Kas yra linijinė vibracija?

Linijinė vibracijaSistemos komponentų elastingumas priklauso nuo Huko dėsnio, o judėjimo metu susidaranti slopinimo jėga yra proporcinga pirmajai apibendrinto greičio lygčiai (apibendrintųjų koordinačių išvestinė per laiką).

koncepcija

Linijinė sistema paprastai yra abstraktus realios sistemos virpesių modelis. Linijinė virpesių sistema taiko superpozicijos principą, tai yra, jei sistemos atsakas, veikiant įėjimui x1, yra y1, o veikiant įėjimui x2, yra y2, tai sistemos atsakas, veikiant įėjimams x1 ir x2, yra y1 + y2.

Remiantis superpozicijos principu, savavališką įvestį galima suskaidyti į begalybės mažų impulsų serijos sumą, o tada gauti bendrą sistemos atsaką. Periodinio sužadinimo harmoninių komponentų sumą galima išplėsti į harmoninių komponentų seriją naudojant Furjė transformaciją, o kiekvieno harmoninio komponento poveikį sistemai galima tirti atskirai. Todėl tiesinių sistemų su pastoviais parametrais atsako charakteristikas galima apibūdinti impulsiniu atsaku arba dažniniu atsaku.

Impulsinis atsakas reiškia sistemos atsaką į vienetinį impulsą, kuris apibūdina sistemos atsako charakteristikas laiko srityje. Dažnio atsakas reiškia sistemos atsako charakteristikas į vienetinį harmoninį įėjimą. Atitiktį tarp jų lemia Furjė transformacija.

klasifikacija

Linijinius virpesius galima suskirstyti į vieno laisvės laipsnio sistemos linijinius virpesius ir kelių laisvės laipsnių sistemos linijinius virpesius.

(1) Vieno laisvės laipsnio sistemos tiesinis virpesys yra tiesinis virpesys, kurio padėtį galima nustatyti apibendrinta koordinate. Tai paprasčiausias virpesys, iš kurio galima išvesti daug pagrindinių virpesių sąvokų ir charakteristikų. Jis apima paprastus harmoninius virpesius, laisvuosius virpesius, silpninimo virpesius ir priverstinius virpesius.

Paprastas harmoninis virpesys: objekto slankiojantis judėjimas arti jo pusiausvyros padėties pagal sinusoidinį dėsnį, veikiant atstatomajai jėgai, proporcingai jo poslinkiui.

Slopinama vibracija: vibracija, kurios amplitudę nuolat slopina trintis ir dielektrinė varža arba kitas energijos suvartojimas.

Priverstinė vibracija: sistemos vibracija esant nuolatiniam sužadinimui.

(2) Daugiapakopės sistemos tiesinis virpesys yra tiesinės sistemos, turinčios n≥2 laisvės laipsnius, virpesys. n laisvės laipsnių sistema turi n natūraliųjų dažnių ir n pagrindinių modų. Bet kuri sistemos virpesių konfigūracija gali būti pavaizduota kaip pagrindinių modų tiesinis derinys. Todėl pagrindinių modų superpozicijos metodas yra plačiai naudojamas daugiapakopių sistemų dinaminėje atsako analizėje. Tokiu būdu sistemos natūraliųjų virpesių charakteristikų matavimas ir analizė tampa įprastu sistemos dinaminio projektavimo žingsniu. Daugiapakopių sistemų dinamines charakteristikas taip pat galima apibūdinti dažnio charakteristikomis. Kadangi tarp kiekvieno įėjimo ir išėjimo yra dažnio charakteristikos funkcija, sudaroma dažnio charakteristikos matrica. Yra aiškus ryšys tarp dažnio charakteristikos ir pagrindinės modos. Daugiapakopės sistemos amplitudės-dažnio charakteristikos kreivė skiriasi nuo vienos laisvės sistemos.

Vieno laisvės laipsnio sistemos tiesinis virpesys

Linijinis virpesys, kuriame sistemos padėtį galima nustatyti pagal apibendrintą koordinatę. Tai paprasčiausias ir fundamentaliausias virpesys, iš kurio galima išvesti daug pagrindinių virpesių sąvokų ir charakteristikų. Jis apima paprastus harmoninius virpesius, slopinamus virpesius ir priverstinius virpesius.

Harmoninė vibracija

Veikiant atkuriamajai jėgai, proporcingai poslinkiui, objektas juda sinusoidiškai artėdamas prie pusiausvyros padėties (1 pav.). X žymi poslinkį, o t – laiką. Šios vibracijos matematinė išraiška yra:

(1)Kur A yra maksimali poslinkio x vertė, vadinama amplitude ir žymi vibracijos intensyvumą; Omega n yra vibracijos kampo prieaugio amplitudė per sekundę, vadinama kampiniu dažniu arba apskritiminiu dažniu; Tai vadinama pradine faze. Pagal f = n/2, virpesių skaičius per sekundę vadinamas dažniu; Atvirkštinė šio dažnio vertė, T = 1/f, yra laikas, per kurį įvyksta vienas svyravimas, ir tai vadinama periodu. Amplitudė A, dažnis f (arba kampinis dažnis n), pradinė fazė, žinoma kaip paprasta harmoninė vibracija, sudaryta iš trijų elementų.

1 pav. paprastoji harmoninių virpesių kreivė

Kaip parodyta 2 paveiksle, paprastas harmoninis osciliatorius yra sudarytas iš koncentruotos masės m, sujungtos tiesine spyruokle. Kai virpesių poslinkis apskaičiuojamas iš pusiausvyros padėties, virpesių lygtis yra:

Kur yra spyruoklės standumas. Bendrasis pateiktos lygties sprendinys yra (1). A ir gali būti nustatomas pagal pradinę padėtį x0 ir pradinį greitį, kai t = 0:

Tačiau omega n priklauso tik nuo pačios sistemos charakteristikų m ir k, nepriklausomai nuo papildomų pradinių sąlygų, todėl omega n taip pat žinomas kaip natūralusis dažnis.

2 pav. vieno laisvės laipsnio sistema

Paprasto harmoninio osciliatoriaus kinetinės ir potencialinės energijos suma yra pastovi, tai yra, bendra sistemos mechaninė energija yra išsaugota. Vibracijos procese kinetinė ir potencialinė energijos nuolat transformuojasi viena į kitą.

Slopinamoji vibracija

Vibracija, kurios amplitudę nuolat slopina trintis ir dielektrinė varža arba kitos energijos sąnaudos. Mikrovibracijos atveju greitis paprastai nėra labai didelis, o terpės varža yra proporcinga greičiui pirmuoju laipsniu, kurį galima užrašyti taip: c yra slopinimo koeficientas. Todėl vieno laisvės laipsnio virpesių lygtį su linijiniu slopinimu galima užrašyti taip:

(2)Kur m =c/2m vadinamas slopinimo parametru, ir. Bendrąjį formulės (2) sprendinį galima užrašyti taip:

(3)Skaitmeninį omega n ir PI ryšį galima suskirstyti į šiuos tris atvejus:

N > (mažo slopinimo atveju) dalelių sukeliamas silpnėjimo virpesys, virpesių lygtis yra:

Jo amplitudė laikui bėgant mažėja pagal eksponentinę dėsnį, parodytą lygtyje, kaip parodyta punktyrine linija 3 pav. Griežtai kalbant, ši vibracija yra aperiodinė, tačiau jos piko dažnis gali būti apibrėžtas taip:

Vadinamas amplitudės mažėjimo greičiu, kur yra virpesių periodas. Amplitudės mažėjimo greičio natūralusis logaritmas vadinamas logaritmo minuso (amplitudės) greičiu. Akivaizdu, kad = šiuo atveju yra lygus 2/1. Tiesiogiai per eksperimentinį bandymo deltą ir, naudojant aukščiau pateiktą formulę, galima apskaičiuoti c.

Šiuo metu lygties (2) sprendinį galima užrašyti taip:

Kartu su pradinio greičio kryptimi, jį galima suskirstyti į tris nevibracijos atvejus, kaip parodyta 4 paveiksle.

N < (didelio slopinimo atveju), (2) lygties sprendinys parodytas (3) lygtyje. Šiuo metu sistema nebevibruoja.

Priverstinė vibracija

Sistemos virpesiai esant nuolatiniam sužadinimui. Vibracijų analizė daugiausia tiria sistemos atsaką į sužadinimą. Periodinis sužadinimas yra tipiškas reguliarus sužadinimas. Kadangi periodinį sužadinimą visada galima suskaidyti į kelių harmoninių sužadinimų sumą, pagal superpozicijos principą reikalingas tik sistemos atsakas į kiekvieną harmoninį sužadinimą. Veikiant harmoniniam sužadinimui, vieno laisvės laipsnio slopinamos sistemos judėjimo diferencialinė lygtis gali būti užrašyta:

Atsakas yra dviejų dalių suma. Viena dalis yra slopinamos vibracijos atsakas, kuris laikui bėgant greitai silpnėja. Kitos dalies priverstinės vibracijos atsakas gali būti užrašytas taip:

3 pav. slopintos vibracijos kreivė

4 pav. Trijų pradinių sąlygų su kritiniu slopinimu kreivės

Įveskite

H /F0 = h(), yra pastoviosios būsenos atsako amplitudės ir sužadinimo amplitudės santykis, apibūdinantis amplitudės-dažnio charakteristikas arba stiprinimo funkciją; Bitai, skirti pastoviosios būsenos atsakui ir fazės stimului, apibūdinantys fazės dažnio charakteristikas. Ryšys tarp jų ir sužadinimo dažnio parodytas 5 ir 6 paveiksluose.

Kaip matyti iš amplitudės ir dažnio kreivės (5 pav.), esant mažam slopinimui, amplitudės ir dažnio kreivė turi vieną piką. Kuo mažesnis slopinimas, tuo statesnis pikas; Dažnis, atitinkantis piką, vadinamas sistemos rezonansiniu dažniu. Esant mažam slopinimui, rezonansinis dažnis mažai kuo skiriasi nuo natūralaus dažnio. Kai sužadinimo dažnis yra artimas natūralaus dažnio, amplitudė staigiai padidėja. Šis reiškinys vadinamas rezonansu. Rezonanso metu sistemos stiprinimas yra maksimalus, t. y. priverstinė vibracija yra intensyviausia. Todėl apskritai visada reikia stengtis vengti rezonanso, nebent kai kurie instrumentai ir įranga naudoja rezonansą didelei vibracijai pasiekti.

5 pav. amplitudės dažnio kreivė

Iš fazės dažnio kreivės (6 pav.) matyti, kad, nepriklausomai nuo slopinimo dydžio, omega nulinio fazės skirtumo bituose = PI / 2, ši charakteristika gali būti efektyviai naudojama rezonanso matavimui.

Be pastovaus sužadinimo, sistemos kartais susiduria su nepastoviu sužadinimu. Jį galima grubiai suskirstyti į du tipus: staigus smūgis ir ilgalaikis savavališkumo poveikis. Esant nepastoviam sužadinimui, sistemos atsakas taip pat yra nepastovus.

Galingas įrankis nestacionariai vibracijai analizuoti yra impulsinio atsako metodas. Jis apibūdina sistemos dinamines charakteristikas pereinamuoju sistemos vienetinio impulso įėjimo atsaku. Vienetinį impulsą galima išreikšti kaip delta funkciją. Inžinerijoje delta funkcija dažnai apibrėžiama taip:

Kur 0- žymi tašką t ašyje, kuris artėja prie nulio iš kairės; 0 plius yra taškas, kuris artėja prie 0 iš dešinės.

6 pav. fazės dažnio kreivė

7 pav. Bet koks įėjimas gali būti laikomas impulsinių elementų serijos suma

Sistema atitinka vienetinio impulso, kai t=0, sugeneruotą atsaką h(t), kuris vadinamas impulso atsako funkcija. Darant prielaidą, kad sistema prieš impulsą nejuda, h(t)=0, kai t<0. Žinodami sistemos impulso atsako funkciją, galime rasti sistemos atsaką į bet kokį įėjimą x(t). Šiuo metu galite įsivaizduoti x(t) kaip impulsų elementų serijos sumą (7 pav.). Sistemos atsakas yra:

Remiantis superpozicijos principu, bendras sistemos atsakas, atitinkantis x(t), yra:

Šis integralas vadinamas konvoliucijos integralu arba superpozicijos integralu.

Daugiapakopės laisvės sistemos tiesinis virpesys

Tiesinės sistemos, kurios laisvės laipsniai yra n≥2, virpesiai.

8 paveiksle pavaizduotos dvi paprastos rezonansinės posistemės, sujungtos jungiamąja spyruokle. Kadangi tai yra dviejų laisvės laipsnių sistema, jos padėčiai nustatyti reikalingos dvi nepriklausomos koordinatės. Šioje sistemoje yra du natūralūs dažniai:

Kiekvienas dažnis atitinka virpesių režimą. Harmoniniai osciliatoriai atlieka to paties dažnio harmoninius virpesius, sinchroniškai pereidami pusiausvyros padėtį ir sinchroniškai pasiekdami kraštutinę padėtį. Pagrindiniame virpesyje, atitinkančiame omega vieną, x1 yra lygus x2; pagrindiniame virpesyje, atitinkančiame omega omega du, omega omega vieną. Pagrindiniame virpesyje kiekvienos masės poslinkio santykis išlaiko tam tikrą ryšį ir sudaro tam tikrą režimą, kuris vadinamas pagrindiniu režimu arba natūraliuoju režimu. Tarp pagrindinių režimų egzistuoja masės ir standumo ortogonalumas, kuris atspindi kiekvienos virpesės nepriklausomybę. Natūralusis dažnis ir pagrindinis režimas atspindi daugiapakopės laisvės sistemos būdingas virpesių charakteristikas.

8 pav. sistema su keliais laisvės laipsniais

n laisvės laipsnių sistema turi n natūraliųjų dažnių ir n pagrindinių modų. Bet kuri sistemos virpesių konfigūracija gali būti pavaizduota kaip pagrindinių modų tiesinis derinys. Todėl pagrindinių modų superpozicijos metodas yra plačiai naudojamas daugiapakopių sistemų dinaminėje atsako analizėje. Tokiu būdu sistemos natūraliųjų virpesių charakteristikų matavimas ir analizė tampa įprastu sistemos dinaminio projektavimo žingsniu.

Daugialypių laisvės lygių sistemų dinamines charakteristikas taip pat galima apibūdinti dažnio charakteristikomis. Kadangi tarp kiekvieno įėjimo ir išėjimo yra dažnio charakteristikos funkcija, sudaroma dažnio charakteristikų matrica. Daugialypių laisvės lygių sistemos amplitudės-dažnio charakteristikos kreivė skiriasi nuo vienos laisvės lygių sistemos kreivės.

Elastomeras vibruoja.

Aukščiau pateikta daugiapakopė laisvės laipsnių sistema yra apytikslis elastomero mechaninis modelis. Elastomeris turi begalinį laisvės laipsnių skaičių. Tarp jų yra kiekybinis, bet esminio skirtumo nėra. Bet kuris elastomeras turi begalinį natūraliųjų dažnių skaičių ir begalinį atitinkamų modų skaičių, o tarp masės ir standumo modų yra ortogonalumas. Bet kuri elastomero vibracinė konfigūracija taip pat gali būti pavaizduota kaip pagrindinių modų tiesinė superpozicija. Todėl elastomero dinaminei atsako analizei vis dar taikomas pagrindinio modo superpozicijos metodas (žr. elastomero tiesinę vibraciją).

Paimkime stygos vibraciją. Tarkime, kad plona styga, kurios masė m ilgio vienete, o ilgis l, yra įtempta iš abiejų galų, o įtempimas yra T. Šiuo metu stygos natūralusis dažnis nustatomas pagal šią lygtį:

F =na/2l (n = 1, 2, 3…).

Kur yra skersinės bangos sklidimo greitis stygos kryptimi. Stygų natūralūs dažniai yra pagrindinio dažnio kartotiniai per 2l. Šis sveikųjų skaičių daugiklis sukuria malonią harmoninę struktūrą. Apskritai tarp elastomero natūraliųjų dažnių nėra tokio sveikųjų skaičių daugiklio ryšio.

Pirmieji trys įtemptos stygos virpesių režimai parodyti 9 paveiksle. Pagrindinio virpesių režimo kreivėje yra keletas mazgų. Pagrindinio virpesių metu mazgai nevibruoja. 10 paveiksle parodyti keli tipiniai apskritimo formos plokštės, paremtos apskritimu, virpesių režimai su kai kuriomis mazgų linijomis, sudarytomis iš apskritimų ir skersmenų.

Tiksli elastomero virpesių problemos formuluotė gali būti apibendrinta kaip dalinių diferencialinių lygčių kraštinė problema. Tačiau tikslų sprendimą galima rasti tik kai kuriais paprasčiausiais atvejais, todėl sudėtingos elastomero virpesių problemos sprendimui turime griebtis apytikslio sprendimo. Įvairių apytikslių sprendimų esmė yra begalybės pakeitimas baigtiniu, t. y. begalybės daugialaipės sistemos (tęstinės sistemos) diskretizavimas į baigtinę daugialaipės sistemos (diskretinę sistemą). Inžinerinėje analizėje plačiai naudojami dviejų rūšių diskretizacijos metodai: baigtinių elementų metodas ir modalinės sintezės metodas.

9 pav. stygų režimas

10 pav. Apvalios plokštės režimas

Baigtinių elementų metodas yra sudėtinė struktūra, kuri abstrahuoja sudėtingą struktūrą į baigtinį elementų skaičių ir sujungia juos baigtiniu mazgų skaičiumi. Kiekvienas vienetas yra elastomeras; Elemento pasiskirstymo poslinkis išreiškiamas mazgo poslinkio interpoliacijos funkcija. Tada kiekvieno elemento pasiskirstymo parametrai tam tikru formatu sutelkiami į kiekvieną mazgą ir gaunamas diskrečiosios sistemos mechaninis modelis.

Modalinė sintezė yra sudėtingos struktūros skaidymas į keletą paprastesnių substruktūrų. Remiantis kiekvienos substruktūros virpesių charakteristikų supratimu, substruktūra yra sintezuojama į bendrą struktūrą pagal sąsajos koordinacijos sąlygas, o bendrosios struktūros virpesių morfologija gaunama naudojant kiekvienos substruktūros virpesių morfologiją.

Šie du metodai yra skirtingi ir susiję, todėl gali būti naudojami kaip etalonas. Modalinės sintezės metodą taip pat galima efektyviai derinti su eksperimentiniais matavimais, siekiant sukurti teorinį ir eksperimentinį didelių sistemų vibracijos analizės metodą.