Ce este vibrația liniară?

Vibrații liniareElasticitatea componentelor din sistem este supusă legii lui Hooke, iar forța de amortizare generată în timpul mișcării este proporțională cu prima ecuație a vitezei generalizate (derivata în timp a coordonatelor generalizate).

concept

Un sistem liniar este de obicei un model abstract al vibrației unui sistem real. Sistemul liniar de vibrații aplică principiul superpoziției, adică, dacă răspunsul sistemului este y1 sub acțiunea intrării x1 și y2 sub acțiunea intrării x2, atunci răspunsul sistemului sub acțiunea intrărilor x1 și x2 este y1 + y2.

Pe baza principiului superpoziției, o intrare arbitrară poate fi descompusă în suma unei serii de impulsuri infinitezimale, iar apoi se poate obține răspunsul total al sistemului. Suma componentelor armonice ale unei excitații periodice poate fi extinsă într-o serie de componente armonice prin transformarea Fourier, iar efectul fiecărei componente armonice asupra sistemului poate fi investigat separat. Prin urmare, caracteristicile de răspuns ale sistemelor liniare cu parametri constanți pot fi descrise prin răspunsul la impuls sau răspunsul în frecvență.

Răspunsul la impuls se referă la răspunsul sistemului la impulsul unitar, care caracterizează caracteristicile de răspuns ale sistemului în domeniul timp. Răspunsul la frecvență se referă la caracteristica de răspuns a sistemului la intrarea armonică unitară. Corespondența dintre cele două este determinată de transformata Fourier.

clasificare

Vibrațiile liniare pot fi împărțite în vibrații liniare ale sistemelor cu un singur grad de libertate și vibrații liniare ale sistemelor cu mai multe grade de libertate.

(1) Vibrația liniară a unui sistem cu un singur grad de libertate este o vibrație liniară a cărei poziție poate fi determinată printr-o coordonată generalizată. Este cea mai simplă vibrație din care pot fi derivate multe concepte și caracteristici de bază ale vibrațiilor. Include vibrația armonică simplă, vibrația liberă, vibrația de atenuare și vibrația forțată.

Vibrație armonică simplă: mișcarea alternativă a unui obiect în vecinătatea poziției sale de echilibru conform unei legi sinusoidale sub acțiunea unei forțe de revenire proporționale cu deplasarea sa.

Vibrație amortizată: vibrație a cărei amplitudine este atenuată continuu de prezența frecării și a rezistenței dielectrice sau de alt consum de energie.

Vibrație forțată: vibrația unui sistem aflat sub o excitație constantă.

(2) Vibrația liniară a sistemului cu mai multe grade de libertate este vibrația sistemului liniar cu n ≥ 2 grade de libertate. Un sistem cu n grade de libertate are n frecvențe naturale și n moduri principale. Orice configurație de vibrație a sistemului poate fi reprezentată ca o combinație liniară a modurilor principale. Prin urmare, metoda suprapunerii modurilor principale este utilizată pe scară largă în analiza răspunsului dinamic al sistemelor cu mai multe grade de libertate. În acest fel, măsurarea și analiza caracteristicilor vibrației naturale ale sistemului devin o etapă de rutină în proiectarea dinamică a sistemului. Caracteristicile dinamice ale sistemelor cu mai multe grade de libertate pot fi descrise și prin caracteristici de frecvență. Deoarece există o funcție caracteristică de frecvență între fiecare intrare și ieșire, se construiește o matrice a caracteristicilor de frecvență. Există o relație clară între caracteristica de frecvență și modul principal. Curba caracteristică amplitudine-frecvență a sistemului cu mai multe grade de libertate este diferită de cea a sistemului cu o singură libertate.

Vibrația liniară a unui sistem cu un singur grad de libertate

O vibrație liniară în care poziția unui sistem poate fi determinată printr-o coordonată generalizată. Este cea mai simplă și fundamentală vibrație din care pot fi derivate multe concepte și caracteristici de bază ale vibrațiilor. Include vibrația armonică simplă, vibrația amortizată și vibrația forțată.

Vibrație armonică

Sub acțiunea forței de restabilire proporțională cu deplasarea, obiectul se mișcă alternativ sinusoidal în apropierea poziției sale de echilibru (FIG. 1). X reprezintă deplasarea, iar t reprezintă timpul. Expresia matematică a acestei vibrații este:

(1)Unde A este valoarea maximă a deplasării x, care se numește amplitudine și reprezintă intensitatea vibrației; Omega n este amplitudinea Incrementului unghiular al vibrației pe secundă, care se numește frecvență unghiulară sau frecvență circulară; Aceasta se numește faza inițială. În termeni de f = n/2, numărul de oscilații pe secundă se numește frecvență; Inversul acesteia, T = 1/f, este timpul necesar pentru a oscila un ciclu și se numește perioadă. Amplitudinea A, frecvența f (sau frecvența unghiulară n), faza inițială, cunoscută sub numele de vibrație armonică simplă a celor trei elemente.

FIG. 1 curbă simplă de vibrație armonică

Așa cum se arată în FIG. 2, un oscilator armonic simplu este format din masa concentrată m conectată printr-un arc liniar. Când deplasarea vibrației este calculată din poziția de echilibru, ecuația vibrației este:

Unde este rigiditatea arcului. Soluția generală a ecuației de mai sus este (1). A și poate fi determinată prin poziția inițială x0 și viteza inițială la t=0:

Însă omega n este determinat doar de caracteristicile sistemului în sine m și k, independent de condițiile inițiale suplimentare, deci omega n este cunoscut și sub denumirea de frecvență naturală.

FIG. 2 sistem cu un singur grad de libertate

Pentru un oscilator armonic simplu, suma energiei sale cinetice și a energiei potențiale este constantă, adică energia mecanică totală a sistemului este conservată. În procesul de vibrație, energia cinetică și energia potențială se transformă constant una în cealaltă.

Vibrația de amortizare

O vibrație a cărei amplitudine este atenuată continuu de frecare și rezistență dielectrică sau alt consum de energie. Pentru microvibrații, viteza nu este în general foarte mare, iar rezistența mediului este proporțională cu viteza la prima putere, ceea ce poate fi scris ca c este coeficientul de amortizare. Prin urmare, ecuația vibrației de un grad de libertate cu amortizare liniară poate fi scrisă ca:

(2)Unde m = c/2m se numește parametrul de amortizare și. Soluția generală a formulei (2) poate fi scrisă:

(3)Relația numerică dintre omega n și PI poate fi împărțită în următoarele trei cazuri:

N > (în cazul amortizării mici) vibrația de atenuare produsă de particule, ecuația vibrației este:

Amplitudinea sa scade în timp conform legii exponențiale prezentate în ecuație, așa cum se arată pe linia punctată din FIG. 3. Strict vorbind, această vibrație este aperiodică, dar frecvența vârfului său poate fi definită ca:

Se numește rată de reducere a amplitudinii, unde este perioada vibrației. Logaritmul natural al ratei de reducere a amplitudinii se numește logaritm minus rata (amplitudine). Evident, =, în acest caz, este egal cu 2/1. Direct prin testul experimental delta și, folosind formula de mai sus, se poate calcula c.

În acest moment, soluția ecuației (2) poate fi scrisă:

Împreună cu direcția vitezei inițiale, aceasta poate fi împărțită în trei cazuri fără vibrații, așa cum se arată în FIG. 4.

N < (în cazul amortizării mari), soluția ecuației (2) este prezentată în ecuația (3). În acest moment, sistemul nu mai vibrează.

Vibrații forțate

Vibrația unui sistem sub o excitație constantă. Analiza vibrațiilor investighează în principal răspunsul sistemului la excitație. Excitația periodică este o excitație regulată tipică. Deoarece excitația periodică poate fi întotdeauna descompusă în suma mai multor excitații armonice, conform principiului suprapunerii, este necesar doar răspunsul sistemului la fiecare excitație armonică. Sub acțiunea excitației armonice, ecuația diferențială a mișcării unui sistem amortizat cu un singur grad de libertate poate fi scrisă:

Răspunsul este suma a două părți. O parte este răspunsul vibrației amortizate, care se diminuează rapid în timp. Răspunsul celeilalte părți a vibrației forțate poate fi scris:

FIG. 3 curbă de vibrații amortizate

FIG. 4 curbe ale trei condiții inițiale cu amortizare critică

Tastați

H /F0 = h (), este raportul dintre amplitudinea răspunsului staționar și amplitudinea excitației, caracterizând caracteristicile amplitudine-frecvență sau funcția de amplificare; Biți pentru răspunsul în stare staționară și stimularea fazei, caracterizarea caracteristicilor frecvenței fazei. Relația dintre aceștia și frecvența de excitație este prezentată în FIG. 5 și FIG. 6.

După cum se poate observa din curba amplitudine-frecvență (FIG. 5), în cazul unei amortizări mici, curba amplitudine-frecvență are un singur vârf. Cu cât amortizarea este mai mică, cu atât vârful este mai abrupt; Frecvența corespunzătoare vârfului se numește frecvența de rezonanță a sistemului. În cazul unei amortizări mici, frecvența de rezonanță nu este mult diferită de frecvența naturală. Când frecvența de excitație este apropiată de frecvența naturală, amplitudinea crește brusc. Acest fenomen se numește rezonanță. La rezonanță, câștigul sistemului este maximizat, adică vibrația forțată este cea mai intensă. Prin urmare, în general, trebuie să se încerce întotdeauna evitarea rezonanței, cu excepția cazului în care unele instrumente și echipamente utilizează rezonanța pentru a obține vibrații mari.

FIG. 5 curba de frecvență a amplitudinii

Se poate observa din curba frecvenței de fază (figura 6), indiferent de mărimea amortizării, în biți de diferență de fază omega zero = PI / 2, această caracteristică poate fi utilizată eficient în măsurarea rezonanței.

Pe lângă excitația staționară, sistemele se confruntă uneori cu excitație instabilă. Aceasta poate fi împărțită aproximativ în două tipuri: unul este impactul brusc. Al doilea este efectul de durată al arbitrarității. Sub excitație instabilă, răspunsul sistemului este, de asemenea, instabil.

Un instrument puternic pentru analiza vibrațiilor instabile este metoda răspunsului la impuls. Aceasta descrie caracteristicile dinamice ale sistemului cu răspunsul tranzitoriu al impulsului unitar de intrare al sistemului. Impulsul unitar poate fi exprimat ca o funcție delta. În inginerie, funcția delta este adesea definită ca:

Unde 0- reprezintă punctul de pe axa t care se apropie de zero din stânga; 0 plus este punctul care se apropie de 0 din dreapta.

FIG. 6 curba frecvenței de fază

FIG. 7 orice intrare poate fi considerată ca suma unei serii de elemente de impuls

Sistemul corespunde răspunsului h(t) generat de impulsul unitar la t=0, care se numește funcția de răspuns la impuls. Presupunând că sistemul este staționar înainte de impuls, h(t)=0 pentru t<0. Cunoscând funcția de răspuns la impuls a sistemului, putem găsi răspunsul sistemului la orice intrare x(t). În acest moment, ne putem gândi la x(t) ca la suma unei serii de elemente de impuls (FIG. 7). Răspunsul sistemului este:

Pe baza principiului superpoziției, răspunsul total al sistemului corespunzător lui x(t) este:

Această integrală se numește integrală de convoluție sau integrală de superpoziție.

Vibrația liniară a unui sistem cu mai multe grade de libertate

Vibrația unui sistem liniar cu n≥2 grade de libertate.

Figura 8 prezintă două subsisteme rezonante simple conectate printr-un arc de cuplare. Deoarece este un sistem cu două grade de libertate, sunt necesare două coordonate independente pentru a determina poziția sa. Există două frecvențe naturale în acest sistem:

Fiecare frecvență corespunde unui mod de vibrație. Oscilatoarele armonice efectuează oscilații armonice de aceeași frecvență, trecând sincron prin poziția de echilibru și atingând sincron poziția extremă. În vibrația principală corespunzătoare lui omega unu, x1 este egal cu x2; În vibrația principală corespunzătoare lui omega omega doi, omega omega unu. În vibrația principală, raportul de deplasare al fiecărei mase păstrează o anumită relație și formează un anumit mod, care se numește modul principal sau modul natural. Între modurile principale există ortogonalitatea masei și a rigidității, ceea ce reflectă independența fiecărei vibrații. Frecvența naturală și modul principal reprezintă caracteristicile inerente de vibrație ale sistemului cu mai multe grade de libertate.

FIG. 8 sistem cu grade multiple de libertate

Un sistem cu n grade de libertate are n frecvențe naturale și n moduri principale. Orice configurație de vibrație a sistemului poate fi reprezentată ca o combinație liniară a modurilor majore. Prin urmare, metoda suprapunerii modurilor principale este utilizată pe scară largă în analiza răspunsului dinamic al sistemelor cu mai multe grade de libertate. În acest fel, măsurarea și analiza caracteristicilor vibrației naturale ale sistemului devine o etapă de rutină în proiectarea dinamică a sistemului.

Caracteristicile dinamice ale sistemelor cu mai multe grade de libertate pot fi descrise și prin caracteristici de frecvență. Deoarece există o funcție caracteristică de frecvență între fiecare intrare și ieșire, se construiește o matrice a caracteristicilor de frecvență. Curba caracteristică amplitudine-frecvență a sistemului cu mai multe libertăți este diferită de cea a sistemului cu o singură libertate.

Elastomerul vibrează

Sistemul cu grade multiple de libertate de mai sus este un model mecanic aproximativ al elastomerului. Un elastomer are un număr infinit de grade de libertate. Există o diferență cantitativă, dar nicio diferență esențială între cele două. Orice elastomer are un număr infinit de frecvențe naturale și un număr infinit de moduri corespunzătoare și există ortogonalitate între modurile de masă și rigiditate. Orice configurație vibrațională a elastomerului poate fi reprezentată și ca o suprapunere liniară a modurilor majore. Prin urmare, pentru analiza răspunsului dinamic al elastomerului, metoda de suprapunere a modului principal este încă aplicabilă (vezi vibrația liniară a elastomerului).

Luați vibrația unei coarde. Să presupunem că o coardă subțire de masă m pe unitatea de lungime, lungă l, este tensionată la ambele capete, iar tensiunea este T. În acest moment, frecvența naturală a coardei este determinată de următoarea ecuație:

F = na/2l (n = 1, 2, 3…).

Unde este viteza de propagare a undei transversale de-a lungul direcției corzii. Frecvențele naturale ale corzilor sunt multipli ai frecvenței fundamentale peste 2l. Această multiplicitate întreagă duce la o structură armonică plăcută. În general, nu există o astfel de relație de multipli întregi între frecvențele naturale ale elastomerului.

Primele trei moduri ale coardei tensionate sunt prezentate în FIG. 9. Există câteva noduri pe curba modului principal. În vibrația principală, nodurile nu vibrează. FIG. 10 prezintă câteva moduri tipice ale plăcii circulare susținute circumferențial cu câteva linii nodale compuse din cercuri și diametre.

Formularea exactă a problemei vibrațiilor elastomerilor poate fi concluzionată ca problema cu valori la limită a ecuațiilor diferențiale parțiale. Cu toate acestea, soluția exactă poate fi găsită doar în unele dintre cele mai simple cazuri, așa că trebuie să recurgem la soluția aproximativă pentru problema complexă a vibrațiilor elastomerilor. Esența diferitelor soluții aproximative este de a schimba infinitul în finit, adică de a discretiza sistemul cu mai multe grade de libertate fără ramuri (sistem continuu) într-un sistem finit cu mai multe grade de libertate (sistem discret). Există două tipuri de metode de discretizare utilizate pe scară largă în analiza inginerească: metoda elementelor finite și metoda sintezei modale.

FIG. 9 modul șirului de caractere

FIG. 10 modul plăcii circulare

Metoda elementului finit este o structură compozită care abstractizează o structură complexă într-un număr finit de elemente și le conectează la un număr finit de noduri. Fiecare unitate este un elastomer; deplasarea distribuției elementului este exprimată prin funcția de interpolare a deplasării nodului. Apoi, parametrii de distribuție ai fiecărui element sunt concentrați la fiecare nod într-un anumit format, obținându-se modelul mecanic al sistemului discret.

Sinteza modală este descompunerea unei structuri complexe în mai multe substructuri mai simple. Pe baza înțelegerii caracteristicilor de vibrație ale fiecărei substructuri, aceasta este sintetizată într-o structură generală în funcție de condițiile de coordonare de la interfață, iar morfologia vibrațiilor structurii generale este obținută utilizând morfologia vibrațiilor fiecărei substructuri.

Cele două metode sunt diferite și înrudite și pot fi utilizate ca referință. Metoda de sinteză modală poate fi, de asemenea, combinată eficient cu măsurătorile experimentale pentru a forma o metodă de analiză teoretică și experimentală pentru vibrațiile sistemelor mari.