Što je linearna vibracija?

Linearna vibracija: elastičnost komponenti u sustavu podliježe Hookeovom zakonu, a sila prigušenja koja nastaje tijekom gibanja proporcionalna je prvoj jednadžbi generalizirane brzine (vremenska derivacija generaliziranih koordinata).

koncept

Linearni sustav je obično apstraktni model vibracije stvarnog sustava. Linearni vibracijski sustav primjenjuje princip superpozicije, to jest, ako je odziv sustava y1 pod djelovanjem ulaza x1, i y2 pod djelovanjem ulaza x2, tada je odziv sustava pod djelovanjem ulaza x1 i x2 y1+y2.

Na temelju principa superpozicije, proizvoljni ulaz može se rastaviti na zbroj niza infinitezimalnih impulsa, a zatim se može dobiti ukupni odziv sustava. Zbroj harmonijskih komponenti periodične pobude može se proširiti na serije harmonijskih komponenti Fourierovom transformacijom, a učinak svake harmonijske komponente na sustav može se zasebno istraživati. Stoga se karakteristike odziva linearnih sustava s konstantnim parametrima mogu opisati impulsnim odzivom ili frekvencijskim odzivom.

Impulsni odziv odnosi se na odgovor sustava na jedinični impuls, koji karakterizira karakteristike odziva sustava u vremenskoj domeni. Frekvencijski odziv odnosi se na karakteristiku odziva sustava na jedinični harmonijski ulaz. Određuje se podudarnost između ta dva pomoću Fourierove transformacije.

klasifikacija

Linearne vibracije mogu se podijeliti na linearne vibracije sustava s jednim stupnjem slobode i linearne vibracije sustava s više stupnjeva slobode.

(1) linearna vibracija sustava s jednim stupnjem slobode je linearna vibracija čiji se položaj može odrediti generaliziranom koordinatom. To je najjednostavnija vibracija iz koje se mogu izvesti mnogi osnovni koncepti i karakteristike vibracija. Uključuje jednostavne harmonijske vibracije, slobodne vibracije, vibracije prigušenja i prisilne vibracije.

Jednostavna harmonijska vibracija: recipročno gibanje tijela u blizini njegova ravnotežnog položaja prema sinusoidnom zakonu pod djelovanjem povratne sile proporcionalne njegovom pomaku.

Prigušene vibracije: vibracije čija se amplituda kontinuirano smanjuje zbog prisutnosti trenja i dielektričnog otpora ili druge potrošnje energije.

Prisilna vibracija: vibracija sustava pod stalnom pobudom.

(2) linearna vibracija sustava s više stupnjeva slobode je vibracija linearnog sustava s n≥2 stupnjeva slobode. Sustav s n stupnjeva slobode ima n prirodnih frekvencija i n glavnih modova. Bilo koja konfiguracija vibracije sustava može se predstaviti kao linearna kombinacija glavnih modova. Stoga se metoda superpozicije glavnog moda naširoko koristi u analizi dinamičkog odziva sustava s više stupnjeva. Na taj način mjerenje i analiza karakteristika prirodnih vibracija sustav postaje rutinski korak u dinamičkom dizajnu sustava. Dinamičke karakteristike sustava s višestrukim DOF-om također se mogu opisati frekvencijskim karakteristikama. Budući da između svakog ulaza i izlaza postoji funkcija frekvencijske karakteristike, konstruira se matrica frekvencijske karakteristike. je određeni odnos između karakteristike frekvencije i glavnog moda. Krivulja amplitudno-frekvencijske karakteristike sustava s više sloboda razlikuje se od krivulje sustava s jednom slobodom.

Linearna vibracija sustava s jednim stupnjem slobode

Linearna vibracija u kojoj se položaj sustava može odrediti generaliziranom koordinatom. To je najjednostavnija i najtemeljnija vibracija iz koje se mogu izvesti mnogi osnovni koncepti i karakteristike vibracija. Uključuje jednostavne harmonijske vibracije, prigušene vibracije i prisilne vibracije .

Harmonična vibracija

Pod djelovanjem povratne sile proporcionalne pomaku, objekt se kreće unazad na sinusoidalni način blizu svog ravnotežnog položaja (SLIKA 1). X predstavlja pomak, a t predstavlja vrijeme.Matematički izraz ove vibracije je:

(1)Gdje je A maksimalna vrijednost pomaka x, koja se naziva amplituda, i predstavlja intenzitet vibracije; Omega n je amplituda Kutni prirast vibracije po sekundi, koja se naziva kutna frekvencija, ili kružna frekvencija; Ovo naziva se početnom fazom. U terminima f= n/2, broj oscilacija u sekundi naziva se frekvencija; Inverzno od toga, T=1/f, vrijeme je potrebno za osciliranje jednog ciklusa, a to se naziva period.Amplituda A, frekvencija f (ili kutna frekvencija n), početna faza, poznata kao jednostavna harmonijska vibracija tri elementa.

SLIKA1 jednostavna harmonijska krivulja vibracija

Kao što je prikazano na Sl.2, jednostavni harmonijski oscilator formira koncentrirana masa m povezana linearnom oprugom. Kada se pomak vibracije izračuna iz ravnotežnog položaja, jednadžba vibracije je:

Gdje je krutost opruge. Opće rješenje gornje jednadžbe je (1).A i može se odrediti početnim položajem x0 i početnom brzinom pri t=0:

Ali omega n određena je samo karakteristikama samog sustava m i k, neovisno o dodatnim početnim uvjetima, pa je omega n također poznata kao prirodna frekvencija.

SLIKA2 sustav s jednim stupnjem slobode

Za jednostavni harmonijski oscilator zbroj njegove kinetičke energije i potencijalne energije je konstantan, odnosno ukupna mehanička energija sustava je očuvana. U procesu titranja kinetička energija i potencijalna energija neprestano se pretvaraju jedna u drugu.

Prigušenje vibracija

Vibracija čija se amplituda kontinuirano smanjuje trenjem i dielektričnim otporom ili drugom potrošnjom energije. Za mikro vibracije, brzina općenito nije jako velika, a srednji otpor proporcionalan je brzini na prvu potenciju, što se može napisati kao c je koeficijent prigušenja. Stoga se jednadžba vibracija jednog stupnja slobode s linearnim prigušenjem može napisati kao:

(2)Gdje se m =c/2m naziva parametrom prigušenja, a. Opće rješenje formule (2) može se napisati:

(3)Brojčani odnos između omega n i PI može se podijeliti u sljedeća tri slučaja:

N > (u slučaju malog prigušenja) vibracija prigušenja koju proizvodi čestica, jednadžba vibracije je:

Njegova amplituda opada s vremenom u skladu s eksponencijalnim zakonom prikazanim u jednadžbi, kao što je prikazano točkastom linijom na Sl.3. Strogo govoreći, ova vibracija je aperiodična, ali se frekvencija njenog vrhunca može definirati kao:

Zove se brzina smanjenja amplitude, gdje je period vibracije. Prirodni logaritam stope smanjenja amplitude naziva se logaritam minus (amplituda) stope. Očito, = je u ovom slučaju jednako 2/1. Izravno kroz eksperimentalni test delta i, pomoću gornje formule može se izračunati c.

U ovom trenutku, rješenje jednadžbe (2) može se napisati:

Zajedno sa smjerom početne brzine, može se podijeliti u tri slučaja bez vibracija kao što je prikazano na Sl.4.

N < (u slučaju velikog prigušenja), rješenje jednadžbe (2) prikazano je u jednadžbi (3). U ovoj točki sustav više ne vibrira.

Prisilna vibracija

Vibracija sustava pod stalnom pobudom. Analiza vibracija uglavnom istražuje odgovor sustava na pobudu. Periodična pobuda je tipična regularna pobuda. Budući da se periodična pobuda uvijek može rastaviti na zbroj nekoliko harmonijskih pobuda, prema principu superpozicije, samo potreban je odgovor sustava na svaku harmonijsku pobudu. Pod djelovanjem harmonijske pobude, diferencijalna jednadžba gibanja prigušenog sustava s jednim stupnjem slobode može se napisati:

Odgovor je zbroj dva dijela.Jedan dio je odziv prigušene vibracije, koja brzo opada s vremenom. Odziv drugog dijela prisilne vibracije može se napisati:

SLIKA3 prigušena krivulja vibracija

SLIKA4 krivulje tri početna stanja s kritičnim prigušenjem

Upišite

H /F0= h (), je omjer stalne amplitude odziva i amplitude pobude, karakterizira amplitudno-frekvencijske karakteristike ili funkciju pojačanja; Bitovi za stacionarni odziv i poticaj faze, karakteriziraju karakteristike fazne frekvencije. Odnos između njih i frekvencija pobude prikazana je na Sl.5 i SL.6.

Kao što se može vidjeti iz krivulje amplituda-frekvencija (SLIKA 5), u slučaju malog prigušenja, krivulja amplituda-frekvencija ima jedan vrh. Što je manje prigušenje, to je vrh strmiji; Frekvencija koja odgovara vrhu je naziva se rezonantna frekvencija sustava. U slučaju malog prigušenja, rezonantna frekvencija se ne razlikuje puno od vlastite frekvencije. Kada je frekvencija pobude blizu vlastite frekvencije, amplituda se naglo povećava.Taj se fenomen naziva rezonancijom. Kod rezonancije je pojačanje sustava maksimizirano, to jest, prisilna vibracija je najintenzivnija. Stoga, općenito, uvijek nastojte izbjeći rezonanciju, osim ako neki instrumenti i oprema koriste rezonanciju za postizanje velikih vibracija.

SLIKA5 krivulja frekvencije amplitude

Može se vidjeti iz krivulje fazne frekvencije (slika 6), bez obzira na veličinu prigušenja, u omega nula bitovima fazne razlike = PI / 2, ova se karakteristika može učinkovito koristiti u mjerenju rezonancije.

Osim stalne pobude, sustavi se ponekad susreću i s nestacionarnom pobudom. Može se grubo podijeliti u dvije vrste: jedna je iznenadni udar. Druga je trajni učinak proizvoljnosti. Pod nestacionarnom pobudom, odgovor sustava je također nestacionaran.

Snažan alat za analizu nestabilnih vibracija je metoda impulsnog odziva. Ona opisuje dinamičke karakteristike sustava s prijelaznim odzivom jediničnog ulaznog impulsa sustava. Jedinični impuls može se izraziti kao delta funkcija. U inženjerstvu, delta funkcija se često definira kao:

Gdje 0- predstavlja točku na t-osi koja se približava nuli s lijeve strane; 0 plus je točka koja ide na 0 s desne strane.

SLIKA6 fazna krivulja frekvencije

SLIKA7 bilo koji ulaz može se smatrati zbrojem niza impulsnih elemenata

Sustav odgovara odzivu h(t) generiranom jediničnim impulsom pri t=0, koji se naziva funkcija impulsnog odziva. Pod pretpostavkom da je sustav stacionaran prije impulsa, h(t)=0 za t<0. funkciju impulsnog odziva sustava, možemo pronaći odgovor sustava na bilo koji ulaz x(t). U ovom trenutku, možete zamisliti x(t) kao zbroj niza impulsnih elemenata (SLIKA 7.) .Odziv sustava je:

Na temelju načela superpozicije, ukupni odziv sustava koji odgovara x(t) je:

Taj se integral naziva konvolucijski integral ili superpozicijski integral.

Linearna vibracija sustava s više stupnjeva slobode

Titranje linearnog sustava s n≥2 stupnjeva slobode.

Slika 8 prikazuje dva jednostavna rezonantna podsustava povezana spojnom oprugom. Budući da je to sustav s dva stupnja slobode, potrebne su dvije neovisne koordinate da bi se odredio njegov položaj. U ovom sustavu postoje dvije prirodne frekvencije:

Svaka frekvencija odgovara modu vibracije. Harmonijski oscilatori izvode harmonijske oscilacije iste frekvencije, sinkrono prolazeći kroz položaj ravnoteže i sinkrono dosežući krajnji položaj. U glavnoj vibraciji koja odgovara omega jedan, x1 je jednak x2; In glavna vibracija koja odgovara omega omega dva, omega omega jedan. U glavnoj vibraciji, omjer pomaka svake mase održava određeni odnos i tvori određeni način, koji se naziva glavni način ili prirodni način. Ortogonalnost mase i krutost postoji među glavnim načinima, što odražava neovisnost svake vibracije. Prirodna frekvencija i glavni način predstavljaju inherentne karakteristike vibracija sustava s više stupnjeva slobode.

SLIKA8 sustav s više stupnjeva slobode

Sustav od n stupnjeva slobode ima n prirodnih frekvencija i n glavnih modova. Bilo koja konfiguracija vibracija sustava može se predstaviti kao linearna kombinacija glavnih modova. Stoga se metoda superpozicije glavnog moda naširoko koristi u analizi dinamičkog odziva više -dof sustavi. Na ovaj način mjerenje i analiza karakteristika prirodnih vibracija sustava postaje rutinski korak u dinamičkom dizajnu sustava.

Dinamičke karakteristike sustava s višestrukim stepenom širine mogu se također opisati frekvencijskim karakteristikama. Budući da postoji funkcija frekvencijske karakteristike između svakog ulaza i izlaza, konstruira se matrica frekvencijske karakteristike. Krivulja amplitudno-frekvencijske karakteristike sustava s više sloboda razlikuje se od od onog sustava jedinstvene slobode.

Elastomer vibrira

Gornji sustav s više stupnjeva slobode je približni mehanički model elastomera. Elastomer ima beskonačan broj stupnjeva slobode. Postoji kvantitativna razlika, ali nema bitne razlike između ta dva. Svaki elastomer ima beskonačan broj vlastitih frekvencija i beskonačan broj odgovarajućih načina, a postoji ortogonalnost između načina mase i krutosti. Bilo koja konfiguracija vibracija elastomera također se može prikazati kao linearna superpozicija glavnih načina. Stoga, za analizu dinamičkog odziva elastomera, metoda superpozicije glavnog načina još uvijek je primjenjiv (vidi linearnu vibraciju elastomera).

Uzmimo vibraciju žice. Recimo da je tanka žica mase m po jedinici duljine, duga l, napeta na oba kraja, a napetost je T. U ovom trenutku, prirodna frekvencija žice određena je sljedećim jednadžba:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Gdje je brzina širenja transverzalnog vala duž smjera žice. Prirodne frekvencije žice su višekratnici osnovne frekvencije preko 2l. Ova cjelobrojna višestrukost dovodi do ugodne harmonijske strukture. Općenito, ne postoji takav cjelobrojni višestruki odnos među vlastitim frekvencijama elastomera.

Prva tri načina zategnute strune prikazana su na Sl.9. Postoje neki čvorovi na glavnoj krivulji moda. U glavnoj vibraciji, čvorovi ne vibriraju. SL.Slika 10 prikazuje nekoliko tipičnih oblika obodno poduprte kružne ploče s nekim nodalnim linijama koje se sastoje od krugova i promjera.

Točna formulacija problema vibracija elastomera može se zaključiti kao rubni problem parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Međutim, točno rješenje se može pronaći samo u nekim od najjednostavnijih slučajeva, tako da moramo pribjeći približnom rješenju za složeni elastomer problem vibracija. Bit raznih aproksimativnih rješenja je promijeniti beskonačno u konačno, odnosno diskretizirati sustav s više stupnjeva slobode bez krakova (kontinuirani sustav) u konačni sustav s više stupnjeva slobode (diskretni sustav). Postoje dvije vrste diskretizacijskih metoda koje se široko koriste u inženjerskoj analizi: metoda konačnih elemenata i metoda modalne sinteze.

SLIKA9 način niza

SLIKA10 način kružne ploče

Metoda konačnih elemenata je kompozitna struktura koja apstrahira složenu strukturu u konačni broj elemenata i povezuje ih u konačnom broju čvorova. Svaka jedinica je elastomer; Distribucijski pomak elementa izražava se interpolacijskom funkcijom pomaka čvora. Tada parametri distribucije svakog elementa se koncentriraju na svaki čvor u određenom formatu, te se dobije mehanički model diskretnog sustava.

Modalna sinteza je dekompozicija složene strukture u nekoliko jednostavnijih podstruktura. Na temelju razumijevanja vibracijskih karakteristika svake podstrukture, podstruktura se sintetizira u opću strukturu prema uvjetima koordinacije na sučelju i vibracijskoj morfologiji općeg. struktura se dobiva korištenjem morfologije vibracija svake potkonstrukcije.

Dvije su metode različite i povezane te se mogu koristiti kao referenca. Metoda modalne sinteze također se može učinkovito kombinirati s eksperimentalnim mjerenjem kako bi se formirala teorijska i eksperimentalna metoda analize za vibracije velikih sustava.