Linearne vibracije: elastičnost komponent v sistemu je podvržena Hookejevemu zakonu, dušilna sila, ki nastane med gibanjem, pa je sorazmerna s prvo enačbo posplošene hitrosti (časovni odvod posplošenih koordinat).
koncept
Linearni sistem je običajno abstrakten model vibracij realnega sistema. Linearni vibracijski sistem uporablja načelo superpozicije, kar pomeni, da če je odziv sistema y1 pod vplivom vhoda x1 in y2 pod vplivom vhoda x2, potem je odziv sistema pod vplivom vhodov x1 in x2 y1+y2.
Na podlagi principa superpozicije lahko poljuben vhod razstavimo na vsoto niza infinitezimalnih impulzov in nato dobimo celoten odziv sistema. Vsoto harmoničnih komponent periodičnega vzbujanja lahko s Fourierjevo transformacijo razširimo na niz harmoničnih komponent, vpliv vsake harmonske komponente na sistem pa lahko raziščemo ločeno. Zato lahko odzivne značilnosti linearnih sistemov s konstantnimi parametri opišemo z impulznim odzivom ali frekvenčnim odzivom.
Impulzni odziv se nanaša na odziv sistema na enotni impulz, ki označuje odzivne značilnosti sistema v časovni domeni. Frekvenčni odziv se nanaša na odzivno značilnost sistema na vhodni harmonični signal enote. Ujemanje med obema je določeno s Fourierovo transformacijo.
klasifikacija
Linearne vibracije lahko razdelimo na linearne vibracije sistema z eno stopnjo svobode in linearne vibracije sistema z več stopnjami svobode.
(1) Linearno nihanje sistema z eno stopnjo svobode je linearno nihanje, katerega položaj je mogoče določiti s posplošeno koordinato. To je najpreprostejše nihanje, iz katerega je mogoče izpeljati številne osnovne koncepte in značilnosti nihanja. Vključuje preprosto harmonično nihanje, prosto nihanje, dušenje nihanja in vsiljeno nihanje.
Preprosto harmonično nihanje: izmenično gibanje telesa v bližini njegovega ravnotežnega položaja po sinusoidnem zakonu pod delovanjem povratne sile, sorazmerne z njegovim premikom.
Dušene vibracije: vibracije, katerih amplituda se nenehno zmanjšuje zaradi trenja in dielektrične upornosti ali druge porabe energije.
Vsiljene vibracije: vibracije sistema pod stalnim vzbujanjem.
(2) Linearno nihanje sistema z več stopnjami svobode je nihanje linearnega sistema z n ≥ 2 stopnjama svobode. Sistem z n stopnjami svobode ima n naravnih frekvenc in n glavnih načinov. Vsako konfiguracijo nihanja sistema lahko predstavimo kot linearno kombinacijo glavnih načinov. Zato se metoda superpozicije glavnih načinov pogosto uporablja pri analizi dinamičnega odziva sistemov z več stopnjami svobode. Na ta način postane merjenje in analiza naravnih vibracijskih značilnosti sistema rutinski korak pri dinamičnem načrtovanju sistema. Dinamične značilnosti sistemov z več stopnjami svobode lahko opišemo tudi s frekvenčnimi značilnostmi. Ker med vsakim vhodom in izhodom obstaja frekvenčna karakteristična funkcija, se konstruira matrika frekvenčnih značilnosti. Med frekvenčno karakteristiko in glavnim načinom obstaja določena povezava. Krivulja amplitudno-frekvenčne karakteristike sistema z več stopnjami svobode se razlikuje od krivulje sistema z eno svobodo.
Linearno nihanje sistema z eno stopnjo svobode
Linearno nihanje, pri katerem je položaj sistema mogoče določiti s posplošeno koordinato. To je najpreprostejše in najbolj temeljno nihanje, iz katerega je mogoče izpeljati številne osnovne koncepte in značilnosti nihanja. Vključuje preprosto harmonično nihanje, dušeno nihanje in vsiljeno nihanje.
Harmonične vibracije
Pod delovanjem povratne sile, sorazmerne s premikom, se objekt sinusoidno giblje blizu svojega ravnotežnega položaja (slika 1). X predstavlja premik in t čas. Matematični izraz za to nihanje je:
(1)Kjer je A največja vrednost premika x, ki se imenuje amplituda in predstavlja intenzivnost vibracije; omega n je kotni prirastek amplitude vibracije na sekundo, ki se imenuje kotna frekvenca ali krožna frekvenca; to se imenuje začetna faza. V smislu f = n/2 se število nihanj na sekundo imenuje frekvenca; obratna vrednost tega, T = 1/f, je čas, potreben za en cikel nihanja, in to se imenuje periodo. Amplituda A, frekvenca f (ali kotna frekvenca n), začetna faza, znana kot preprosti harmonični vibracijski trije elementi.
SLIKA 1 preprosta harmonična krivulja vibracij
Kot je prikazano na sliki 2, preprost harmonični oscilator tvori koncentrirana masa m, ki jo povezuje linearna vzmet. Ko se vibracijski premik izračuna iz ravnotežnega položaja, je vibracijska enačba:
Kje je togost vzmeti. Splošna rešitev zgornje enačbe je (1). A in jo lahko določimo z začetnim položajem x0 in začetno hitrostjo pri t=0:
Toda omega n je določena le z značilnostmi samega sistema m in k, neodvisno od dodatnih začetnih pogojev, zato je omega n znana tudi kot naravna frekvenca.
SLIKA 2 Sistem z eno stopnjo svobode
Za preprost harmonični oscilator je vsota njegove kinetične in potencialne energije konstantna, kar pomeni, da se skupna mehanska energija sistema ohranja. Med procesom vibracij se kinetična in potencialna energija nenehno pretvarjata druga v drugo.
Dušenje vibracij
Vibracija, katere amplituda se nenehno zmanjšuje zaradi trenja in dielektrične upornosti ali druge porabe energije. Pri mikrovibracijah hitrost običajno ni zelo velika, upor medija pa je sorazmeren s hitrostjo na prvo potenco, kar lahko zapišemo kot c kot koeficient dušenja. Zato lahko enačbo vibracij z eno stopnjo svobode in linearnim dušenjem zapišemo kot:
(2)Kjer se m = c/2m imenuje parameter dušenja in. Splošno rešitev formule (2) lahko zapišemo kot:
(3)Numerično razmerje med omega n in PI lahko razdelimo na naslednje tri primere:
N > (v primeru majhnega dušenja) delcev, ki povzročajo dušenje vibracij, je enačba vibracij:
Njegova amplituda se s časom zmanjšuje po eksponentnem zakonu, prikazanem v enačbi, kot je prikazano s pikčasto črto na sliki 3. Strogo gledano je ta vibracija aperiodična, vendar lahko frekvenco njenega vrha definiramo kot:
Imenuje se stopnja zmanjšanja amplitude, kjer je period vibracij. Naravni logaritem stopnje zmanjšanja amplitude se imenuje logaritem minus (amplitudna) stopnja. Očitno je v tem primeru = enako 2/1. Neposredno preko eksperimentalne delte in z uporabo zgornje formule lahko izračunamo c.
V tem primeru lahko rešitev enačbe (2) zapišemo kot:
Skupaj s smerjo začetne hitrosti jo lahko razdelimo na tri primere brez vibracij, kot je prikazano na sliki 4.
N < (v primeru velikega dušenja), je rešitev enačbe (2) prikazana v enačbi (3). Na tej točki sistem ne vibrira več.
Prisilne vibracije
Vibracije sistema pod konstantnim vzbujanjem. Analiza vibracij v glavnem raziskuje odziv sistema na vzbujanje. Periodično vzbujanje je tipično regularno vzbujanje. Ker lahko periodično vzbujanje vedno razstavimo na vsoto več harmonskih vzbujanj, je v skladu z načelom superpozicije potreben le odziv sistema na vsako harmonično vzbujanje. Pod delovanjem harmoničnega vzbujanja lahko zapišemo diferencialno enačbo gibanja sistema z eno stopnjo svobode:
Odziv je vsota dveh delov. En del je odziv dušenih vibracij, ki s časom hitro upadajo. Odziv drugega dela vsiljenih vibracij lahko zapišemo:
SLIKA 3 krivulja dušenih vibracij
SLIKA 4 krivulje treh začetnih pogojev s kritičnim dušenjem
Vtipkajte
H /F0= h (), je razmerje med amplitudo ustaljenega odziva in amplitudo vzbujanja, ki označuje amplitudno-frekvenčne karakteristike ali funkcijo ojačanja; Bita za ustaljeni odziv in fazno spodbudo, karakterizacija fazno-frekvenčnih karakteristik. Razmerje med njimi in frekvenco vzbujanja je prikazano na sliki 5 in sliki 6.
Kot je razvidno iz amplitudno-frekvenčne krivulje (slika 5), ima v primeru majhnega dušenja amplitudno-frekvenčna krivulja en sam vrh. Manjše kot je dušenje, strmejši je vrh; frekvenca, ki ustreza vrhu, se imenuje resonančna frekvenca sistema. V primeru majhnega dušenja se resonančna frekvenca ne razlikuje bistveno od naravne frekvence. Ko je vzbujevalna frekvenca blizu naravne frekvence, se amplituda močno poveča. Ta pojav imenujemo resonanca. Pri resonanci je ojačanje sistema največje, torej so vsiljene vibracije najintenzivnejše. Zato si na splošno vedno prizadevamo, da se izognemo resonanci, razen če nekateri instrumenti in oprema uporabljajo resonanco za doseganje velikih vibracij.
SLIKA 5 amplitudno-frekvenčna krivulja
Iz krivulje fazne frekvence (slika 6) je razvidno, da se ne glede na velikost dušenja v omega ničelni fazni razliki biti = PI / 2 ta karakteristika lahko učinkovito uporablja pri merjenju resonance.
Poleg ustaljenega vzbujanja se sistemi včasih srečujejo tudi z neustaljenim vzbujanjem. To lahko v grobem razdelimo na dve vrsti: ena je nenaden udarec. Druga je trajen učinek arbitrarnosti. Pri neustaljenem vzbujanju je tudi odziv sistema neustaljen.
Močno orodje za analizo nestalnih vibracij je metoda impulznega odziva. Opisuje dinamične značilnosti sistema s prehodnim odzivom vhodnega impulza enote sistema. Impulz enote lahko izrazimo kot delta funkcijo. V inženirstvu je delta funkcija pogosto definirana kot:
Kjer 0- predstavlja točko na t-osi, ki se od leve proti ničli; 0 plus pa točko, ki se od desne proti 0 približuje.
SLIKA 6 Krivulja fazne frekvence
SLIKA 7 Vsak vhod lahko obravnavamo kot vsoto niza impulznih elementov
Sistem ustreza odzivu h(t), ki ga generira enotni impulz pri t=0, kar imenujemo funkcija odziva na impulz. Ob predpostavki, da je sistem pred impulzom stacionaren, je h(t)=0 za t<0. Če poznamo funkcijo odziva na impulz sistema, lahko poiščemo odziv sistema na kateri koli vhod x(t). Na tej točki si lahko x(t) predstavljamo kot vsoto niza impulznih elementov (slika 7). Odziv sistema je:
Na podlagi principa superpozicije je skupni odziv sistema, ki ustreza x(t), enak:
Ta integral se imenuje konvolucijski integral ali superpozicijski integral.
Linearno nihanje sistema z več stopnjami svobode
Nihanja linearnega sistema z n≥ 2 stopnjama svobode.
Slika 8 prikazuje dva preprosta resonančna podsistema, povezana s sklopno vzmetjo. Ker gre za sistem z dvema stopnjama svobode, sta za določitev njegovega položaja potrebni dve neodvisni koordinati. V tem sistemu sta dve naravni frekvenci:
Vsaka frekvenca ustreza določenemu načinu vibracije. Harmonični oscilatorji izvajajo harmonične vibracije iste frekvence, ki sinhrono prehajajo skozi ravnotežni položaj in sinhrono dosežejo skrajni položaj. Pri glavni vibraciji, ki ustreza omega ena, je x1 enak x2; pri glavni vibraciji, ki ustreza omega omega dva, pa omega omega ena. Pri glavni vibraciji razmerje premika vsake mase ohranja določeno razmerje in tvori določen način, ki se imenuje glavni način ali naravni način. Med glavnimi načini obstaja ortogonalnost mase in togosti, kar odraža neodvisnost vsake vibracije. Naravna frekvenca in glavni način predstavljata inherentne vibracijske značilnosti sistema z več stopnjami svobode.
SLIKA 8 Sistem z več stopnjami svobode
Sistem z n stopnjami svobode ima n naravnih frekvenc in n glavnih načinov. Vsako konfiguracijo vibracij sistema lahko predstavimo kot linearno kombinacijo glavnih načinov. Zato se metoda superpozicije glavnih načinov pogosto uporablja pri analizi dinamičnega odziva sistemov z več stopnjami svobode. Na ta način merjenje in analiza naravnih vibracijskih značilnosti sistema postane rutinski korak pri dinamičnem načrtovanju sistema.
Dinamične značilnosti sistemov z več stopnjami svobode lahko opišemo tudi s frekvenčnimi značilnostmi. Ker med vsakim vhodom in izhodom obstaja frekvenčna karakteristična funkcija, se konstruira matrika frekvenčnih značilnosti. Krivulja amplitudno-frekvenčne karakteristike sistema z več svobodami se razlikuje od krivulje sistema z eno svobodo.
Elastomer vibrira
Zgornji sistem z več stopnjami svobode je približni mehanski model elastomera. Elastomer ima neskončno število stopenj svobode. Med njima obstaja kvantitativna razlika, vendar ne bistvene razlike. Vsak elastomer ima neskončno število naravnih frekvenc in neskončno število ustreznih modov, med modoma mase in togosti pa obstaja ortogonalnost. Vsako vibracijsko konfiguracijo elastomera lahko predstavimo tudi kot linearno superpozicijo glavnih modov. Zato je za analizo dinamičnega odziva elastomera še vedno uporabna metoda superpozicije glavnega moda (glejte linearne vibracije elastomera).
Vzemimo za primer vibracije vrvice. Recimo, da je tanka vrvica z maso m na enoto dolžine in dolžino l napeta na obeh koncih, napetost pa je T. V tem času je naravna frekvenca vrvice določena z naslednjo enačbo:
F = na/2 l (n = 1, 2, 3…).
Kjer je hitrost širjenja prečnega vala vzdolž smeri strune. Naravne frekvence strun so večkratniki osnovne frekvence nad 2l. Ta celoštevilska mnogokratnost vodi do prijetne harmonične strukture. Na splošno ni takšne celoštevilske mnogokratne relacije med naravnimi frekvencami elastomera.
Prvi trije načini napete vrvice so prikazani na sliki 9. Na glavni krivulji načina so nekateri vozlišči. Pri glavnem nihanju vozlišča ne vibrirajo. Slika 10 prikazuje več tipičnih načinov obodno podprte krožne plošče z nekaj vozlišči, sestavljenimi iz krogov in premerov.
Natančno formulacijo problema vibracij elastomera lahko zaključimo kot robni problem parcialnih diferencialnih enačb. Vendar pa je natančno rešitev mogoče najti le v nekaterih najpreprostejših primerih, zato se moramo za kompleksen problem vibracij elastomera zateči k približni rešitvi. Bistvo različnih približnih rešitev je spremeniti neskončno v končno, torej diskretizirati sistem z več stopnjami svobode brez okončin (zvezni sistem) v končni sistem z več stopnjami svobode (diskretni sistem). V inženirski analizi se pogosto uporabljata dve vrsti diskretizacijskih metod: metoda končnih elementov in metoda modalne sinteze.
SLIKA 9 način niza
SLIKA 10 način krožne plošče
Metoda končnih elementov je kompozitna struktura, ki kompleksno strukturo abstrahira na končno število elementov in jih poveže v končnem številu vozlišč. Vsaka enota je elastomer; porazdelitveni premik elementa je izražen z interpolacijsko funkcijo premika vozlišča. Nato se porazdelitveni parametri vsakega elementa koncentrirajo na vsako vozlišče v določeni obliki in dobimo mehanski model diskretnega sistema.
Modalna sinteza je razgradnja kompleksne strukture na več enostavnejših podstruktur. Na podlagi razumevanja vibracijskih značilnosti vsake podstrukture se podstruktura sintetizira v splošno strukturo glede na koordinacijske pogoje na vmesniku, vibracijska morfologija splošne strukture pa se dobi z uporabo vibracijske morfologije vsake podstrukture.
Metodi sta različni in povezani ter se lahko uporabita kot referenca. Metodo modalne sinteze je mogoče učinkovito kombinirati tudi z eksperimentalnimi meritvami, da se oblikuje teoretična in eksperimentalna metoda analize vibracij velikih sistemov.
Čas objave: 3. april 2020
