tersebut berbeda namun saling terkait, dan dapat digunakan sebagai referensi. Metode sintesis modal juga dapat secara efektif dikombinasikan dengan pengukuran eksperimental untuk membentuk metode analisis teoretis dan eksperimental untuk getaran sistem besar.