O que é vibração linear?

vibração linearA elasticidade dos componentes do sistema está sujeita à lei de Hooke, e a força de amortecimento gerada durante o movimento é proporcional à primeira equação da velocidade generalizada (derivada temporal das coordenadas generalizadas).

conceito

Um sistema linear é geralmente um modelo abstrato da vibração de um sistema real. O sistema de vibração linear aplica o princípio da superposição, ou seja, se a resposta do sistema é y1 sob a ação da entrada x1 e y2 sob a ação da entrada x2, então a resposta do sistema sob a ação das entradas x1 e x2 é y1 + y2.

Com base no princípio da superposição, uma entrada arbitrária pode ser decomposta na soma de uma série de impulsos infinitesimais, obtendo-se assim a resposta total do sistema. A soma das componentes harmônicas de uma excitação periódica pode ser expandida em uma série de componentes harmônicas por meio da transformada de Fourier, e o efeito de cada componente harmônica sobre o sistema pode ser investigado separadamente. Portanto, as características de resposta de sistemas lineares com parâmetros constantes podem ser descritas pela resposta ao impulso ou pela resposta em frequência.

A resposta ao impulso refere-se à resposta do sistema a um impulso unitário, caracterizando as propriedades de resposta do sistema no domínio do tempo. A resposta em frequência refere-se à característica de resposta do sistema a uma entrada harmônica unitária. A correspondência entre as duas é determinada pela transformada de Fourier.

classificação

A vibração linear pode ser dividida em vibração linear de sistemas com um único grau de liberdade e vibração linear de sistemas com múltiplos graus de liberdade.

(1) A vibração linear de um sistema de um grau de liberdade é uma vibração linear cuja posição pode ser determinada por uma coordenada generalizada. É a vibração mais simples da qual muitos conceitos básicos e características da vibração podem ser derivados. Inclui vibração harmônica simples, vibração livre, vibração atenuada e vibração forçada.

Vibração harmônica simples: o movimento alternativo de um objeto nas proximidades de sua posição de equilíbrio, de acordo com uma lei sinusoidal, sob a ação de uma força restauradora proporcional ao seu deslocamento.

Vibração amortecida: vibração cuja amplitude é continuamente atenuada pela presença de atrito e resistência dielétrica ou outro consumo de energia.

Vibração forçada: vibração de um sistema sob excitação constante.

(2) A vibração linear de um sistema com múltiplos graus de liberdade é a vibração de um sistema linear com n ≥ 2 graus de liberdade. Um sistema com n graus de liberdade possui n frequências naturais e n modos principais. Qualquer configuração de vibração do sistema pode ser representada como uma combinação linear dos modos principais. Portanto, o método de superposição de modos principais é amplamente utilizado na análise da resposta dinâmica de sistemas com múltiplos graus de liberdade. Dessa forma, a medição e a análise das características de vibração natural do sistema tornam-se uma etapa rotineira no projeto dinâmico do sistema. As características dinâmicas de sistemas com múltiplos graus de liberdade também podem ser descritas por características de frequência. Como existe uma função característica de frequência entre cada entrada e saída, uma matriz característica de frequência é construída. Existe uma relação definida entre a característica de frequência e o modo principal. A curva característica de amplitude-frequência de um sistema com múltiplos graus de liberdade é diferente daquela de um sistema com um único grau de liberdade.

Vibração linear de um sistema com um grau de liberdade

Uma vibração linear na qual a posição de um sistema pode ser determinada por uma coordenada generalizada. É a vibração mais simples e fundamental, da qual muitos conceitos e características básicas da vibração podem ser derivados. Inclui vibração harmônica simples, vibração amortecida e vibração forçada.

vibração harmônica

Sob a ação de uma força restauradora proporcional ao deslocamento, o objeto realiza um movimento de vaivém sinusoidal próximo à sua posição de equilíbrio (FIG. 1). X representa o deslocamento e t representa o tempo. A expressão matemática dessa vibração é:

(1)Onde A é o valor máximo do deslocamento x, chamado de amplitude, e representa a intensidade da vibração; ωn é o incremento angular da vibração por segundo, chamado de frequência angular ou frequência circular; isso é chamado de fase inicial. Em termos de f = n/2, o número de oscilações por segundo é chamado de frequência; o inverso disso, T = 1/f, é o tempo que leva para oscilar um ciclo, e isso é chamado de período. Amplitude A, frequência f (ou frequência angular n), fase inicial, são conhecidos como três elementos da vibração harmônica simples.

FIG. 1 curva de vibração harmônica simples

Conforme mostrado na FIG. 2, um oscilador harmônico simples é formado pela massa concentrada m conectada por uma mola linear. Quando o deslocamento vibratório é calculado a partir da posição de equilíbrio, a equação de vibração é:

Onde é a rigidez da mola. A solução geral para a equação acima é (1). A e podem ser determinados pela posição inicial x0 e pela velocidade inicial em t=0:

Mas o ômega n é determinado apenas pelas características do próprio sistema, m e k, independentemente das condições iniciais adicionais, por isso o ômega n também é conhecido como frequência natural.

FIG. 2 Sistema com um único grau de liberdade

Em um oscilador harmônico simples, a soma de sua energia cinética e energia potencial é constante, ou seja, a energia mecânica total do sistema é conservada. No processo de vibração, a energia cinética e a energia potencial se transformam constantemente uma na outra.

A vibração de amortecimento

Uma vibração cuja amplitude é continuamente atenuada pelo atrito e pela resistência dielétrica ou por outros meios de consumo de energia. Para microvibrações, a velocidade geralmente não é muito grande, e a resistência do meio é proporcional à velocidade elevada à primeira potência, o que pode ser escrito como c, onde c é o coeficiente de amortecimento. Portanto, a equação de vibração de um grau de liberdade com amortecimento linear pode ser escrita como:

(2)Onde, m = c/2m é chamado de parâmetro de amortecimento, e. A solução geral da fórmula (2) pode ser escrita como:

(3)A relação numérica entre ωn e PI pode ser dividida nos três casos seguintes:

N > (no caso de pequeno amortecimento) partícula produz vibração de atenuação, a equação da vibração é:

Sua amplitude diminui com o tempo de acordo com a lei exponencial mostrada na equação, conforme indicado pela linha pontilhada na FIG. 3. Estritamente falando, essa vibração é aperiódica, mas a frequência de seu pico pode ser definida como:

É chamada de taxa de redução de amplitude, onde é o período de vibração. O logaritmo natural da taxa de redução de amplitude é chamado de logaritmo menos (amplitude) taxa. Obviamente, =, neste caso, é igual a 2/1. Diretamente através do teste experimental delta e, usando a fórmula acima, pode-se calcular c.

Neste momento, a solução da equação (2) pode ser escrita como:

Juntamente com a direção da velocidade inicial, pode ser dividido em três casos sem vibração, conforme mostrado na FIG. 4.

N < (no caso de grande amortecimento), a solução para a equação (2) é mostrada na equação (3). Neste ponto, o sistema não está mais vibrando.

vibração forçada

Vibração de um sistema sob excitação constante. A análise de vibrações investiga principalmente a resposta do sistema à excitação. A excitação periódica é um exemplo típico de excitação regular. Como a excitação periódica pode sempre ser decomposta na soma de várias excitações harmônicas, de acordo com o princípio da superposição, apenas a resposta do sistema a cada excitação harmônica é necessária. Sob a ação da excitação harmônica, a equação diferencial do movimento de um sistema amortecido com um grau de liberdade pode ser escrita como:

A resposta é a soma de duas partes. Uma parte é a resposta da vibração amortecida, que decai rapidamente com o tempo. A resposta da outra parte, referente à vibração forçada, pode ser escrita como:

FIG. 3 curva de vibração amortecida

FIG. 4 curvas de três condições iniciais com amortecimento crítico

Digite o

H /F0= h (), é a razão entre a amplitude da resposta em regime permanente e a amplitude da excitação, caracterizando as características de amplitude-frequência, ou função de ganho; Bits para resposta em regime permanente e incentivo de fase, caracterizando as características de frequência de fase. A relação entre eles e a frequência de excitação é mostrada nas Figuras 5 e 6.

Como pode ser observado na curva amplitude-frequência (FIG. 5), no caso de baixo amortecimento, a curva amplitude-frequência apresenta um único pico. Quanto menor o amortecimento, mais acentuado o pico; a frequência correspondente ao pico é chamada de frequência de ressonância do sistema. No caso de baixo amortecimento, a frequência de ressonância não difere muito da frequência natural. Quando a frequência de excitação se aproxima da frequência natural, a amplitude aumenta abruptamente. Esse fenômeno é chamado de ressonância. Na ressonância, o ganho do sistema é maximizado, ou seja, a vibração forçada é a mais intensa. Portanto, em geral, deve-se sempre evitar a ressonância, exceto em instrumentos e equipamentos que a utilizam para obter vibrações de grande intensidade.

FIG. 5 Curva de amplitude-frequência

Como pode ser observado na curva de frequência de fase (figura 6), independentemente do tamanho do amortecimento, em ômega zero, a diferença de fase em bits = PI / 2, característica que pode ser efetivamente utilizada na medição da ressonância.

Além da excitação constante, os sistemas às vezes encontram excitação instável. Ela pode ser dividida em dois tipos principais: um é o impacto repentino. O segundo é o efeito duradouro da arbitrariedade. Sob excitação instável, a resposta do sistema também é instável.

Uma ferramenta poderosa para analisar vibrações instáveis ​​é o método da resposta ao impulso. Ele descreve as características dinâmicas do sistema através da resposta transitória a um impulso unitário de entrada. O impulso unitário pode ser expresso como uma função delta. Em engenharia, a função delta é frequentemente definida como:

Onde 0- representa o ponto no eixo t que se aproxima de zero pela esquerda; 0+ é o ponto que se aproxima de 0 pela direita.

FIG. 6 Curva de frequência de fase

FIG. 7. Qualquer entrada pode ser considerada como a soma de uma série de elementos de impulso.

O sistema corresponde à resposta h(t) gerada pelo impulso unitário em t=0, que é chamada de função de resposta ao impulso. Assumindo que o sistema esteja estacionário antes do pulso, h(t)=0 para t<0. Conhecendo a função de resposta ao impulso do sistema, podemos encontrar a resposta do sistema a qualquer entrada x(t). Neste ponto, você pode pensar em x(t) como a soma de uma série de elementos de impulso (FIG. 7). A resposta do sistema é:

Com base no princípio da superposição, a resposta total do sistema correspondente a x(t) é:

Essa integral é chamada de integral de convolução ou integral de superposição.

Vibração linear de um sistema com múltiplos graus de liberdade

Vibração de um sistema linear com n≥2 graus de liberdade.

A Figura 8 mostra dois subsistemas ressonantes simples conectados por uma mola de acoplamento. Por ser um sistema com dois graus de liberdade, são necessárias duas coordenadas independentes para determinar sua posição. Existem duas frequências naturais neste sistema:

Cada frequência corresponde a um modo de vibração. Os osciladores harmônicos realizam oscilações harmônicas da mesma frequência, passando sincronicamente pela posição de equilíbrio e atingindo sincronicamente a posição extrema. Na vibração principal correspondente a ω₁, x₁ é igual a x₂; na vibração principal correspondente a ω₂, ω₁ é igual a ω₂. Na vibração principal, a relação de deslocamento de cada massa mantém uma certa relação e forma um determinado modo, denominado modo principal ou modo natural. Existe ortogonalidade entre massa e rigidez nos modos principais, o que reflete a independência de cada vibração. A frequência natural e o modo principal representam as características de vibração inerentes do sistema com múltiplos graus de liberdade.

FIG. 8 Sistema com múltiplos graus de liberdade

Um sistema com n graus de liberdade possui n frequências naturais e n modos principais. Qualquer configuração de vibração do sistema pode ser representada como uma combinação linear dos modos principais. Portanto, o método de superposição de modos principais é amplamente utilizado na análise da resposta dinâmica de sistemas com múltiplos graus de liberdade. Dessa forma, a medição e a análise das características de vibração natural do sistema tornam-se uma etapa rotineira no projeto dinâmico do sistema.

As características dinâmicas de sistemas com múltiplos graus de liberdade também podem ser descritas por meio de características de frequência. Como existe uma função característica de frequência entre cada entrada e saída, constrói-se uma matriz característica de frequência. A curva característica de amplitude-frequência de um sistema com múltiplos graus de liberdade difere daquela de um sistema com um único grau de liberdade.

O elastômero vibra

O sistema com múltiplos graus de liberdade acima é um modelo mecânico aproximado de um elastômero. Um elastômero possui um número infinito de graus de liberdade. Existe uma diferença quantitativa, mas não essencial, entre os dois. Qualquer elastômero possui um número infinito de frequências naturais e um número infinito de modos correspondentes, e há ortogonalidade entre os modos de massa e rigidez. Qualquer configuração vibracional do elastômero também pode ser representada como uma superposição linear dos modos principais. Portanto, para a análise da resposta dinâmica de um elastômero, o método de superposição dos modos principais ainda é aplicável (ver vibração linear de elastômeros).

Considere a vibração de uma corda. Digamos que uma corda fina de massa m por unidade de comprimento, de comprimento l, esteja tensionada em ambas as extremidades, e a tensão seja T. Nesse instante, a frequência natural da corda é determinada pela seguinte equação:

F = na/2l (n = 1, 2, 3…).

Onde, é a velocidade de propagação da onda transversal ao longo da direção da corda. As frequências naturais das cordas são múltiplos da frequência fundamental divididos por 2π. Essa multiplicidade inteira resulta em uma estrutura harmônica agradável. Em geral, não existe tal relação de múltiplos inteiros entre as frequências naturais do elastômero.

Os três primeiros modos da corda tensionada são mostrados na FIG. 9. Existem alguns nós na curva do modo principal. Na vibração principal, os nós não vibram. A FIG. 10 mostra vários modos típicos da placa circular com suporte circunferencial, com algumas linhas nodais compostas por círculos e diâmetros.

A formulação exata do problema de vibração do elastômero pode ser resumida como um problema de valor de contorno de equações diferenciais parciais. No entanto, a solução exata só pode ser encontrada em alguns dos casos mais simples, sendo necessário recorrer a soluções aproximadas para o problema complexo de vibração do elastômero. A essência das diversas soluções aproximadas é transformar o infinito em finito, ou seja, discretizar o sistema contínuo (sem membros) com múltiplos graus de liberdade em um sistema discreto (com múltiplos graus de liberdade). Existem dois tipos de métodos de discretização amplamente utilizados em análises de engenharia: o método dos elementos finitos e o método de síntese modal.

FIG. 9 Modo de corda

FIG. 10 Modo de placa circular

O método dos elementos finitos é uma estrutura composta que abstrai uma estrutura complexa em um número finito de elementos e os conecta em um número finito de nós. Cada unidade é um elastômero; a distribuição do deslocamento do elemento é expressa pela função de interpolação do deslocamento do nó. Em seguida, os parâmetros de distribuição de cada elemento são concentrados em cada nó em um formato específico, e o modelo mecânico do sistema discreto é obtido.

A síntese modal consiste na decomposição de uma estrutura complexa em várias subestruturas mais simples. Com base na compreensão das características vibracionais de cada subestrutura, esta é sintetizada em uma estrutura geral de acordo com as condições de coordenação na interface, e a morfologia vibracional da estrutura geral é obtida utilizando-se a morfologia vibracional de cada subestrutura.

Os dois métodos são diferentes, porém relacionados, e podem ser usados ​​como referência. O método de síntese modal também pode ser combinado de forma eficaz com a medição experimental para formar um método de análise teórico-experimental da vibração de grandes sistemas.