Beth yw dirgryniad llinol?

Dirgryniad llinol: mae hydwythedd cydrannau yn y system yn ddarostyngedig i gyfraith Hooke, ac mae'r grym dampio a gynhyrchir yn ystod y mudiant yn gymesur â'r hafaliad cyntaf o'r cyflymder cyffredinoledig (deilliad amser y cyfesurynnau cyffredinoledig).

cysyniad

Fel arfer, mae system linellol yn fodel haniaethol o ddirgryniad system go iawn. Mae'r system ddirgryniad linellol yn defnyddio'r egwyddor uwchosod, hynny yw, os yw ymateb y system yn y1 o dan weithred mewnbwn x1, ac y2 o dan weithred mewnbwn x2, yna ymateb y system o dan weithred mewnbwn x1 ac x2 yw y1+y2.

Ar sail egwyddor uwchosod, gellir dadelfennu mewnbwn mympwyol yn swm cyfres o ysgogiadau anfeidraidd fach, ac yna gellir cael ymateb cyfan y system. Gellir ehangu swm cydrannau harmonig cyffroad cyfnodol yn gyfres o gydrannau harmonig trwy drawsffurfiad Fourier, a gellir ymchwilio i effaith pob cydran harmonig ar y system ar wahân. Felly, gellir disgrifio nodweddion ymateb systemau llinol â pharamedrau cyson trwy ymateb ysgogiad neu ymateb amledd.

Mae ymateb byrbwyll yn cyfeirio at ymateb y system i'r byrbwyll uned, sy'n nodweddu nodweddion ymateb y system yn y parth amser. Mae ymateb amledd yn cyfeirio at nodwedd ymateb y system i fewnbwn harmonig yr uned. Pennir y gyfatebiaeth rhyngddynt gan y trawsffurfiad Fourier.

dosbarthiad

Gellir rhannu dirgryniad llinol yn ddirgryniad llinol system un gradd o ryddid a dirgryniad llinol system aml-radd o ryddid.

(1) dirgryniad llinol system un gradd o ryddid yw dirgryniad llinol y gellir pennu ei safle gan gyfesuryn cyffredinol. Dyma'r dirgryniad symlaf y gellir deillio llawer o gysyniadau a nodweddion sylfaenol dirgryniad ohono. Mae'n cynnwys dirgryniad harmonig syml, dirgryniad rhydd, dirgryniad gwanhau a dirgryniad gorfodol.

Dirgryniad harmonig syml: symudiad cilyddol gwrthrych yng nghyffiniau ei safle ecwilibriwm yn ôl cyfraith sinwsoidaidd o dan weithred grym adferol sy'n gymesur â'i ddadleoliad.

Dirgryniad wedi'i wanhau: dirgryniad y mae ei osgled yn cael ei wanhau'n barhaus gan bresenoldeb ffrithiant a gwrthiant dielectrig neu ddefnydd ynni arall.

Dirgryniad gorfodol: dirgryniad system o dan gyffro cyson.

(2) dirgryniad llinol y system aml-radd-o-ryddid yw dirgryniad y system llinol gydag n≥2 gradd o ryddid. Mae gan system o n gradd o ryddid n amleddau naturiol ac n prif fodd. Gellir cynrychioli unrhyw gyfluniad dirgryniad o'r system fel cyfuniad llinol o'r prif foddau. Felly, defnyddir y dull uwchosod prif fodd yn helaeth mewn dadansoddiad ymateb deinamig o systemau aml-dof. Yn y modd hwn, mae mesur a dadansoddi nodweddion dirgryniad naturiol y system yn dod yn gam arferol yn nyluniad deinamig y system. Gellir disgrifio nodweddion deinamig systemau aml-dof hefyd gan nodweddion amledd. Gan fod swyddogaeth nodwedd amledd rhwng pob mewnbwn ac allbwn, mae matrics nodwedd amledd yn cael ei adeiladu. Mae perthynas bendant rhwng y nodwedd amledd a'r prif fodd. Mae cromlin nodwedd osgled-amledd y system aml-ryddid yn wahanol i gromlin y system rhyddid sengl.

Dirgryniad llinol system un gradd o ryddid

Dirgryniad llinol lle gellir pennu safle system gan gyfesuryn cyffredinol. Dyma'r dirgryniad symlaf a mwyaf sylfaenol y gellir deillio llawer o gysyniadau a nodweddion sylfaenol dirgryniad ohono. Mae'n cynnwys dirgryniad harmonig syml, dirgryniad wedi'i dampio a dirgryniad gorfodol.

Dirgryniad harmonig

O dan weithred adfer grym sy'n gymesur â'r dadleoliad, mae'r gwrthrych yn symud yn ôl mewn modd sinwsoidaidd ger ei safle ecwilibriwm (FFIG. 1). Mae X yn cynrychioli'r dadleoliad ac mae t yn cynrychioli'r amser. Mynegiant mathemategol y dirgryniad hwn yw:

(1)Lle mae A yn werth mwyaf dadleoliad x, a elwir yn osgled, ac yn cynrychioli dwyster y dirgryniad; Omega n yw'r osgled Cynnydd ongl y dirgryniad yr eiliad, a elwir yn amledd onglog, neu'r amledd cylchol; Gelwir hyn yn gam cychwynnol. O ran f = n / 2, gelwir nifer yr osgiliadau yr eiliad yn amledd; Gwrthdro hyn, T = 1 / f, yw'r amser y mae'n ei gymryd i osgileiddio un cylch, a gelwir hynny'n gyfnod. Osgled A, amledd f (neu amledd onglog n), y cam cychwynnol, a elwir yn dirgryniad harmonig syml tair elfen.

FFIG. 1 cromlin dirgryniad harmonig syml

Fel y dangosir yn FFIG. 2, mae osgiliadur harmonig syml yn cael ei ffurfio gan y màs crynodedig m sydd wedi'i gysylltu gan sbring llinol. Pan gyfrifir y dadleoliad dirgryniad o'r safle ecwilibriwm, yr hafaliad dirgryniad yw:

Lle mae yn stiffrwydd y gwanwyn. Yr ateb cyffredinol i'r hafaliad uchod yw (1).A a gellir ei bennu gan y safle cychwynnol x0 a'r cyflymder cychwynnol yn t=0:

Ond dim ond nodweddion y system ei hun m a k sy'n pennu omega n, yn annibynnol ar yr amodau cychwynnol ychwanegol, felly mae omega n hefyd yn cael ei adnabod fel yr amledd naturiol.

FFIG. 2 system un gradd o ryddid

Ar gyfer osgiliadur harmonig syml, mae swm ei egni cinetig a'i egni potensial yn gyson, hynny yw, mae cyfanswm egni mecanyddol y system yn cael ei gadw. Yn y broses o ddirgryniad, mae egni cinetig ac egni potensial yn cael eu trawsnewid yn gyson i'w gilydd.

Y dirgryniad dampio

Dirgryniad y mae ei osgled yn cael ei wanhau'n barhaus gan ffrithiant a gwrthiant dielectrig neu ddefnydd ynni arall. Ar gyfer micro-ddirgryniad, nid yw'r cyflymder yn gyffredinol yn fawr iawn, ac mae'r gwrthiant canolig yn gymesur â'r cyflymder i'r pŵer cyntaf, y gellir ei ysgrifennu fel c yw'r cyfernod dampio. Felly, gellir ysgrifennu hafaliad dirgryniad un gradd o ryddid gyda dampio llinol fel:

(2)Lle mae m = c/2m yn cael ei alw'n baramedr dampio, a gellir ysgrifennu'r ateb cyffredinol i fformiwla (2):

(3)Gellir rhannu'r berthynas rifiadol rhwng omega n a PI yn y tair achos canlynol:

N > (yn achos dampio bach) dirgryniad gwanhau a gynhyrchir gan ronynnau, yr hafaliad dirgryniad yw:

Mae ei osgled yn lleihau gydag amser yn ôl y gyfraith esbonyddol a ddangosir yn yr hafaliad, fel y dangosir yn y llinell ddotiog yn FFIG. 3. Yn fanwl gywir, mae'r dirgryniad hwn yn aperiodig, ond gellir diffinio amledd ei uchafbwynt fel:

Gelwir y gyfradd lleihau osgled yn , lle mae yn gyfnod y dirgryniad . Gelwir logarithm naturiol y gyfradd lleihau osgled yn logarithm minws y gyfradd (osgled). Yn amlwg, mae = , yn yr achos hwn, yn hafal i 2/1. Yn uniongyrchol trwy'r delta prawf arbrofol, a, gan ddefnyddio'r fformiwla uchod gellir cyfrifo c .

Ar yr adeg hon, gellir ysgrifennu datrysiad hafaliad (2):

Ynghyd â chyfeiriad y cyflymder cychwynnol, gellir ei rannu'n dair achos di-ddirgryniad fel y dangosir yn FFIG. 4.

N < (yn achos dampio mawr), dangosir yr ateb i hafaliad (2) yn hafaliad (3). Ar y pwynt hwn, nid yw'r system yn dirgrynu mwyach.

Dirgryniad gorfodol

Dirgryniad system o dan gyffro cyson. Mae dadansoddiad dirgryniad yn ymchwilio'n bennaf i ymateb y system i gyffro. Mae cyffro cyfnodol yn gyffro rheolaidd nodweddiadol. Gan y gellir dadelfennu cyffro cyfnodol bob amser yn swm sawl cyffro harmonig, yn ôl yr egwyddor uwchosod, dim ond ymateb y system i bob cyffro harmonig sydd ei angen. O dan weithred cyffro harmonig, gellir ysgrifennu hafaliad differol symudiad system dampio gradd sengl o ryddid:

Yr ymateb yw swm dwy ran. Un rhan yw ymateb dirgryniad gwlyb, sy'n dirywio'n gyflym gydag amser. Gellir ysgrifennu ymateb rhan arall o ddirgryniad gorfodol fel a ganlyn:

FFIG. 3 cromlin dirgryniad wedi'i dampio

FFIG. 4 cromliniau o dri chyflwr cychwynnol gyda dampio critigol

Teipiwch y

H /F0= h (), yw'r gymhareb o osgled ymateb cyson i osgled cyffroi, gan nodweddu nodweddion osgled-amledd, neu'r ffwythiant ennill; Bitiau ar gyfer ymateb cyflwr cyson a chymhelliant cyfnod, nodweddu nodweddion amledd cyfnod. Dangosir y berthynas rhyngddynt ac amledd cyffroi yn FFIG. 5 a FFIG. 6.

Fel y gwelir o'r gromlin osgled-amledd (FFIG. 5), yn achos dampio bach, mae gan y gromlin osgled-amledd un brig. Po leiaf yw'r dampio, y mwyaf serth yw'r brig; Gelwir yr amledd sy'n cyfateb i'r brig yn amledd atseiniol y system. Yn achos dampio bach, nid yw'r amledd atseiniol yn llawer gwahanol i'r amledd naturiol. Pan fydd yr amledd cyffroi yn agos at yr amledd naturiol, mae'r osgled yn cynyddu'n sydyn. Gelwir y ffenomen hon yn atseiniol. Wrth atseiniol, mae enillion y system yn cael eu gwneud y mwyaf posibl, hynny yw, y dirgryniad gorfodol yw'r mwyaf dwys. Felly, yn gyffredinol, ymdrechwch bob amser i osgoi atseiniol, oni bai bod rhai offerynnau ac offer yn defnyddio atseiniol i gyflawni dirgryniad mawr.

FFIG. 5 cromlin amledd osgled

Gellir gweld o'r gromlin amledd cyfnod (ffigur 6), waeth beth fo maint y dampio, mewn bitiau gwahaniaeth cyfnod omega sero = PI / 2, gellir defnyddio'r nodwedd hon yn effeithiol wrth fesur cyseiniant.

Yn ogystal â chyffroi cyson, mae systemau weithiau'n dod ar draws cyffroi ansefydlog. Gellir ei rannu'n fras yn ddau fath: un yw'r effaith sydyn. Yr ail yw effaith barhaol mympwyoldeb. O dan gyffroi ansefydlog, mae ymateb y system hefyd yn ansefydlog.

Offeryn pwerus ar gyfer dadansoddi dirgryniad ansefydlog yw'r dull ymateb ysgogiad. Mae'n disgrifio nodweddion deinamig y system gydag ymateb dros dro mewnbwn ysgogiad uned y system. Gellir mynegi'r ysgogiad uned fel ffwythiant delta. Mewn peirianneg, diffinnir y ffwythiant delta yn aml fel:

Lle mae 0- yn cynrychioli'r pwynt ar yr echelin-t sy'n agosáu at sero o'r chwith; 0 plws yw'r pwynt sy'n mynd i 0 o'r dde.

FFIG. 6 cromlin amledd cyfnod

FFIG. 7 gellir ystyried unrhyw fewnbwn fel swm cyfres o elfennau ysgogiad

Mae'r system yn cyfateb i'r ymateb h(t) a gynhyrchir gan yr ysgogiad uned ar t=0, a elwir yn ffwythiant ymateb ysgogiad. Gan dybio bod y system yn llonydd cyn y pwls, h(t)=0 ar gyfer t<0. Gan wybod ffwythiant ymateb ysgogiad y system, gallwn ddod o hyd i ymateb y system i unrhyw fewnbwn x(t). Ar y pwynt hwn, gallwch feddwl am x(t) fel swm cyfres o elfennau ysgogiad (FFIG. 7). Ymateb y system yw:

Yn seiliedig ar yr egwyddor uwchosod, cyfanswm ymateb y system sy'n cyfateb i x(t) yw:

Gelwir yr integryn hwn yn integryn cyfosod neu'n integryn uwchddosbarthu.

Dirgryniad llinol system aml-radd o ryddid

Dirgryniad system llinol gyda n≥2 gradd o ryddid.

Mae Ffigur 8 yn dangos dau is-system atseiniol syml wedi'u cysylltu gan sbring cyplu. Gan ei fod yn system ddwy radd o ryddid, mae angen dau gyfesuryn annibynnol i bennu ei safle. Mae dau amledd naturiol yn y system hon:

Mae pob amledd yn cyfateb i ddull dirgryniad. Mae'r osgiliaduron harmonig yn cynnal osgiliadau harmonig o'r un amledd, gan basio'n gydamserol trwy'r safle ecwilibriwm a chyrraedd y safle eithafol yn gydamserol. Yn y prif ddirgryniad sy'n cyfateb i omega un, mae x1 yn hafal i x2; Yn y prif ddirgryniad sy'n cyfateb i omega omega dau, omega omega un. Yn y prif ddirgryniad, mae cymhareb dadleoli pob màs yn cadw perthynas benodol ac yn ffurfio dull penodol, a elwir yn brif ddull neu'r dull naturiol. Mae orthogonoldeb màs ac anystwythder yn bodoli ymhlith y prif ddulliau, sy'n adlewyrchu annibyniaeth pob dirgryniad. Mae'r amledd naturiol a'r prif ddull yn cynrychioli nodweddion dirgryniad cynhenid ​​y system aml-radd o ryddid.

FFIG. 8 system gyda sawl gradd o ryddid

Mae gan system o n gradd o ryddid n amleddau naturiol ac n prif fodd. Gellir cynrychioli unrhyw gyfluniad dirgryniad o'r system fel cyfuniad llinol o'r prif foddau. Felly, defnyddir y dull uwchosod prif fodd yn helaeth mewn dadansoddiad ymateb deinamig o systemau aml-dof. Yn y modd hwn, mae mesur a dadansoddi nodweddion dirgryniad naturiol y system yn dod yn gam arferol yn nyluniad deinamig y system.

Gellir disgrifio nodweddion deinamig systemau aml-dof hefyd gan nodweddion amledd. Gan fod ffwythiant nodwedd amledd rhwng pob mewnbwn ac allbwn, mae matrics nodwedd amledd yn cael ei lunio. Mae cromlin nodwedd osgled-amledd y system aml-ryddid yn wahanol i gromlin y system un-ryddid.

Mae'r elastomer yn dirgrynu

Mae'r system aml-radd o ryddid uchod yn fodel mecanyddol bras o elastomer. Mae gan elastomer nifer anfeidraidd o raddau o ryddid. Mae gwahaniaeth meintiol ond dim gwahaniaeth hanfodol rhwng y ddau. Mae gan unrhyw elastomer nifer anfeidraidd o amleddau naturiol a nifer anfeidraidd o ddulliau cyfatebol, ac mae orthogonoldeb rhwng y dulliau màs ac anystwythder. Gellir cynrychioli unrhyw gyfluniad dirgryniadol o'r elastomer hefyd fel uwchosodiad llinol o'r prif ddulliau. Felly, ar gyfer dadansoddi ymateb deinamig elastomer, mae dull uwchosodiad y prif ddull yn dal i fod yn berthnasol (gweler dirgryniad llinol elastomer).

Cymerwch ddirgryniad llinyn. Dyweder bod llinyn tenau o fàs m fesul uned hyd, hyd l, wedi'i densiwn ar y ddau ben, a bod y tensiwn yn T. Ar yr adeg hon, mae amledd naturiol y llinyn yn cael ei bennu gan yr hafaliad canlynol:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Lle mae , yn gyflymder lledaenu'r don draws ar hyd cyfeiriad y llinyn. Mae amleddau naturiol y llinynnau'n digwydd bod yn lluosrifau o'r amledd sylfaenol dros 2l. Mae'r lluosrif cyfan hwn yn arwain at strwythur harmonig dymunol. Yn gyffredinol, nid oes perthynas lluosrif cyfan o'r fath ymhlith amleddau naturiol yr elastomer.

Dangosir y tri modd cyntaf o'r llinyn tensiwn yn FFIG. 9. Mae rhai nodau ar y gromlin modd prif. Yn y prif ddirgryniad, nid yw'r nodau'n dirgrynu. Mae FFIG. 10 yn dangos sawl modd nodweddiadol o'r plât crwn a gynhelir yn gylcheddol gyda rhai llinellau nodol sy'n cynnwys cylchoedd a diamedrau.

Gellir dod i gasgliad ar ffurfiant union y broblem dirgryniad elastomer fel problem gwerth ffin hafaliadau differol rhannol. Fodd bynnag, dim ond mewn rhai o'r achosion symlaf y gellir dod o hyd i'r ateb union, felly mae'n rhaid i ni droi at yr ateb bras ar gyfer y broblem dirgryniad elastomer gymhleth. Hanfod amrywiol atebion bras yw newid yr anfeidraidd i'r meidraidd, hynny yw, i ddisgreteiddio'r system aml-radd o ryddid heb aelod (system barhaus) yn system aml-radd o ryddid meidraidd (system arwahanol). Mae dau fath o ddulliau disgreteiddio a ddefnyddir yn helaeth mewn dadansoddi peirianneg: dull elfennau meidraidd a dull synthesis moddol.

FFIG. 9 modd llinyn

FFIG. 10 modd plât crwn

Mae dull elfennau meidraidd yn strwythur cyfansawdd sy'n crynhoi strwythur cymhleth yn nifer meidraidd o elfennau ac yn eu cysylltu mewn nifer meidraidd o nodau. Mae pob uned yn elastomer; Mynegir dadleoliad dosbarthiad elfen gan ffwythiant rhyngosod dadleoliad nod. Yna mae paramedrau dosbarthiad pob elfen yn cael eu crynhoi i bob nod mewn fformat penodol, a cheir model mecanyddol y system arwahanol.

Synthesis moddol yw dadelfennu strwythur cymhleth yn sawl is-strwythur symlach. Ar sail deall nodweddion dirgryniad pob is-strwythur, caiff yr is-strwythur ei syntheseiddio'n strwythur cyffredinol yn ôl yr amodau cydlynu ar y rhyngwyneb, a cheir morffoleg dirgryniad y strwythur cyffredinol trwy ddefnyddio morffoleg dirgryniad pob is-strwythur.

Mae'r ddau ddull yn wahanol ac yn gysylltiedig, a gellir eu defnyddio fel cyfeirnod. Gellir cyfuno'r dull synthesis moddol yn effeithiol hefyd â'r mesuriad arbrofol i ffurfio dull dadansoddi damcaniaethol ac arbrofol ar gyfer dirgryniad systemau mawr.