Сызыклы тибрәнү: системадагы компонентларның эластиклыгы Гук законына буйсына, һәм хәрәкәт вакытында барлыкка килгән сүндерү көче гомумиләштерелгән тизлекнең беренче тигезләмәсенә (гомумиләштерелгән координаталарның вакыт чыгарылмасы) пропорциональ.
төшенчә
Сызыклы система гадәттә чын система тибрәнүенең абстракт моделе. Сызыклы тибрәнү системасы суперпозиция принцибын куллана, ягъни, әгәр системаның җавабы x1 керүе тәэсирендә y1, ә x2 керүе тәэсирендә y2 булса, x1 һәм x2 керүләре тәэсирендә системаның җавабы y1+y2 булачак.
Суперпозиция принцибы нигезендә, теләсә нинди керү мәгълүматын чиксез кечкенә импульслар сериясенең суммасына таркатырга мөмкин, аннары системаның гомуми җавабын алырга мөмкин. Периодик кузгатуның гармоник компонентлары суммасын Фурье үзгәртүе ярдәмендә гармоник компонентлар сериясенә киңәйтергә мөмкин, һәм һәр гармоник компонентның системага йогынтысын аерым тикшерергә мөмкин. Шуңа күрә даими параметрлы сызыклы системаларның җавап характеристикаларын импульс җавабы яки ешлык җавабы белән сурәтләргә мөмкин.
Импульс җавабы системаның берәмлек импульсына җавабы дип атала, ул вакыт өлкәсендә системаның җавабы үзенчәлекләрен характерлый. Ешлык җавабы системаның берәмлек гармоник керүенә җавабы үзенчәлеген аңлата. Икесе арасындагы туры килү Фурье үзгәртүе белән билгеләнә.
классификация
Сызыкча тибрәнү бер ирек дәрәҗәле системаның сызыкча тибрәнүенә һәм күп ирек дәрәҗәле системаның сызыкча тибрәнүенә бүленергә мөмкин.
(1) бер ирекле дәрәҗәле системаның сызыклы тибрәнүе - аның урнашуын гомумиләштерелгән координата ярдәмендә билгеләргә мөмкин булган сызыклы тибрәнү. Бу тибрәнүнең күп төп төшенчәләрен һәм характеристикаларын чыгарып була торган иң гади тибрәнү. Ул гади гармоник тибрәнүне, ирекле тибрәнүне, сүнү тибрәнүне һәм мәҗбүри тибрәнүне үз эченә ала.
Гади гармоник тибрәнү: җисемнең тигезлек торышы тирәсендә, аның күчешенә пропорциональ торгызучы көч тәэсирендә, синусоидаль закон буенча үзара хәрәкәте.
Сүндерелгән тибрәнү: ышкылу һәм диэлектрик каршылык яки башка энергия куллану аркасында амплитудасы өзлексез кими торган тибрәнү.
Мәҗбүри тибрәнү: даими кузгату астында системаның тибрәнүе.
(2) күп ирек дәрәҗәле системаның сызыкча тибрәнүе - n≥2 ирек дәрәҗәле сызыкча системаның тибрәнүе. n ирек дәрәҗәле системаның n табигый ешлыгы һәм n төп модасы бар. Системаның теләсә нинди тибрәнү конфигурациясен төп модларның сызыкча комбинациясе буларак күрсәтергә мөмкин. Шуңа күрә төп мод суперпозициясе ысулы күп доф системаларның динамик җавап анализында киң кулланыла. Шулай итеп, системаның табигый тибрәнү үзенчәлекләрен үлчәү һәм анализлау системаның динамик проектлауында гадәти адымга әйләнә. Күп доф системаларның динамик үзенчәлекләрен ешлык үзенчәлекләре белән дә тасвирларга мөмкин. Һәр керү һәм чыгу арасында ешлык үзенчәлеге функциясе булганлыктан, ешлык үзенчәлеге матрицасы төзелә. Ешлык үзенчәлеге һәм төп мод арасында билгеле бер бәйләнеш бар. Күп ирекле системаның амплитуда-ешлык үзенчәлеге кәкресе бер ирекле системаныкыннан аерылып тора.
Бер ирек дәрәҗәсе системасының сызыклы тирбәнеше
Системаның урнашуын гомумиләштерелгән координата ярдәмендә билгеләргә мөмкин булган сызыкча тибрәнү. Бу - тибрәнүнең күп төп төшенчәләрен һәм үзенчәлекләрен чыгарып була торган иң гади һәм иң төп тибрәнү. Ул гади гармоник тибрәнүне, сүндерелгән тибрәнүне һәм мәҗбүри тибрәнүне үз эченә ала.
Гармоник тибрәнү
Күчешүгә пропорциональ торгызылу көче тәэсирендә, җисем үзенең тигезлек торышы янында синусоидаль рәвештә кире әйләнә (1 нче рәсем). X күчешне, ә t вакытны күрсәтә. Бу тибрәнүнең математик чагылышы:
(1)Монда A - күчешнең максималь кыйммәте x, ул амплитуда дип атала һәм тибрәнү интенсивлыгын күрсәтә; Омега n - амплитудасы, секундына тибрәнүнең почмак артуы, ул почмак ешлыгы яки түгәрәк ешлык дип атала; Бу башлангыч фаза дип атала. f= n/2 терминнарында, секундына тибрәнүләр саны ешлык дип атала; Моның киресе, T=1/f, - бер цикл тибрәнү өчен кирәк булган вакыт, һәм ул период дип атала. A амплитудасы, ешлык f (яки почмак ешлыгы n), башлангыч фаза, гади гармоник тибрәнү дип атала, өч элемент.
1 нче РӘСЕМ. Гади гармоник тибрәнү кәкресе
2 нче рәсемдә күрсәтелгәнчә, сызыклы пружиналы m концентрацияләнгән массадан гади гармоник осциллятор барлыкка килә. Тирә-як тигезләнеш хәленнән тибрәнү тигезләмәсе исәпләнгәндә, тибрәнү тигезләмәсе түбәндәгечә була:
монда - пружинаның катылыгы. Югарыдагы тигезләмәнең гомуми чишелеше (1). А һәм аны башлангыч позиция x0 һәм t=0 вакытында башлангыч тизлек белән билгеләргә мөмкин:
Ләкин омега n өстәмә башлангыч шартлардан бәйсез рәвештә системаның үз характеристикалары m һәм k белән генә билгеләнә, шуңа күрә омега n шулай ук табигый ешлык буларак та билгеле.
2 нче РӘСЕМ. Бер иреклелек дәрәҗәсе системасы
Гади гармоник осциллятор өчен аның кинетик энергиясе һәм потенциал энергиясе суммасы даими, ягъни системаның гомуми механик энергиясе саклана. Тирбәнеш процессында кинетик энергия һәм потенциал энергия даими рәвештә бер-берсенә әверелә.
Сүндерү тибрәнеше
Амплитудасы ышкылу һәм диэлектрик каршылык яки башка энергия куллану белән өзлексез киметелә торган тибрәнү. Микротибрәнү өчен тизлек, гадәттә, бик зур түгел, һәм мохит каршылыгы тизлеккә беренче дәрәҗәгә пропорциональ, аны c - сүндерү коэффициенты дип язарга мөмкин. Шуңа күрә, сызыклы сүндерү белән бер ирек дәрәҗәсе тибрәнү тигезләмәсен түбәндәгечә язарга мөмкин:
(2)Монда, m =c/2m сүндерү параметры дип атала, һәм. (2) формуласының гомуми чишелешен болай язарга мөмкин:
(3)Омега n һәм PI арасындагы санлы бәйләнешне түбәндәге өч очракка бүлеп карарга мөмкин:
N > (кечкенә сүндерү очрагында) кисәкчәләр тудырган тибрәнүнең кимүе, тибрәнү тигезләмәсе:
Аның амплитудасы 3 нче рәсемдәге нокталы сызыкта күрсәтелгәнчә, тигезләмәдә күрсәтелгән экспоненциаль закон буенча вакыт белән кими. Дөресен әйткәндә, бу тибрәнү апериодик, ләкин аның пик ешлыгын түбәндәгечә билгеләргә мөмкин:
Амплитуда киметү тизлеге дип атала, монда тибрәнү периоды. Амплитуда киметү тизлегенең натураль логарифмы логарифм минус (амплитуда) тизлеге дип атала. Әлбәттә, =, бу очракта, 2/1 гә тигез. Турыдан-туры эксперименталь сынау дельтасы аша һәм югарыдагы формуланы кулланып, c исәпләп чыгарырга мөмкин.
Бу вакытта (2) тигезләмәнең чишелешен болай язарга мөмкин:
Башлангыч тизлек юнәлеше белән беррәттән, аны 4 нче рәсемдә күрсәтелгәнчә, тибрәнүсез өч очракка бүләргә мөмкин.
N < (зур сүндерү очрагында), (2) тигезләмәнең чишелеше (3) тигезләмәдә күрсәтелгән. Бу ноктада система тибрәнүдән туктаган.
Мәҗбүри тибрәнү
Даими кузгалу астында системаның тибрәнүе. Тибрәнү анализы, нигездә, системаның кузгалуга җавабын тикшерә. Периодик кузгалу - типик регуляр кузгалу. Периодик кузгалуны һәрвакыт берничә гармоник кузгалу суммасына таркатырга мөмкин булганлыктан, суперпозиция принцибы буенча, системаның һәр гармоник кузгалуга җавабы гына кирәк. Гармоник кузгалу тәэсирендә, бер ирек дәрәҗәсе сүндерелгән системаның хәрәкәт дифференциаль тигезләмәсен түбәндәгечә язарга мөмкин:
Җавап ике өлештән тора. Бер өлеше - вакыт узу белән тиз кими торган сүндерелгән тибрәнү җавабы. Мәҗбүри тибрәнүнең икенче өлешенең җавабы болай язылырга мөмкин:
3 нче РӘСЕМ. Сүндерелгән тибрәнү кәкресе
4 нче РӘСЕМ. Критик сүндерү белән өч башлангыч шартның кәкреләре
Языгыз
H /F0= h (), - амплитуда-ешлык характеристикасын яки көчәйтү функциясен характерлаучы тотрыклы җавап амплитудасының кузгату амплитудасына нисбәте; Фазаның тотрыклы халәт җавабы һәм стимуллаштыруы өчен битлар, фаза ешлыгы характеристикасын характерлау. Алар һәм кузгату ешлыгы арасындагы бәйләнеш 5 һәм 6 нчы рәсемнәрдә күрсәтелгән.
Амплитуда-ешлык кәкресеннән күренгәнчә (5 нче рәсем), кечкенә сүндерү очрагында амплитуда-ешлык кәкресенең бер генә пигы бар. Сүндерү кечерәк булган саен, пик текәрәк була; Пикка туры килә торган ешлык системаның резонанс ешлыгы дип атала. Кечкенә сүндерү очрагында резонанс ешлыгы табигый ешлыктан күп аерылмый. Кузгату ешлыгы табигый ешлыкка якын булганда, амплитуда кискен арта. Бу күренеш резонанс дип атала. Резонанста системаның көчәйтүе максимальләштерелә, ягъни мәҗбүри тибрәнү иң көчле була. Шуңа күрә, гомумән алганда, резонанстан качарга тырышыгыз, кайбер җайланмалар һәм җиһазлар зур тибрәнүгә ирешү өчен резонанс кулланмаса.
5 нче РӘСЕМ. Амплитуда ешлыгы кәкресе
Фаза ешлыгы кәкресеннән (6 нчы рәсем) күренгәнчә, сүндерү зурлыгына карамастан, омега-нуль фаза аермасы битлары = PI / 2 булганда, бу характеристиканы резонансны үлчәүдә нәтиҗәле кулланырга мөмкин.
Даими кузгалудан тыш, системалар кайвакыт тотрыксыз кузгалу белән очраша. Аны якынча ике төргә бүлеп була: берсе - кинәт бәрелү. Икенчесе - тотрыксызлыкның озакка сузылган эффекты. Тотрыксыз кузгалу вакытында системаның җавабы да тотрыксыз була.
Тотрыксыз тибрәнүләрне анализлау өчен көчле корал - импульс җавап бирү ысулы. Ул системаның динамик үзенчәлекләрен системаның берәмлек импульс керүенең вакытлыча җавабы белән тасвирлый. Берәмлек импульс дельта функциясе буларак күрсәтелергә мөмкин. Инженериядә дельта функциясе еш кына түбәндәгечә билгеләнә:
Монда 0- сулдан нульгә якынлашкан t күчәрендәге ноктаны күрсәтә; 0 плюс - уңнан 0гә барган нокта.
6 нчы РӘСЕМ. Фаза ешлыгы кәкресе
7 нче РӘСЕМ. Теләсә нинди керү импульс элементлары сериясенең суммасы буларак каралырга мөмкин.
Система t=0 вакытында берәмлек импульс тарафыннан барлыкка китерелгән h(t) җавапка туры килә, ул импульс җавап функциясе дип атала. Система импульс алдыннан стационар дип фараз итеп, t<0 өчен h(t)=0. Системаның импульс җавап функциясен белеп, без системаның теләсә нинди x(t) керүенә җавап таба алабыз. Бу ноктада x(t) ны импульс элементлары сериясенең суммасы дип карарга мөмкин (7 нче рәсем). Системаның җавап функциясе:
Суперпозиция принцибына нигезләнеп, x(t) га туры килә торган системаның гомуми җавабы:
Бу интеграл конволюция интегралы яки суперпозиция интегралы дип атала.
Күп ирек дәрәҗәле системаның сызыкча тибрәнүе
n≥2 ирекле дәрәҗәле сызыклы системаның тибрәнүе.
8 нче рәсемдә тоташтыру пружинасы белән тоташтырылган ике гади резонанслы система күрсәтелгән. Бу ике ирекле дәрәҗәле система булганлыктан, аның урнашуын билгеләү өчен ике бәйсез координата кирәк. Бу системада ике табигый ешлык бар:
Һәр ешлык тибрәнү режимына туры килә. Гармоник осцилляторлар бер үк ешлыктагы гармоник тирбәнешләрне башкаралар, синхрон рәвештә тигезлек позициясеннән үтәләр һәм синхрон рәвештә экстремаль позициягә җитәләр. Омега беренчегә туры килә торган төп тибрәнүдә x1 x2 гә тигез; Омега икенчегә туры килә торган төп тибрәнүдә омега беренче, омега беренче. Төп тибрәнүдә һәр массаның күчү коэффициенты билгеле бер мөнәсәбәтне саклый һәм билгеле бер режим формалаштыра, ул төп режим яки табигый режим дип атала. Масса һәм катылыкның ортогональлеге төп режимнар арасында бар, бу һәр тибрәнүнең бәйсезлеген чагылдыра. Табигый ешлык һәм төп режим күп дәрәҗәдәге иреклелек системасының эчке тибрәнү үзенчәлекләрен күрсәтә.
8 нче СУРӘТ. Күп ирек дәрәҗәләре булган система
n ирек дәрәҗәсе булган системаның n табигый ешлыгы һәм n төп модасы бар. Системаның теләсә нинди тибрәнү конфигурациясен төп модларның сызыклы комбинациясе буларак күрсәтергә мөмкин. Шуңа күрә төп мод суперпозициясе ысулы күп доф системаларның динамик җавап анализында киң кулланыла. Шулай итеп, системаның табигый тибрәнү үзенчәлекләрен үлчәү һәм анализлау системаның динамик дизайнында гадәти адымга әйләнә.
Күп доф системаларның динамик характеристикаларын ешлык характеристикалары белән дә сурәтләргә мөмкин. Һәр керү һәм чыгу арасында ешлык характеристикасы функциясе булганлыктан, ешлык характеристикасы матрицасы төзелә. Күп ирекле системаның амплитуда-ешлык характеристикасы кәкресе бер ирекле системаныкыннан аерылып тора.
Эластомер тибрәнә
Югарыда күрсәтелгән күп ирек дәрәҗәсе системасы эластомерның якынча механик моделе. Эластомерның чиксез сандагы ирек дәрәҗәсе бар. Икесе арасында санлы аерма бар, ләкин мөһим аерма юк. Теләсә нинди эластомерның чиксез сандагы табигый ешлыклары һәм чиксез сандагы тиешле модалар бар, һәм масса һәм катылык модалар арасында ортогональлек бар. Эластомерның теләсә нинди тибрәнү конфигурациясен төп модларның сызыклы суперпозициясе буларак та күрсәтергә мөмкин. Шуңа күрә, эластомерның динамик җавап анализы өчен, төп моданың суперпозиция ысулы кулланыла (эластомерның сызыклы тибрәнүне карагыз).
Кыл тибрәнешен алыйк. Әйтик, берәмлек озынлыкта m массалы, озынлыгы l булган нечкә җеп ике очында да тартылган, һәм тартылу T га тигез. Бу вакытта кылның табигый ешлыгы түбәндәге тигезләмә белән билгеләнә:
F = na/2l (n= 1,2,3…).
Монда , - кыл юнәлеше буенча аркылы дулкынның таралу тизлеге. Кылларның табигый ешлыклары 2л эчендә төп ешлыкның тапкырлылары. Бу бөтен санлы күплек күңелле гармоник структурага китерә. Гомумән алганда, эластомерның табигый ешлыклары арасында мондый бөтен санлы күплек бәйләнеше юк.
Тартылган кылның беренче өч режимы 9 нчы рәсемдә күрсәтелгән. Төп режим кәкресендә берничә төен бар. Төп тибрәнүдә төеннәр тибрәнми. 10 нчы рәсемдә әйләнә буенча терәлгән түгәрәк пластинаның берничә типик режимы күрсәтелгән, анда кайбер төен сызыклары түгәрәкләр һәм диаметрлардан тора.
Эластомер тибрәнү мәсьәләсенең төгәл формулировкасын өлешчә дифференциаль тигезләмәләрнең чик мәсьәләсе дип атарга мөмкин. Ләкин төгәл чишелешне бары тик иң гади очракларда гына табып була, шуңа күрә без катлаулы эластомер тибрәнү мәсьәләсе өчен якынча чишелешкә мөрәҗәгать итәргә тиеш. Төрле якынча чишелешләрнең асылы - чиксезне чиклегә үзгәртү, ягъни аяксыз күп ирек дәрәҗәсендәге системаны (өзлексез система) чикле күп ирек дәрәҗәсендәге системага (дискрет система) дискретлаштыру. Инженерлык анализында киң кулланыла торган ике төрле дискретлаштыру ысулы бар: чикле элементлар ысулы һәм модаль синтез ысулы.
9 нчы РӘСЕМ. Җеп режимы
10 нчы РӘСЕМ. Түгәрәк пластина режимы
Чикле элементлар ысулы - катлаулы структураны чикле сандагы элементларга абстракцияләүче һәм аларны чикле сандагы төеннәрдә тоташтыручы кушма структура. Һәр берәмлек - эластомер; Элементның бүленеш күчеше төен күчешенең интерполяция функциясе белән күрсәтелә. Аннары һәр элементның бүленеш параметрлары билгеле бер форматта һәр төенгә туплана, һәм дискрет системаның механик моделе алына.
Модаль синтез - катлаулы структураны берничә гадирәк субструктурага таркату. Һәр субструктураның тибрәнү үзенчәлекләрен аңлау нигезендә, субструктура чиктәге координация шартларына туры китереп гомуми структурага синтезлана, һәм гомуми структураның тибрәнү морфологиясе һәр субструктураның тибрәнү морфологиясен кулланып алына.
Ике ысул төрле һәм бер-берсе белән бәйле, һәм аларны белешмә буларак кулланырга мөмкин. Модаль синтез ысулын шулай ук зур системаларның тибрәнүе өчен теоретик һәм эксперименталь анализ ысулын формалаштыру өчен эксперименталь үлчәү белән нәтиҗәле берләштерергә мөмкин.
Бастырып чыгару вакыты: 2020 елның 3 апреле
