Сызыктуу термелүү: системадагы компоненттердин ийкемдүүлүгү Гуктун мыйзамына баш иет, ал эми кыймыл учурунда пайда болгон басаңдатуучу күч жалпыланган ылдамдыктын биринчи теңдемесине (жалпыланган координаттардын убакыт боюнча туундусу) пропорционалдуу.
түшүнүк
Сызыктуу система, адатта, реалдуу системанын термелүүсүнүн абстракттуу модели болуп саналат. Сызыктуу термелүү системасы суперпозиция принцибин колдонот, башкача айтканда, эгерде системанын реакциясы x1 киргизүүсүнүн аракети астында y1, ал эми x2 киргизүүсүнүн аракети астында y2 болсо, анда x1 жана x2 киргизүүсүнүн аракети астында системанын реакциясы y1+y2 болот.
Суперпозиция принцибинин негизинде, каалагандай киргизилген маалыматты чексиз кичинекей импульстардын катарынын суммасына ажыратып, андан кийин системанын жалпы жообун алууга болот. Мезгилдүү козгоонун гармоникалык компоненттеринин суммасын Фурье түрлөнтүү аркылуу гармоникалык компоненттердин катарына кеңейтүүгө болот жана ар бир гармоникалык компоненттин системага тийгизген таасирин өзүнчө изилдөөгө болот. Ошондуктан, туруктуу параметрлери бар сызыктуу системалардын жооп мүнөздөмөлөрүн импульстук жооп же жыштыктык жооп менен сүрөттөөгө болот.
Импульстук жооп системанын бирдик импульска болгон жообун билдирет, ал убакыт аймагындагы системанын жооп мүнөздөмөлөрүн мүнөздөйт. Жыштыктык жооп системанын бирдик гармоникалык киргизүүгө болгон жооп мүнөздөмөсүн билдирет. Экөөнүн ортосундагы дал келүүчүлүк Фурье өзгөртүүсү менен аныкталат.
классификация
Сызыктуу термелүүнү бир эркиндик даражасындагы системанын сызыктуу термелүүсү жана көп эркиндик даражасындагы системанын сызыктуу термелүүсү деп бөлүүгө болот.
(1) бир эркиндик даражасындагы системанын сызыктуу термелүүсү – бул жалпыланган координата менен аныктала турган сызыктуу термелүү. Бул термелүүнүн көптөгөн негизги түшүнүктөрүн жана мүнөздөмөлөрүн алууга боло турган эң жөнөкөй термелүү. Ал жөнөкөй гармоникалык термелүүнү, эркин термелүүнү, басаңдоочу термелүүнү жана мажбурланган термелүүнү камтыйт.
Жөнөкөй гармоникалык термелүү: жылышуусуна пропорционалдуу калыбына келтирүүчү күчтүн таасири астында синусоидалык мыйзам боюнча тең салмактуулук абалына жакын жердеги объекттин өз ара кыймылы.
Өчкөн термелүү: сүрүлүү жана диэлектрикалык каршылык же башка энергия сарптоо менен амплитудасы тынымсыз басаңдап турган термелүү.
Мажбурланган термелүү: туруктуу козголуу учурундагы системанын термелүүсү.
(2) көп эркиндик даражасындагы системанын сызыктуу термелүүсү - бул n≥2 эркиндик даражасы бар сызыктуу системанын термелүүсү. n эркиндик даражасындагы система n табигый жыштыкка жана n негизги режимге ээ. Системанын каалаган термелүү конфигурациясын негизги режимдердин сызыктуу айкалышы катары көрсөтүүгө болот. Ошондуктан, негизги режимдин суперпозиция ыкмасы көп доф системаларынын динамикалык жооп анализинде кеңири колдонулат. Ушундай жол менен системанын табигый термелүү мүнөздөмөлөрүн өлчөө жана талдоо системаны динамикалык долбоорлоодогу кадимки кадам болуп калат. Көп доф системаларынын динамикалык мүнөздөмөлөрүн жыштык мүнөздөмөлөрү менен да сүрөттөөгө болот. Ар бир киргизүү жана чыгаруунун ортосунда жыштык мүнөздөмөсүнүн функциясы болгондуктан, жыштык мүнөздөмөсүнүн матрицасы түзүлөт. Жыштык мүнөздөмөсү менен негизги режимдин ортосунда белгилүү бир байланыш бар. Көп эркиндик системасынын амплитуда-жыштык мүнөздөмөсүнүн ийри сызыгы бир эркиндик системасыныкынан айырмаланат.
Бир эркиндик даражасындагы системанын сызыктуу термелүүсү
Системанын абалын жалпыланган координата менен аныктоого мүмкүн болгон сызыктуу термелүү. Бул термелүүнүн көптөгөн негизги түшүнүктөрүн жана мүнөздөмөлөрүн алууга мүмкүн болгон эң жөнөкөй жана эң фундаменталдык термелүү. Ал жөнөкөй гармоникалык термелүүнү, басаңдатылган термелүүнү жана мажбурланган термелүүнү камтыйт.
Гармоникалык термелүү
Жылмышууга пропорционалдуу калыбына келтирүүчү күчтүн таасири астында, объект тең салмактуулук абалына жакын жерде синусоидалык түрдө өз ара аракеттенет (1-сүрөт). X жылышууну, ал эми t убакытты билдирет. Бул термелүүнүн математикалык туюнтмасы:
(1)Мында A - жылышуунун x максималдуу мааниси, ал амплитуда деп аталат жана термелүүнүн интенсивдүүлүгүн билдирет; Омега n - бул термелүүнүн секундасына бурчтук өсүшүнүн амплитудасы, ал бурчтук жыштык же тегерек жыштык деп аталат; Бул баштапкы фаза деп аталат. f= n/2 шартында секундасына термелүүлөрдүн саны жыштык деп аталат; Мунун тескериси, T=1/f, - бул бир циклдин термелүүсүнө кеткен убакыт, ал эми ал мезгил деп аталат. A амплитудасы, жыштыгы f (же бурчтук жыштык n), баштапкы фаза, жөнөкөй гармоникалык термелүү деп аталат, үч элемент.
1-СҮРӨТ. Жөнөкөй гармоникалык термелүү ийри сызыгы
2-сүрөттө көрсөтүлгөндөй, сызыктуу пружина менен туташтырылган концентрацияланган масса m менен жөнөкөй гармоникалык осциллятор пайда болот. Термелүүнүн жылышуусу тең салмактуулук абалынан эсептелгенде, термелүү теңдемеси төмөнкүдөй болот:
бул жерде - пружинанын катуулугу. Жогорудагы теңдеменин жалпы чечими (1).A жана баштапкы абал x0 жана t=0 учурундагы баштапкы ылдамдык менен аныкталышы мүмкүн:
Бирок омега n кошумча баштапкы шарттардан көз карандысыз, системанын өзүнүн мүнөздөмөлөрү m жана k менен гана аныкталат, ошондуктан омега n табигый жыштык катары да белгилүү.
2-сүрөт. Бирдиктүү эркиндик даражасы системасы
Жөнөкөй гармоникалык осциллятор үчүн анын кинетикалык энергиясы менен потенциалдык энергиясынын суммасы туруктуу, башкача айтканда, системанын жалпы механикалык энергиясы сакталат. Термелүү процессинде кинетикалык энергия менен потенциалдык энергия тынымсыз бири-бирине айланат.
Өчүрүүчү титирөө
Амплитудасы сүрүлүү жана диэлектрикалык каршылык же башка энергия сарптоо менен тынымсыз басаңдап турган термелүү. Микро термелүү үчүн ылдамдык, адатта, анча чоң эмес жана чөйрөнүн каршылыгы ылдамдыкка биринчи даражага пропорционалдуу, аны c - демпферлөө коэффициенти катары жазууга болот. Ошондуктан, сызыктуу демпферлөө менен бир эркиндик даражасынын термелүү теңдемесин төмөнкүдөй жазууга болот:
(2)мында, m = c/2m демпфердик параметр деп аталат, жана. (2) формуланын жалпы чечимин төмөнкүдөй жазууга болот:
(3)Омега n менен PI ортосундагы сандык байланышты төмөнкү үч учурга бөлүүгө болот:
N > (кичинекей демпферлөө учурунда) бөлүкчөлөр пайда кылган басаңдатуучу термелүү, термелүү теңдемеси төмөнкүдөй:
Анын амплитудасы 3-сүрөттө пунктир сызыкта көрсөтүлгөндөй, теңдемеде көрсөтүлгөн экспоненциалдык мыйзамга ылайык убакыттын өтүшү менен азаят. Так айтканда, бул термелүү апериоддук, бирок анын чокусунун жыштыгын төмөнкүдөй аныктоого болот:
Амплитудалык калыбына келүү ылдамдыгы деп аталат, мында термелүү мезгили. Амплитудалык калыбына келүү ылдамдыгынын натуралдык логарифми логарифм минус (амплитудалык) ылдамдык деп аталат. Албетте, =, бул учурда, 2/1ге барабар. Түздөн-түз эксперименталдык сыноо дельтасынан жана жогорудагы формуланы колдонуп, c эсептелиши мүмкүн.
Бул учурда (2) теңдеменин чечимин төмөнкүдөй жазууга болот:
Баштапкы ылдамдыктын багыты менен бирге, аны 4-сүрөттө көрсөтүлгөндөй, термелбеген үч учурга бөлүүгө болот.
N < (чоң демпферлөө учурунда), (2) теңдеменин чечими (3) теңдемеде көрсөтүлгөн. Бул учурда система мындан ары титиребейт.
Мажбурланган титирөө
Туруктуу козголуу учурундагы системанын термелүүсү. Термелүүнү талдоо негизинен системанын козголууга болгон реакциясын изилдейт. Мезгилдүү козголуу - бул типтүү үзгүлтүксүз козголуу. Мезгилдүү козголууну ар дайым бир нече гармоникалык козголуунун суммасына ажыратууга мүмкүн болгондуктан, суперпозиция принцибине ылайык, ар бир гармоникалык козголууга системанын реакциясы гана талап кылынат. Гармоникалык козголуунун таасири астында бир эркиндик даражасындагы өчүргүч системанын кыймылынын дифференциалдык теңдемесин төмөнкүдөй жазууга болот:
Жооп эки бөлүктөн турат. Бир бөлүгү - убакыттын өтүшү менен тездик менен азайып бараткан басаңдатылган термелүүнүн жообу. Аргасыз термелүүнүн башка бөлүгүнүн жообун төмөнкүдөй жазууга болот:
3-СҮРӨТ. Өчүп бараткан термелүү ийри сызыгы
СҮРӨТ 4. Критикалык демпферлөө менен үч баштапкы шарттын ийри сызыктары
Териңиз
H /F0= h (), - бул туруктуу жооп амплитудасынын дүүлүктүрүү амплитудасына болгон катышы, амплитуда-жыштык мүнөздөмөлөрүн же күчөтүү функциясын мүнөздөйт; Туруктуу абалдагы жооп жана фазанын стимулу үчүн биттер, фазанын жыштык мүнөздөмөлөрүнүн мүнөздөмөсү. Алардын жана дүүлүктүрүү жыштыгынын ортосундагы байланыш 5- жана 6-сүрөттөрдө көрсөтүлгөн.
Амплитуда-жыштык ийри сызыгынан (5-сүрөт) көрүнүп тургандай, кичинекей демпферлөө учурунда амплитуда-жыштык ийри сызыгынын бир гана чокусу болот. Демпферлөө канчалык кичине болсо, чоку ошончолук тик болот; Чокуга туура келген жыштык системанын резонанстык жыштыгы деп аталат. Кичине демпферлөө учурунда резонанстык жыштык табигый жыштыктан анча айырмаланбайт. Козголуу жыштыгы табигый жыштыкка жакын болгондо, амплитуда кескин жогорулайт. Бул кубулуш резонанс деп аталат. Резонанста системанын күчөтүү коэффициенти максималдашат, башкача айтканда, мажбурланган термелүү эң күчтүү болот. Ошондуктан, жалпысынан алганда, резонанстан качууга аракет кылыңыз, эгерде кээ бир шаймандар жана жабдуулар чоң термелүүлөргө жетүү үчүн резонансты колдонбосо.
5-сүрөт. Амплитудалык жыштык ийри сызыгы
Фазалык жыштык ийри сызыгынан (6-сүрөт) көрүнүп тургандай, демпфердин өлчөмүнө карабастан, омега нөлдүк фазалык айырма биттери = PI / 2 болгондо, бул мүнөздөмөнү резонансты өлчөөдө натыйжалуу колдонсо болот.
Туруктуу козголуудан тышкары, системалар кээде туруксуз козголууга туш болушат. Аны болжол менен эки түргө бөлүүгө болот: бири - күтүүсүз сокку. Экинчиси - өзүм билемдиктин узакка созулган таасири. Туруксуз козголууда системанын реакциясы да туруксуз болот.
Туруксуз термелүүнү талдоо үчүн күчтүү курал - импульстук жооп берүү ыкмасы. Ал системанын динамикалык мүнөздөмөлөрүн системанын бирдик импульс киргизүүсүнүн өткөөл жообу менен сүрөттөйт. Бирдик импульсун дельта функциясы катары туюнтса болот. Инженерияда дельта функциясы көбүнчө төмөнкүдөй аныкталат:
Мында 0- солдон нөлгө жакындаган t огундагы чекитти билдирет; 0 кошуу оңдон 0гө бара жаткан чекит.
СҮРӨТ 6. Фазалык жыштык ийри сызыгы
7-СҮРӨТ. Ар кандай киргизүү импульстук элементтердин катарынын суммасы катары каралышы мүмкүн.
Система t=0 учурунда бирдик импульс тарабынан пайда болгон h(t) жоопко туура келет, ал импульстук жооп функциясы деп аталат. Эгерде система импульстун алдында стационардык деп эсептесек, t<0 үчүн h(t)=0. Системанын импульстук жооп функциясын билип, биз системанын каалаган x(t) киргизүүсүнө болгон жоопту таба алабыз. Бул жерде x(t) бир катар импульс элементтеринин суммасы катары элестетсеңиз болот (7-сүрөт). Системанын жооп кайтаруусу төмөнкүдөй:
Суперпозиция принцибине таянып, x(t) ге туура келген системанын жалпы реакциясы төмөнкүдөй:
Бул интеграл конволюциялык интеграл же суперпозициялык интеграл деп аталат.
Көп эркиндик даражасындагы системанын сызыктуу термелүүсү
n≥2 эркиндик даражасы бар сызыктуу системанын термелүүсү.
8-сүрөттө бириктирүүчү пружина менен туташкан эки жөнөкөй резонанстык кичи система көрсөтүлгөн. Бул эки эркиндик даражасындагы система болгондуктан, анын абалын аныктоо үчүн эки көз карандысыз координата керек. Бул системада эки табигый жыштык бар:
Ар бир жыштык термелүүнүн режимине туура келет. Гармоникалык осцилляторлор бирдей жыштыктагы гармоникалык термелүүлөрдү аткарышат, тең салмактуулук абалынан синхрондуу өтүп, экстремалдык абалга синхрондуу түрдө жетишет. Омега бирине туура келген негизги термелүүдө x1 x2ге барабар; Омега омега экиге туура келген негизги термелүүдө омега омега бир. Негизги термелүүдө ар бир массанын жылышуу катышы белгилүү бир байланышты сактап, белгилүү бир режимди түзөт, ал негизги режим же табигый режим деп аталат. Массанын жана катуулуктун ортогоналдуулугу негизги режимдердин ортосунда бар, бул ар бир термелүүнүн көз карандысыздыгын чагылдырат. Табигый жыштык жана негизги режим көп эркиндик даражасындагы системанын ички термелүү мүнөздөмөлөрүн билдирет.
8-СҮРӨТ. Көп эркиндик даражалары бар система
n эркиндик даражасындагы система n табигый жыштыкка жана n негизги режимге ээ. Системанын каалаган термелүү конфигурациясын негизги режимдердин сызыктуу айкалышы катары көрсөтүүгө болот. Ошондуктан, негизги режимдин суперпозиция ыкмасы көп дофтук системалардын динамикалык жооп анализинде кеңири колдонулат. Ушундай жол менен системанын табигый термелүү мүнөздөмөлөрүн өлчөө жана талдоо системаны динамикалык долбоорлоодогу кадимки кадам болуп калат.
Көп дофтук системалардын динамикалык мүнөздөмөлөрүн жыштык мүнөздөмөлөрү менен да сүрөттөөгө болот. Ар бир киргизүү жана чыгаруу ортосунда жыштык мүнөздөмөсүнүн функциясы болгондуктан, жыштык мүнөздөмөсүнүн матрицасы түзүлөт. Көп эркиндик системасынын амплитуда-жыштык мүнөздөмөсүнүн ийри сызыгы бир эркиндик системасыныкынан айырмаланат.
Эластомер титирейт
Жогорудагы көп эркиндик даражасындагы система эластомердин болжолдуу механикалык модели болуп саналат. Эластомердин эркиндик даражалары чексиз санда. Экөөнүн ортосунда сандык айырма бар, бирок олуттуу айырма жок. Ар кандай эластомердин чексиз сандагы табигый жыштыктары жана чексиз сандагы тиешелүү моддору бар, жана масса менен катуулук режимдеринин ортосунда ортогоналдык бар. Эластомердин ар кандай термелүү конфигурациясын негизги моддордун сызыктуу суперпозициясы катары да көрсөтүүгө болот. Ошондуктан, эластомердин динамикалык жооп анализи үчүн негизги моддун суперпозиция ыкмасы дагы эле колдонулат (эластомердин сызыктуу термелүүсүн караңыз).
Кылдын термелүүсүн алалы. Мисалы, узундук бирдигине m массасы бар, узундугу l болгон ичке кыл эки учунан тартылып, тартылуу күчү Т деп коёлу. Бул учурда, кылдын табигый жыштыгы төмөнкү теңдеме менен аныкталат:
F = na/2l (n = 1,2,3…).
мында , - жиптин багыты боюнча туурасынан кеткен толкундун таралуу ылдамдыгы. Жиптердин табигый жыштыктары 2лдеги негизги жыштыктын эселенген санына барабар. Бул бүтүн сан көптүгү жагымдуу гармоникалык түзүлүшкө алып келет. Жалпысынан алганда, эластомердин табигый жыштыктарынын ортосунда мындай бүтүн сан көптүк байланыш жок.
Тартылган жиптин алгачкы үч режими 9-сүрөттө көрсөтүлгөн. Негизги режим ийри сызыгында бир нече түйүндөр бар. Негизги термелүүдө түйүндөр титиребейт. 10-сүрөттө тегерекчелер жана диаметрлерден турган түйүндүү сызыктары бар айланма таянычтуу тегерек пластинанын бир нече типтүү режимдери көрсөтүлгөн.
Эластомердин термелүү маселесинин так формулировкасы жарым-жартылай дифференциалдык теңдемелердин чек ара маселеси катары тыянак чыгарууга болот. Бирок, так чечимди эң жөнөкөй учурларда гана табууга болот, андыктан татаал эластомердин термелүү маселеси үчүн болжолдуу чечимге кайрылууга туура келет. Ар кандай болжолдуу чечимдердин маңызы чексизди чектүүгө өзгөртүүдө, башкача айтканда, мүчөсүз көп эркиндик даражасындагы системаны (үзгүлтүксүз системаны) чектүү көп эркиндик даражасындагы системага (дискреттик система) дискреттештирүүдө турат. Инженердик анализде кеңири колдонулган дискреттештирүү ыкмаларынын эки түрү бар: чектүү элементтер ыкмасы жана модалдык синтез ыкмасы.
9-сүрөт. Кылдардын режими
10-сүрөт. Тегерек пластинанын режими
Чектүү элемент ыкмасы – бул татаал түзүлүштү чектүү сандагы элементтерге абстракциялап, аларды чектүү сандагы түйүндөрдө бириктирген курама түзүлүш. Ар бир бирдик эластомер болуп саналат; Элементтин бөлүштүрүү жылышуусу түйүндүн жылышынын интерполяциялык функциясы менен көрсөтүлөт. Андан кийин ар бир элементтин бөлүштүрүү параметрлери ар бир түйүнгө белгилүү бир форматта топтолот жана дискреттик системанын механикалык модели алынат.
Модалдык синтез - бул татаал түзүлүштүн бир нече жөнөкөй субструктураларга ажыроо. Ар бир субструктуранын термелүү мүнөздөмөлөрүн түшүнүүнүн негизинде, субструктура интерфейстеги координация шарттарына ылайык жалпы түзүлүшкө синтезделет жана жалпы түзүлүштүн термелүү морфологиясы ар бир субструктуранын термелүү морфологиясын колдонуу менен алынат.
Бул эки ыкма ар башка жана бири-бири менен байланыштуу жана аларды шилтеме катары колдонсо болот. Модалдык синтез ыкмасын чоң системалардын термелүүсү үчүн теориялык жана эксперименталдык анализ ыкмасын түзүү үчүн эксперименталдык өлчөө менен натыйжалуу айкалыштырууга болот.
Жарыяланган убактысы: 2020-жылдын 3-апрели
