Lineární vibrace: elasticita komponent v systému podléhá Hookeovu zákonu a tlumicí síla generovaná během pohybu je úměrná první rovnici zobecněné rychlosti (časové derivaci zobecněných souřadnic).
pojem
Lineární systém je obvykle abstraktním modelem vibrací reálného systému. Lineární vibrační systém uplatňuje princip superpozice, tj. pokud je odezva systému y1 při působení vstupu x1 a y2 při působení vstupu x2, pak je odezva systému při působení vstupů x1 a x2 y1+y2.
Na základě principu superpozice lze libovolný vstup rozložit na součet řady nekonečně malých impulsů a poté získat celkovou odezvu systému. Součet harmonických složek periodického buzení lze rozložit na řadu harmonických složek pomocí Fourierovy transformace a vliv každé harmonické složky na systém lze zkoumat samostatně. Charakteristiky odezvy lineárních systémů s konstantními parametry lze proto popsat impulzní nebo frekvenční odezvou.
Impulzní odezva označuje odezvu systému na jednotkový impuls, který charakterizuje charakteristiky odezvy systému v časové doméně. Frekvenční odezva označuje charakteristiku odezvy systému na jednotkový harmonický vstup. Souvislost mezi těmito dvěma je určena Fourierovou transformací.
klasifikace
Lineární vibrace lze rozdělit na lineární vibrace systému s jedním stupněm volnosti a lineární vibrace systému s více stupni volnosti.
(1) Lineární vibrace systému s jedním stupněm volnosti jsou lineární vibrace, jejichž polohu lze určit zobecněnou souřadnicí. Jsou nejjednodušší vibrací, ze které lze odvodit mnoho základních pojmů a charakteristik vibrací. Zahrnují jednoduché harmonické vibrace, volné vibrace, útlumové vibrace a vynucené vibrace.
Jednoduchá harmonická vibrace: vratný pohyb objektu v blízkosti jeho rovnovážné polohy podle sinusového zákona pod působením vratné síly úměrné jeho posunutí.
Tlumené vibrace: vibrace, jejichž amplituda je neustále tlumena třením a dielektrickým odporem nebo jinou spotřebou energie.
Vynucené vibrace: vibrace systému za stálého buzení.
(2) Lineární vibrace systému s více stupni volnosti jsou vibracemi lineárního systému s n ≥ 2 stupni volnosti. Systém s n stupni volnosti má n vlastních frekvencí a n hlavních módů. Libovolnou konfiguraci vibrací systému lze reprezentovat jako lineární kombinaci hlavních módů. Metoda superpozice hlavních módů se proto široce používá v analýze dynamické odezvy systémů s více stupni volnosti. Tímto způsobem se měření a analýza charakteristik vlastních vibrací systému stává rutinním krokem v dynamickém návrhu systému. Dynamické charakteristiky systémů s více stupni volnosti lze také popsat frekvenčními charakteristikami. Protože mezi každým vstupem a výstupem existuje frekvenční charakteristická funkce, je konstruována matice frekvenčních charakteristik. Mezi frekvenční charakteristikou a hlavním módem existuje jednoznačný vztah. Amplitudově-frekvenční charakteristika systému s více stupni volnosti se liší od charakteristiky systému s jednou volností.
Lineární vibrace systému s jedním stupněm volnosti
Lineární vibrace, ve které lze polohu systému určit zobecněnou souřadnicí. Je to nejjednodušší a nejzákladnější vibrace, ze které lze odvodit mnoho základních pojmů a charakteristik vibrací. Zahrnuje jednoduché harmonické vibrace, tlumené vibrace a vynucené vibrace.
Harmonické vibrace
Působením vratné síly úměrné posunutí se objekt pohybuje sinusoidálně vratně a vratně poblíž své rovnovážné polohy (obr. 1). X představuje posunutí a t čas. Matematický výraz pro tuto vibraci je:
(1)Kde A je maximální hodnota posunutí x, která se nazývá amplituda a představuje intenzitu vibrací; omega n je úhlový přírůstek amplitudy vibrací za sekundu, který se nazývá úhlová frekvence nebo kruhová frekvence; toto se nazývá počáteční fáze. Vyjádřeno jako f = n/2 se počet oscilací za sekundu nazývá frekvence; inverze této hodnoty, T = 1/f, je doba potřebná k vykonání jednoho cyklu a ta se nazývá perioda. Amplituda A, frekvence f (nebo úhlová frekvence n), počáteční fáze, známá jako jednoduchá harmonická vibrace o třech prvcích.
Obr. 1 jednoduchá harmonická vibrační křivka
Jak je znázorněno na obr. 2, jednoduchý harmonický oscilátor je tvořen koncentrovanou hmotou m spojenou lineární pružinou. Pokud se vibrační posunutí vypočítá z rovnovážné polohy, vibrační rovnice je:
Kde je tuhost pružiny. Obecné řešení výše uvedené rovnice je (1). A a lze ji určit počáteční polohou x0 a počáteční rychlostí v okamžiku t=0:
Ale omega n je určena pouze vlastnostmi samotného systému m a k, nezávisle na dalších počátečních podmínkách, takže omega n je také známá jako vlastní frekvence.
Obr. 2 systém s jedním stupněm volnosti
Pro jednoduchý harmonický oscilátor je součet jeho kinetické a potenciální energie konstantní, tj. celková mechanická energie systému je zachována. V procesu vibrací se kinetická a potenciální energie neustále transformují jedna na druhou.
Tlumení vibrací
Vibrace, jejíž amplituda je neustále tlumena třením a dielektrickým odporem nebo jinou spotřebou energie. U mikrovibrací není rychlost obecně příliš velká a odpor média je úměrný rychlosti na první mocninu, což lze zapsat jako c je koeficient tlumení. Proto lze vibrační rovnici jednoho stupně volnosti s lineárním tlumením zapsat jako:
(2)Kde m = c/2m se nazývá parametr tlumení a. Obecné řešení vzorce (2) lze zapsat jako:
(3)Numerický vztah mezi omega-n a pí lze rozdělit do následujících tří případů:
N > (v případě malého útlumu) částicemi vyvolané útlumové vibrace, vibrační rovnice je:
Jeho amplituda se s časem snižuje podle exponenciálního zákona znázorněného v rovnici, jak je znázorněno tečkovanou čarou na obr. 3. Přesněji řečeno, tato vibrace je aperiodická, ale frekvenci jejího vrcholu lze definovat jako:
Nazývá se míra redukce amplitudy, kde je perioda vibrací. Přirozený logaritmus míry redukce amplitudy se nazývá logaritmus mínus (amplitudová) míra. Je zřejmé, že = se v tomto případě rovná 2/1. Přímo z experimentální delty a pomocí výše uvedeného vzorce lze vypočítat c.
V tomto okamžiku lze řešení rovnice (2) zapsat jako:
Spolu se směrem počáteční rychlosti ji lze rozdělit do tří nevibračních případů, jak je znázorněno na obr. 4.
N < (v případě velkého útlumu), řešení rovnice (2) je znázorněno v rovnici (3). V tomto bodě systém již nevibruje.
Vynucené vibrace
Vibrace systému za konstantního buzení. Analýza vibrací zkoumá především odezvu systému na buzení. Periodické buzení je typické pravidelné buzení. Protože periodické buzení lze vždy rozložit na součet několika harmonických buzení, je podle principu superpozice vyžadována pouze odezva systému na každé harmonické buzení. Za působení harmonického buzení lze diferenciální rovnici pohybu systému s tlumením o jeden stupeň volnosti zapsat:
Odezva je součtem dvou částí. Jedna část je odezvou tlumených vibrací, která s časem rychle klesá. Odezvu druhé části vynucených vibrací lze zapsat:
Obr. 3 křivka tlumených vibrací
Obr. 4 křivky tří počátečních podmínek s kritickým tlumením
Zadejte
H /F0= h (), je poměr amplitudy ustálené odezvy k amplitudě excitace, charakterizující amplitudově-frekvenční charakteristiky neboli zesilovací funkci; Bity pro ustálenou odezvu a fázovou stimulaci, charakterizace fázově-frekvenčních charakteristik. Vztah mezi nimi a excitační frekvencí je znázorněn na Obr. 5 a Obr. 6.
Jak je patrné z křivky amplitudy a frekvence (obr. 5), v případě malého tlumení má křivka amplitudy a frekvence jeden vrchol. Čím menší je tlumení, tím strmější je vrchol. Frekvence odpovídající tomuto vrcholu se nazývá rezonanční frekvence systému. V případě malého tlumení se rezonanční frekvence příliš neliší od vlastní frekvence. Když je budicí frekvence blízká vlastní frekvenci, amplituda prudce roste. Tento jev se nazývá rezonance. Při rezonanci je zesílení systému maximálně zvýšeno, tj. vynucené vibrace jsou nejintenzivnější. Proto se obecně vždy snažte rezonanci vyhnout, pokud některé přístroje a zařízení nepoužívají rezonanci k dosažení velkých vibrací.
Obr. 5 křivka amplitudové frekvence
Z fázově-frekvenční křivky (obrázek 6) je patrné, že bez ohledu na velikost tlumení, v omega nulovém fázovém rozdílu bitů = PI / 2, lze tuto charakteristiku efektivně využít při měření rezonance.
Kromě ustáleného buzení se systémy někdy setkávají s nestacionárním buzením. Lze ho zhruba rozdělit na dva typy: jedním je náhlý náraz. Druhým je trvalý účinek libovolnosti. Při nestacionárním buzení je i odezva systému nestacionární.
Výkonným nástrojem pro analýzu nestacionárních vibrací je metoda impulsní odezvy. Popisuje dynamické charakteristiky systému pomocí přechodové odezvy jednotkového impulsního vstupu systému. Jednotkový impuls lze vyjádřit jako delta funkci. V inženýrství se delta funkce často definuje jako:
Kde 0- představuje bod na ose t, který se blíží nule zleva; 0 plus je bod, který se blíží 0 zprava.
Obr. 6 Křivka fázové frekvence
Obr. 7 jakýkoli vstup lze považovat za součet řady impulzních prvků
Systém odpovídá odezvě h(t) generované jednotkovým impulsem v čase t=0, která se nazývá funkce impulsní odezvy. Za předpokladu, že systém je před impulsem stacionární, platí h(t)=0 pro t<0. Znalost funkce impulsní odezvy systému nám umožňuje najít odezvu systému na libovolný vstup x(t). V tomto bodě si můžeme x(t) představit jako součet řady impulsních prvků (obr. 7). Odezva systému je:
Na základě principu superpozice je celková odezva systému odpovídající x(t):
Tento integrál se nazývá konvoluční integrál nebo superpoziční integrál.
Lineární vibrace systému s více stupni volnosti
Vibrace lineárního systému s n≥2 stupni volnosti.
Obrázek 8 znázorňuje dva jednoduché rezonanční subsystémy spojené spojovací pružinou. Protože se jedná o systém se dvěma stupni volnosti, jsou k určení jeho polohy potřeba dvě nezávislé souřadnice. V tomto systému existují dvě vlastní frekvence:
Každá frekvence odpovídá jednomu vibračnímu módu. Harmonické oscilátory provádějí harmonické kmity stejné frekvence, synchronně procházejí rovnovážnou polohou a synchronně dosahují krajní polohy. V hlavní vibraci odpovídající omega 1 se x1 rovná x2; v hlavní vibraci odpovídající omega omega 2 se omega omega 1 rovná. V hlavní vibraci si poměr posunutí každé hmoty udržuje určitý vztah a tvoří určitý mód, který se nazývá hlavní mód nebo přirozený mód. Mezi hlavními módy existuje ortogonalita hmoty a tuhosti, což odráží nezávislost každé vibrace. Vlastní frekvence a hlavní mód představují inherentní vibrační charakteristiky systému s více stupni volnosti.
Obr. 8 systém s více stupni volnosti
Systém s n stupni volnosti má n vlastních frekvencí a n hlavních módů. Libovolnou konfiguraci vibrací systému lze reprezentovat jako lineární kombinaci hlavních módů. Metoda superpozice hlavních módů se proto široce používá v analýze dynamické odezvy systémů s více stupni volnosti. Tímto způsobem se měření a analýza vlastních vibračních charakteristik systému stává rutinním krokem v dynamickém návrhu systému.
Dynamické charakteristiky systémů s více stupni volnosti lze také popsat frekvenčními charakteristikami. Protože mezi každým vstupem a výstupem existuje frekvenční charakteristická funkce, je konstruována matice frekvenčních charakteristik. Amplitudově-frekvenční charakteristika systému s více stupni volnosti se liší od charakteristiky systému s jednou volností.
Elastomer vibruje
Výše uvedený systém s více stupni volnosti je přibližným mechanickým modelem elastomeru. Elastomer má nekonečný počet stupňů volnosti. Mezi těmito dvěma je kvantitativní rozdíl, ale žádný podstatný. Jakýkoli elastomer má nekonečný počet vlastních frekvencí a nekonečný počet odpovídajících módů a mezi módy hmotnosti a tuhosti existuje ortogonalita. Jakoukoli vibrační konfiguraci elastomeru lze také reprezentovat jako lineární superpozici hlavních módů. Pro analýzu dynamické odezvy elastomeru je proto stále použitelná metoda superpozice hlavního módu (viz lineární vibrace elastomeru).
Vezměte si vibrace struny. Řekněme, že tenká struna o hmotnosti m na jednotku délky a délce l je napnutá na obou koncích a napětí je T. V tomto okamžiku je vlastní frekvence struny určena následující rovnicí:
F = na/2l (n = 1, 2, 3…).
Kde je rychlost šíření příčné vlny ve směru struny. Vlastní frekvence strun jsou násobky základní frekvence nad 2l. Tato celočíselná násobnost vede k příjemné harmonické struktuře. Obecně neexistuje žádný takový vztah celočíselných násobků mezi vlastními frekvencemi elastomeru.
První tři módy napnuté struny jsou znázorněny na obr. 9. Na křivce hlavního módu jsou některé uzly. V hlavním vibračním cyklu uzly nevibrují. Obr. 10 ukazuje několik typických módů obvodově podepřené kruhové desky s některými uzlovými liniemi složenými z kružnic a průměrů.
Přesnou formulaci problému vibrací elastomeru lze uzavřít jako okrajovou úlohu parciálních diferenciálních rovnic. Přesné řešení však lze nalézt pouze v některých nejjednodušších případech, takže se musíme uchýlit k přibližnému řešení komplexního problému vibrací elastomeru. Podstatou různých přibližných řešení je změna nekonečna na konečné, tj. diskretizace bezkonkurenčního systému s více stupni volnosti (spojitý systém) na konečný systém s více stupni volnosti (diskrétní systém). V inženýrské analýze se široce používají dva druhy diskretizačních metod: metoda konečných prvků a metoda modální syntézy.
Obr. 9 mód řetězce
Obr. 10 režim kruhové desky
Metoda konečných prvků je kompozitní struktura, která rozděluje složitou strukturu na konečný počet prvků a spojuje je v konečném počtu uzlů. Každá jednotka je elastomer; rozložení posunutí prvku je vyjádřeno interpolační funkcí posunutí uzlu. Poté jsou distribuční parametry každého prvku koncentrovány do každého uzlu v určitém formátu a je získán mechanický model diskrétního systému.
Modální syntéza je rozklad složité struktury na několik jednodušších podstruktur. Na základě pochopení vibračních charakteristik každé podstruktury je podstruktura syntetizována do obecné struktury podle koordinačních podmínek na rozhraní a vibrační morfologie obecné struktury se získá pomocí vibrační morfologie každé podstruktury.
Tyto dvě metody se liší a jsou si příbuzné a lze je použít jako referenci. Metodu modální syntézy lze také efektivně kombinovat s experimentálním měřením a vytvořit tak teoretickou a experimentální metodu analýzy vibrací velkých systémů.
Čas zveřejnění: 3. dubna 2020
