Linearne vibracijeElastičnost komponenti u sustavu podliježe Hookeovom zakonu, a sila prigušenja koja nastaje tijekom gibanja proporcionalna je prvoj jednadžbi generalizirane brzine (vremenskoj derivaciji generaliziranih koordinata).
koncept
Linearni sustav je obično apstraktni model vibracije stvarnog sustava. Linearni vibracijski sustav primjenjuje princip superpozicije, tj. ako je odziv sustava y1 pod djelovanjem ulaza x1 i y2 pod djelovanjem ulaza x2, tada je odziv sustava pod djelovanjem ulaza x1 i x2 y1+y2.
Na temelju principa superpozicije, proizvoljni ulaz može se rastaviti na zbroj niza infinitezimalnih impulsa, a zatim se može dobiti ukupni odziv sustava. Zbroj harmonijskih komponenti periodičnog pobuđivanja može se proširiti na niz harmonijskih komponenti Fourierovom transformacijom, a učinak svake harmoničke komponente na sustav može se istražiti zasebno. Stoga se karakteristike odziva linearnih sustava s konstantnim parametrima mogu opisati impulsnim odzivom ili frekvencijskim odzivom.
Impulsni odziv odnosi se na odziv sustava na jedinični impuls, koji karakterizira karakteristike odziva sustava u vremenskoj domeni. Frekvencijski odziv odnosi se na karakteristiku odziva sustava na ulazni harmonijski signal jedinice. Korespondencija između ta dva faktora određena je Fourierovom transformacijom.
klasifikacija
Linearne vibracije mogu se podijeliti na linearne vibracije sustava s jednim stupnjem slobode i linearne vibracije sustava s više stupnjeva slobode.
(1) Linearna vibracija sustava s jednim stupnjem slobode je linearna vibracija čiji se položaj može odrediti generaliziranom koordinatom. To je najjednostavnija vibracija iz koje se mogu izvesti mnogi osnovni koncepti i karakteristike vibracije. Uključuje jednostavnu harmonijsku vibraciju, slobodnu vibraciju, vibraciju s prigušenjem i prisilnu vibraciju.
Jednostavna harmonijska vibracija: povratno gibanje objekta u blizini njegovog ravnotežnog položaja prema sinusoidnom zakonu pod djelovanjem povratne sile proporcionalne njegovom pomaku.
Prigušena vibracija: vibracija čija se amplituda kontinuirano smanjuje zbog trenja i dielektričnog otpora ili druge potrošnje energije.
Prisilna vibracija: vibracija sustava pod stalnim uzbuđenjem.
(2) linearna vibracija sustava s više stupnjeva slobode je vibracija linearnog sustava s n ≥ 2 stupnja slobode. Sustav od n stupnjeva slobode ima n prirodnih frekvencija i n glavnih modova. Bilo koja konfiguracija vibracija sustava može se predstaviti kao linearna kombinacija glavnih modova. Stoga se metoda superpozicije glavnih modova široko koristi u analizi dinamičkog odziva sustava s više stupnjeva slobode. Na taj način mjerenje i analiza prirodnih karakteristika vibracija sustava postaje rutinski korak u dinamičkom dizajnu sustava. Dinamičke karakteristike sustava s više stupnjeva slobode mogu se opisati i frekvencijskim karakteristikama. Budući da postoji frekvencijska karakteristična funkcija između svakog ulaza i izlaza, konstruira se matrica frekvencijskih karakteristika. Postoji određena veza između frekvencijske karakteristike i glavnog moda. Krivulja amplitudno-frekvencijske karakteristike sustava s više stupnjeva slobode razlikuje se od krivulje sustava s jednom slobodom.
Linearne vibracije sustava s jednim stupnjem slobode
Linearna vibracija u kojoj se položaj sustava može odrediti generaliziranom koordinatom. To je najjednostavnija i najosnovnija vibracija iz koje se mogu izvesti mnogi osnovni koncepti i karakteristike vibracije. Uključuje jednostavnu harmonijsku vibraciju, prigušenu vibraciju i prisilnu vibraciju.
Harmonijske vibracije
Pod djelovanjem povratne sile proporcionalne pomaku, objekt se sinusoidno giba blizu svog ravnotežnog položaja (SLIKA 1). X predstavlja pomak, a t vrijeme. Matematički izraz ove vibracije je:
(1)Gdje je A maksimalna vrijednost pomaka x, koja se naziva amplituda i predstavlja intenzitet vibracije; omega n je prirast kuta amplitude vibracije u sekundi, koji se naziva kutna frekvencija ili kružna frekvencija; to se naziva početna faza. U terminima f = n/2, broj oscilacija u sekundi naziva se frekvencija; inverz ovoga, T = 1/f, je vrijeme potrebno za oscilaciju jednog ciklusa, a to se naziva period. Amplituda A, frekvencija f (ili kutna frekvencija n), početna faza, poznata kao jednostavna harmonijska vibracija s tri elementa.
SL. 1 jednostavna harmonijska krivulja vibracija
Kao što je prikazano na SLICI 2, jednostavni harmonijski oscilator tvori koncentrirana masa m povezana linearnom oprugom. Kada se pomak vibracija izračuna iz ravnotežnog položaja, jednadžba vibracije je:
Gdje je krutost opruge. Opće rješenje gornje jednadžbe je (1). A i može se odrediti početnim položajem x0 i početnom brzinom pri t=0:
Ali omega n je određena samo karakteristikama samog sustava m i k, neovisno o dodatnim početnim uvjetima, pa je omega n poznata i kao prirodna frekvencija.
SL. 2 sustav s jednim stupnjem slobode
Za jednostavan harmonijski oscilator, zbroj njegove kinetičke i potencijalne energije je konstantan, odnosno ukupna mehanička energija sustava je očuvana. U procesu vibracije, kinetička i potencijalna energija se stalno transformiraju jedna u drugu.
Prigušivanje vibracija
Vibracija čija se amplituda kontinuirano smanjuje trenjem i dielektričnim otporom ili drugom potrošnjom energije. Za mikrovibracije brzina općenito nije jako velika, a otpor medija proporcionalan je brzini na prvu potenciju, što se može napisati kao c je koeficijent prigušenja. Stoga se jednadžba vibracije s jednim stupnjem slobode s linearnim prigušenjem može napisati kao:
(2)Gdje se m = c/2m naziva parametrom prigušenja, a opće rješenje formule (2) može se napisati:
(3)Numerički odnos između omega n i PI može se podijeliti na sljedeća tri slučaja:
N > (u slučaju malog prigušenja) vibracije uzrokovane slabljenjem uzrokovanim česticama, jednadžba vibracije je:
Njegova amplituda se smanjuje s vremenom prema eksponencijalnom zakonu prikazanom u jednadžbi, kao što je prikazano isprekidanom linijom na SLICI 3. Strogo govoreći, ova vibracija je aperiodična, ali frekvencija njenog vrha može se definirati kao:
Naziva se stopa smanjenja amplitude, gdje je period vibracije. Prirodni logaritam stope smanjenja amplitude naziva se logaritam minus stopa (amplituda). Očito je da je u ovom slučaju = jednako 2/1. Izravno kroz eksperimentalni test delte i, koristeći gornju formulu, može se izračunati c.
U ovom trenutku, rješenje jednadžbe (2) može se napisati:
Zajedno sa smjerom početne brzine, može se podijeliti na tri slučaja bez vibracija kao što je prikazano na slici 4.
N < (u slučaju velikog prigušenja), rješenje jednadžbe (2) prikazano je u jednadžbi (3). U ovom trenutku sustav više ne vibrira.
Prisilne vibracije
Vibracija sustava pod konstantnom pobudom. Analiza vibracija uglavnom istražuje odziv sustava na pobudu. Periodična pobuda je tipična regularna pobuda. Budući da se periodična pobuda uvijek može rastaviti na zbroj nekoliko harmonijskih pobuda, prema principu superpozicije, potreban je samo odziv sustava na svaku harmonijsku pobudu. Pod djelovanjem harmonijske pobude, diferencijalna jednadžba gibanja sustava s prigušenjem s jednim stupnjem slobode može se napisati:
Odziv je zbroj dvaju dijelova. Jedan dio je odziv prigušenih vibracija, koji se s vremenom brzo smanjuje. Odziv drugog dijela prisilnih vibracija može se napisati:
SL. 3 krivulja prigušenih vibracija
SL. 4 krivulje triju početnih uvjeta s kritičnim prigušenjem
Upišite
H /F0= h (), je omjer amplitude ustaljenog odziva i amplitude pobude, karakterizira amplitudno-frekvencijske karakteristike ili funkciju pojačanja; Bitovi za ustaljeni odziv i poticaj faze, karakterizacija frekvencijskih karakteristika faze. Odnos između njih i frekvencije pobude prikazan je na SL. 5 i SL. 6.
Kao što se može vidjeti iz krivulje amplitudno-frekvencijske povezanosti (SL. 5), u slučaju malog prigušenja, krivulja amplitudno-frekvencijske povezanosti ima jedan vrh. Što je prigušenje manje, to je vrh strmiji; frekvencija koja odgovara vrhu naziva se rezonantna frekvencija sustava. U slučaju malog prigušenja, rezonantna frekvencija se ne razlikuje puno od prirodne frekvencije. Kada je frekvencija pobude blizu prirodne frekvencije, amplituda se naglo povećava. Taj se fenomen naziva rezonancija. Pri rezonanciji je pojačanje sustava maksimalno, odnosno prisilne vibracije su najintenzivnije. Stoga se općenito uvijek nastoji izbjeći rezonanciju, osim ako neki instrumenti i oprema ne koriste rezonanciju za postizanje velikih vibracija.
SL. 5 krivulja amplitudno-frekvencijske frekvencije
Iz krivulje fazne frekvencije (slika 6) može se vidjeti, bez obzira na veličinu prigušenja, u omega nula bitova fazne razlike = PI / 2, ova karakteristika se može učinkovito koristiti u mjerenju rezonancije.
Osim stacionarne pobude, sustavi se ponekad susreću i s nestacionarnom pobudom. Može se grubo podijeliti na dvije vrste: jedna je iznenadni udar. Druga je trajni učinak proizvoljnosti. Pri nestacionarnoj pobudi, odziv sustava je također nestacionaran.
Moćan alat za analizu nestacionarnih vibracija je metoda impulsnog odziva. Ona opisuje dinamičke karakteristike sustava s prijelaznim odzivom jediničnog impulsnog ulaza sustava. Jedinični impuls može se izraziti kao delta funkcija. U inženjerstvu se delta funkcija često definira kao:
Gdje 0- predstavlja točku na t-osi koja se približava nuli s lijeva; 0 plus je točka koja se približava nuli s desna.
SL. 6 Krivulja fazne frekvencije
SL. 7 bilo koji ulaz može se smatrati zbrojem niza impulsnih elemenata
Sustav odgovara odzivu h(t) generiranom jediničnim impulsom u t=0, koji se naziva funkcijom odziva na impuls. Pod pretpostavkom da je sustav stacionaran prije impulsa, h(t)=0 za t<0. Poznavajući funkciju odziva na impuls sustava, možemo pronaći odziv sustava na bilo koji ulaz x(t). U ovom trenutku, x(t) možete zamisliti kao zbroj niza elemenata impulsa (SLIKA 7). Odziv sustava je:
Na temelju principa superpozicije, ukupni odziv sustava koji odgovara x(t) je:
Ovaj integral se naziva konvolucijski integral ili superpozicijski integral.
Linearne vibracije sustava s više stupnjeva slobode
Vibracija linearnog sustava s n≥2 stupnja slobode.
Slika 8 prikazuje dva jednostavna rezonantna podsustava povezana spojnom oprugom. Budući da se radi o sustavu s dva stupnja slobode, potrebne su dvije neovisne koordinate za određivanje njegovog položaja. U ovom sustavu postoje dvije prirodne frekvencije:
Svaka frekvencija odgovara jednom modu vibracije. Harmonijski oscilatori provode harmonijske oscilacije iste frekvencije, sinkrono prolazeći kroz ravnotežni položaj i sinkrono dosežući ekstremni položaj. U glavnoj vibraciji koja odgovara omega jedan, x1 je jednak x2; u glavnoj vibraciji koja odgovara omega omega dva, omega omega jedan. U glavnoj vibraciji, omjer pomaka svake mase održava određeni odnos i tvori određeni mod, koji se naziva glavni mod ili prirodni mod. Ortogonalnost mase i krutosti postoji među glavnim modovima, što odražava neovisnost svake vibracije. Prirodna frekvencija i glavni mod predstavljaju inherentne karakteristike vibracija sustava s više stupnjeva slobode.
SL. 8 sustav s više stupnjeva slobode
Sustav od n stupnjeva slobode ima n prirodnih frekvencija i n glavnih modova. Bilo koja konfiguracija vibracija sustava može se predstaviti kao linearna kombinacija glavnih modova. Stoga se metoda superpozicije glavnih modova široko koristi u analizi dinamičkog odziva sustava s više stupnjeva slobode. Na taj način mjerenje i analiza prirodnih karakteristika vibracija sustava postaje rutinski korak u dinamičkom dizajnu sustava.
Dinamičke karakteristike sustava s više stupnjeva slobode mogu se opisati i frekvencijskim karakteristikama. Budući da postoji frekvencijska karakteristična funkcija između svakog ulaza i izlaza, konstruira se matrica frekvencijskih karakteristika. Karakteristična krivulja amplitudno-frekvencijske karakteristike sustava s više sloboda razlikuje se od krivulje sustava s jednom slobodom.
Elastomer vibrira
Gore navedeni sustav s više stupnjeva slobode približan je mehanički model elastomera. Elastomer ima beskonačan broj stupnjeva slobode. Postoji kvantitativna razlika, ali ne i bitna razlika između njih dva. Bilo koji elastomer ima beskonačan broj vlastitih frekvencija i beskonačan broj odgovarajućih modova, a postoji i ortogonalnost između modova mase i krutosti. Bilo koja vibracijska konfiguracija elastomera može se predstaviti i kao linearna superpozicija glavnih modova. Stoga je za analizu dinamičkog odziva elastomera i dalje primjenjiva metoda superpozicije glavnog moda (vidi linearne vibracije elastomera).
Uzmimo vibraciju žice. Recimo da je tanka žica mase m po jedinici duljine, duga l, napeta na oba kraja, a napetost je T. U ovom trenutku, prirodna frekvencija žice određena je sljedećom jednadžbom:
F = na/2 l (n = 1, 2, 3…).
Gdje je brzina širenja transverzalnog vala duž smjera žice. Prirodne frekvencije žica su višekratnici osnovne frekvencije preko 2l. Ovaj cjelobrojni višekratnik dovodi do ugodne harmonijske strukture. Općenito, ne postoji takav cjelobrojni višekratnik među prirodnim frekvencijama elastomera.
Prva tri moda zategnute žice prikazana su na SLICI 9. Na krivulji glavnog moda nalaze se neki čvorovi. U glavnoj vibraciji čvorovi ne vibriraju. SLIKA 10 prikazuje nekoliko tipičnih modova kružno poduprte ploče s nekim čvornim linijama sastavljenim od krugova i promjera.
Točna formulacija problema vibracija elastomera može se zaključiti kao problem rubnih vrijednosti parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Međutim, točno rješenje može se pronaći samo u nekim od najjednostavnijih slučajeva, pa se moramo poslužiti približnim rješenjem za složeni problem vibracija elastomera. Bit različitih približnih rješenja je promijeniti beskonačno u konačno, odnosno diskretizirati sustav s više stupnjeva slobode bez udova (kontinuirani sustav) u konačni sustav s više stupnjeva slobode (diskretni sustav). Postoje dvije vrste metoda diskretizacije koje se široko koriste u inženjerskoj analizi: metoda konačnih elemenata i metoda modalne sinteze.
SL. 9 način rada niza
SL. 10 način rada kružne ploče
Metoda konačnih elemenata je kompozitna struktura koja apstrahira složenu strukturu na konačan broj elemenata i povezuje ih u konačnom broju čvorova. Svaka jedinica je elastomer; Distribucijski pomak elementa izražava se interpolacijskom funkcijom pomaka čvora. Zatim se parametri distribucije svakog elementa koncentriraju na svaki čvor u određenom formatu i dobiva se mehanički model diskretnog sustava.
Modalna sinteza je dekompozicija složene strukture na nekoliko jednostavnijih podstruktura. Na temelju razumijevanja vibracijskih karakteristika svake podstrukture, podstruktura se sintetizira u opću strukturu prema koordinacijskim uvjetima na sučelju, a vibracijska morfologija opće strukture dobiva se korištenjem vibracijske morfologije svake podstrukture.
Dvije metode su različite i povezane te se mogu koristiti kao referenca. Metoda modalne sinteze također se može učinkovito kombinirati s eksperimentalnim mjerenjem kako bi se formirala teorijska i eksperimentalna metoda analize vibracija velikih sustava.
Vrijeme objave: 03.04.2020.
