Chiziqli tebranish nima?

Chiziqli tebranish: tizimdagi komponentlarning egiluvchanligi guk qonuniga bo'ysunadi va harakat paytida hosil bo'lgan damping kuchi umumlashtirilgan tezlikning birinchi tenglamasiga proporsionaldir (umumlashtirilgan koordinatalarning vaqt hosilasi).

tushuncha

Chiziqli tizim odatda real tizim tebranishining mavhum modelidir. Chiziqli tebranish tizimi superpozitsiya printsipini qo'llaydi, ya'ni tizimning javobi x1 kirish ta'sirida y1 va x2 kirish ta'sirida y2 bo'lsa, u holda x1 va x2 kiritish ta'sirida tizimning javobi y1+y2 bo'ladi.

Superpozitsiya printsipi asosida ixtiyoriy kirishni cheksiz kichik impulslar yig'indisiga ajratish mumkin, so'ngra tizimning umumiy javobini olish mumkin. Davriy qo'zg'alishning garmonik komponentlari yig'indisi Harmonik komponentlar turkumini Furye transformatsiyasi orqali va har bir garmonik komponentning tizimga ta'sirini alohida tekshirish mumkin.Shuning uchun doimiy parametrlarga ega chiziqli tizimlarning javob xarakteristikalarini impulsli yoki chastotali javob bilan tavsiflash mumkin.

Impulsli javob deganda tizimning vaqt sohasidagi javob xarakteristikalarini tavsiflovchi birlik impulsga javobini bildiradi.Chastotali javob deganda tizimning birlik garmonik kirishiga javob xarakteristikasini bildiradi.Ikkisi orasidagi moslik aniqlanadi. Furye konvertatsiyasi orqali.

tasnifi

Chiziqli tebranish bir darajali erkinlik tizimining chiziqli tebranishiga va ko'p erkinlik darajasining chiziqli tebranishiga bo'linishi mumkin.

(1) bitta erkinlik darajasi sistemasining chiziqli tebranishi - bu chiziqli tebranish bo'lib, uning pozitsiyasi umumiy koordinata bilan aniqlanishi mumkin. Bu eng oddiy tebranish bo'lib, undan ko'plab asosiy tushunchalar va tebranish xarakteristikalarini olish mumkin. garmonik tebranish, erkin tebranish, susaytiruvchi tebranish va majburiy tebranish.

Oddiy garmonik tebranish: sinusoidal qonunga muvofiq ob'ektning muvozanat holatiga yaqin joyda, uning siljishiga mutanosib tiklovchi kuch ta'sirida o'zaro harakatlanishi.

Söndürülmüş tebranish: amplitudasi ishqalanish va dielektrik qarshilik mavjudligi yoki boshqa energiya sarfi bilan doimiy ravishda zaiflashadigan tebranish.

Majburiy tebranish: doimiy qo'zg'alishda tizimning tebranishi.

(2) ko'p erkinlik darajali tizimning chiziqli tebranishi n≥2 erkinlik darajasiga ega chiziqli tizimning tebranishidir. n erkinlik darajasidagi tizim n ta tabiiy chastota va n ta asosiy rejimga ega. Har qanday tebranish konfiguratsiyasi tizimning asosiy rejimlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin.Shuning uchun asosiy rejim superpozitsiyasi usuli multi-dof tizimlarining dinamik javob tahlilida keng qo'llaniladi.Shu tarzda, tebranishning tabiiy xususiyatlarini o'lchash va tahlil qilish. tizim tizimni dinamik loyihalashda odatiy bosqichga aylanadi.Ko‘p martalik tizimlarning dinamik xarakteristikalarini chastota xarakteristikalari bilan ham tavsiflash mumkin.Har bir kirish va chiqish o‘rtasida chastota xarakteristikasi funksiyasi mavjud bo‘lgani uchun chastota xarakteristikasi matritsasi tuziladi.U yerda chastota xarakteristikasi va asosiy rejim o'rtasidagi aniq munosabatdir.Ko'p erkinlik tizimining amplituda-chastota xarakteristikasi egri chizig'i bir erkinlik tizimidan farq qiladi.

Yagona erkinlik darajasi tizimining chiziqli tebranishi

Tizimning joylashuvi umumlashtirilgan koordinata bilan aniqlanishi mumkin bo'lgan chiziqli tebranish. Bu eng oddiy va eng asosiy tebranish bo'lib, undan ko'plab asosiy tushunchalar va tebranish xarakteristikalarini olish mumkin. U oddiy garmonik tebranish, yumshatuvchi tebranish va majburiy tebranishlarni o'z ichiga oladi. .

Garmonik tebranish

Ko'chishga mutanosib tiklovchi kuch ta'sirida ob'ekt o'zining muvozanat holatiga yaqin joyda sinusoidal tarzda o'zaro harakat qiladi (1-rasm).X siljishni, t esa vaqtni ifodalaydi.Bu tebranishning matematik ifodasi:

(1)Bu yerda A - siljishning maksimal qiymati x, u amplituda deb ataladi va tebranish intensivligini ifodalaydi;Omega n - tebranishning sekundiga amplituda burchagi ortishi, bu burchak chastotasi yoki aylana chastotasi deb ataladi;Bu f= n/2 bo'yicha sekunddagi tebranishlar soni chastota deb ataladi; Buning teskarisi T=1/f - bir siklni tebranish uchun ketadigan vaqt va bu deyiladi. davr.Amplitudasi, chastotasi f (yoki burchak chastotasi n), boshlang'ich faza, oddiy garmonik tebranish uchta element sifatida tanilgan.

ANJIR.1 oddiy garmonik tebranish egri chizig'i

Shaklda ko'rsatilganidek.2, chiziqli prujina bilan bog'langan konsentrlangan massa m dan oddiy garmonik osilator hosil bo'ladi. Tebranish siljishi muvozanat holatidan hisoblanganda, tebranish tenglamasi:

Prujinaning qattiqligi qayerda.Yuqoridagi tenglamaning umumiy yechimi (1) ga teng.A va uni x0 boshlang‘ich pozitsiyasi va t=0 da boshlang‘ich tezligi bilan aniqlash mumkin:

Ammo omega n faqat qo'shimcha boshlang'ich sharoitlarga bog'liq bo'lmagan tizimning o'zi m va k xususiyatlari bilan belgilanadi, shuning uchun omega n tabiiy chastota sifatida ham tanilgan.

ANJIR.2 yagona erkinlik darajasi tizimi

Oddiy garmonik osilator uchun uning kinetik energiyasi va potentsial energiyasining yig'indisi doimiy bo'ladi, ya'ni tizimning umumiy mexanik energiyasi saqlanadi.Tebranish jarayonida kinetik energiya va potensial energiya doimiy ravishda bir-biriga aylanadi.

Damping tebranishi

Amplitudasi ishqalanish va dielektrik qarshilik yoki boshqa energiya iste'moli tufayli doimiy ravishda zaiflashadigan tebranish. Mikro tebranish uchun tezlik odatda unchalik katta emas va o'rta qarshilik birinchi quvvat tezligiga proportsionaldir, uni c sifatida yozish mumkin. damping koeffitsienti.Shuning uchun chiziqli damping bilan bir erkinlik darajasining tebranish tenglamasini quyidagicha yozish mumkin:

(2)Bu yerda, m =c/2m damping parametri deyiladi va.(2) formulaning umumiy yechimini yozish mumkin:

(3)Omega n va PI o'rtasidagi raqamli munosabatlarni quyidagi uchta holatga bo'lish mumkin:

N > (kichik damping holatida) zarracha ishlab chiqarilgan zaiflashtiruvchi tebranish, tebranish tenglamasi:

Uning amplitudasi shakldagi nuqta chiziqda ko'rsatilganidek, tenglamada ko'rsatilgan eksponensial qonunga muvofiq vaqt o'tishi bilan kamayadi.3.Toʻgʻrisi, bu tebranish aperiodikdir, lekin uning choʻqqisining chastotasini quyidagicha aniqlash mumkin:

Amplitudani pasaytirish tezligi deyiladi, bu erda tebranish davri. Amplitudani kamaytirish tezligining natural logarifmi logarifm minus (amplituda) tezligi deb ataladi. Shubhasiz, =, bu holda, 2/1 ga teng. To'g'ridan-to'g'ri eksperimental test delta va, yuqoridagi formula yordamida c hisoblash mumkin.

Bu vaqtda (2) tenglamaning yechimini yozish mumkin:

Dastlabki tezlikning yo'nalishi bilan bir qatorda, uni shaklda ko'rsatilganidek, tebranishsiz uchta holatga bo'lish mumkin.4.

N < (katta damping holatida), (2) tenglamaning yechimi (3) tenglamada ko'rsatilgan. Bu nuqtada tizim endi tebranish qilmaydi.

Majburiy tebranish

Doimiy qo'zg'alishda tizimning tebranishi.Tebranish tahlili asosan tizimning qo'zg'alishga javobini o'rganadi.Davriy qo'zg'alish odatiy muntazam qo'zg'alishdir.Chunki davriy qo'zg'alish har doim bir nechta garmonik qo'zg'alishlar yig'indisiga ajralishi mumkin, superpozitsiya printsipiga ko'ra, faqat Har bir garmonik qo'zg'alish uchun tizimning javobi talab qilinadi.Garmonik qo'zg'alish ta'sirida bir erkinlik darajasi so'ndirilgan tizim harakatining differensial tenglamasini yozish mumkin:

Javob ikki qismning yig'indisidir.Bir qismi vaqt o'tishi bilan tez pasayib ketadigan sönümli tebranishning javobidir. Majburiy tebranishning boshqa qismining javobi quyidagicha yozilishi mumkin:

ANJIR.3 sönümli tebranish egri chizig'i

ANJIR.Kritik damping bilan uchta boshlang'ich shartning 4 ta egri chizig'i

ni kiriting

H /F0= h (), amplituda-chastota xarakteristikalarini yoki qozonish funktsiyasini tavsiflovchi barqaror javob amplitudasining qo'zg'alish amplitudasiga nisbati; Fazaning barqaror holat reaktsiyasi va rag'batlantiruvchi bitlari, faza chastotasi xarakteristikasining tavsifi. Ularning o'zaro bog'liqligi va qo'zg'alish chastotasi shaklda ko'rsatilgan.5 va shakl.6.

Amplituda-chastota egri chizig'idan (5-rasm) ko'rinib turibdiki, kichik amortizatsiya holatida amplituda-chastota egri chizig'i bitta cho'qqiga ega bo'ladi.Söndürme qanchalik kichik bo'lsa, cho'qqi shunchalik tiklanadi;Tepalikka mos keladigan chastota tizimning rezonans chastotasi deb ataladi.Kichik damping holatida rezonans chastotasi tabiiy chastotadan unchalik farq qilmaydi.Qo'zg'alish chastotasi tabiiy chastotaga yaqin bo'lsa, amplituda keskin ortadi.Bu hodisa rezonans deb ataladi.Rezonansda tizimning daromadi maksimal darajaga ko'tariladi, ya'ni majburiy tebranish eng qizg'indir.Shuning uchun, umuman olganda, har doim rezonansdan qochishga harakat qiling, agar ba'zi asboblar va uskunalar katta hajmga erishish uchun rezonansdan foydalanmasa. tebranish.

ANJIR.5 amplitudali chastota egri chizig'i

Faza chastotasining egri chizig'idan (6-rasm) ko'rish mumkin, damping hajmidan qat'i nazar, omega nol fazalar farqi bitlarida = PI / 2, bu xususiyat rezonansni o'lchashda samarali ishlatilishi mumkin.

Barqaror qo'zg'alishdan tashqari, tizimlar ba'zan beqaror qo'zg'alishga duch keladi.Uni taxminan ikki turga bo'lish mumkin: biri to'satdan ta'sir. Ikkinchisi - o'zboshimchalikning doimiy ta'siri.Beqaror qo'zg'alish sharoitida tizimning javobi ham beqaror.

Turg'un bo'lmagan tebranishlarni tahlil qilish uchun kuchli vosita impulsga javob berish usulidir. Bu tizimning birlik impuls kiritishining vaqtinchalik javobi bilan tizimning dinamik xususiyatlarini tavsiflaydi. Birlik impulsini delta funktsiyasi sifatida ifodalash mumkin. Muhandislik sohasida delta Funktsiya odatda quyidagicha ta'riflanadi:

Bu erda 0- t o'qida chapdan nolga yaqinlashadigan nuqtani ifodalaydi; 0 plyus o'ngdan 0 ga o'tadigan nuqta.

ANJIR.6 fazali chastota egri chizig'i

ANJIR.7 har qanday kirishni impuls elementlari qatorining yig'indisi deb hisoblash mumkin

Tizim t=0 da birlik impuls tomonidan hosil qilingan h(t) javobga mos keladi, bu impulsga javob funksiyasi deb ataladi.Tizim impulsdan oldin statsionar deb faraz qilsak, t<0 uchun h(t)=0.Bilish. tizimning impulsga javob berish funksiyasi, biz tizimning har qanday kirishga x(t) javobini topishimiz mumkin.Ushbu nuqtada siz x(t) ni impuls elementlari qatorining yig'indisi sifatida tasavvur qilishingiz mumkin (7-rasm). .Tizimning javobi:

Superpozitsiya printsipiga asoslanib, x(t) ga mos keladigan tizimning umumiy javobi:

Bu integral konvolyutsiya integrali yoki superpozitsiya integrali deb ataladi.

Ko'p darajadagi erkinlik tizimining chiziqli tebranishi

n≥2 erkinlik darajasiga ega chiziqli tizimning tebranishi.

8-rasmda birlashtiruvchi prujina bilan bog'langan ikkita oddiy rezonansli quyi tizimlar ko'rsatilgan. Bu ikki erkinlik darajasiga ega tizim bo'lgani uchun uning o'rnini aniqlash uchun ikkita mustaqil koordinata kerak. Bu tizimda ikkita tabiiy chastota mavjud:

Har bir chastota tebranish rejimiga to'g'ri keladi.Garmonik osilatorlar bir xil chastotadagi garmonik tebranishlarni amalga oshiradi, muvozanat holatidan sinxron ravishda o'tadi va sinxron ravishda ekstremal holatga etadi.Omega birga mos keladigan asosiy tebranishda x1 x2 ga teng;In omega omega ikkiga, omega omega biriga mos keladigan asosiy tebranish.Asosiy tebranishda har bir massaning siljish nisbati ma'lum munosabatni saqlab qoladi va ma'lum rejimni hosil qiladi, bu asosiy rejim yoki tabiiy rejim deb ataladi.Masaning ortogonalligi va asosiy rejimlar orasida qattiqlik mavjud bo'lib, bu har bir tebranishning mustaqilligini aks ettiradi.Tabiiy chastota va asosiy rejim ko'p darajadagi erkinlik tizimining o'ziga xos tebranish xususiyatlarini ifodalaydi.

ANJIR.Ko'p erkinlik darajasiga ega 8 tizim

n erkinlik darajasidagi sistema n ta tabiiy chastota va n ta asosiy rejimga ega.Tizimning har qanday tebranish konfiguratsiyasi asosiy rejimlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin.Shuning uchun asosiy rejim superpozitsiyasi usuli multimediali dinamik javob tahlilida keng qo‘llaniladi. -dof tizimlari.Shunday qilib, tizimning tabiiy tebranish xususiyatlarini o'lchash va tahlil qilish tizimni dinamik loyihalashda odatiy bosqichga aylanadi.

Multi-dof tizimlarining dinamik xarakteristikalari chastota xarakteristikalari bilan ham tavsiflanishi mumkin.Har bir kirish va chiqish o'rtasida chastota xarakteristikasi funksiyasi mavjud bo'lganligi sababli, chastota xarakteristikasi matritsasi tuziladi.Ko'p erkinlik tizimining amplituda-chastota xarakteristikasi egri chizig'i har xil. yagona erkinlik tizimidan.

Elastomer tebranadi

Yuqoridagi ko'p darajali erkinlik tizimi elastomerning taxminiy mexanik modelidir. Elastomer cheksiz miqdordagi erkinlik darajalariga ega. Bu ikkisi o'rtasida miqdoriy farq bor, lekin muhim farq yo'q. Har qanday elastomer cheksiz sonli tabiiy chastotalarga ega va mos keladigan rejimlarning cheksiz soni va massa va qattiqlik rejimlari o'rtasida ortogonallik mavjud.Elastomerning har qanday tebranish konfiguratsiyasi asosiy rejimlarning chiziqli superpozitsiyasi sifatida ham ifodalanishi mumkin.Shuning uchun elastomerning dinamik javob tahlili uchun superpozitsiya usuli. asosiy rejim hali ham amal qiladi (elastomerning chiziqli tebranishiga qarang).

Ipning tebranishini olaylik.Aytaylik, uzunlik birligiga massasi m boʻlgan, uzun l boʻlgan yupqa ipning ikki uchi tarang va taranglik T. Bu vaqtda ipning tabiiy chastotasi quyidagicha aniqlanadi. tenglama:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Qaerda, ko‘ndalang to‘lqinning ip yo‘nalishi bo‘yicha tarqalish tezligi. Iplarning tabiiy chastotalari 2l dan yuqori asosiy chastotaga karrali bo‘ladi. Bu butun sonlar ko‘pligi yoqimli garmonik tuzilishga olib keladi.Umuman olganda, yo‘q. elastomerning tabiiy chastotalari o'rtasidagi bunday butun sonli ko'paytma munosabati.

Kesilgan ipning dastlabki uchta rejimi rasmda ko'rsatilgan.9. Asosiy rejim egri chizig'ida ba'zi tugunlar mavjud.Asosiy tebranishda tugunlar tebranmaydi.FIG.10-rasmda aylana va diametrlardan tashkil topgan ba'zi tugun chiziqlari bilan aylana bo'ylab qo'llab-quvvatlanadigan dumaloq plastinkaning bir nechta tipik usullari ko'rsatilgan.

Elastomerning tebranish muammosining aniq formulasini qisman differensial tenglamalarning chegaraviy muammosi deb xulosa qilish mumkin.Ammo, aniq yechimni faqat ba'zi oddiy holatlarda topish mumkin, shuning uchun biz murakkab elastomer uchun taxminiy yechimga murojaat qilishimiz kerak. tebranish muammosi.Turli taqribiy yechimlarning mohiyati cheksizni chekliga o‘zgartirish, ya’ni ekstremal ko‘p darajali erkinlik sistemasini (uzluksiz tizim) chekli ko‘p darajali erkinlik sistemasiga (diskret tizim) diskretlashdan iborat. .Muhandislik tahlilida keng qoʻllaniladigan diskretlash usullarining ikki turi mavjud: chekli elementlar usuli va modal sintez usuli.

ANJIR.Stringning 9 rejimi

ANJIR.Dumaloq plastinkaning 10 rejimi

Chekli elementlar usuli - bu murakkab tuzilmani cheklangan miqdordagi elementlarga mavhumlashtiradigan va ularni chekli sonli tugunlarda bog'laydigan kompozit tuzilmadir. Har bir birlik elastomerdir;Elementning taqsimot siljishi tugunning siljishining interpolyatsiya funktsiyasi bilan ifodalanadi. Har bir elementning taqsimot parametrlari har bir tugunga ma'lum formatda jamlanadi va diskret tizimning mexanik modeli olinadi.

Modal sintez murakkab strukturaning bir necha oddiyroq quyi tuzilmalarga parchalanishidir.Har bir quyi tuzilmaning tebranish xususiyatlarini tushunish asosida interfeysdagi muvofiqlashtirish shartlariga va umumiy tebranish morfologiyasiga ko‘ra pastki tuzilma umumiy tuzilishga sintezlanadi. struktura har bir quyi tuzilmaning tebranish morfologiyasidan foydalangan holda olinadi.

Ikki usul bir-biridan farq qiladi va bir-biriga bog'liq bo'lib, ular mos yozuvlar sifatida ishlatilishi mumkin.Modal sintez usuli, shuningdek, katta tizimlarning tebranishlari uchun nazariy va eksperimental tahlil usulini shakllantirish uchun eksperimental o'lchov bilan samarali birlashtirilishi mumkin.