ما هو الاهتزاز الخطي؟

الاهتزاز الخطي: تخضع مرونة المكونات في النظام لقانون هوك، وقوة التخميد المتولدة أثناء الحركة تتناسب مع المعادلة الأولى للسرعة المعممة (المشتق الزمني للإحداثيات المعممة).

مفهوم

عادةً ما يكون النظام الخطي نموذجًا مجردًا لاهتزاز النظام الحقيقي. يطبق نظام الاهتزاز الخطي مبدأ التراكب، أي إذا كانت استجابة النظام هي y1 تحت تأثير المدخل x1، و y2 تحت تأثير المدخل x2، فإن استجابة النظام تحت تأثير المدخلين x1 و x2 هي y1+y2.

استنادًا إلى مبدأ التراكب، يمكن تحليل أي مدخل إلى مجموع سلسلة من النبضات المتناهية الصغر، ومن ثم الحصول على الاستجابة الكلية للنظام. ويمكن توسيع مجموع المكونات التوافقية لإثارة دورية إلى سلسلة من المكونات التوافقية باستخدام تحويل فورييه، ويمكن دراسة تأثير كل مكون توافقي على النظام بشكل منفصل. لذلك، يمكن وصف خصائص استجابة الأنظمة الخطية ذات المعاملات الثابتة باستجابة النبضة أو استجابة التردد.

تشير استجابة النبضة إلى استجابة النظام لنبضة الوحدة، والتي تميز خصائص استجابة النظام في المجال الزمني. وتشير استجابة التردد إلى خصائص استجابة النظام لمدخل توافقي الوحدة. ويتم تحديد العلاقة بينهما بواسطة تحويل فورييه.

تصنيف

يمكن تقسيم الاهتزاز الخطي إلى اهتزاز خطي لنظام ذي درجة حرية واحدة واهتزاز خطي لنظام ذي درجات حرية متعددة.

(1) الاهتزاز الخطي لنظام ذي درجة حرية واحدة هو اهتزاز خطي يمكن تحديد موضعه بواسطة إحداثيات معممة. وهو أبسط أنواع الاهتزاز، ويمكن اشتقاق العديد من المفاهيم والخصائص الأساسية للاهتزاز منه. ويشمل الاهتزاز التوافقي البسيط، والاهتزاز الحر، والاهتزاز المتلاشي، والاهتزاز القسري.

الاهتزاز التوافقي البسيط: الحركة الترددية لجسم ما في جوار موضع توازنه وفقًا لقانون جيبي تحت تأثير قوة استعادة تتناسب مع إزاحته.

الاهتزاز المخمد: هو الاهتزاز الذي يتم تخفيف سعته باستمرار بسبب وجود الاحتكاك والمقاومة العازلة أو استهلاك الطاقة الأخرى.

الاهتزاز القسري: اهتزاز نظام تحت تأثير إثارة مستمرة.

(2) الاهتزاز الخطي لنظام متعدد درجات الحرية هو اهتزاز النظام الخطي ذي n ≥ 2 درجة حرية. يمتلك نظام ذو n درجة حرية n ترددًا طبيعيًا و n نمطًا رئيسيًا. يمكن تمثيل أي تكوين اهتزازي للنظام كمزيج خطي من الأنماط الرئيسية. لذلك، تُستخدم طريقة تراكب الأنماط الرئيسية على نطاق واسع في تحليل الاستجابة الديناميكية للأنظمة متعددة درجات الحرية. وبهذه الطريقة، يصبح قياس وتحليل خصائص الاهتزاز الطبيعي للنظام خطوة روتينية في التصميم الديناميكي للنظام. يمكن أيضًا وصف الخصائص الديناميكية للأنظمة متعددة درجات الحرية من خلال خصائص التردد. نظرًا لوجود دالة مميزة للتردد بين كل مدخل ومخرج، يتم إنشاء مصفوفة مميزة للتردد. توجد علاقة محددة بين خاصية التردد والنمط الرئيسي. يختلف منحنى خصائص السعة-التردد للنظام متعدد درجات الحرية عن منحنى خصائص التردد للنظام أحادي درجة الحرية.

الاهتزاز الخطي لنظام ذي درجة حرية واحدة

الاهتزاز الخطي هو اهتزاز يمكن فيه تحديد موضع النظام بواسطة إحداثيات معممة. وهو أبسط أنواع الاهتزاز وأكثرها جوهرية، ومنه يمكن اشتقاق العديد من المفاهيم والخصائص الأساسية للاهتزاز. ويشمل الاهتزاز التوافقي البسيط، والاهتزاز المخمد، والاهتزاز القسري.

الاهتزاز التوافقي

تحت تأثير قوة استعادة تتناسب مع الإزاحة، يتحرك الجسم ذهابًا وإيابًا بشكل جيبي بالقرب من موضع اتزانه (الشكل 1). يمثل X الإزاحة، ويمثل t الزمن. والتعبير الرياضي عن هذا الاهتزاز هو:

(1)حيث A هي القيمة القصوى للإزاحة x، والتي تُسمى السعة، وتمثل شدة الاهتزاز؛ وΩn هي الزيادة الزاوية للاهتزاز في الثانية الواحدة، والتي تُسمى التردد الزاوي، أو التردد الدائري؛ وتُسمى هذه المرحلة بالطور الابتدائي. وباستخدام f = n/2، يُسمى عدد التذبذبات في الثانية الواحدة بالتردد؛ ومقلوب هذا التردد، T = 1/f، هو الزمن اللازم لإتمام دورة واحدة، ويُسمى هذا الزمن بالفترة. السعة A، والتردد f (أو التردد الزاوي n)، والمرحلة الابتدائية، تُعرف بالاهتزاز التوافقي البسيط.

الشكل 1: منحنى الاهتزاز التوافقي البسيط

كما هو موضح في الشكل 2، يتكون مذبذب توافقي بسيط من كتلة مركزة m متصلة بنابض خطي. عند حساب إزاحة الاهتزاز من موضع التوازن، تكون معادلة الاهتزاز كما يلي:

أين تكمن صلابة الزنبرك؟ الحل العام للمعادلة أعلاه هو (1). ويمكن تحديد A من خلال الموضع الابتدائي x0 والسرعة الابتدائية عند t=0:

لكن أوميغا n يتم تحديدها فقط من خلال خصائص النظام نفسه m و k، بغض النظر عن الشروط الأولية الإضافية، لذلك تُعرف أوميغا n أيضًا باسم التردد الطبيعي.

الشكل 2 نظام ذو درجة حرية واحدة

بالنسبة للمذبذب التوافقي البسيط، يكون مجموع طاقته الحركية وطاقته الكامنة ثابتًا، أي أن الطاقة الميكانيكية الكلية للنظام محفوظة. وفي عملية الاهتزاز، تتحول الطاقة الحركية والطاقة الكامنة باستمرار إلى بعضها البعض.

اهتزاز التخميد

الاهتزاز الذي تتناقص سعته باستمرار بفعل الاحتكاك والمقاومة العازلة أو غيرها من مصادر استهلاك الطاقة. في الاهتزازات الدقيقة، لا تكون السرعة كبيرة عمومًا، وتتناسب مقاومة الوسط طرديًا مع السرعة، ويمكن كتابة ذلك على النحو التالي: c هو معامل التخميد. لذلك، يمكن كتابة معادلة الاهتزاز ذات درجة حرية واحدة مع تخميد خطي على النحو التالي:

(2)حيث يُطلق على m = c/2m اسم معامل التخميد، ويمكن كتابة الحل العام للمعادلة (2) على النحو التالي:

(3)يمكن تقسيم العلاقة العددية بين أوميغا ن و PI إلى الحالات الثلاث التالية:

عندما يكون عدد الجسيمات أكبر من N (في حالة التخميد الصغير)، فإن معادلة الاهتزاز الناتجة عن التوهين هي:

يتناقص اتساعه مع مرور الوقت وفقًا للقانون الأسي الموضح في المعادلة، كما هو موضح بالخط المنقط في الشكل 3. وبالمعنى الدقيق للكلمة، فإن هذا الاهتزاز غير دوري، ولكن يمكن تعريف تردد ذروته على النحو التالي:

يُطلق عليه معدل انخفاض السعة، حيث يُمثل زمن الاهتزاز. يُسمى اللوغاريتم الطبيعي لمعدل انخفاض السعة معدل اللوغاريتم ناقص (السعة). من الواضح أن = في هذه الحالة يساوي 2/1. يمكن حساب قيمة c مباشرةً من خلال الاختبار التجريبي، وباستخدام الصيغة المذكورة أعلاه.

في هذه الحالة، يمكن كتابة حل المعادلة (2) على النحو التالي:

إلى جانب اتجاه السرعة الأولية، يمكن تقسيمها إلى ثلاث حالات عدم اهتزاز كما هو موضح في الشكل 4.

N < (في حالة التخميد الكبير)، يظهر حل المعادلة (2) في المعادلة (3). عند هذه النقطة، لم يعد النظام يهتز.

الاهتزاز القسري

اهتزاز نظام تحت تأثير إثارة ثابتة. يدرس تحليل الاهتزاز بشكل أساسي استجابة النظام للإثارة. الإثارة الدورية هي إثارة منتظمة نموذجية. بما أن الإثارة الدورية يمكن دائمًا تحليلها إلى مجموع عدة إثارات توافقية، وفقًا لمبدأ التراكب، فإن المطلوب هو فقط استجابة النظام لكل إثارة توافقية على حدة. تحت تأثير الإثارة التوافقية، يمكن كتابة معادلة الحركة التفاضلية لنظام مخمد ذي درجة حرية واحدة على النحو التالي:

تتكون الاستجابة من جزأين. الجزء الأول هو استجابة الاهتزاز المخمد، الذي يتلاشى بسرعة مع مرور الوقت. أما استجابة الجزء الثاني من الاهتزاز القسري فيمكن كتابتها على النحو التالي:

الشكل 3: منحنى الاهتزاز المخمد

الشكل 4: منحنيات لثلاث حالات ابتدائية مع التخميد الحرج

اكتب

يمثل H /F0= h () نسبة سعة الاستجابة المستقرة إلى سعة الإثارة، وهي تمثل خصائص السعة والتردد، أو دالة الكسب؛ بينما تمثل البتات استجابة الحالة المستقرة وتحفيز الطور، وهي تمثل خصائص تردد الطور. يوضح الشكلان 5 و6 العلاقة بينهما وبين تردد الإثارة.

كما هو موضح في منحنى السعة-التردد (الشكل 5)، في حالة التخميد المنخفض، يكون لمنحنى السعة-التردد قمة واحدة. وكلما قل التخميد، زادت حدة القمة. ويُسمى التردد المقابل لهذه القمة بتردد الرنين للنظام. في حالة التخميد المنخفض، لا يختلف تردد الرنين كثيرًا عن التردد الطبيعي. وعندما يقترب تردد الإثارة من التردد الطبيعي، تزداد السعة بشكل حاد. تُسمى هذه الظاهرة بالرنين. عند الرنين، يكون كسب النظام في أعلى مستوياته، أي أن الاهتزاز القسري يكون في أقصى شدته. لذلك، يُنصح عمومًا بتجنب الرنين، إلا في بعض الأجهزة والمعدات التي تستخدم الرنين لتحقيق اهتزاز كبير.

الشكل 5 منحنى تردد السعة

يمكن ملاحظة ذلك من منحنى تردد الطور (الشكل 6)، بغض النظر عن حجم التخميد، في أوميغا فرق الطور الصفري بتات = PI / 2، يمكن استخدام هذه الخاصية بشكل فعال في قياس الرنين.

بالإضافة إلى الإثارة المستقرة، قد تواجه الأنظمة أحيانًا إثارة غير مستقرة. ويمكن تقسيمها تقريبًا إلى نوعين: الأول هو التأثير المفاجئ، والثاني هو التأثير المستمر للعشوائية. وفي ظل الإثارة غير المستقرة، تكون استجابة النظام غير مستقرة أيضًا.

تُعدّ طريقة استجابة النبضة أداةً فعّالة لتحليل الاهتزازات غير المستقرة. فهي تصف الخصائص الديناميكية للنظام من خلال الاستجابة العابرة لنبضة الإدخال الوحدوية للنظام. ويمكن التعبير عن نبضة الإدخال الوحدوية بدالة دلتا. وفي الهندسة، تُعرَّف دالة دلتا عادةً على النحو التالي:

حيث يمثل 0- النقطة على المحور t التي تقترب من الصفر من اليسار؛ و0+ هي النقطة التي تصل إلى 0 من اليمين.

الشكل 6: منحنى تردد الطور

الشكل 7: يمكن اعتبار أي مدخل بمثابة مجموع سلسلة من عناصر النبض.

يتوافق النظام مع الاستجابة h(t) الناتجة عن نبضة الوحدة عند t=0، والتي تُسمى دالة استجابة النبضة. بافتراض أن النظام مستقر قبل النبضة، فإن h(t)=0 عندما t<0. بمعرفة دالة استجابة النبضة للنظام، يمكننا إيجاد استجابة النظام لأي مدخل x(t). عند هذه النقطة، يمكنك اعتبار x(t) مجموع سلسلة من عناصر النبضة (الشكل 7). استجابة النظام هي:

استنادًا إلى مبدأ التراكب، فإن الاستجابة الكلية للنظام المقابلة لـ x(t) هي:

يُطلق على هذا التكامل اسم التكامل التلفيفي أو التكامل التراكبي.

الاهتزاز الخطي لنظام متعدد درجات الحرية

اهتزاز نظام خطي ذو n≥2 درجة حرية.

يوضح الشكل 8 نظامين فرعيين رنينيين بسيطين متصلين بنابض اقتران. ولأنه نظام ذو درجتي حرية، فإنه يتطلب إحداثيين مستقلين لتحديد موضعه. يوجد ترددان طبيعيان في هذا النظام:

يتوافق كل تردد مع نمط اهتزاز. تقوم المذبذبات التوافقية بتذبذبات توافقية بنفس التردد، وتمر بشكل متزامن بموضع الاتزان وتصل بشكل متزامن إلى الموضع الأقصى. في الاهتزاز الرئيسي الموافق لـ ω1، تكون x1 مساوية لـ x2؛ وفي الاهتزاز الرئيسي الموافق لـ ω2، تكون ω1 مساوية لـ ω2. في الاهتزاز الرئيسي، تحافظ نسبة إزاحة كل كتلة على علاقة معينة وتشكل نمطًا معينًا، يُسمى النمط الرئيسي أو النمط الطبيعي. توجد خاصية التعامد بين الكتلة والصلابة في الأنماط الرئيسية، مما يعكس استقلالية كل اهتزاز. يمثل التردد الطبيعي والنمط الرئيسي خصائص الاهتزاز المتأصلة في نظام متعدد درجات الحرية.

الشكل 8: نظام ذو درجات حرية متعددة

يحتوي النظام ذو n درجة حرية على n تردد طبيعي و n نمط اهتزاز رئيسي. يمكن تمثيل أي تكوين اهتزازي للنظام كمزيج خطي من الأنماط الرئيسية. لذلك، تُستخدم طريقة تراكب الأنماط الرئيسية على نطاق واسع في تحليل الاستجابة الديناميكية للأنظمة متعددة درجات الحرية. وبهذه الطريقة، يصبح قياس وتحليل خصائص الاهتزاز الطبيعي للنظام خطوة روتينية في التصميم الديناميكي للنظام.

يمكن وصف الخصائص الديناميكية لأنظمة درجات الحرية المتعددة أيضًا من خلال خصائص التردد. ونظرًا لوجود دالة مميزة للتردد بين كل مدخل ومخرج، يتم إنشاء مصفوفة مميزة للتردد. ويختلف منحنى خصائص السعة-التردد لنظام درجات الحرية المتعددة عن منحنى نظام درجة الحرية الواحدة.

يهتز المطاط الصناعي

يُعدّ نظام درجات الحرية المتعددة المذكور أعلاه نموذجًا ميكانيكيًا تقريبيًا للمطاط. يمتلك المطاط عددًا لا نهائيًا من درجات الحرية. يوجد فرق كمي، ولكن لا يوجد فرق جوهري، بين النموذجين. يمتلك أي مطاط عددًا لا نهائيًا من الترددات الطبيعية وعددًا لا نهائيًا من الأنماط المقابلة، وهناك تعامد بين أنماط الكتلة والصلابة. يمكن أيضًا تمثيل أي تكوين اهتزازي للمطاط على أنه تراكب خطي للأنماط الرئيسية. لذلك، لا تزال طريقة تراكب النمط الرئيسي قابلة للتطبيق في تحليل الاستجابة الديناميكية للمطاط (انظر الاهتزاز الخطي للمطاط).

لنأخذ اهتزاز وتر. لنفترض أن وترًا رفيعًا كتلته m لكل وحدة طول، وطوله l، مشدود من كلا الطرفين، والشد هو T. في هذه الحالة، يتم تحديد التردد الطبيعي للوتر من خلال المعادلة التالية:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

حيث تمثل سرعة انتشار الموجة المستعرضة على طول اتجاه الوتر. وتكون الترددات الطبيعية للأوتار مضاعفات للتردد الأساسي على مدى 2λ. وتؤدي هذه المضاعفة الصحيحة إلى بنية توافقية جميلة. وبشكل عام، لا توجد علاقة مضاعفة صحيحة مماثلة بين الترددات الطبيعية للمطاط.

تُظهر الصورة 9 الأنماط الثلاثة الأولى للوتر المشدود. توجد بعض العقد على منحنى النمط الرئيسي. في الاهتزاز الرئيسي، لا تهتز العقد. تُظهر الصورة 10 عدة أنماط نموذجية للصفيحة الدائرية المدعومة محيطيًا مع بعض خطوط العقد المكونة من دوائر وأقطار.

يمكن صياغة مسألة اهتزاز المطاط بدقة على أنها مسألة قيم حدية لمعادلات تفاضلية جزئية. مع ذلك، لا يمكن إيجاد الحل الدقيق إلا في أبسط الحالات، لذا نلجأ إلى الحلول التقريبية لمسألة اهتزاز المطاط المعقدة. يكمن جوهر الحلول التقريبية المختلفة في تحويل النظام اللانهائي إلى نظام محدود، أي تقسيم نظام متعدد درجات الحرية عديم الأطراف (نظام متصل) إلى نظام متعدد درجات الحرية محدود (نظام منفصل). هناك نوعان من طرق التقسيم شائعة الاستخدام في التحليل الهندسي: طريقة العناصر المحدودة وطريقة التركيب النمطي.

الشكل 9: نمط الوتر

الشكل 10: نمط الصفيحة الدائرية

تُعدّ طريقة العناصر المحدودة بنية مركبة تُجرّد بنية معقدة إلى عدد محدود من العناصر وتربطها عند عدد محدود من العقد. كل وحدة عبارة عن مادة مرنة؛ ويتم التعبير عن إزاحة توزيع العنصر بواسطة دالة استيفاء إزاحة العقدة. بعد ذلك، يتم تركيز معلمات التوزيع لكل عنصر على كل عقدة بتنسيق معين، ويتم الحصول على النموذج الميكانيكي للنظام المنفصل.

التركيب النمطي هو تفكيك بنية معقدة إلى عدة بنى فرعية أبسط. بناءً على فهم خصائص الاهتزاز لكل بنية فرعية، يتم تركيب البنية الفرعية في بنية عامة وفقًا لشروط التنسيق على الواجهة، ويتم الحصول على شكل الاهتزاز للبنية العامة باستخدام شكل الاهتزاز لكل بنية فرعية.

الطريقتان مختلفتان ومرتبطتان، ويمكن استخدامهما كمرجع. كما يمكن دمج طريقة التركيب النمطي بشكل فعال مع القياس التجريبي لتشكيل طريقة تحليل نظرية وتجريبية لاهتزاز الأنظمة الكبيرة.