Kio estas lineara vibrado?

Lineara vibrado: la elasteco de komponantoj en la sistemo estas submetita al la leĝo de Hooke, kaj la dampa forto generita dum la moviĝo estas proporcia al la unua ekvacio de la ĝeneraligita rapido (tempa derivaĵo de la ĝeneraligitaj koordinatoj).

koncepto

Lineara sistemo estas kutime abstrakta modelo de la vibrado de reala sistemo. La lineara vibrada sistemo aplikas la principon de superpozicio, tio estas, se la respondo de la sistemo estas y1 sub la ago de enigo x1, kaj y2 sub la ago de enigo x2, tiam la respondo de la sistemo sub la ago de enigoj x1 kaj x2 estas y1+y2.

Surbaze de la principo de superpozicio, arbitra enigo povas esti malkomponita en la sumon de serio de infinitezimaj impulsoj, kaj tiam la tuta respondo de la sistemo povas esti akirita. La sumo de la harmoniaj komponantoj de perioda ekscito povas esti vastigita en serion de harmoniaj komponantoj per Fourier-transformo, kaj la efiko de ĉiu harmonia komponanto sur la sistemo povas esti esplorita aparte. Tial, la respondkarakterizaĵoj de linearaj sistemoj kun konstantaj parametroj povas esti priskribitaj per impulsrespondo aŭ frekvencrespondo.

Impulsa respondo rilatas al la respondo de la sistemo al la unuobla impulso, kiu karakterizas la respondajn karakterizaĵojn de la sistemo en la tempa domajno. Frekvenca respondo rilatas al la responda karakterizaĵo de la sistemo al la unuobla harmonika enigo. La korespondado inter la du estas determinita per la Fourier-transformo.

klasifiko

Lineara vibrado povas esti dividita en linearan vibradon de unu-grada-de-libereco-sistemo kaj linearan vibradon de plurgrada-de-libereco-sistemo.

(1) lineara vibrado de sistemo kun unu grado da libereco estas lineara vibrado, kies pozicio povas esti determinita per ĝeneraligita koordinato. Ĝi estas la plej simpla vibrado, el kiu multaj bazaj konceptoj kaj karakterizaĵoj de vibrado povas esti derivitaj. Ĝi inkluzivas simplan harmonian vibradon, liberan vibradon, atenuiĝan vibradon kaj devigitan vibradon.

Simpla harmonia vibrado: la tien-reena movo de objekto en la najbareco de ĝia ekvilibra pozicio laŭ sinusoida leĝo sub la ago de restariga forto proporcia al ĝia delokiĝo.

Malseketigita vibrado: vibrado kies amplitudo estas kontinue malfortigita per la ĉeesto de frikcio kaj dielektrika rezisto aŭ alia energikonsumo.

Deviga vibrado: vibrado de sistemo sub konstanta ekscito.

(2) la lineara vibrado de la plurgrada-de-libereco sistemo estas la vibrado de la lineara sistemo kun n≥2 gradoj da libereco. Sistemo de n gradoj da libereco havas n naturajn frekvencojn kaj n ĉefajn modojn. Ĉiu vibrada konfiguracio de la sistemo povas esti reprezentita kiel lineara kombinaĵo de la ĉefaj modoj. Tial, la metodo de ĉefa reĝima supermeto estas vaste uzata en dinamika respondanalizo de plurgradaj-de-libereco sistemoj. Tiamaniere, la mezurado kaj analizo de la naturaj vibradaj karakterizaĵoj de la sistemo fariĝas rutina paŝo en la dinamika dezajno de la sistemo. La dinamikaj karakterizaĵoj de plurgradaj-de-libereco sistemoj ankaŭ povas esti priskribitaj per frekvencaj karakterizaĵoj. Ĉar ekzistas frekvenca karakteriza funkcio inter ĉiu enigo kaj eligo, frekvenca karakteriza matrico estas konstruita. Ekzistas difinita rilato inter la frekvenca karakterizaĵo kaj la ĉefa modo. La amplitudo-frekvenca karakteriza kurbo de la plurgrada sistemo estas malsama ol tiu de la unu-libereca sistemo.

Lineara vibrado de sistemo kun ununura grado da libereco

Lineara vibrado, en kiu la pozicio de sistemo povas esti determinita per ĝeneraligita koordinato. Ĝi estas la plej simpla kaj plej fundamenta vibrado, el kiu multaj bazaj konceptoj kaj karakterizaĵoj de vibrado povas esti derivitaj. Ĝi inkluzivas simplan harmonian vibradon, dampitan vibradon kaj malvolan vibradon.

Harmona vibrado

Sub la ago de restariga forto proporcia al la delokiĝo, la objekto reciprokas sinusoidale proksime al sia ekvilibra pozicio (FIG. 1). X reprezentas la delokiĝon kaj t reprezentas la tempon. La matematika esprimo de ĉi tiu vibrado estas:

(1)Kie A estas la maksimuma valoro de delokiĝo x, kiu nomiĝas la amplitudo, kaj reprezentas la intensecon de la vibrado; Omega n estas la amplituda angula pliiĝo de la vibrado po sekundo, kiu nomiĝas la angula frekvenco, aŭ la cirkla frekvenco; Ĉi tio nomiĝas la komenca fazo. Laŭ f = n/2, la nombro da osciloj po sekundo nomiĝas la frekvenco; La inverso de ĉi tio, T = 1/f, estas la tempo necesa por oscili unu ciklon, kaj tio nomiĝas la periodo. Amplitudo A, frekvenco f (aŭ angula frekvenco n), la komenca fazo, konata kiel simpla harmonia vibrado de tri elementoj.

FIG. 1 simpla harmonia vibra kurbo

Kiel montrite en FIG. 2, simpla harmonia oscilatoro estas formita per la koncentrita maso m konektita per lineara risorto. Kiam la vibra delokiĝo estas kalkulata de la ekvilibra pozicio, la vibra ekvacio estas:

Kie estas la rigideco de la risorto. La ĝenerala solvo al la supra ekvacio estas (1). A kaj povas esti determinita per la komenca pozicio x0 kaj komenca rapido ĉe t=0:

Sed omega n estas determinita nur per la karakterizaĵoj de la sistemo mem m kaj k, sendepende de la aldonaj komencaj kondiĉoj, do omega n estas ankaŭ konata kiel la natura frekvenco.

FIG. 2 sistemo kun unu grado da libereco

Por simpla harmonia oscilatoro, la sumo de ĝia kineta energio kaj potenciala energio estas konstanta, tio estas, la tuta mekanika energio de la sistemo estas konservita. En la procezo de vibrado, kineta energio kaj potenciala energio konstante transformiĝas unu en la alian.

La dampiga vibrado

Vibrado, kies amplitudo estas kontinue malfortigita per frotado kaj dielektrika rezisto aŭ alia energikonsumo. Por mikrovibrado, la rapido ĝenerale ne estas tre granda, kaj la meza rezisto estas proporcia al la rapido al la unua potenco, kiu povas esti skribita kiel c estas la dampa koeficiento. Tial, la vibrada ekvacio de unu grado da libereco kun lineara dampado povas esti skribita kiel:

(2)Kie, m = c/2m estas nomata la dampa parametro, kaj. La ĝenerala solvo de formulo (2) povas esti skribita:

(3)La nombra rilato inter omega n kaj PI povas esti dividita en la jenajn tri kazojn:

N > (kaze de malgranda dampado) partiklo produktita atenua vibrado, la vibrada ekvacio estas:

Ĝia amplitudo malpliiĝas kun la tempo laŭ la eksponenta leĝo montrita en la ekvacio, kiel montrite en la punktita linio en FIG. 3. Strikte parolante, ĉi tiu vibrado estas aperioda, sed la frekvenco de ĝia pinto povas esti difinita kiel:

nomiĝas la amplituda redukta rapido, kie estas la periodo de vibrado. La natura logaritmo de la amplituda redukta rapido nomiĝas la logaritmo minus (amplituda) rapido. Evidente, =, en ĉi tiu kazo, egalas al 2/1. Rekte tra la eksperimenta testa delto kaj, uzante la supran formulon, oni povas kalkuli c.

Tiam, la solvo de ekvacio (2) povas esti skribita:

Kune kun la direkto de komenca rapido, ĝi povas esti dividita en tri ne-vibrajn kazojn kiel montrite en FIG. 4.

N < (kaze de granda dampado), la solvo de ekvacio (2) estas montrita en ekvacio (3). Ĉe tiu punkto, la sistemo jam ne vibras.

Devigita vibrado

Vibrado de sistemo sub konstanta ekscito. Vibrada analizo ĉefe esploras la respondon de la sistemo al ekscito. Perioda ekscito estas tipa regula ekscito. Ĉar perioda ekscito ĉiam povas esti malkomponita en la sumon de pluraj harmoniaj ekscitoj, laŭ la principo de superpozicio, nur la respondo de la sistemo al ĉiu harmonia ekscito estas necesa. Sub la ago de harmonia ekscito, la diferenciala ekvacio de moviĝo de unu-grada da malseketigita sistemo povas esti skribita:

La respondo estas la sumo de du partoj. Unu parto estas la respondo de malseketigita vibrado, kiu rapide malkreskas kun la tempo. La respondo de alia parto de devigita vibrado povas esti skribita:

FIG. 3 malseketigita vibradkurbo

FIG. 4 kurboj de tri komencaj kondiĉoj kun kritika dampado

Tajpu la

H /F0 = h (), estas la rilatumo de la amplitudo de konstanta respondo al la amplitudo de ekscito, karakterizante la amplitud-frekvencajn karakterizaĵojn, aŭ la gajnofunkcion; Bitoj por la respondo en konstanta stato kaj la stimulo de fazo, karakterizado de la fazfrekvencaj karakterizaĵoj. La rilato inter ili kaj la ekscitofrekvenco estas montrita en FIG. 5 kaj FIG. 6.

Kiel videblas el la amplitudo-frekvenca kurbo (FIG. 5), ĉe malgranda dampado, la amplitudo-frekvenca kurbo havas unuopan pinton. Ju pli malgranda la dampado, des pli kruta la pinto; La frekvenco korespondanta al la pinto nomiĝas la resonanca frekvenco de la sistemo. Ĉe malgranda dampado, la resonanca frekvenco ne multe diferencas de la natura frekvenco. Kiam la ekscita frekvenco estas proksima al la natura frekvenco, la amplitudo akre pliiĝas. Ĉi tiu fenomeno nomiĝas resonanco. Ĉe resonanco, la gajno de la sistemo estas maksimumigita, tio estas, la devigita vibrado estas la plej intensa. Tial, ĝenerale, oni ĉiam klopodas eviti resonancon, krom se iuj instrumentoj kaj ekipaĵoj uzas resonancon por atingi grandan vibradon.

FIG. 5 amplituda frekvenckurbo

Videblas el la fazfrekvenca kurbo (figuro 6), sendepende de la grandeco de dampado, en omega nula fazdiferencaj bitoj = PI / 2, ĉi tiu karakterizaĵo povas esti efike uzata por mezuri resonancon.

Aldone al konstanta ekscito, sistemoj foje spertas nestabilan eksciton. Ĝi povas esti malglate dividita en du tipojn: unu estas la subita efiko. La dua estas la daŭra efiko de arbitreco. Sub nestabila ekscito, la respondo de la sistemo ankaŭ estas nestabila.

Potenca ilo por analizi malstabilan vibradon estas la metodo de impulsrespondo. Ĝi priskribas la dinamikajn karakterizaĵojn de la sistemo kun la pasema respondo de la unuopa impulsenigo de la sistemo. La unuopa impulso povas esti esprimita kiel delta funkcio. En inĝenierarto, la delta funkcio ofte estas difinita kiel:

Kie 0- reprezentas la punkton sur la t-akso kiu proksimiĝas al nulo de maldekstre; 0 plus estas la punkto kiu iras al 0 de dekstre.

FIG. 6 faza frekvenckurbo

FIG. 7 ĉiu enigo povas esti konsiderata kiel la sumo de serio de impulselementoj

La sistemo respondas al la respondo h(t) generita de la unuobla impulso je t=0, kiu nomiĝas la impulsresponda funkcio. Supozante, ke la sistemo estas senmova antaŭ la pulso, h(t)=0 por t<0. Sciante la impulsrespondan funkcion de la sistemo, ni povas trovi la respondon de la sistemo al iu ajn enigo x(t). Ĉe ĉi tiu punkto, vi povas pensi pri x(t) kiel la sumo de serio de impulselementoj (FIG. 7). La respondo de la sistemo estas:

Surbaze de la principo de superpozicio, la totala respondo de la sistemo korespondanta al x(t) estas:

Ĉi tiu integralo nomiĝas kunfalda integralo aŭ superpozicia integralo.

Lineara vibrado de plurgrada-de-libereca sistemo

Vibrado de lineara sistemo kun n≥2 gradoj da libereco.

Figuro 8 montras du simplajn resonancajn subsistemojn konektitajn per kunliga risorto. Ĉar ĝi estas sistemo kun du gradoj da libereco, necesas du sendependaj koordinatoj por determini ĝian pozicion. Estas du naturaj frekvencoj en ĉi tiu sistemo:

Ĉiu frekvenco respondas al vibra reĝimo. La harmoniaj oscilatoroj efektivigas harmoniajn osciladojn de la sama frekvenco, sinkrone trapasante la ekvilibran pozicion kaj sinkrone atingante la ekstreman pozicion. En la ĉefa vibrado respondanta al omega unu, x1 egalas al x2; En la ĉefa vibrado respondanta al omega omega du, omega omega unu. En la ĉefa vibrado, la delokiĝproporcio de ĉiu maso konservas certan rilaton kaj formas certan reĝimon, kiu nomiĝas la ĉefa reĝimo aŭ la natura reĝimo. La orteco de maso kaj rigideco ekzistas inter la ĉefaj reĝimoj, kio reflektas la sendependecon de ĉiu vibrado. La natura frekvenco kaj ĉefa reĝimo reprezentas la enecajn vibrajn karakterizaĵojn de la plurgrada libereca sistemo.

FIG. 8 sistemo kun pluraj gradoj de libereco

Sistemo de n gradoj da libereco havas n naturajn frekvencojn kaj n ĉefajn modojn. Ĉiu vibra konfiguracio de la sistemo povas esti reprezentita kiel lineara kombinaĵo de la ĉefaj modoj. Tial, la metodo de supermeto de la ĉefa modo estas vaste uzata en dinamika respondoanalizo de plurgradaj sistemoj. Tiel, la mezurado kaj analizo de la naturaj vibraj karakterizaĵoj de la sistemo fariĝas rutina paŝo en la dinamika dezajno de la sistemo.

La dinamikaj karakterizaĵoj de plur-dof-sistemoj ankaŭ povas esti priskribitaj per frekvencaj karakterizaĵoj. Ĉar ekzistas frekvenca karakteriza funkcio inter ĉiu enigo kaj eligo, oni konstruas frekvencan karakterizan matricon. La amplitud-frekvenca karakteriza kurbo de la plur-libereca sistemo estas malsama ol tiu de la unu-libereca sistemo.

La elastomero vibras

La supre menciita sistemo kun pluraj gradoj da libereco estas proksimuma mekanika modelo de elastomero. Elastomero havas senfinan nombron da gradoj da libereco. Ekzistas kvanta diferenco, sed neniu esenca diferenco inter la du. Ĉiu elastomero havas senfinan nombron da naturaj frekvencoj kaj senfinan nombron da respondaj modoj, kaj ekzistas orteco inter la modoj de maso kaj rigideco. Ĉiu vibra konfiguracio de la elastomero ankaŭ povas esti reprezentita kiel lineara supermeto de la ĉefaj modoj. Tial, por dinamika respondoanalizo de elastomero, la supermeta metodo de ĉefa modo ankoraŭ aplikeblas (vidu lineara vibrado de elastomero).

Prenu la vibradon de kordo. Ni supozu, ke maldika kordo kun maso m por unuo de longo, longa l, estas streĉita ĉe ambaŭ finoj, kaj la streĉo estas T. Tiam, la natura frekvenco de la kordo estas determinita per la jena ekvacio:

F = na/2l (n = 1, 2, 3…).

Kie estas la disvastiĝrapido de la transversa ondo laŭ la direkto de la kordo. La naturaj frekvencoj de la kordoj estas obloj de la fundamenta frekvenco super 2l. Ĉi tiu entjera obleco kondukas al agrabla harmonia strukturo. Ĝenerale, ne ekzistas tia entjera obleca rilato inter la naturaj frekvencoj de la elastomero.

La unuaj tri reĝimoj de la streĉita ŝnuro estas montritaj en FIG. 9. Estas kelkaj nodoj sur la ĉefa reĝimokurbo. En la ĉefa vibrado, la nodoj ne vibras. FIG. 10 montras plurajn tipajn reĝimojn de la ĉirkaŭferece subtenata cirkla plato kun kelkaj nodaj linioj kunmetitaj el cirkloj kaj diametroj.

La preciza formuliĝo de la elastomera vibra problemo povas esti konkludita kiel la randvalora problemo de partaj diferencialaj ekvacioj. Tamen, la preciza solvo troveblas nur en iuj el la plej simplaj kazoj, do ni devas recurrir al la proksimuma solvo por la kompleksa elastomera vibra problemo. La esenco de diversaj proksimumaj solvoj estas ŝanĝi la infiniton al la finia, tio estas, diskretigi la senbranĉan plurgradan liberecsistemon (kontinua sistemo) en finian plurgradan liberecsistemon (diskreta sistemo). Ekzistas du specoj de diskretigaj metodoj vaste uzataj en inĝeniera analizo: la finia elementa metodo kaj la modala sinteza metodo.

FIG. 9 reĝimo de ŝnuro

FIG. 10 reĝimo de cirkla plato

La metodo de finiaj elementoj estas kompozita strukturo, kiu abstraktas kompleksan strukturon en finian nombron da elementoj kaj konektas ilin ĉe finia nombro da nodoj. Ĉiu unuo estas elastomero; La distribua delokiĝo de elemento estas esprimita per interpola funkcio de noda delokiĝo. Poste la distribuaj parametroj de ĉiu elemento estas koncentritaj al ĉiu nodo en certa formato, kaj la mekanika modelo de la diskreta sistemo estas akirita.

Modala sintezo estas la malkomponiĝo de kompleksa strukturo en plurajn pli simplajn substrukturojn. Surbaze de kompreno de la vibraj karakterizaĵoj de ĉiu substrukturo, la substrukturo estas sintezita en ĝeneralan strukturon laŭ la kunordigaj kondiĉoj sur la interfaco, kaj la vibra morfologio de la ĝenerala strukturo estas akirita per uzado de la vibra morfologio de ĉiu substrukturo.

La du metodoj estas malsamaj kaj rilataj, kaj povas esti uzataj kiel referenco. La modala sintezmetodo ankaŭ povas esti efike kombinita kun la eksperimenta mezurado por formi teorian kaj eksperimentan analizan metodon por la vibrado de grandaj sistemoj.