וואָס איז לינעאַרע ווייבריישאַן?

לינעאַרע ווייבריישאַןדי עלאַסטיסיטי פון קאָמפּאָנענטן אין דער סיסטעם איז אונטערטעניק צו הוק'ס געזעץ, און די דעמפינג קראַפט וואָס ווערט גענערירט בעת דער באַוועגונג איז פּראָפּאָרציאָנעל צו דער ערשטער גלייכונג פון דער גענעראַליזירטער גיכקייט (צייט דעריוואַטיוו פון די גענעראַליזירטע קאָאָרדינאַטן).

באַגריף

א לינעארע סיסטעם איז געווענליך אן אבסטראקטער מאדעל פון דער וויבראציע פון ​​א רעאלער סיסטעם. די לינעארע וויבראציע סיסטעם ווענדט אן דעם סופערפאזיציע פרינציפ, דאס הייסט, אויב די רעאקציע פון ​​דער סיסטעם איז y1 אונטער דער אקציע פון ​​אינפוט x1, און y2 אונטער דער אקציע פון ​​אינפוט x2, דעמאלט איז די רעאקציע פון ​​דער סיסטעם אונטער דער אקציע פון ​​אינפוט x1 און x2 y1+y2.

אויף דער באזע פון ​​סופּערפּאָזיציע פּרינציפּ, קען מען צעטיילן אַן אַרביטראַרע אינפוט אין דער סומע פון ​​אַ סעריע פון ​​אינפיניטעסימאַל אימפּולסן, און דערנאָך קען מען באַקומען די גאַנצע רעאַקציע פון ​​דער סיסטעם. די סומע פון ​​די האַרמאָניק קאָמפּאָנענטן פון אַ פּעריִאָדישער עקסייטיישאַן קען מען אויסברייטערן אין אַ סעריע פון ​​האַרמאָניק קאָמפּאָנענטן דורך אַ פאָריער טראַנספאָרמאַציע, און דער ווירקונג פון יעדער האַרמאָניק קאָמפּאָנענט אויף דער סיסטעם קען מען אויספאָרשן באַזונדער. דעריבער, קענען די רעאַקציע כאַראַקטעריסטיקס פון לינעאַרע סיסטעמען מיט קאָנסטאַנטע פּאַראַמעטערס ווערן באַשריבן דורך אימפּולס רעאַקציע אָדער אָפטקייט רעאַקציע.

אימפולס רעאקציע באציט זיך צו דער רעאקציע פון ​​דער סיסטעם צו דעם איינהייט אימפולס, וואס כאראקטעריזירט די רעאקציע אייגנשאפטן פון דער סיסטעם אין דער צייט דאמעין. פרעקווענץ רעאקציע באציט זיך צו דער רעאקציע אייגנשאפט פון דער סיסטעם צו דער איינהייט הארמאנישער אינפוט. די קארעספאנדענץ צווישן די צוויי ווערט באשטימט דורך דער פוריע טראנספארם.

קלאַסיפֿיקאַציע

לינעאַרע ווייבריישאַן קען ווערן צעטיילט אין לינעאַרע ווייבריישאַן פון איין-גראַד-פון-פרייהייט סיסטעם און לינעאַרע ווייבריישאַן פון קייפל-גראַד-פון-פרייהייט סיסטעם.

(1) לינעאַרע ווייבריישאַן פון אַ איין-גראַד-פון-פרייהייט סיסטעם איז אַ לינעאַרע ווייבריישאַן וועמענס פּאָזיציע קען זיין באַשטימט דורך אַ גענעראַליזירט קאָאָרדינאַט. דאָס איז די סימפּלאַסט ווייבריישאַן פון וועלכער פילע גרונט קאָנצעפּטן און קעראַקטעריסטיקס פון ווייבריישאַן קענען זיין דערייווד. עס כולל פּשוט האַרמאָניק ווייבריישאַן, פריי ווייבריישאַן, אַטענויישאַן ווייבריישאַן און געצוואונגענע ווייבריישאַן.

פּשוטע האַרמאָנישע וויבראַציע: די צוריק- און צוריקגייענדיקע באַוועגונג פון אַן אָביעקט אין דער געגנט פון זיין גלייכגעוויכט פּאָזיציע לויט אַ סינוסאָידאַל געזעץ אונטער דער אַקציע פון ​​אַ צוריקשטעלן קראַפט פּראָפּאָרציאָנעל צו זיין דיספּלייסמאַנט.

געדימפטע ווייבריישאַן: ווייבריישאַן וועמענס אַמפּליטוד ווערט קעסיידער פֿאַרשוואַכט דורך דער אנוועזנהייט פֿון רייַבונג און דיעלעקטרישן קעגנשטעל אָדער אַנדערע ענערגיע קאָנסומאַציע.

געצוואונגענע ווייבריישאַן: ווייבריישאַן פון אַ סיסטעם אונטער קאָנסטאַנטע אויפרעגונג.

(2) די לינעאַרע ווייבריישאַן פון די מולטי-גראַד-פון-פרייהייט סיסטעם איז די ווייבריישאַן פון די לינעאַרע סיסטעם מיט n≥2 גראַדן פון פרייהייט. א סיסטעם פון n גראַדן פון פרייהייט האט n נאַטירלעכע פרעקווענצן און n הויפּט מאָדעס. יעדע ווייבריישאַן קאָנפיגוראַציע פון ​​די סיסטעם קען זיין רעפּרעזענטירט ווי אַ לינעאַרע קאָמבינאַציע פון ​​די הויפּט מאָדעס. דעריבער, די הויפּט מאָדע סופּערפּאָזיציע מעטאָד איז וויידלי געניצט אין דינאַמישער רעספּאָנס אַנאַליז פון מולטי-דאָף סיסטעמען. אויף דעם וועג, די מעסטונג און אַנאַליז פון די נאַטירלעכע ווייבריישאַן קעראַקטעריסטיקס פון די סיסטעם ווערט אַ רוטין שריט אין די דינאַמיש פּלאַן פון די סיסטעם. די דינאַמישע קעראַקטעריסטיקס פון מולטי-דאָף סיסטעמען קענען אויך זיין באַשריבן דורך פרעקווענץ קעראַקטעריסטיקס. ווייל עס איז אַ פרעקווענץ קעראַקטעריסטיק פונקציע צווישן יעדן אַרייַנגאַנג און אַרויסגאַנג, אַ פרעקווענץ קעראַקטעריסטיק מאַטריץ איז קאַנסטראַקטאַד. עס איז אַ באַשטימטע באַציאונג צווישן די פרעקווענץ קעראַקטעריסטיק און די הויפּט מאָדע. די אַמפּליטוד-פרעקווענץ קעראַקטעריסטיק קורווע פון ​​די מולטי-פרייהייט סיסטעם איז אַנדערש פון יענע פון ​​די איין-פרייהייט סיסטעם.

לינעאַרע ווייבריישאַן פון אַ סיסטעם מיט איין גראַד פון פרייהייט

א לינעארע וויבראציע אין וועלכער די פאזיציע פון ​​א סיסטעם קען באשטימט ווערן דורך א גענעראליזירטע קאארדינאט. דאס איז די פשוטסטע און מערסט פונדאמענטאלע וויבראציע פון ​​וועלכער אסאך גרונטלעכע קאנצעפטן און אייגנשאפטן פון וויבראציע קענען אפגעצויגן ווערן. דאס נעמט אריין פשוטע הארמאנישע וויבראציע, געדעמפטע וויבראציע און געצוואונגענע וויבראציע.

האַרמאָנישע וויבראַציע

אונטער דער אַקציע פון ​​צוריקשטעלן קראַפט פּראָפּאָרציאָנעל צו דער פאַררוקן, באַוועגט זיך דער אָביעקט צוריק און צוריק אין אַ סינוסאָידאַלן שטייגער לעבן זיין גלייכגעוויכט פּאָזיציע (פיגור 1). X רעפּרעזענטירט די פאַררוקן און t רעפּרעזענטירט די צייט. דער מאַטעמאַטישער אויסדרוק פון דעם וויבראַציע איז:

(1)וואו A איז דער מאַקסימום ווערט פון דיספּלייסמאַנט x, וואָס ווערט גערופן די אַמפּליטוד, און רעפּרעזענטירט די אינטענסיטעט פון דער ווייבריישאַן; אָמעגאַ n איז די אַמפּליטוד ווינקל פאַרגרעסערונג פון דער ווייבריישאַן פּער סעקונדע, וואָס ווערט גערופן די ווינקלדיקע אָפטקייט, אָדער די קייַלעכדיקע אָפטקייט; דאָס ווערט גערופן די ערשטיקע פאַזע. אין טערמינען פון f= n/2, די נומער פון אָסצילאַציעס פּער סעקונדע ווערט גערופן די אָפטקייט; די אומגעקערטע פון ​​דעם, T=1/f, איז די צייט וואָס עס נעמט צו אָסצילירן איין ציקל, און דאָס ווערט גערופן די פּעריאָד. אַמפּליטוד A, אָפטקייט f (אָדער ווינקלדיקע אָפטקייט n), די ערשטיקע פאַזע, באַקאַנט ווי פּשוט האַרמאָניק ווייבריישאַן דריי עלעמענטן.

פיגור 1 פּשוטע האַרמאָנישע וויבראַציע קורווע

ווי געוויזן אין פיגור 2, ווערט א פשוטער הארמאנישער אסילאטאר געשאפן דורך דער קאנצענטרירטער מאסע m פארבונדן דורך א לינעארער פעדער. ווען די וויבראציע פארשייבונג ווערט אויסגערעכנט פון דער גלייכגעוויכט פאזיציע, איז די וויבראציע גלייכונג:

וואו איז די שטייפקייט פון דער פעדער. די אלגעמיינע לייזונג צו דער אויבנדערמאנטער גלייכונג איז (1).A און קען באשטימט ווערן דורך דער אנפאנגס-פאזיציע x0 און אנפאנגס-געשווינדיקייט ביי t=0:

אבער אמעגא n ווערט נאר באשטימט דורך די אייגנשאפטן פון די סיסטעם אליין m און k, אומאפהענגיק פון די צוגעלייגטע אנפאנגס באדינגונגען, ממילא איז אמעגא n אויך באקאנט אלס די נאטירלעכע פרעקווענץ.

פיגור 2 סיסטעם מיט איין גראד פון פרייהייט

פֿאַר אַ פּשוטן האַרמאָנישן אָסילאַטאָר, איז די סומע פֿון איר קינעטיקער ענערגיע און פּאָטענציעלער ענערגיע קאָנסטאַנט, דאָס הייסט, די גאַנצע מעכאַנישע ענערגיע פֿון דער סיסטעם ווערט קאָנסערווירט. אין דעם פּראָצעס פֿון ווייבראַציע, ווערן קינעטישע ענערגיע און פּאָטענציעלע ענערגיע קעסיידער פֿאַרוואַנדלט איינע אין די אַנדערע.

די דאַמפּינג ווייבריישאַן

א וויבראַציע וועמענס אַמפליטודע ווערט קעסיידער פֿאַרשוואַכט דורך רייַבונג און דיעלעקטרישן קעגנשטאַנד אָדער אַנדערע ענערגיע קאָנסומאַציע. פֿאַר מיקראָ וויבראַציע, איז די גיכקייט בכלל נישט זייער גרויס, און דער מיטל קעגנשטאַנד איז פּראָפּאָרציאָנעל צו דער גיכקייט צו דער ערשטער פּאָטענציאַל, וואָס קען געשריבן ווערן ווי c איז דער דעמפּינג קאָעפֿיציענט. דעריבער, קען די וויבראַציע גלייכונג פֿון איין גראַד פֿון פֿרײַהייט מיט לינעאַרער דעמפּינג געשריבן ווערן ווי:

(2)וואו, m =c/2m ווערט גערופן דער דעמפינג פאראמעטער, און. די אלגעמיינע לייזונג פון פארמל (2) קען געשריבן ווערן:

(3)די נומערישע באַציִונג צווישן אָמעגאַ ען און פּי קען צעטיילט ווערן אין די פאלגענדע דריי פאַלן:

N > (אין פאַל פון קליינע דעמפינג) פּאַרטיקל פּראָדוצירטע אַטענואַציע ווייבריישאַן, די ווייבריישאַן גלייכונג איז:

איר אַמפּליטוד פאַרקלענערט זיך מיט דער צייט לויטן עקספּאָנענציעלן געזעץ וואָס ווערט געוויזן אין דער גלייכונג, ווי געוויזן אין דער פּונקטירטער ליניע אין פיגור 3. שטרענג גערעדט, איז די וויבראַציע אַפּעריאָדיש, אָבער די אָפטקייט פון איר שפּיץ קען מען דעפינירן ווי:

ווערט גערופן די אַמפּליטוד רעדוקציע קורס, וואו איז די פּעריאָד פון ווייבריישאַן. דער נאַטירלעכער לאָגאַריטם פון דער אַמפּליטוד רעדוקציע קורס ווערט גערופן דער לאָגאַריטם מינוס (אַמפּליטוד) קורס. קלאָר, = , אין דעם פאַל, איז גלייך צו 2/1. גלייך דורך די עקספּערימענטאַלע טעסט דעלטאַ און, ניצן די אויבן פאָרמולע קען מען קאַלקולירן c.

אין דעם מאָמענט, קען די לייזונג פון גלייכונג (2) געשריבן ווערן:

צוזאמען מיט דער ריכטונג פון אנפאנגס-געשווינדיקייט, קען מען עס צוטיילן אין דריי נישט-ווייבראציע פעלער ווי געוויזן אין פיגור 4.

N < (אין פאַל פון גרויס דעמפינג), די לייזונג צו גלייכונג (2) ווערט געוויזן אין גלייכונג (3). אין דעם פונקט, ווייברירט די סיסטעם מער נישט.

געצוואונגענע ווייבריישאַן

וויבראציע פון ​​א סיסטעם אונטער קאנסטאנטער עקסייטאציע. וויבראציע אנאליז פארשט בעיקר די רעאקציע פון ​​סיסטעם צו עקסייטאציע. פעריאדישע עקסייטאציע איז א טיפישע רעגולערע עקסייטאציע. ווייל פעריאדישע עקסייטאציע קען שטענדיג ווערן צעטיילט אין די סומע פון ​​עטליכע הארמאנישע עקסייטאציעס, לויטן סופערפאזיציע פרינציפ, איז נאר די רעאקציע פון ​​סיסטעם צו יעדער הארמאנישער עקסייטאציע פארלאנגט. אונטער דער אקציע פון ​​הארמאנישער עקסייטאציע, קען די דיפערענציאלע גלייכונג פון באוועגונג פון אן איינציקן גראד פון פרייהייט געדעמפטער סיסטעם ווערן געשריבן:

די רעאַקציע איז די סומע פון ​​צוויי טיילן. איין טייל איז די רעאַקציע פון ​​געדעמפֿטע וויבראַציע, וואָס פֿאַרשווינדט שנעל מיט דער צייט. די רעאַקציע פון ​​אַן אַנדער טייל פון געצוואונגענע וויבראַציע קען געשריבן ווערן:

פיגור 3 געדעמפטע וויבראציע קורווע

פיגור 4 קורוועס פון דריי אנפאנגס באדינגונגען מיט קריטישע דעמפינג

טיפּ אַרײַן די

H /F0= h (), איז די פאַרהעלטעניש פון קאָנסטאַנט רעספּאָנס אַמפּליטוד צו עקסייטיישאַן אַמפּליטוד, כאַראַקטעריזינג אַמפּליטוד-פרעקווענץ קעראַקטעריסטיקס, אָדער געווינס פונקציע; ביטס פֿאַר קאָנסטאַנט שטאַט רעספּאָנס און ינסענטיוו פון פאַסע, כאַראַקטעריזיישאַן פון פאַסע פרעקווענץ קעראַקטעריסטיקס. די באַציִונג צווישן זיי און עקסייטיישאַן פרעקווענץ איז געוויזן אין פיגור 5 און פיגור 6.

ווי מען קען זען פון דער אַמפּליטוד-פרעקווענץ קורווע (פיגור 5), אין פאַל פון קליינער דעמפינג, האט די אַמפּליטוד-פרעקווענץ קורווע איין שפּיץ. ווי קלענער די דעמפינג, אַלץ שטיילער דער שפּיץ; די פרעקווענץ וואָס קאָרעספּאָנדירט צו דער שפּיץ ווערט גערופן די רעזאָנאַנט פרעקווענץ פון דער סיסטעם. אין פאַל פון קליינער דעמפינג, איז די רעזאָנאַנץ פרעקווענץ נישט פיל אַנדערש פון דער נאַטירלעכער פרעקווענץ. ווען די אויפרעגונג פרעקווענץ איז נאָענט צו דער נאַטירלעכער פרעקווענץ, וואַקסט די אַמפּליטוד שאַרף. די דערשיינונג ווערט גערופן רעזאָנאַנץ. ביי רעזאָנאַנץ, ווערט דער געווינס פון דער סיסטעם מאַקסאַמייזד, דאָס הייסט, די געצוואונגענע ווייבריישאַן איז די מערסט אינטענסיווע. דעריבער, בכלל, זאָל מען שטענדיק שטרעבן צו ויסמיידן רעזאָנאַנץ, סיידן עטלעכע אינסטרומענטן און עקוויפּמענט נוצן רעזאָנאַנץ צו דערגרייכן גרויסע ווייבריישאַן.

פיגור 5 אַמפּליטוד אָפטקייט קורווע

קען מען זען פון דער פאַזע-פרעקווענץ קורווע (פיגור 6), נישט קוקנדיק אויף דער גרייס פון דער דעמפונג, אין אמעגאַ נול פאַזע-דיפערענץ ביטס = PI / 2, קען מען עפעקטיוו נוצן דעם כאַראַקטעריסטיק ביים מעסטן רעזאָנאַנץ.

אין צוגאב צו שטענדיגער אויפרעגונג, טרעפן סיסטעמען מאנchmal אן אומשטענדיגער אויפרעגונג. מען קען דאס גראָב צעטיילט אין צוויי טיפן: איינס איז דער פּלוצעמדיקער אימפּאַקט. דער צווייטער איז דער בלייַביקער ווירקונג פון אַרביטרערקייט. אונטער אומשטענדיגער אויפרעגונג, איז די רעאַקציע פון ​​דער סיסטעם אויך אומשטענדיג.

א שטאַרק געצייַג פֿאַר אַנאַליזירן נישט-שטאַנדיקע וויבראַציע איז די אימפּולס-רעאַקציע מעטאָדע. עס באַשרײַבט די דינאַמישע כאַראַקטעריסטיקס פֿון דער סיסטעם מיט דער טראַנזיענט רעאַקציע פֿון דער איינהייט אימפּולס-אַרײַנגאַנג פֿון דער סיסטעם. דער איינהייט אימפּולס קען אויסגעדריקט ווערן ווי אַ דעלטאַ פֿונקציע. אין אינזשעניריע, ווערט די דעלטאַ פֿונקציע אָפֿט דעפֿינירט ווי:

וואו 0- רעפּרעזענטירט דעם פּונקט אויף דער t-אַקס וואָס דערנענטערט זיך צו נול פֿון לינקס; 0 פּלוס איז דער פּונקט וואָס גייט צו 0 פֿון רעכטס.

פיגור 6 פאַזע פרעקווענץ קורווע

פיגור 7 יעדער אינפוט קען באטראכט ווערן אלס די סומע פון ​​א סעריע פון ​​אימפולס עלעמענטן

די סיסטעם קארעספאנדירט צו דער רעאקציע h(t) וואס ווערט גענערירט דורך דעם איינהייטס אימפולס ביי t=0, וואס ווערט גערופן די אימפולס רעאקציע פונקציע. אננעמענדיג אז די סיסטעם איז סטאציאנערי פארן פולס, h(t)=0 פאר t<0. וויסנדיג די אימפולס רעאקציע פונקציע פון ​​די סיסטעם, קענען מיר געפינען די רעאקציע פון ​​די סיסטעם צו יעדן אינפוט x(t). אין דעם פונקט, קענט איר טראכטן פון x(t) אלס די סומע פון ​​א סעריע פון ​​אימפולס עלעמענטן (פיגור 7). די רעאקציע פון ​​די סיסטעם איז:

באַזירט אויף דעם סופּערפּאָזיציע פּרינציפּ, איז די גאַנצע רעאַקציע פון ​​דער סיסטעם וואָס קאָרעספּאָנדירט צו x(t):

די אינטעגראל ווערט גערופן א קאנוואלוציע אינטעגראל אדער א סופערפאזיציע אינטעגראל.

לינעאַרע ווייבריישאַן פון אַ מולטי-גראַד-פון-פרייהייט סיסטעם

וויבראַציע פון ​​אַ לינעאַר סיסטעם מיט n≥2 גראַד פון פרייהייט.

פיגור 8 ווייזט צוויי פּשוטע רעזאָנאַנטע סובסיסטעמען פארבונדן דורך אַ קאַפּלינג פֿעדער. ווײַל עס איז אַ צוויי-גראַד-פון-פֿרײַהייט סיסטעם, זענען צוויי אומאָפּהענגיקע קאָאָרדינאַטן נויטיק צו באַשטימען זײַן פּאָזיציע. עס זענען דאָ צוויי נאַטירלעכע פֿרעקווענצן אין דעם סיסטעם:

יעדע פרעקווענץ קארעספאנדירט צו א מאָדוס פון וויבראַציע. די האַרמאָנישע אָסילאַטאָרן פירן אויס האַרמאָנישע אָסצילאַציעס פון דער זעלבער פרעקווענץ, סינקראָניש דורכגייענדיק די גלייכגעוויכט פּאָזיציע און סינקראָניש דערגרייכנדיק די עקסטרעמע פּאָזיציע. אין דער הויפּט וויבראַציע קארעספאנדירנדיק צו אמעגאַ איינס, איז x1 גלייך צו x2; אין דער הויפּט וויבראַציע קארעספאנדירנדיק צו אמעגאַ אמעגאַ צוויי, אמעגאַ אמעגאַ איינס. אין דער הויפּט וויבראַציע, האַלט די דיספּלייסמאַנט פאַרהעלטעניש פון יעדער מאַסע אַ געוויסע באַציִונג און פאָרמירט אַ געוויסע מאָדוס, וואָס ווערט גערופן דער הויפּט מאָדוס אָדער דער נאַטירלעכער מאָדוס. די אָרטאָגאָנאַליטעט פון מאַסע און שטייפקייט עקזיסטירט צווישן די הויפּט מאָדעס, וואָס שפּיגלט אָפּ די זעלבשטענדיקייט פון יעדער וויבראַציע. די נאַטירלעכע פרעקווענץ און הויפּט מאָדוס רעפּרעזענטירן די אינהערענטע וויבראַציע קעראַקטעריסטיקס פון די מולטי-גראַד פון פרייהייט סיסטעם.

פיגור 8 סיסטעם מיט קייפל גראַדן פון פרייהייט

א סיסטעם פון n גראַדן פון פרייהייט האט n נאַטירלעכע פרעקווענצן און n הויפּט מאָדעס. יעדע ווייבריישאַן קאָנפיגוראַציע פון ​​דער סיסטעם קען זיין רעפּרעזענטירט ווי אַ לינעאַרע קאָמבינאַציע פון ​​די הויפּט מאָדעס. דעריבער, די הויפּט מאָדע סופּערפּאָזיציע מעטאָד איז וויידלי געניצט אין דינאַמישער רעספּאָנס אַנאַליז פון מולטי-דאָף סיסטעמען. אויף דעם וועג, די מעסטונג און אַנאַליז פון די נאַטירלעכע ווייבריישאַן קעראַקטעריסטיקס פון דער סיסטעם ווערט אַ רוטין שריט אין די דינאַמיש פּלאַן פון דער סיסטעם.

די דינאמישע אייגנשאפטן פון מולטי-דאף סיסטעמען קענען אויך באשריבן ווערן דורך פרעקווענץ אייגנשאפטן. ווייל עס איז דא א פרעקווענץ אייגנשאפט פונקציע צווישן יעדן אינפוט און אויטפוט, ווערט א פרעקווענץ אייגנשאפט מאטריץ קאנסטרואירט. די אמפליטודע-פרעקווענץ אייגנשאפט קורווע פון ​​די מולטי-פרייהייט סיסטעם איז אנדערש פון יענע פון ​​די איינציקע-פרייהייט סיסטעם.

דער עלאַסטאָמער ווייברירט

די אויבנדערמאנטע מולטי-גראד פון פרייהייט סיסטעם איז אן אומגעפערער מעכאנישער מאדעל פון עלאַסטאָמער. אן עלאַסטאָמער האט אן אומענדלעכע צאל גראדן פון פרייהייט. עס איז דא א קוואַנטיטאַטיווער אונטערשייד אבער קיין עיקרדיקער אונטערשייד צווישן די צוויי. יעדער עלאַסטאָמער האט אן אומענדלעכע צאל נאַטירלעכע פרעקווענצן און אן אומענדלעכע צאל קארעספאנדירנדיקע מאָדעס, און עס איז דא אָרטאָגאָנאַליטעט צווישן די מאָדעס פון מאַסע און שטייפקייט. יעדע וויבראַציע קאָנפיגוראַציע פון ​​דעם עלאַסטאָמער קען אויך ווערן רעפּרעזענטירט ווי אַ לינעאַרע סופּערפּאָזיציע פון ​​די הויפּט מאָדעס. דעריבער, פֿאַר דינאַמישער רעאַקציע אַנאַליז פון עלאַסטאָמער, איז די סופּערפּאָזיציע מעטאָדע פון ​​הויפּט מאָדע נאָך אָנווענדלעך (זען לינעאַרע וויבראַציע פון ​​עלאַסטאָמער).

נעמט די וויבראַציע פון ​​אַ שטריקל. לאָמיר זאָגן אַז אַ דין שטריקל מיט אַ מאַסע m פּער לענג-איינהייט, לאַנג l, איז געשפּאַנט ביי ביידע עקן, און די שפּאַנונג איז T. אין דעם מאָמענט ווערט די נאַטירלעכע אָפטקייט פון דער שטריקל באַשטימט דורך דער פאלגענדער גלייכונג:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

וואו איז די פארשפרייטונג גיכקייט פון דער טראַנסווערסאַלער כוואַליע אין דער ריכטונג פון דער שטריקל. די נאַטירלעכע פרעקווענצן פון די שטריקלען זענען פאקטיש קייפל פון דער פונדאַמענטאַלער פרעקווענץ איבער 2l. די גאַנצע צאָל קייפל פירט צו אַן אָנגענעמע האַרמאָנישע סטרוקטור. בכלל, איז נישטאָ קיין אַזאַ גאַנצע צאָל קייפל באַציִונג צווישן די נאַטירלעכע פרעקווענצן פון דעם עלאַסטאָמער.

די ערשטע דריי מאָדעס פון דער געשפּאַנטער שטריקל ווערן געוויזן אין פיגור 9. עס זענען דאָ עטלעכע נאָודז אויף דער הויפּט מאָדע קורווע. אין דער הויפּט וויבראַציע, וויברירן די נאָודז נישט. פיגור 10 ווייזט עטלעכע טיפּישע מאָדעס פון דער אַרומגערינגלט געשטיצטער קייַלעכדיקער פּלאַטע מיט עטלעכע נאָדאַל ליניעס צוזאַמענגעשטעלט פון קרייזן און דיאַמעטערס.

די גענויע פֿאָרמולירונג פֿון דער עלאַסטאָמער ווייבריישאַן פּראָבלעם קען מען אויספֿירן ווי די גרענעץ ווערט פּראָבלעם פֿון טיילווייזע דיפֿערענציאַל גלייכונגען. אָבער, די גענויע לייזונג קען מען נאָר געפֿינען אין עטלעכע פֿון די פּשוטסטע פֿאַלן, אַזוי מיר מוזן זיך ווענדן צו דער אַפּראָקסימאַטיווער לייזונג פֿאַר דער קאָמפּלעקסער עלאַסטאָמער ווייבריישאַן פּראָבלעם. די עסענץ פֿון פֿאַרשידענע אַפּראָקסימאַטיווע לייזונגען איז צו ענדערן דאָס אומענדלעכע צו דאָס ענדלעכע, דאָס הייסט, צו דיסקרעטיזירן דאָס גליד-לאָזע מולטי-גראַד פֿון פֿרײַהייט סיסטעם (קאָנטיניואַס סיסטעם) אין אַ ענדלעכן מולטי-גראַד פֿון פֿרײַהייט סיסטעם (דיסקרעט סיסטעם). עס זענען דאָ צוויי מינים דיסקרעטיזאַציע מעטאָדן וואָס ווערן ווײַט געניצט אין אינזשעניריע אַנאַליז: ענדלעכע עלעמענט מעטאָד און מאָדאַל סינטעז מעטאָד.

פיגור 9 מאָדע פון ​​שטריקל

פיגור 10 מאָדע פון ​​קייַלעכדיקער פּלאַטע

די ענדלעכע עלעמענט מעטאָדע איז אַ קאָמפּאָזיט סטרוקטור וואָס אַבסטראַקטירט אַ קאָמפּלעקס סטרוקטור אין אַ ענדלעכע צאָל עלעמענטן און פֿאַרבינדט זיי ביי אַ ענדלעכע צאָל נאָודז. יעדע איינהייט איז אַן עלאַסטאָמער; די פאַרשפּרייטונג דיספּלייסמאַנט פון עלעמענט ווערט אויסגעדריקט דורך אינטערפּאָלאַציע פונקציע פון ​​נאָוד דיספּלייסמאַנט. דערנאָך ווערן די פאַרשפּרייטונג פּאַראַמעטערס פון יעדן עלעמענט קאָנצענטרירט צו יעדן נאָוד אין אַ געוויסן פֿאָרמאַט, און דער מעכאַנישער מאָדעל פון דער דיסקרעטער סיסטעם ווערט באַקומען.

מאָדאַל סינטעז איז די צעטיילונג פון אַ קאָמפּלעקס סטרוקטור אין עטלעכע פּשוטערע אונטערסטרוקטורן. באַזירט אויף פֿאַרשטיין די ווייבריישאַן כאַראַקטעריסטיקס פון יעדער אונטערסטרוקטור, ווערט די אונטערסטרוקטור סינטעזירט אין אַן אַלגעמיינער סטרוקטור לויט די קאָאָרדינאַציע באדינגונגען אויף דער אינטערפֿייס, און די ווייבריישאַן מאָרפאָלאָגיע פון ​​דער אַלגעמיינער סטרוקטור ווערט באַקומען דורך ניצן די ווייבריישאַן מאָרפאָלאָגיע פון ​​יעדער אונטערסטרוקטור.

די צוויי מעטאָדן זענען אַנדערש און פֿאַרבונדן, און קענען גענוצט ווערן ווי רעפֿערענץ. די מאָדאַל סינטעז מעטאָדע קען אויך עפֿעקטיוו קאָמבינירט ווערן מיט דער עקספּערימענטאַלער מעסטונג צו פֿאָרמירן אַ טעאָרעטישע און עקספּערימענטאַלע אַנאַליז מעטאָדע פֿאַר די וויבראַציע פֿון גרויסע סיסטעמען.