선형 진동시스템 구성 요소의 탄성은 훅의 법칙을 따르며, 운동 중에 발생하는 감쇠력은 일반화된 속도의 첫 번째 방정식(일반화된 좌표의 시간 미분)에 비례합니다.
개념
선형 시스템은 일반적으로 실제 시스템의 진동을 추상적으로 모델링한 것입니다. 선형 진동 시스템은 중첩 원리를 적용합니다. 즉, 입력 x1의 작용에 대한 시스템 응답이 y1이고, 입력 x2의 작용에 대한 응답이 y2이면, 입력 x1과 x2가 모두 작용할 때의 시스템 응답은 y1+y2입니다.
중첩 원리에 따라 임의의 입력은 일련의 미소 임펄스의 합으로 분해될 수 있으며, 이를 통해 시스템의 전체 응답을 얻을 수 있습니다. 주기적인 가진의 고조파 성분의 합은 푸리에 변환을 통해 일련의 고조파 성분으로 전개될 수 있으며, 각 고조파 성분이 시스템에 미치는 영향을 개별적으로 분석할 수 있습니다. 따라서 상수 파라미터를 갖는 선형 시스템의 응답 특성은 임펄스 응답 또는 주파수 응답으로 설명할 수 있습니다.
임펄스 응답은 시스템이 단위 임펄스에 대해 나타내는 응답으로, 시간 영역에서 시스템의 응답 특성을 보여줍니다. 주파수 응답은 시스템이 단위 고조파 입력에 대해 나타내는 응답 특성을 보여줍니다. 이 둘 사이의 대응 관계는 푸리에 변환을 통해 결정됩니다.
분류
선형 진동은 단일 자유도 시스템의 선형 진동과 다중 자유도 시스템의 선형 진동으로 나눌 수 있다.
(1) 단일자유도계의 선형진동은 일반화좌표로 위치를 결정할 수 있는 선형진동이다. 이는 진동의 많은 기본 개념과 특성을 도출할 수 있는 가장 간단한 진동이다. 여기에는 단순조화진동, 자유진동, 감쇠진동, 강제진동이 포함된다.
단순 조화 진동: 물체의 변위에 비례하는 복원력의 작용 하에, 평형 위치 부근에서 사인파 법칙에 따라 왕복 운동하는 현상.
감쇠 진동: 마찰, 유전 저항 또는 기타 에너지 소모로 인해 진폭이 지속적으로 감쇠되는 진동.
강제 진동: 지속적인 가진 하에서 시스템의 진동.
(2) 다자유도 시스템의 선형 진동은 n≥2 자유도를 갖는 선형 시스템의 진동이다. n 자유도를 갖는 시스템은 n개의 고유 진동수와 n개의 주 모드를 가진다. 시스템의 모든 진동 구성은 주 모드의 선형 조합으로 표현될 수 있다. 따라서 주 모드 중첩법은 다자유도 시스템의 동적 응답 해석에 널리 사용된다. 이와 같이 시스템의 고유 진동 특성 측정 및 분석은 시스템의 동적 설계에서 일상적인 단계가 된다. 다자유도 시스템의 동적 특성은 주파수 특성으로도 설명할 수 있다. 각 입력과 출력 사이에는 주파수 특성 함수가 존재하므로 주파수 특성 행렬을 구성할 수 있다. 주파수 특성과 주 모드 사이에는 명확한 관계가 있다. 다자유도 시스템의 진폭-주파수 특성 곡선은 단일 자유도 시스템의 그것과 다르다.
단일 자유도 시스템의 선형 진동
시스템의 위치를 일반화 좌표로 나타낼 수 있는 선형 진동입니다. 이는 진동의 많은 기본 개념과 특성을 도출할 수 있는 가장 단순하고 기본적인 진동입니다. 단순 조화 진동, 감쇠 진동, 강제 진동 등이 포함됩니다.
조화 진동
변위에 비례하는 복원력의 작용으로 물체는 평형 위치 근처에서 정현파적으로 왕복 운동합니다(그림 1). 여기서 X는 변위, t는 시간입니다. 이 진동의 수학적 표현은 다음과 같습니다.
(1)여기서 A는 변위 x의 최댓값으로 진폭이라고 하며 진동의 강도를 나타냅니다. ωn은 초당 진동 각도의 증가량으로 각진동수 또는 원형진동수라고 합니다. 이를 초기 위상이라고 합니다. f=n/2로 표현되는 초당 진동수는 진동수라고 합니다. 진동수의 역수인 T=1/f는 한 주기 진동에 걸리는 시간이며 이를 주기라고 합니다. 진폭 A, 진동수 f(또는 각진동수 n), 초기 위상은 단순 조화 진동의 세 가지 요소로 알려져 있습니다.
그림 1. 단순 조화 진동 곡선
그림 2에서 보는 바와 같이, 선형 스프링으로 연결된 집중 질량 m으로 이루어진 단순 조화 진동자가 형성된다. 평형 위치에서 진동 변위를 계산하면 진동 방정식은 다음과 같다.
스프링의 강성은 어디에 있습니까? 위 방정식의 일반해는 (1)입니다. A는 초기 위치 x0와 t=0에서의 초기 속도에 의해 결정될 수 있습니다.
하지만 오메가 n은 추가적인 초기 조건과는 무관하게 시스템 자체의 특성 m과 k에 의해서만 결정되므로, 오메가 n은 고유 진동수라고도 알려져 있습니다.
그림 2. 단일 자유도 시스템
단순 조화 진동자의 경우, 운동 에너지와 위치 에너지의 합은 일정하며, 즉 시스템의 전체 역학적 에너지는 보존됩니다. 진동 과정에서 운동 에너지와 위치 에너지는 끊임없이 서로 변환됩니다.
감쇠 진동
마찰, 유전 저항 또는 기타 에너지 소모에 의해 진폭이 지속적으로 감쇠되는 진동을 미세 진동이라고 합니다. 미세 진동의 경우, 속도는 일반적으로 크지 않으며, 매질의 저항은 속도의 1제곱에 비례합니다. 여기서 c는 감쇠 계수입니다. 따라서 선형 감쇠를 갖는 1자유도 진동의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
(2)여기서 m = c/2m은 감쇠 매개변수라고 하며, 공식 (2)의 일반해는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
(3)오메가 n과 PI 사이의 수치적 관계는 다음과 같은 세 가지 경우로 나눌 수 있습니다.
(감쇠가 작은 경우) N > 입자에 의해 발생하는 감쇠 진동의 진동 방정식은 다음과 같습니다.
그림 3의 점선으로 표시된 것처럼, 진폭은 방정식에 나타낸 지수 법칙에 따라 시간에 따라 감소합니다. 엄밀히 말하면 이 진동은 비주기적이지만, 최대 진동수는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.
진폭 감소율이라고 하며, 여기서 는 진동 주기입니다. 진폭 감소율의 자연로그를 로그 마이너스(진폭)율이라고 합니다. 당연히 이 경우 = 는 2/1과 같습니다. 실험을 통해 델타 값을 직접 구하고 위의 공식을 사용하여 c 값을 계산할 수 있습니다.
이때, 방정식 (2)의 해는 다음과 같이 쓸 수 있다.
초기 속도의 방향과 함께, 그림 4에 나타낸 바와 같이 진동이 없는 세 가지 경우로 나눌 수 있다.
N < (큰 감쇠의 경우), 방정식 (2)의 해는 방정식 (3)에 나타나 있습니다. 이 시점에서 시스템은 더 이상 진동하지 않습니다.
강제 진동
일정한 가진 하에서의 시스템 진동. 진동 해석은 주로 가진에 대한 시스템의 응답을 연구합니다. 주기적 가진은 대표적인 규칙적인 가진입니다. 주기적 가진은 중첩 원리에 따라 여러 개의 조화 가진의 합으로 분해될 수 있으므로, 각 조화 가진에 대한 시스템의 응답만 고려하면 됩니다. 조화 가진의 작용 하에서, 단일 자유도 감쇠 시스템의 운동 미분 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
응답은 두 부분의 합입니다. 한 부분은 시간에 따라 빠르게 감소하는 감쇠 진동의 응답이고, 다른 부분은 강제 진동의 응답으로 나타낼 수 있습니다.
그림 3. 감쇠 진동 곡선
그림 4. 임계 감쇠를 갖는 세 가지 초기 조건의 곡선
입력하세요
H/F0=h()는 정상 응답 진폭과 여기 진폭의 비율로, 진폭-주파수 특성 또는 이득 함수를 나타냅니다. 비트는 정상 상태 응답과 위상 인센티브를 나타내며, 위상-주파수 특성을 나타냅니다. 이들 간의 관계와 여기 주파수와의 관계는 그림 5와 그림 6에 나타나 있습니다.
진폭-주파수 곡선(그림 5)에서 볼 수 있듯이, 감쇠가 작을 경우 진폭-주파수 곡선은 단일 피크를 나타냅니다. 감쇠가 작을수록 피크는 더 가파르게 변하며, 이 피크에 해당하는 주파수를 시스템의 공진 주파수라고 합니다. 감쇠가 작을 경우 공진 주파수는 고유 주파수와 크게 다르지 않습니다. 가진 주파수가 고유 주파수에 가까워지면 진폭이 급격히 증가하는데, 이러한 현상을 공진이라고 합니다. 공진 시 시스템의 이득이 최대화되어 강제 진동이 가장 강해집니다. 따라서 일반적으로 공진을 피해야 하지만, 큰 진동을 얻기 위해 공진을 이용하는 기기나 장비는 예외입니다.
그림 5. 진폭 주파수 곡선
위상 주파수 곡선(그림 6)에서 볼 수 있듯이, 감쇠 크기에 관계없이 오메가 0 위상차 비트 = PI/2이므로 이 특성을 공진 측정에 효과적으로 사용할 수 있습니다.
시스템은 정상 가진 외에도 때때로 비정상 가진에 직면합니다. 비정상 가진은 크게 두 가지 유형으로 나눌 수 있는데, 하나는 갑작스러운 충격이고 다른 하나는 임의적인 영향이 오래 지속되는 것입니다. 비정상 가진 하에서 시스템의 응답 또한 비정상적입니다.
비정상 진동을 분석하는 강력한 도구 중 하나는 임펄스 응답법입니다. 이 방법은 시스템에 가해지는 단위 임펄스 입력에 대한 과도 응답을 통해 시스템의 동적 특성을 설명합니다. 단위 임펄스는 델타 함수로 표현될 수 있습니다. 공학에서 델타 함수는 다음과 같이 정의되는 경우가 많습니다.
여기서 0-는 t축 상에서 왼쪽에서 0으로 접근하는 지점을 나타내고, 0+는 오른쪽에서 0으로 접근하는 지점을 나타냅니다.
그림 6. 위상 주파수 곡선
그림 7에서와 같이 모든 입력은 일련의 임펄스 요소의 합으로 간주될 수 있다.
이 시스템은 t=0에서 단위 임펄스에 의해 생성된 응답 h(t)에 해당하며, 이를 임펄스 응답 함수라고 합니다. 펄스가 가해지기 전에 시스템이 정지 상태라고 가정하면, t<0일 때 h(t)=0입니다. 시스템의 임펄스 응답 함수를 알면 임의의 입력 x(t)에 대한 시스템의 응답을 구할 수 있습니다. 이때 x(t)는 일련의 임펄스 요소의 합으로 생각할 수 있습니다(그림 7). 시스템의 응답은 다음과 같습니다.
중첩 원리에 따라 x(t)에 대한 시스템의 전체 응답은 다음과 같습니다.
이 적분은 합성곱 적분 또는 중첩 적분이라고 합니다.
다자유도 시스템의 선형 진동
자유도가 n≥2인 선형 시스템의 진동.
그림 8은 연결 스프링으로 연결된 두 개의 간단한 공진 하위 시스템을 보여줍니다. 이 시스템은 2자유도 시스템이므로 위치를 결정하기 위해서는 두 개의 독립적인 좌표가 필요합니다. 이 시스템에는 두 개의 고유 진동수가 있습니다.
각 주파수는 진동 모드에 해당합니다. 조화 진동자는 동일한 주파수로 조화 진동을 수행하며, 평형 위치와 극단 위치를 동시에 통과합니다. 오메가 1에 해당하는 주 진동에서는 x1과 x2가 같고, 오메가 2에 해당하는 주 진동에서는 오메가 1과 오메가 2가 같습니다. 주 진동에서 각 질량의 변위 비율은 일정한 관계를 유지하며 특정 모드를 형성하는데, 이를 주 모드 또는 고유 모드라고 합니다. 주 모드들 사이에는 질량과 강성의 직교성이 존재하며, 이는 각 진동의 독립성을 반영합니다. 고유 주파수와 주 모드는 다자유도 시스템의 고유한 진동 특성을 나타냅니다.
그림 8. 다중 자유도를 갖는 시스템
n개의 자유도를 가진 시스템은 n개의 고유 진동수와 n개의 주 모드를 갖습니다. 시스템의 모든 진동 형상은 주 모드들의 선형 조합으로 표현될 수 있습니다. 따라서 주 모드 중첩법은 다자유도 시스템의 동적 응답 해석에 널리 사용됩니다. 이러한 방식으로 시스템의 고유 진동 특성 측정 및 분석은 시스템의 동적 설계에서 필수적인 단계가 되었습니다.
다자유도 시스템의 동적 특성은 주파수 특성으로도 설명할 수 있다. 각 입력과 출력 사이에는 주파수 특성 함수가 존재하므로 주파수 특성 행렬을 구성할 수 있다. 다자유도 시스템의 진폭-주파수 특성 곡선은 단자유도 시스템의 그것과 다르다.
엘라스토머가 진동합니다
위의 다자유도 시스템은 엘라스토머의 근사적인 역학 모델입니다. 엘라스토머는 무한한 수의 자유도를 가지고 있습니다. 양적인 차이는 있지만 본질적인 차이는 없습니다. 모든 엘라스토머는 무한한 수의 고유 진동수와 이에 대응하는 무한한 수의 모드를 가지며, 질량 모드와 강성 모드 사이에는 직교성이 존재합니다. 엘라스토머의 모든 진동 구성은 주요 모드의 선형 중첩으로도 표현될 수 있습니다. 따라서 엘라스토머의 동적 응답 분석에는 주요 모드의 중첩법이 여전히 적용 가능합니다(엘라스토머의 선형 진동 참조).
현의 진동을 생각해 봅시다. 길이 l, 단위 길이당 질량 m인 가는 현이 양 끝에 장력 T로 걸려 있다고 가정해 보겠습니다. 이때 현의 고유 진동수는 다음 방정식으로 결정됩니다.
F =na/2l (n= 1,2,3…).
여기서 는 현의 진행 방향을 따라 전파되는 횡파의 속도입니다. 현의 고유 진동수는 기본 진동수의 2λ의 정수배입니다. 이러한 정수배 관계는 듣기 좋은 하모닉 구조를 만들어냅니다. 일반적으로 엘라스토머의 고유 진동수 사이에는 이러한 정수배 관계가 존재하지 않습니다.
그림 9는 장력이 가해진 현의 첫 세 가지 모드를 보여줍니다. 주 모드 곡선에는 몇 개의 마디가 있습니다. 주 진동에서는 마디가 진동하지 않습니다. 그림 10은 원주 방향으로 지지된 원형 판의 몇 가지 전형적인 모드를 보여주며, 마디선은 원과 지름으로 이루어져 있습니다.
탄성체 진동 문제의 정확한 정식화는 편미분 방정식의 경계값 문제로 나타낼 수 있습니다. 그러나 정확한 해는 일부 간단한 경우에만 구할 수 있으므로 복잡한 탄성체 진동 문제에 대해서는 근사해를 사용해야 합니다. 다양한 근사해의 핵심은 무한대를 유한대로 바꾸는 것, 즉 연속적인 다자유도 시스템을 유한한 다자유도 시스템(이산 시스템)으로 이산화하는 것입니다. 공학 분석에서 널리 사용되는 이산화 방법에는 유한 요소법과 모달 합성법 두 가지가 있습니다.
그림 9. 현의 모드
그림 10. 원형 판의 모드
유한 요소법은 복잡한 구조를 유한 개의 요소로 추상화하고 유한 개의 절점에서 이들을 연결하는 복합 구조입니다. 각 요소는 탄성체로 간주되며, 요소의 변위 분포는 절점 변위의 보간 함수로 표현됩니다. 이렇게 각 요소의 분포 매개변수는 특정 형식으로 각 절점에 집중되어 이산 시스템의 역학적 모델을 얻을 수 있습니다.
모달 합성은 복잡한 구조를 여러 개의 간단한 하위 구조로 분해하는 것입니다. 각 하위 구조의 진동 특성을 이해하고, 인터페이스의 조정 조건에 따라 하위 구조들을 합성하여 일반 구조를 만들고, 각 하위 구조의 진동 형태를 이용하여 일반 구조의 진동 형태를 얻습니다.
두 방법은 서로 다르면서도 연관되어 있으며, 참고 자료로 활용될 수 있다. 모달 합성법은 실험 측정과 효과적으로 결합하여 대형 시스템의 진동에 대한 이론 및 실험 분석 방법을 구성할 수도 있다.
게시 시간: 2020년 4월 3일
