Шугаман чичиргээ гэж юу вэ?

Шугаман чичиргээ: систем дэх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн уян хатан чанар нь Хүүкийн хуульд захирагддаг бөгөөд хөдөлгөөний үед үүссэн сулруулах хүч нь ерөнхий хурдны эхний тэгшитгэлтэй (ерөнхий координатын хугацааны уламжлал) пропорциональ байна.

ойлголт

Шугаман систем нь ихэвчлэн бодит системийн чичиргээний хийсвэр загвар юм. Шугаман чичиргээний систем нь суперпозицийн зарчмыг хэрэгжүүлдэг, өөрөөр хэлбэл хэрэв системийн хариу үйлдэл нь x1 оролтын үйлчлэлээр y1, x2 оролтын үйлчлэлээр y2 байвал x1 ба x2 оролтын үйлчлэлээр системийн хариу үйлдэл нь y1+y2 байна.

Суперпозицийн зарчмын үндсэн дээр дурын оролтыг хязгааргүй бага импульсийн цувралын нийлбэр болгон задалж, дараа нь системийн нийт хариу үйлдлийг гаргаж авч болно. Үечилсэн өдөөлтийн гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нийлбэрийг Фурье хувиргалтаар гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн цуврал болгон өргөжүүлж, гармоник бүрэлдэхүүн хэсэг бүрийн системд үзүүлэх нөлөөллийг тусад нь судалж болно. Тиймээс тогтмол параметртэй шугаман системийн хариу үйлдлийн шинж чанарыг импульсийн хариу үйлдэл эсвэл давтамжийн хариу урвалаар тодорхойлж болно.

Импульсийн хариу үйлдэл гэдэг нь системийн нэгж импульст үзүүлэх хариу үйлдлийг хэлдэг бөгөөд энэ нь цагийн бүс дэх системийн хариу үйлдлийн шинж чанарыг тодорхойлдог. Давтамжийн хариу үйлдэл гэдэг нь системийн нэгж гармоник оролтод үзүүлэх хариу үйлдлийн шинж чанарыг хэлнэ. Энэ хоёрын хоорондох хамаарлыг Фурье хувиргалтаар тодорхойлно.

ангилал

Шугаман чичиргээг нэг эрх чөлөөний зэрэгтэй системийн шугаман чичиргээ ба олон эрх чөлөөний зэрэгтэй системийн шугаман чичиргээ гэж хувааж болно.

(1) нэг эрх чөлөөний зэрэгтэй системийн шугаман чичиргээ гэдэг нь байрлалыг нь ерөнхий координатаар тодорхойлж болох шугаман чичиргээ юм. Энэ нь чичиргээний олон үндсэн ойлголт, шинж чанарыг гаргаж авах боломжтой хамгийн энгийн чичиргээ юм. Үүнд энгийн гармоник чичиргээ, чөлөөт чичиргээ, сулрах чичиргээ болон албадан чичиргээ орно.

Энгийн гармоник чичиргээ: шилжилттэй нь пропорциональ сэргээх хүчний үйлчлэл дор синусоид хуулийн дагуу тэнцвэрийн байрлалынхаа ойролцоо биетийн харилцан хөдөлгөөн.

Чийгшүүлсэн чичиргээ: үрэлт болон диэлектрик эсэргүүцэл эсвэл бусад эрчим хүчний зарцуулалтаас болж далайц нь тасралтгүй сулардаг чичиргээ.

Албадан чичиргээ: тогтмол өдөөлтийн дор системийн чичиргээ.

(2) олон эрх чөлөөний зэрэгтэй системийн шугаман чичиргээ нь n≥2 эрх чөлөөний зэрэгтэй шугаман системийн чичиргээ юм. n эрх чөлөөний зэрэгтэй систем нь n байгалийн давтамж ба n үндсэн горимтой. Системийн аливаа чичиргээний тохиргоог гол горимуудын шугаман хослол хэлбэрээр дүрсэлж болно. Тиймээс гол горимын суперпозицийн аргыг олон цэгийн системийн динамик хариу урвалын шинжилгээнд өргөн ашигладаг. Ийм байдлаар системийн байгалийн чичиргээний шинж чанарыг хэмжих, шинжлэх нь системийн динамик дизайны ердийн алхам болдог. Олон цэгийн системийн динамик шинж чанарыг давтамжийн шинж чанараар тодорхойлж болно. Оролт ба гаралт бүрийн хооронд давтамжийн шинж чанарын функц байдаг тул давтамжийн шинж чанарын матриц байгуулагдсан. Давтамжийн шинж чанар ба үндсэн горимын хооронд тодорхой хамаарал байдаг. Олон эрх чөлөөний системийн далайц-давтамжийн шинж чанарын муруй нь дан эрх чөлөөний системийнхээс өөр юм.

Нэг эрх чөлөөний зэрэгтэй системийн шугаман чичиргээ

Системийн байрлалыг ерөнхий координатаар тодорхойлж болох шугаман чичиргээ. Энэ нь чичиргээний олон үндсэн ойлголт, шинж чанарыг гаргаж авах боломжтой хамгийн энгийн бөгөөд хамгийн үндсэн чичиргээ юм. Үүнд энгийн гармоник чичиргээ, намсгасан чичиргээ болон албадан чичиргээ орно.

Гармоник чичиргээ

Нүүлгэн шилжүүлэлттэй пропорциональ хүчний сэргээлтийн үйлчлэлээр объект тэнцвэрийн байрлалынхаа ойролцоо синусоид байдлаар хариу үйлдэл үзүүлдэг (Зураг 1). X нь шилжилтийг, t нь хугацааг илэрхийлнэ. Энэ чичиргээний математик илэрхийлэл нь:

(1)Энд А нь шилжилтийн хамгийн их утга x бөгөөд үүнийг далайц гэж нэрлэдэг бөгөөд чичиргээний эрчмийг илэрхийлдэг; Омега n нь далайцын чичиргээний өнцгийн өсөлт бөгөөд үүнийг өнцгийн давтамж буюу дугуй давтамж гэж нэрлэдэг; Үүнийг эхний фаз гэж нэрлэдэг. f= n/2-ийн хувьд секундэд хэлбэлзэх хэлбэлзлийн тоог давтамж гэж нэрлэдэг; Үүний урвуу утга болох T=1/f нь нэг мөчлөгт хэлбэлзэхэд шаардагдах хугацаа бөгөөд үүнийг үе гэж нэрлэдэг. А далайц, давтамж f (эсвэл өнцгийн давтамж n), анхны фазыг энгийн гармоник чичиргээ гэж нэрлэдэг гурван элемент.

ЗУРАГ 1. Энгийн гармоник чичиргээний муруй

Зураг 2-т үзүүлсэнчлэн, шугаман пүршээр холбогдсон төвлөрсөн масс m-ээс энгийн гармоник осциллятор үүснэ. Чичиргээний шилжилтийг тэнцвэрийн байрлалаас тооцоолоход чичиргээний тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

Пүршний хөшүүн байдал энд байна. Дээрх тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь (1). А бөгөөд анхны байрлал x0 болон t=0 үед анхны хурдаар тодорхойлж болно:

Гэхдээ омега n нь зөвхөн системийн өөрийн шинж чанараар тодорхойлогддог m ба k бөгөөд нэмэлт анхны нөхцлөөс үл хамаарна, тиймээс омега n-ийг байгалийн давтамж гэж нэрлэдэг.

ЗУРАГ. 2-Р ЭРХ ЧӨЛӨӨНИЙ дан зэргийн систем

Энгийн гармоник осцилляторын хувьд түүний кинетик энерги ба потенциал энергийн нийлбэр тогтмол байдаг, өөрөөр хэлбэл системийн нийт механик энерги хадгалагдана. Чичиргээний процесст кинетик энерги ба потенциал энерги нь бие биендээ байнга хувирдаг.

Чичиргээг намсгах

Үрэлт болон диэлектрик эсэргүүцэл эсвэл бусад энерги зарцуулалтаар далайц нь тасралтгүй сулардаг чичиргээ. Микро чичиргээний хувьд хурд нь ерөнхийдөө тийм ч их биш бөгөөд орчны эсэргүүцэл нь эхний зэрэг хүртэлх хурдтай пропорциональ байдаг бөгөөд үүнийг c нь намсгах коэффициент гэж бичиж болно. Тиймээс шугаман намсгахтай нэг зэргийн эрх чөлөөний чичиргээний тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно:

(2)энд, m =c/2m-ийг намсгах параметр гэж нэрлэдэг ба. (2) томъёоны ерөнхий шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно:

(3)Омега n ба PI-ийн хоорондох тоон хамаарлыг дараах гурван тохиолдолд хувааж болно.

N > (жижиг намсгах тохиолдолд) бөөмсийн үүсгэсэн сулруулах чичиргээ, чичиргээний тэгшитгэл нь:

Зураг 3-т цэгтэй шугамд үзүүлсэн шиг тэгшитгэлд үзүүлсэн экспоненциал хуулийн дагуу түүний далайц цаг хугацааны явцад буурдаг. Хатуухан хэлэхэд энэ чичиргээ нь апериод боловч оргил үеийн давтамжийг дараах байдлаар тодорхойлж болно.

Далайцын бууралтын хурд гэж нэрлэгддэг бөгөөд энд чичиргээний үе байна. Далайцын бууралтын хурдны натурал логарифмыг логарифм хасах (далайц) хурд гэж нэрлэдэг. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд = нь 2/1-тэй тэнцүү байна. Туршилтын дельтагаар шууд дамжин дээрх томъёог ашиглан c-г тооцоолж болно.

Энэ үед (2) тэгшитгэлийн шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.

Зураг 4-т үзүүлсэн шиг анхны хурдны чиглэлийн хамт чичиргээгүй гурван тохиолдолд хувааж болно.

N < (их хэмжээний чийгшлийн үед), (2) тэгшитгэлийн шийдлийг (3) тэгшитгэлд харуулав. Энэ үед систем чичиргээтэй байхаа больсон.

Албадан чичиргээ

Тогтмол өдөөлтийн үед системийн чичиргээ. Чичиргээний шинжилгээ нь голчлон системийн өдөөлтөд үзүүлэх хариу үйлдлийг судалдаг. Үечилсэн өдөөлт нь ердийн тогтмол өдөөлт юм. Үечилсэн өдөөлтийг хэд хэдэн гармоник өдөөлтийн нийлбэр болгон задалж болох тул суперпозицийн зарчмын дагуу зөвхөн системийн гармоник өдөөлт бүрт үзүүлэх хариу үйлдэл шаардлагатай. Гармоник өдөөлтийн нөлөөн дор нэг эрх чөлөөний зэрэг намссан системийн хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно:

Хариу үйлдэл нь хоёр хэсгийн нийлбэр юм. Нэг хэсэг нь цаг хугацааны явцад хурдан буурдаг намсгасан чичиргээний хариу үйлдэл юм. Албадан чичиргээний өөр нэг хэсгийн хариу үйлдлийг дараах байдлаар бичиж болно:

ЗУРАГ 3. Чийгшүүлсэн чичиргээний муруй

ЗУРАГ. Чухал намсгалттай гурван анхны нөхцөл байдлын муруй 4

Бичих

H /F0= h () нь тогтвортой хариу урвалын далайцын өдөөлтийн далайцтай харьцуулсан харьцаа бөгөөд далайц-давтамжийн шинж чанар эсвэл олшруулалтын функцийг тодорхойлно; Тогтвортой төлөвийн хариу урвал ба фазын өдөөлтийн битүүд, фазын давтамжийн шинж чанарын шинж чанар. Тэдгээрийн болон өдөөлтийн давтамжийн хоорондын хамаарлыг Зураг 5 ба Зураг 6-д үзүүлэв.

Далайц-давтамжийн муруйн (Зураг 5)-аас харахад бага хэмжээний намсгах үед далайц-давтамжийн муруй нь ганц оргилтой байдаг. Намсгах хэмжээ бага байх тусам оргил нь огцом байна; Оргилд харгалзах давтамжийг системийн резонансын давтамж гэж нэрлэдэг. Бага хэмжээний намсгах тохиолдолд резонансын давтамж нь байгалийн давтамжаас тийм ч их ялгаатай биш юм. Өдөөлтийн давтамж нь байгалийн давтамжтай ойрхон байх үед далайц огцом нэмэгддэг. Энэ үзэгдлийг резонанс гэж нэрлэдэг. Резонансын үед системийн олз хамгийн их байдаг, өөрөөр хэлбэл албадан чичиргээ хамгийн хүчтэй байдаг. Тиймээс ерөнхийдөө резонансаас зайлсхийхийг үргэлж хичээдэг, хэрэв зарим багаж хэрэгсэл, тоног төхөөрөмж ашиглан их хэмжээний чичиргээнд хүрэхийг оролдохгүй бол.

ЗУРАГ 5. Далайцын давтамжийн муруй

Фазын давтамжийн муруйгаас (6-р зураг) харахад, намсгагчийн хэмжээнээс үл хамааран омега тэг фазын зөрүүний бит = PI / 2 үед энэ шинж чанарыг резонансыг хэмжихэд үр дүнтэй ашиглаж болно.

Тогтвортой өдөөлтөөс гадна системүүд заримдаа тогтворгүй өдөөлттэй тулгардаг. Үүнийг ойролцоогоор хоёр төрөлд хувааж болно: нэг нь гэнэтийн цохилт. Хоёр дахь нь дур зоргын удаан хугацааны үр нөлөө. Тогтворгүй өдөөлтийн үед системийн хариу үйлдэл мөн тогтворгүй байдаг.

Тогтворгүй чичиргээг шинжлэх хүчирхэг хэрэгсэл бол импульсийн хариу үйлдлийн арга юм. Энэ нь системийн нэгж импульсийн оролтын түр зуурын хариу урвалаар системийн динамик шинж чанарыг тодорхойлдог. Нэгж импульсийг дельта функцээр илэрхийлж болно. Инженерчлэлд дельта функцийг ихэвчлэн дараах байдлаар тодорхойлдог.

Энд 0 нь зүүнээс тэг рүү ойртож буй t тэнхлэгийн цэгийг илэрхийлнэ; 0 дээр нэмэх нь баруунаас 0 рүү очих цэгийг илэрхийлнэ.

ЗУРАГ 6. Фазын давтамжийн муруй

ЗУРАГ 7. Аливаа оролтыг импульсийн элементүүдийн цувралын нийлбэр гэж үзэж болно.

Систем нь t=0 үед нэгж импульсээр үүссэн h(t) хариу үйлдэлтэй тохирч байгаа бөгөөд үүнийг импульсийн хариу үйлдлийн функц гэж нэрлэдэг. Систем импульсийн өмнө хөдөлгөөнгүй гэж үзвэл t<0 үед h(t)=0 байна. Системийн импульсийн хариу үйлдлийн функцийг мэдэж байгаа тул бид системийн x(t) оролтын аль ч утгад үзүүлэх хариу үйлдлийг олж чадна. Энэ үед та x(t)-г импульсийн элементүүдийн цувралын нийлбэр гэж үзэж болно (Зураг 7). Системийн хариу үйлдэл нь:

Суперпозицийн зарчим дээр үндэслэн x(t)-д харгалзах системийн нийт хариу үйлдэл нь:

Энэ интегралыг мушгиралтын интеграл эсвэл суперпозицийн интеграл гэж нэрлэдэг.

Олон эрх чөлөөний зэрэгтэй системийн шугаман чичиргээ

n≥2 чөлөөний зэрэгтэй шугаман системийн чичиргээ.

Зураг 8-д холбогч пүршээр холбогдсон хоёр энгийн резонансын дэд системийг харуулав. Энэ нь хоёр эрх чөлөөний зэрэгтэй систем тул түүний байрлалыг тодорхойлохын тулд хоёр бие даасан координат шаардлагатай. Энэ системд хоёр байгалийн давтамж байдаг:

Давтамж бүр чичиргээний горимтой тохирч байна. Гармоник осцилляторууд нь ижил давтамжийн гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэж, тэнцвэрийн байрлалаар синхроноор дамжин туйлын байрлалд синхроноор хүрдэг. Омега нэгтэй харгалзах гол чичиргээнд x1 нь x2-тэй тэнцүү; Омега хоёртой харгалзах гол чичиргээнд омега нэг. Гол чичиргээнд масс бүрийн шилжилтийн харьцаа нь тодорхой харилцааг хадгалж, тодорхой горимыг үүсгэдэг бөгөөд үүнийг үндсэн горим буюу байгалийн горим гэж нэрлэдэг. Масс ба хөшүүн байдлын ортогонал байдал нь үндсэн горимуудын хооронд байдаг бөгөөд энэ нь чичиргээ бүрийн бие даасан байдлыг тусгадаг. Байгалийн давтамж ба үндсэн горим нь олон түвшний эрх чөлөөний системийн дотоод чичиргээний шинж чанарыг илэрхийлдэг.

ЗУРАГ. Олон эрх чөлөөний зэрэгтэй систем 8

n эрх чөлөөний зэрэгтэй систем нь n байгалийн давтамж ба n үндсэн горимтой. Системийн аливаа чичиргээний тохиргоог үндсэн горимуудын шугаман хослол хэлбэрээр дүрсэлж болно. Тиймээс үндсэн горимын суперпозицийн аргыг олон цэгийн системийн динамик хариу урвалын шинжилгээнд өргөн ашигладаг. Ийм байдлаар системийн байгалийн чичиргээний шинж чанарыг хэмжих, шинжлэх нь системийн динамик дизайны ердийн алхам болдог.

Олон цэгийн системийн динамик шинж чанарыг давтамжийн шинж чанараар тодорхойлж болно. Оролт ба гаралтын хооронд давтамжийн шинж чанарын функц байдаг тул давтамжийн шинж чанарын матрицыг байгуулдаг. Олон эрх чөлөөний системийн далайц-давтамжийн шинж чанарын муруй нь дан эрх чөлөөний системийнхээс өөр байдаг.

Эластомер чичирдэг

Дээрх олон эрх чөлөөний зэрэглэлийн систем нь эластомерын ойролцоо механик загвар юм. Эластомер нь хязгааргүй тооны эрх чөлөөний зэрэгтэй байдаг. Тоон ялгаа байдаг ч энэ хоёрын хооронд мэдэгдэхүйц ялгаа байхгүй. Аливаа эластомер нь хязгааргүй тооны байгалийн давтамжтай ба хязгааргүй тооны харгалзах горимтой бөгөөд масс ба хөшүүн байдлын горимуудын хооронд ортогональ байдал байдаг. Эластомерын аливаа чичиргээний тохиргоог гол горимуудын шугаман суперпозици хэлбэрээр төлөөлж болно. Тиймээс эластомерын динамик хариу урвалын шинжилгээнд үндсэн горимын суперпозицийн арга одоо ч хэрэглэгдэж байна (эластомерын шугаман чичиргээг үзнэ үү).

Утасны чичиргээг авч үзье. Нэгж урт нь m масстай, урт l нимгэн утсыг хоёр үзүүрээр нь татсан бөгөөд таталт нь T байна гэж үзье. Энэ үед утсан утасны өөрийн давтамжийг дараах тэгшитгэлээр тодорхойлно:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

энд , нь утсан хэлхээний чиглэлийн дагуу хөндлөн долгионы тархалтын хурд юм. Утсан хэлхээний байгалийн давтамж нь 2л-ийн хугацаанд үндсэн давтамжийн үржвэртэй тэнцүү байна. Энэхүү бүхэл тоон үржвэр нь тааламжтай гармоник бүтэц үүсгэдэг. Ерөнхийдөө эластомерын байгалийн давтамжийн хооронд ийм бүхэл тоон үржвэрийн хамаарал байдаггүй.

Суналтын утсан хэлхээний эхний гурван горимыг Зураг 9-д үзүүлэв. Үндсэн горимын муруй дээр зарим зангилаа байдаг. Үндсэн чичиргээнд зангилаанууд чичирдэггүй. Зураг 10-т тойрог болон диаметрээс бүрдсэн зарим зангилааны шугамтай тойрог тулгууртай дугуй хавтангийн хэд хэдэн ердийн горимыг харуулав.

Эластомер чичиргээний асуудлын яг нарийн томъёоллыг хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн хил хязгаарын асуудал гэж дүгнэж болно. Гэсэн хэдий ч яг тодорхой шийдлийг зөвхөн хамгийн энгийн тохиолдлуудад л олж болох тул бид нарийн төвөгтэй эластомер чичиргээний асуудлын ойролцоолсон шийдлийг ашиглах хэрэгтэй болно. Төрөл бүрийн ойролцоолсон шийдлүүдийн мөн чанар нь хязгааргүйг хязгаарлагдмал болгон өөрчлөх, өөрөөр хэлбэл мөчгүй олон зэрэгтэй эрх чөлөөний системийг (тасралтгүй систем) хязгаарлагдмал олон зэрэгтэй эрх чөлөөний систем (дискрет систем) болгон дискретжүүлэх явдал юм. Инженерийн шинжилгээнд өргөн хэрэглэгддэг хоёр төрлийн дискретжүүлэх арга байдаг: хязгаарлагдмал элементийн арга ба модаль синтезийн арга.

ЗУРАГ 9. Тэмдэгт мөрийн горим

ЗУРАГ 10 Дугуй хавтангийн горим

Хязгаарлагдмал элементийн арга нь нарийн төвөгтэй бүтцийг хязгаарлагдмал тооны элемент болгон хувиргаж, тэдгээрийг хязгаарлагдмал тооны зангилаан дээр холбодог нийлмэл бүтэц юм. Нэгж бүр нь эластомер юм; Элементийн тархалтын шилжилтийг зангилааны шилжилтийн интерполяцийн функцээр илэрхийлнэ. Дараа нь элемент бүрийн тархалтын параметрүүдийг тодорхой форматаар зангилаа бүрт төвлөрүүлж, дискрет системийн механик загварыг гарган авна.

Модаль синтез гэдэг нь нарийн төвөгтэй бүтцийг хэд хэдэн энгийн дэд бүтцэд задлах явдал юм. Дэд бүтэц бүрийн чичиргээний шинж чанарыг ойлгосны үндсэн дээр дэд бүтцийг интерфейс дээрх зохицуулалтын нөхцлийн дагуу ерөнхий бүтэц болгон нэгтгэж, дэд бүтэц бүрийн чичиргээний морфологийг ашиглан ерөнхий бүтцийн чичиргээний морфологийг олж авдаг.

Хоёр арга нь өөр бөгөөд холбоотой бөгөөд лавлагаа болгон ашиглаж болно. Том системийн чичиргээний онолын болон туршилтын шинжилгээний аргыг бүрдүүлэхийн тулд модаль синтезийн аргыг туршилтын хэмжилттэй үр дүнтэй хослуулж болно.