Getaran linier: élastisitas komponén dina sistem tunduk kana hukum Hooke, sareng gaya redaman anu dihasilkeun nalika gerakan sabanding sareng persamaan munggaran tina kecepatan umum (turunan waktos tina koordinat umum).
konsép
Sistem linier biasana mangrupikeun modél abstrak tina geteran sistem nyata. Sistem geteran linier nerapkeun prinsip superposisi, nyaéta, upami réspon sistem nyaéta y1 dina aksi input x1, sareng y2 dina aksi input x2, maka réspon sistem dina aksi input x1 sareng x2 nyaéta y1+y2.
Dumasar kana prinsip superposisi, input anu teu tangtu tiasa diuraikeun kana jumlah runtuyan impuls anu teu kawates, teras réspon total sistem tiasa diala. Jumlah komponén harmonik tina éksitasi périodik tiasa dilegaan kana runtuyan komponén harmonik ku transformasi Fourier, sareng pangaruh unggal komponén harmonik dina sistem tiasa ditalungtik sacara misah. Ku alatan éta, karakteristik réspon sistem linier kalayan parameter anu konstan tiasa dijelaskeun ku réspon impuls atanapi réspon frékuénsi.
Réspon impuls nujul kana réspon sistem kana impuls unit, anu ngacirikeun karakteristik réspon sistem dina domain waktu. Réspon frékuénsi nujul kana karakteristik réspon sistem kana input harmonik unit. Korespondensi antara duanana ditangtukeun ku transformasi Fourier.
klasifikasi
Geteran linier bisa dibagi jadi geteran linier tina sistem derajat kabébasan tunggal jeung geteran linier tina sistem derajat kabébasan multi.
(1) geteran linier tina sistem derajat kabébasan tunggal nyaéta geteran linier anu posisina tiasa ditangtukeun ku koordinat umum. Éta mangrupikeun geteran anu paling saderhana anu tiasa diturunkeun tina seueur konsép dasar sareng ciri geteran. Éta kalebet geteran harmonik saderhana, geteran bébas, geteran atenuasi sareng geteran kapaksa.
Geteran harmonik basajan: gerakan timbal balik hiji barang di deukeut posisi kasaimbanganana numutkeun hukum sinusoidal dina aksi gaya pamulihan anu sabanding jeung pamindahanana.
Geteran teredam: geteran anu amplitudona terus-terusan dilemahkeun ku ayana gesekan sareng résistansi dielektrik atanapi konsumsi énergi anu sanés.
Geteran paksa: geteran sistem dina kaayaan eksitasi anu konstan.
(2) geteran linier tina sistem multi-derajat-kabébasan nyaéta geteran sistem linier kalayan n ≥2 derajat kabébasan. Sistem n derajat kabébasan ngagaduhan n frékuénsi alami sareng n modeu utama. Sagala konfigurasi geteran sistem tiasa digambarkeun salaku kombinasi linier tina modeu utama. Ku alatan éta, metode superposisi modeu utama seueur dianggo dina analisis réspon dinamis sistem multi-dof. Ku cara kieu, pangukuran sareng analisis karakteristik geteran alami sistem janten léngkah rutin dina desain dinamis sistem. Karakteristik dinamis sistem multi-dof ogé tiasa dijelaskeun ku karakteristik frékuénsi. Kusabab aya fungsi karakteristik frékuénsi antara unggal input sareng output, matriks karakteristik frékuénsi diwangun. Aya hubungan anu pasti antara karakteristik frékuénsi sareng modeu utama. Kurva karakteristik amplitudo-frékuénsi tina sistem multi-kabébasan béda ti sistem kabébasan tunggal.
Getaran linier tina sistem derajat kabébasan tunggal
Geteran linier dimana posisi hiji sistem bisa ditangtukeun ku koordinat umum. Ieu mangrupikeun geteran anu paling saderhana sareng paling dasar anu tiasa diturunkeun tina seueur konsép dasar sareng ciri geteran. Ieu kalebet geteran harmonik saderhana, geteran anu teredam, sareng geteran anu dipaksa.
Getaran harmonik
Dina aksi mulangkeun gaya anu sabanding jeung pamindahan, objék éta bakal silih bales sacara sinusoidal deukeut posisi kasaimbanganana (Gambar 1). X ngagambarkeun pamindahan jeung t ngagambarkeun waktu. Éksprési matematis tina geteran ieu nyaéta:
(1)Dimana A nyaéta nilai maksimum tina pamindahan x, anu disebut amplitudo, sareng ngagambarkeun inténsitas geteran; Omega n nyaéta amplitudo Kanaékan sudut geteran per detik, anu disebut frékuénsi sudut, atanapi frékuénsi sirkular; Ieu disebut fase awal. Dina istilah f = n / 2, jumlah osilasi per detik disebut frékuénsi; Kebalikan tina ieu, T = 1 / f, nyaéta waktos anu diperyogikeun pikeun ngaosilasi hiji siklus, sareng éta disebut période. Amplitudo A, frékuénsi f (atanapi frékuénsi sudut n), fase awal, katelah geteran harmonik basajan tilu unsur.
Gambar 1 kurva geteran harmonik basajan
Sakumaha anu dipidangkeun dina Gambar 2, osilator harmonik basajan dibentuk ku massa m anu pekat anu disambungkeun ku pegas linier. Nalika pamindahan geteran diitung tina posisi kasaimbangan, persamaan geteran nyaéta:
Dimana nyaéta kaku pegas. Solusi umum pikeun persamaan di luhur nyaéta (1).A sareng tiasa ditangtukeun ku posisi awal x0 sareng kecepatan awal dina t=0:
Tapi omega n ngan ditangtukeun ku karakteristik sistem m sareng k éta sorangan, henteu gumantung kana kaayaan awal tambahan, janten omega n ogé katelah frékuénsi alami.
Gambar 2 sistem derajat kabébasan tunggal
Pikeun osilator harmonik basajan, jumlah énergi kinétik sareng énergi poténsialna tetep, nyaéta, total énergi mékanik sistem dilestarikan. Dina prosés geteran, énergi kinétik sareng énergi poténsial terus-terusan robah jadi silih.
Getaran redaman
Geteran anu amplitudona terus-terusan dilemahkeun ku gesekan sareng résistansi dielektrik atanapi konsumsi énergi anu sanés. Pikeun geteran mikro, kecepatanana umumna henteu ageung pisan, sareng résistansi sedeng sabanding sareng kecepatan kana kakuatan kahiji, anu tiasa ditulis salaku c nyaéta koéfisién redaman. Ku alatan éta, persamaan geteran hiji derajat kabébasan kalayan redaman linier tiasa ditulis salaku:
(2)Di mana, m = c/2m disebut parameter redaman, sareng. Solusi umum tina rumus (2) tiasa ditulis:
(3)Hubungan numerik antara omega n sareng PI tiasa dibagi kana tilu kasus ieu:
N > (dina kasus redaman leutik) partikel ngahasilkeun getaran atenuasi, persamaan getaranna nyaéta:
Amplitudo na turun sairing waktu numutkeun hukum eksponensial anu dipidangkeun dina persamaan, sakumaha anu dipidangkeun dina garis putus-putus dina Gambar 3. Sacara ketat, geteran ieu aperiodik, tapi frékuénsi puncakna tiasa dihartikeun salaku:
Disebut laju réduksi amplitudo, dimana nyaéta période geteran. Logaritma alami tina laju réduksi amplitudo disebut logaritma dikurangan laju (amplitudo). Jelas, =, dina hal ieu, sami sareng 2/1. Langsung ngaliwatan delta tés ékspériméntal sareng, nganggo rumus di luhur tiasa diitung c.
Dina waktos ayeuna, solusi tina persamaan (2) tiasa ditulis:
Bareng jeung arah laju awal, éta bisa dibagi jadi tilu kasus non-geteran sakumaha anu dipidangkeun dina Gambar 4.
N < (dina kasus redaman anu ageung), solusi pikeun persamaan (2) dipidangkeun dina persamaan (3). Dina titik ieu, sistem henteu deui ngageter.
Getaran paksa
Geteran sistem dina éksitasi konstan. Analisis geteran utamina nalungtik réspon sistem kana éksitasi. Éksitasi périodik mangrupikeun éksitasi teratur anu khas. Kusabab éksitasi périodik sok tiasa diuraikeun kana jumlah sababaraha éksitasi harmonik, numutkeun prinsip superposisi, ngan ukur réspon sistem kana unggal éksitasi harmonik anu diperyogikeun. Dina tindakan éksitasi harmonik, persamaan diferensial gerak sistem anu diredam ku derajat kabébasan tunggal tiasa ditulis:
Résponna nyaéta jumlah dua bagian. Hiji bagian nyaéta réspon tina geteran anu diredupkeun, anu gancang leungit sairing waktu. Réspon tina bagian séjén tina geteran anu dipaksakeun tiasa ditulis:
Gambar 3 kurva geteran anu diredam
Gambar 4 kurva tina tilu kaayaan awal kalayan redaman kritis
Ketikkeun
H /F0= h (), nyaéta babandingan amplitudo réspon ajeg kana amplitudo éksitasi, anu ngacirikeun karakteristik frékuénsi amplitudo, atanapi fungsi gain; Bit pikeun réspon kaayaan ajeg sareng insentif fase, karakterisasi karakteristik frékuénsi fase. Hubungan antara aranjeunna sareng frékuénsi éksitasi dipidangkeun dina Gambar 5 sareng Gambar 6.
Sakumaha anu tiasa ditingali tina kurva amplitudo-frékuénsi (Gambar 5), dina kasus redaman leutik, kurva amplitudo-frékuénsi gaduh hiji puncak. Beuki leutik redaman, beuki lungkawing puncakna; Frékuénsi anu saluyu sareng puncak disebut frékuénsi résonansi sistem. Dina kasus redaman leutik, frékuénsi résonansi henteu jauh béda ti frékuénsi alami. Nalika frékuénsi éksitasi caket kana frékuénsi alami, amplitudo ningkat sacara seukeut. Fenomena ieu disebut résonansi. Dina résonansi, gain sistem dimaksimalkeun, nyaéta, geteran paksaan anu paling kuat. Ku alatan éta, sacara umum, salawasna narékahan pikeun nyingkahan résonansi, kecuali sababaraha instrumen sareng alat nganggo résonansi pikeun ngahontal geteran ageung.
Gambar 5 kurva frékuénsi amplitudo
Bisa katingali tina kurva frékuénsi fase (gambar 6), henteu paduli ukuran redaman, dina bit béda fase omega nol = PI / 2, karakteristik ieu tiasa dianggo sacara efektif dina ngukur résonansi.
Salian ti éksitasi anu ajeg, sistem sakapeung ngalaman éksitasi anu teu ajeg. Sacara kasar ieu tiasa dibagi kana dua jinis: hiji nyaéta dampak anu ujug-ujug. Anu kadua nyaéta pangaruh anu langgeng tina kawenangan. Dina éksitasi anu teu ajeg, réspon sistem ogé teu ajeg.
Pakakas anu ampuh pikeun nganalisis geteran anu teu ajeg nyaéta metode réspon impuls. Éta ngajelaskeun karakteristik dinamis sistem kalayan réspon samentawis tina input impuls unit sistem. Impuls unit tiasa dikedalkeun salaku fungsi delta. Dina rékayasa, fungsi delta sering dihartikeun salaku:
dimana 0- ngagambarkeun titik dina sumbu-t anu ngadeukeutan nol ti kénca; 0 tambah nyaéta titik anu nuju ka 0 ti katuhu.
Gambar 6 kurva frékuénsi fase
Gambar 7 input naon waé tiasa dianggap salaku jumlah tina runtuyan unsur impuls
Sistem ieu pakait sareng réspon h(t) anu dihasilkeun ku impuls unit dina t=0, anu disebut fungsi réspon impuls. Anggap yén sistem stasioner sateuacan pulsa, h(t)=0 pikeun t<0. Nyaho fungsi réspon impuls sistem, urang tiasa mendakan réspon sistem kana input naon waé x(t). Dina titik ieu, anjeun tiasa mikirkeun x(t) salaku jumlah tina runtuyan unsur impuls (Gambar 7). Réspon sistem nyaéta:
Dumasar kana prinsip superposisi, réspon total sistem anu pakait sareng x(t) nyaéta:
Integral ieu disebut integral konvolusi atanapi integral superposisi.
Getaran linier tina sistem multi-derajat-kabébasan
Geteran sistem linier kalayan n≥2 derajat kabébasan.
Gambar 8 nunjukkeun dua subsistem résonansi basajan anu disambungkeun ku pegas kopling. Kusabab éta mangrupikeun sistem dua derajat kabébasan, dua koordinat mandiri diperyogikeun pikeun nangtukeun posisina. Aya dua frékuénsi alami dina sistem ieu:
Unggal frékuénsi pakait jeung modeu geteran. Osilator harmonik ngalaksanakeun osilasi harmonik tina frékuénsi anu sami, sacara sinkron ngaliwatan posisi kasaimbangan sareng sacara sinkron ngahontal posisi ekstrim. Dina geteran utama anu pakait jeung omega hiji, x1 sarua jeung x2; Dina geteran utama anu pakait jeung omega omega dua, omega omega hiji. Dina geteran utama, babandingan pamindahan unggal massa ngajaga hubungan anu tangtu sareng ngabentuk modeu anu tangtu, anu disebut modeu utama atanapi modeu alami. Ortogonalitas massa sareng kaku aya di antara modeu utama, anu ngagambarkeun kamerdékaan unggal geteran. Frékuénsi alami sareng modeu utama ngagambarkeun karakteristik geteran anu aya dina sistem multi-derajat kabébasan.
Gambar 8 sistem kalayan sababaraha derajat kabébasan
Sistem anu mibanda n derajat kabébasan mibanda n frékuénsi alami sareng n modeu utama. Sagala konfigurasi geteran sistem tiasa digambarkeun salaku kombinasi linier tina modeu utama. Ku alatan éta, metode superposisi modeu utama seueur dianggo dina analisis réspon dinamis sistem multi-dof. Ku cara kieu, pangukuran sareng analisis karakteristik geteran alami sistem janten léngkah rutin dina desain dinamis sistem.
Karakteristik dinamis sistem multi-dof ogé tiasa dijelaskeun ku karakteristik frékuénsi. Kusabab aya fungsi karakteristik frékuénsi antara unggal input sareng output, matriks karakteristik frékuénsi diwangun. Kurva karakteristik amplitudo-frékuénsi sistem multi-kabébasan béda ti sistem kabébasan tunggal.
Elastomer ngageter
Sistem multi-derajat kabébasan di luhur mangrupikeun modél mékanis élastomer anu perkiraan. Élastomer gaduh jumlah derajat kabébasan anu teu terbatas. Aya bédana kuantitatif tapi teu aya bédana anu penting antara duanana. Sagala élastomer gaduh jumlah frékuénsi alami anu teu terbatas sareng jumlah modeu anu saluyu anu teu terbatas, sareng aya ortogonalitas antara modeu massa sareng kaku. Sagala konfigurasi geteran élastomer ogé tiasa digambarkeun salaku superposisi linier tina modeu utama. Ku alatan éta, pikeun analisis réspon dinamis élastomer, metode superposisi tina modeu utama masih tiasa diterapkeun (tingali geteran linier élastomer).
Candak geteran senar. Hayu urang sebutkeun senar ipis anu massana m per unit panjang, panjangna l, ditegangkeun dina dua tungtungna, sareng teganganna nyaéta T. Dina waktos ieu, frékuénsi alami senar ditangtukeun ku persamaan ieu:
F =na/2l (n= 1,2,3…).
dimana, nyaéta kecepatan rambatan gelombang transversal sapanjang arah senar. Frékuénsi alami senar kajadian mangrupa kelipatan frékuénsi dasar leuwih 2l. Multiplisitas bilangan bulat ieu ngarah kana struktur harmonik anu pikaresepeun. Sacara umum, teu aya hubungan kelipatan bilangan bulat sapertos kitu di antara frékuénsi alami elastomer.
Tilu modeu munggaran tina senar anu ditegangkeun dipidangkeun dina Gambar 9. Aya sababaraha simpul dina kurva modeu utama. Dina geteran utama, simpul-simpul henteu ngageter. Gambar 10 nunjukkeun sababaraha modeu has tina pelat bunderan anu didukung sacara sirkular kalayan sababaraha garis simpul anu diwangun ku bunderan sareng diaméter.
Rumusan anu pasti tina masalah geteran elastomer tiasa disimpulkeun salaku masalah nilai wates tina persamaan diferensial parsial. Nanging, solusi anu pasti ngan ukur tiasa dipendakan dina sababaraha kasus anu paling saderhana, janten urang kedah nganggo solusi perkiraan pikeun masalah geteran elastomer anu rumit. Inti tina rupa-rupa solusi perkiraan nyaéta pikeun ngarobih anu teu terbatas janten anu terbatas, nyaéta, pikeun ngadiskretisasi sistem multi-derajat kabébasan tanpa anggota awak (sistem kontinyu) kana sistem multi-derajat kabébasan anu terbatas (sistem diskrit). Aya dua jinis metode diskritisasi anu seueur dianggo dina analisis rékayasa: metode unsur terbatas sareng metode sintésis modal.
Gambar 9 mode string
Gambar 10 modeu pelat bunderan
Métode élémen terbatas nyaéta struktur komposit anu ngabstraksi struktur kompléks kana sajumlah élémen anu terbatas sareng nyambungkeunana dina sajumlah simpul anu terbatas. Unggal unit mangrupikeun elastomer; Pamindahan distribusi élémen dikedalkeun ku fungsi interpolasi tina pamindahan simpul. Teras parameter distribusi unggal élémen dikonsentrasikeun ka unggal simpul dina format anu tangtu, sareng modél mékanis tina sistem diskrit diala.
Sintésis modal nyaéta dekomposisi struktur kompléks jadi sababaraha substruktur anu leuwih basajan. Dumasar kana pamahaman karakteristik geteran unggal substruktur, substruktur disintésis jadi struktur umum numutkeun kaayaan koordinasi dina antarmuka, sareng morfologi geteran tina struktur umum diala ku ngagunakeun morfologi geteran unggal substruktur.
Dua metode ieu béda sareng aya patalina, sareng tiasa dianggo salaku rujukan. Metode sintésis modal ogé tiasa digabungkeun sacara efektif sareng pangukuran ékspériméntal pikeun ngabentuk metode analisis téoritis sareng ékspériméntal pikeun geteran sistem ageung.
Waktos posting: Apr-03-2020
