Getaran linier: elastisitas komponen-komponen dalam sistem tunduk pada hukum Hooke, dan gaya redaman yang dihasilkan selama gerak sebanding dengan persamaan pertama kecepatan umum (turunan waktu dari koordinat umum).
konsep
Sistem linier biasanya merupakan model abstrak dari getaran sistem nyata. Sistem getaran linier menerapkan prinsip superposisi, yaitu jika respon sistem adalah y1 pada aksi masukan x1, dan y2 pada aksi masukan x2, maka respon sistem di bawah aksi input x1 dan x2 adalah y1+y2.
Berdasarkan prinsip superposisi, masukan sembarang dapat diuraikan menjadi jumlah rangkaian impuls yang sangat kecil, dan kemudian respons total sistem dapat diperoleh. Jumlah komponen harmonik dari eksitasi periodik dapat diperluas menjadi a rangkaian komponen harmonik dengan transformasi Fourier, dan pengaruh masing-masing komponen harmonik pada sistem dapat diselidiki secara terpisah. Oleh karena itu, karakteristik respon sistem linier dengan parameter konstan dapat digambarkan dengan respon impuls atau respon frekuensi.
Respon impuls mengacu pada respons sistem terhadap impuls satuan, yang mencirikan karakteristik respons sistem dalam domain waktu. Respon frekuensi mengacu pada karakteristik respons sistem terhadap masukan harmonik satuan. Korespondensi antara keduanya ditentukan dengan transformasi Fourier.
klasifikasi
Getaran linier dapat dibedakan menjadi getaran linier sistem derajat kebebasan tunggal dan getaran linier sistem derajat kebebasan banyak.
(1) getaran linier sistem derajat kebebasan tunggal adalah getaran linier yang posisinya dapat ditentukan oleh koordinat umum. Ini adalah getaran paling sederhana yang darinya banyak konsep dasar dan karakteristik getaran dapat diturunkan. Ini mencakup yang sederhana getaran harmonis, getaran bebas, getaran redaman, dan getaran paksa.
Getaran harmonik sederhana: gerak bolak-balik suatu benda di sekitar posisi setimbangnya menurut hukum sinusoidal di bawah aksi gaya pemulih yang sebanding dengan perpindahannya.
Getaran teredam: getaran yang amplitudonya terus-menerus dilemahkan oleh adanya gesekan dan hambatan dielektrik atau konsumsi energi lainnya.
Getaran paksa: getaran suatu sistem di bawah eksitasi konstan.
(2) getaran linier sistem multi derajat kebebasan adalah getaran sistem linier dengan n≥2 derajat kebebasan. Sistem dengan n derajat kebebasan mempunyai n frekuensi natural dan n mode utama. Konfigurasi getaran apa pun sistem dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari mode utama. Oleh karena itu, metode superposisi mode utama banyak digunakan dalam analisis respons dinamis sistem multi-dof. Dengan cara ini, pengukuran dan analisis karakteristik getaran alami sistem sistem menjadi langkah rutin dalam desain dinamis sistem. Karakteristik dinamis sistem multi-dof juga dapat digambarkan dengan karakteristik frekuensi. Karena terdapat fungsi karakteristik frekuensi antara setiap input dan output, maka dibuatlah matriks karakteristik frekuensi. adalah hubungan pasti antara karakteristik frekuensi dan mode utama. Kurva karakteristik amplitudo-frekuensi sistem multi-kebebasan berbeda dengan sistem kebebasan tunggal.
Getaran linier dari sistem derajat kebebasan tunggal
Getaran linier yang posisi suatu sistem dapat ditentukan dengan koordinat umum. Ini adalah getaran paling sederhana dan paling mendasar yang dapat menurunkan banyak konsep dasar dan karakteristik getaran. Ini mencakup getaran harmonik sederhana, getaran teredam, dan getaran paksa. .
Getaran harmonik
Di bawah aksi gaya pemulih yang sebanding dengan perpindahan, benda melakukan gerakan bolak-balik secara sinusoidal di dekat posisi setimbangnya (Gbr. 1). X melambangkan perpindahan dan t melambangkan waktu.Ekspresi matematis dari getaran ini adalah:
(1)Dimana A adalah nilai maksimum perpindahan x, yang disebut amplitudo, dan menyatakan intensitas getaran; Omega n adalah pertambahan sudut amplitudo getaran per detik, yang disebut frekuensi sudut, atau frekuensi melingkar; Ini disebut fase awal. Dalam persamaan f= n/2, jumlah osilasi per detik disebut frekuensi; Kebalikan dari ini, T=1/f, adalah waktu yang diperlukan untuk berosilasi dalam satu siklus, dan itu disebut periode.Amplitudo A, frekuensi f (atau frekuensi sudut n), fase awal, yang dikenal sebagai getaran harmonik sederhana tiga elemen.
ARA.1 kurva getaran harmonik sederhana
Seperti yang ditunjukkan pada Gambar.2, osilator harmonik sederhana dibentuk oleh massa terkonsentrasi m yang dihubungkan oleh pegas linier. Jika perpindahan getaran dihitung dari posisi setimbang, persamaan getarannya adalah:
Dimana adalah kekakuan pegas. Solusi umum persamaan di atas adalah (1).A dan dapat ditentukan oleh posisi awal x0 dan kecepatan awal pada t=0:
Namun omega n hanya ditentukan oleh karakteristik sistem m dan k itu sendiri, tidak bergantung pada kondisi awal tambahan, sehingga omega n disebut juga frekuensi natural.
ARA.2 sistem derajat kebebasan tunggal
Untuk osilator harmonik sederhana, jumlah energi kinetik dan energi potensialnya adalah konstan, yaitu energi mekanik total sistem adalah kekal. Dalam proses getaran, energi kinetik dan energi potensial terus-menerus diubah satu sama lain.
Getaran redaman
Getaran yang amplitudonya terus-menerus dilemahkan oleh gesekan dan hambatan dielektrik atau konsumsi energi lainnya. Untuk getaran mikro, kecepatan umumnya tidak terlalu besar, dan hambatan medium sebanding dengan kecepatan pangkat pertama, yang dapat ditulis sebagai c adalah koefisien redaman. Oleh karena itu, persamaan getaran satu derajat kebebasan dengan redaman linier dapat ditulis sebagai:
(2)Dimana, m =c/2m disebut parameter redaman, dan. Solusi umum rumus (2) dapat ditulis:
(3)Hubungan numerik antara omega n dan PI dapat dibagi menjadi tiga kasus berikut:
N > (dalam kasus redaman kecil) partikel menghasilkan redaman getaran, persamaan getarannya adalah:
Amplitudonya berkurang terhadap waktu sesuai dengan hukum eksponensial yang ditunjukkan dalam persamaan, seperti yang ditunjukkan pada garis putus-putus pada Gambar.3. Sebenarnya getaran ini bersifat aperiodik, tetapi frekuensi puncaknya dapat didefinisikan sebagai:
Disebut laju reduksi amplitudo, dimana adalah periode getaran. Logaritma natural laju reduksi amplitudo disebut logaritma dikurangi laju (amplitudo). Jelasnya, = dalam hal ini sama dengan 2/1. Langsung melalui uji eksperimental delta dan, dengan menggunakan rumus di atas dapat dihitung c.
Saat ini, solusi persamaan (2) dapat ditulis:
Seiring dengan arah kecepatan awal, dapat dibagi menjadi tiga kasus non-getaran seperti ditunjukkan pada Gambar.4.
N < (dalam kasus redaman besar), penyelesaian persamaan (2) ditunjukkan pada persamaan (3). Pada titik ini, sistem tidak lagi bergetar.
Getaran paksa
Getaran suatu sistem dalam eksitasi konstan. Analisis getaran terutama menyelidiki respons sistem terhadap eksitasi. Eksitasi periodik adalah eksitasi reguler yang khas. Karena eksitasi periodik selalu dapat diuraikan menjadi jumlah dari beberapa eksitasi harmonik, menurut prinsip superposisi, hanya respon sistem terhadap setiap eksitasi harmonik diperlukan. Di bawah aksi eksitasi harmonik, persamaan diferensial gerak sistem teredam derajat kebebasan tunggal dapat ditulis:
Jawabannya adalah jumlah dari dua bagian.Salah satu bagiannya adalah respons getaran teredam, yang cepat memudar seiring berjalannya waktu. Respon bagian lain dari getaran paksa dapat dituliskan:
ARA.3 kurva getaran teredam
ARA.4 kurva dari tiga kondisi awal dengan redaman kritis
Ketik
H /F0= h(), adalah rasio amplitudo respons tunak terhadap amplitudo eksitasi, yang mencirikan karakteristik frekuensi amplitudo, atau fungsi penguatan;Bit untuk respons keadaan tunak dan insentif fase, karakterisasi karakteristik frekuensi fase.Hubungan antara mereka dan frekuensi eksitasi ditunjukkan pada Gambar.5 dan Gambar.6.
Seperti dapat dilihat dari kurva frekuensi amplitudo (Gbr. 5), dalam kasus redaman kecil, kurva frekuensi amplitudo memiliki satu puncak. Semakin kecil redaman, semakin curam puncaknya;Frekuensi yang sesuai dengan puncaknya adalah disebut frekuensi resonansi sistem. Dalam kasus redaman kecil, frekuensi resonansi tidak jauh berbeda dengan frekuensi alami. Ketika frekuensi eksitasi mendekati frekuensi alami, amplitudo meningkat tajam.Fenomena ini disebut resonansi. Pada resonansi, penguatan sistem dimaksimalkan, yaitu getaran paksa paling kuat. Oleh karena itu, secara umum, selalu berusaha menghindari resonansi, kecuali beberapa instrumen dan peralatan menggunakan resonansi untuk mencapai resonansi yang besar. getaran.
ARA.5 kurva frekuensi amplitudo
Dapat dilihat dari kurva frekuensi fasa (gambar 6), berapapun ukuran redamannya, pada bit perbedaan fasa omega nol = PI / 2, karakteristik ini dapat digunakan secara efektif dalam mengukur resonansi.
Selain eksitasi yang stabil, sistem terkadang menghadapi eksitasi yang tidak stabil. Secara kasar dapat dibagi menjadi dua jenis: satu adalah dampak tiba-tiba. Yang kedua adalah efek kesewenang-wenangan yang bertahan lama. Dalam eksitasi yang tidak stabil, respons sistem juga tidak stabil.
Alat yang ampuh untuk menganalisis getaran tak tunak adalah metode respons impuls. Metode ini menggambarkan karakteristik dinamis sistem dengan respons transien dari masukan impuls satuan sistem. Impuls satuan dapat dinyatakan sebagai fungsi delta. Dalam bidang teknik, delta fungsi sering didefinisikan sebagai:
Dimana 0- melambangkan titik pada sumbu t yang mendekati nol dari kiri; 0 plus adalah titik yang menuju 0 dari kanan.
ARA.Kurva frekuensi 6 fasa
ARA.7 masukan apa pun dapat dianggap sebagai jumlah dari serangkaian elemen impuls
Sistem berhubungan dengan respons h(t) yang dihasilkan oleh impuls satuan pada t=0, yang disebut fungsi respons impuls. Dengan asumsi bahwa sistem diam sebelum pulsa, h(t)=0 untuk t<0.Mengetahui Dari fungsi respons impuls sistem, kita dapat mencari respons sistem terhadap masukan apa pun x(t). Pada titik ini, Anda dapat menganggap x(t) sebagai jumlah dari serangkaian elemen impuls (Gbr. 7) .Respon sistem adalah:
Berdasarkan prinsip superposisi, respon total sistem terhadap x(t) adalah:
Integral ini disebut integral konvolusi atau integral superposisi.
Getaran linier dari sistem multi derajat kebebasan
Getaran sistem linier dengan n≥2 derajat kebebasan.
Gambar 8 menunjukkan dua subsistem resonansi sederhana yang dihubungkan oleh pegas kopling. Karena merupakan sistem dua derajat kebebasan, diperlukan dua koordinat independen untuk menentukan posisinya. Ada dua frekuensi alami dalam sistem ini:
Setiap frekuensi berhubungan dengan mode getaran. Osilator harmonik melakukan osilasi harmonik dengan frekuensi yang sama, secara serempak melewati posisi kesetimbangan dan secara serempak mencapai posisi ekstrem. Dalam getaran utama yang sesuai dengan omega satu, x1 sama dengan x2;Dalam getaran utama yang sesuai dengan omega omega dua, omega omega satu. Pada getaran utama, rasio perpindahan setiap massa menjaga hubungan tertentu dan membentuk mode tertentu, yang disebut mode utama atau mode alami. Ortogonalitas massa dan kekakuan ada di antara mode utama, yang mencerminkan independensi setiap getaran. Frekuensi alami dan mode utama mewakili karakteristik getaran yang melekat pada sistem kebebasan multi-derajat.
ARA.8 sistem dengan derajat kebebasan berganda
Suatu sistem dengan n derajat kebebasan memiliki n frekuensi alami dan n mode utama. Setiap konfigurasi getaran sistem dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari mode utama. Oleh karena itu, metode superposisi mode utama banyak digunakan dalam analisis respon dinamis multi -dof sistem. Dengan cara ini, pengukuran dan analisis karakteristik getaran alami sistem menjadi langkah rutin dalam desain dinamis sistem.
Karakteristik dinamis sistem multi-dof juga dapat digambarkan dengan karakteristik frekuensi. Karena terdapat fungsi karakteristik frekuensi antara setiap input dan output, maka dibangun matriks karakteristik frekuensi. Kurva karakteristik amplitudo-frekuensi sistem multi-kebebasan berbeda dari sistem kebebasan tunggal.
Elastomer bergetar
Sistem multi derajat kebebasan di atas merupakan perkiraan model mekanis elastomer. Sebuah elastomer mempunyai jumlah derajat kebebasan yang tak terhingga. Terdapat perbedaan kuantitatif namun tidak ada perbedaan mendasar di antara keduanya. Setiap elastomer mempunyai jumlah frekuensi alami dan frekuensi alami yang tak terbatas. mode bersesuaian dalam jumlah tak terbatas, dan terdapat ortogonalitas antara mode massa dan kekakuan. Setiap konfigurasi getaran elastomer juga dapat direpresentasikan sebagai superposisi linier dari mode utama. Oleh karena itu, untuk analisis respons dinamis elastomer, metode superposisi mode utama masih berlaku (lihat getaran linier elastomer).
Ambil contoh getaran sebuah tali. Katakanlah sebuah tali tipis bermassa m per satuan panjang, panjang l, ditarik pada kedua ujungnya, dan tegangannya adalah T. Pada saat ini, frekuensi alami tali ditentukan oleh persamaan berikut persamaan:
F =na/2l (n= 1,2,3…).
Dimana, adalah kecepatan rambat gelombang transversal sepanjang arah dawai. Frekuensi alami dawai merupakan kelipatan frekuensi dasar pada 2l. Multiplisitas bilangan bulat ini menghasilkan struktur harmonik yang menyenangkan. Secara umum, tidak ada hubungan berganda bilangan bulat antara frekuensi alami elastomer.
Tiga mode pertama dari tali yang dikencangkan ditunjukkan pada Gambar.9. Ada beberapa node pada kurva mode utama. Pada getaran utama, node tidak bergetar.Gbr.Gambar 10 menunjukkan beberapa mode khas pelat melingkar yang ditopang secara melingkar dengan beberapa garis simpul yang terdiri dari lingkaran dan diameter.
Rumusan yang tepat dari masalah getaran elastomer dapat disimpulkan sebagai masalah nilai batas persamaan diferensial parsial. Namun, solusi yang tepat hanya dapat ditemukan dalam beberapa kasus yang paling sederhana, jadi kita harus menggunakan solusi perkiraan untuk elastomer kompleks. masalah getaran. Inti dari berbagai solusi perkiraan adalah mengubah yang tak terhingga menjadi yang terbatas, yaitu mendiskritisasi sistem multiderajat kebebasan tak terbatas (sistem kontinyu) menjadi sistem multiderajat kebebasan berhingga (sistem diskrit) .Ada dua jenis metode diskritisasi yang banyak digunakan dalam analisis teknik: metode elemen hingga dan metode sintesis modal.
ARA.9 mode senar
ARA.10 mode pelat melingkar
Metode elemen hingga adalah struktur komposit yang mengabstraksi struktur kompleks menjadi sejumlah elemen yang terbatas dan menghubungkannya pada sejumlah titik yang terbatas. Setiap unit adalah elastomer; Perpindahan distribusi elemen dinyatakan dengan fungsi interpolasi perpindahan titik. Kemudian parameter distribusi setiap elemen dikonsentrasikan ke setiap node dalam format tertentu, dan diperoleh model mekanis dari sistem diskrit.
Sintesis modal adalah penguraian suatu struktur kompleks menjadi beberapa substruktur yang lebih sederhana. Atas dasar pemahaman karakteristik getaran masing-masing substruktur, maka substruktur tersebut disintesis menjadi struktur umum sesuai dengan kondisi koordinasi pada antarmuka, dan morfologi getaran umum. struktur diperoleh dengan menggunakan morfologi getaran masing-masing substruktur.
Kedua metode tersebut berbeda dan berkaitan, serta dapat dijadikan acuan. Metode sintesis modal juga dapat dikombinasikan secara efektif dengan pengukuran eksperimental untuk membentuk metode analisis teoretis dan eksperimental untuk getaran sistem besar.
Waktu posting: 03 April 2020
