Getaran linier: elastisitas komponen ing sistem kasebut tundhuk karo hukum Hooke, lan gaya redaman sing diasilake sajrone gerakan kasebut sebanding karo persamaan pertama saka kecepatan umum (turunan wektu saka koordinat umum).
konsep
Sistem linier biasane minangka model abstrak saka getaran sistem nyata. Sistem getaran linier ngetrapake prinsip superposisi, yaiku, yen respon sistem kasebut yaiku y1 ing sangisore aksi input x1, lan y2 ing sangisore aksi input x2, mula respon sistem kasebut ing sangisore aksi input x1 lan x2 yaiku y1+y2.
Adhedhasar prinsip superposisi, input sing sembarang bisa diurai dadi jumlah saka seri impuls sing cilik banget, banjur respon total sistem bisa dipikolehi. Jumlah komponen harmonik saka eksitasi periodik bisa ditambahi dadi seri komponen harmonik kanthi transformasi Fourier, lan efek saben komponen harmonik ing sistem bisa diselidiki kanthi kapisah. Mulane, karakteristik respon sistem linier kanthi parameter konstan bisa diterangake kanthi respon impuls utawa respon frekuensi.
Respon impuls nuduhake respon sistem marang impuls unit, sing njlèntrèhaké karakteristik respon sistem ing domain wektu. Respon frekuensi nuduhake karakteristik respon sistem marang input harmonik unit. Korespondensi antarane loro kasebut ditemtokake dening transformasi Fourier.
klasifikasi
Getaran linier bisa dipérang dadi getaran linier saka sistem derajat kebebasan tunggal lan getaran linier saka sistem derajat kebebasan multi.
(1) getaran linier saka sistem derajat kebebasan tunggal yaiku getaran linier sing posisine bisa ditemtokake nganggo koordinat umum. Iki minangka getaran paling gampang sing bisa dijupuk saka akeh konsep dhasar lan karakteristik getaran. Iki kalebu getaran harmonik prasaja, getaran bebas, getaran atenuasi lan getaran paksa.
Getaran harmonik prasaja: gerakan bolak-balik saka obyek ing cedhak posisi kesetimbangan miturut hukum sinusoidal ing sangisore aksi gaya pemulih sing sebanding karo pamindahane.
Getaran teredam: getaran sing amplitudone terus dilemahake dening anane gesekan lan resistensi dielektrik utawa konsumsi energi liyane.
Getaran paksa: getaran sistem ing sangisore eksitasi konstan.
(2) getaran linier saka sistem multi-derajat kebebasan yaiku getaran sistem linier kanthi n ≥2 derajat kebebasan. Sistem kanthi n derajat kebebasan nduweni n frekuensi alami lan n mode utama. Sembarang konfigurasi getaran sistem bisa diwakili minangka kombinasi linier saka mode utama. Mulane, metode superposisi mode utama digunakake sacara wiyar ing analisis respon dinamis sistem multi-dof. Kanthi cara iki, pangukuran lan analisis karakteristik getaran alami sistem dadi langkah rutin ing desain dinamis sistem. Karakteristik dinamis sistem multi-dof uga bisa diterangake kanthi karakteristik frekuensi. Amarga ana fungsi karakteristik frekuensi antarane saben input lan output, matriks karakteristik frekuensi dibangun. Ana hubungan sing pasti antarane karakteristik frekuensi lan mode utama. Kurva karakteristik amplitudo-frekuensi saka sistem multi-kebebasan beda karo sistem kebebasan tunggal.
Getaran linier saka sistem derajat kebebasan tunggal
Getaran linier ing ngendi posisi sistem bisa ditemtokake nganggo koordinat umum. Iki minangka getaran paling gampang lan paling dhasar sing bisa dijupuk saka akeh konsep dhasar lan karakteristik getaran. Iki kalebu getaran harmonik prasaja, getaran teredam, lan getaran paksa.
Getaran harmonik
Ing sangisore aksi gaya pamulihan sing proporsional karo pamindahan, obyek kasebut bakal mbalikke kanthi cara sinusoidal cedhak posisi keseimbangane (Gambar 1). X nggambarake pamindahan lan t nggambarake wektu. Ekspresi matematika saka getaran iki yaiku:
(1)Ing ngendi A minangka nilai maksimum saka pamindahan x, sing diarani amplitudo, lan makili intensitas getaran; Omega n minangka amplitudo. Peningkatan sudut getaran per detik, sing diarani frekuensi sudut, utawa frekuensi bunder; Iki diarani fase awal. Ing istilah f = n / 2, jumlah osilasi per detik diarani frekuensi; Kebalikan saka iki, T = 1 / f, yaiku wektu sing dibutuhake kanggo ngosilasi siji siklus, lan iku diarani periode. Amplitudo A, frekuensi f (utawa frekuensi sudut n), fase awal, dikenal minangka getaran harmonik prasaja telung unsur.
Gambar 1 kurva getaran harmonik prasaja
Kaya sing dituduhake ing Gambar 2, osilator harmonik prasaja dibentuk dening massa m sing terkonsentrasi sing disambungake dening pegas linier. Nalika pamindahan getaran diitung saka posisi keseimbangan, persamaan getaran yaiku:
Ing ngendi iku kekakuan pegas. Solusi umum kanggo persamaan ing ndhuwur yaiku (1).A lan bisa ditemtokake dening posisi awal x0 lan kecepatan awal ing t=0:
Nanging omega n mung ditemtokake dening karakteristik sistem kasebut dhewe m lan k, ora gumantung saka kondisi awal tambahan, mula omega n uga dikenal minangka frekuensi alami.
Gambar 2 sistem derajat kebebasan tunggal
Kanggo osilator harmonik prasaja, jumlah energi kinetik lan energi potensiale tetep, yaiku, total energi mekanik sistem kasebut tetep. Ing proses getaran, energi kinetik lan energi potensial terus-terusan diowahi dadi siji liyane.
Getaran redaman
Getaran sing amplitudone terus dilemahake dening gesekan lan resistensi dielektrik utawa konsumsi energi liyane. Kanggo getaran mikro, kecepatane umume ora gedhe banget, lan resistensi medium sebanding karo kecepatan menyang daya pertama, sing bisa ditulis minangka c minangka koefisien redaman. Mulane, persamaan getaran siji derajat kebebasan kanthi redaman linier bisa ditulis minangka:
(2)Ing ngendi, m = c/2m diarani parameter redaman, lan. Solusi umum saka rumus (2) bisa ditulis:
(3)Hubungan numerik antarane omega n lan PI bisa dipérang dadi telung kasus ing ngisor iki:
N > (ing kasus redaman cilik) partikel ngasilake getaran atenuasi, persamaan getaran yaiku:
Amplitudoné mudhun karo wektu miturut hukum eksponensial sing dituduhake ing persamaan, kaya sing dituduhake ing garis putus-putus ing Gambar 3. Saktemene, getaran iki aperiodik, nanging frekuensi puncaké bisa ditegesi minangka:
Diarani laju reduksi amplitudo, ing ngendi minangka periode getaran. Logaritma alami saka laju reduksi amplitudo diarani logaritma dikurangi laju (amplitudo). Temtu, =, ing kasus iki, padha karo 2/1. Langsung liwat delta uji eksperimen lan, nggunakake rumus ing ndhuwur bisa diitung c.
Ing wektu iki, solusi saka persamaan (2) bisa ditulis:
Bebarengan karo arah kecepatan awal, bisa dipérang dadi telung kasus non-getaran kaya sing dituduhake ing Gambar 4.
N < (ing kasus redaman gedhe), solusi kanggo persamaan (2) dituduhake ing persamaan (3). Ing titik iki, sistem kasebut ora geter maneh.
Getaran paksa
Getaran sistem ing sangisore eksitasi konstan. Analisis getaran utamane nyelidiki respon sistem marang eksitasi. Eksitasi periodik minangka eksitasi reguler sing khas. Amarga eksitasi periodik mesthi bisa diurai dadi jumlah sawetara eksitasi harmonik, miturut prinsip superposisi, mung respon sistem marang saben eksitasi harmonik sing dibutuhake. Ing sangisore aksi eksitasi harmonik, persamaan diferensial gerakan sistem sing diredam derajat kebebasan tunggal bisa ditulis:
Respon kasebut minangka jumlah saka rong bagean. Salah sawijining bagean yaiku respon saka getaran sing diredam, sing cepet ilang karo wektu. Respon saka bagean liyane saka getaran paksa bisa ditulis:
Gambar 3 kurva getaran sing diredam
Gambar 4 kurva saka telung kondisi awal kanthi redaman kritis
Ketik ing
H /F0= h(), yaiku rasio amplitudo respon ajeg karo amplitudo eksitasi, sing nggambarake karakteristik frekuensi amplitudo, utawa fungsi gain; Bit kanggo respon kondisi ajeg lan insentif fase, karakterisasi karakteristik frekuensi fase. Hubungan antarane lan frekuensi eksitasi dituduhake ing Gambar 5 lan Gambar 6.
Kaya sing bisa dideleng saka kurva amplitudo-frekuensi (Gambar 5), ing kasus redaman cilik, kurva amplitudo-frekuensi duwe puncak tunggal. Sing luwih cilik redaman, sing luwih tajem puncak; Frekuensi sing cocog karo puncak diarani frekuensi resonansi sistem. Ing kasus redaman cilik, frekuensi resonansi ora beda banget karo frekuensi alami. Nalika frekuensi eksitasi cedhak karo frekuensi alami, amplitudo mundhak kanthi cetha. Fenomena iki diarani resonansi. Ing resonansi, gain sistem dimaksimalake, yaiku, getaran paksa paling kuat. Mulane, umume, tansah usaha supaya ora ana resonansi, kajaba sawetara instrumen lan peralatan nggunakake resonansi kanggo entuk getaran gedhe.
Gambar 5 kurva frekuensi amplitudo
Bisa dideleng saka kurva frekuensi fase (gambar 6), preduli saka ukuran redaman, ing bit beda fase nol omega = PI / 2, karakteristik iki bisa digunakake kanthi efektif kanggo ngukur resonansi.
Saliyané eksitasi sing ajeg, sistem kadhangkala nemoni eksitasi sing ora ajeg. Iki bisa dipérang dadi rong jinis: siji yaiku dampak dadakan. Sing nomer loro yaiku efek arbitrariness sing langgeng. Ing eksitasi sing ora ajeg, respon sistem uga ora ajeg.
Piranti sing ampuh kanggo nganalisis getaran sing ora stabil yaiku metode respon impuls. Iki nggambarake karakteristik dinamis sistem kanthi respon transien saka input impuls unit sistem. Impuls unit bisa dinyatakake minangka fungsi delta. Ing teknik, fungsi delta asring ditegesake minangka:
Ing ngendi 0- makili titik ing sumbu-t sing nyedhaki nol saka kiwa; 0 plus minangka titik sing menyang 0 saka tengen.
Gambar 6 kurva frekuensi fase
Gambar 7 input apa wae bisa dianggep minangka jumlah saka seri elemen impuls
Sistem iki cocog karo respon h(t) sing diasilake dening impuls unit ing t=0, sing diarani fungsi respon impuls. Kanthi nganggep sistem kasebut stasioner sadurunge pulsa, h(t)=0 kanggo t<0. Ngerti fungsi respon impuls sistem, kita bisa nemokake respon sistem marang input apa wae x(t). Ing titik iki, sampeyan bisa mikirake x(t) minangka jumlah saka seri elemen impuls (Gambar 7). Respon sistem kasebut yaiku:
Adhedhasar prinsip superposisi, respon total sistem sing cocog karo x(t) yaiku:
Integral iki diarani integral konvolusi utawa integral superposisi.
Getaran linier saka sistem multi-derajat kebebasan
Getaran sistem linier kanthi n≥2 derajat kebebasan.
Gambar 8 nuduhake rong subsistem resonansi prasaja sing disambungake dening pegas kopling. Amarga iki minangka sistem rong derajat kebebasan, rong koordinat independen dibutuhake kanggo nemtokake posisine. Ana rong frekuensi alami ing sistem iki:
Saben frekuensi cocog karo mode getaran. Osilator harmonik nindakake osilasi harmonik kanthi frekuensi sing padha, kanthi sinkron ngliwati posisi keseimbangan lan kanthi sinkron tekan posisi ekstrem. Ing getaran utama sing cocog karo omega siji, x1 padha karo x2; Ing getaran utama sing cocog karo omega loro, omega siji. Ing getaran utama, rasio perpindahan saben massa njaga hubungan tartamtu lan mbentuk mode tartamtu, sing diarani mode utama utawa mode alami. Ortogonalitas massa lan kekakuan ana ing antarane mode utama, sing nuduhake kamardikan saben getaran. Frekuensi alami lan mode utama makili karakteristik getaran sing ana ing sistem multi-derajat kebebasan.
Gambar 8 sistem kanthi derajat kebebasan maneka warna
Sistem kanthi n derajat kebebasan duwé n frekuensi alami lan n mode utama. Sembarang konfigurasi getaran sistem bisa digambaraké minangka kombinasi linier saka mode utama. Mulane, metode superposisi mode utama digunakaké sacara wiyar ing analisis respon dinamis sistem multi-dof. Kanthi cara iki, pangukuran lan analisis karakteristik getaran alami sistem dadi langkah rutin ing desain dinamis sistem.
Karakteristik dinamis sistem multi-dof uga bisa diterangake nganggo karakteristik frekuensi. Amarga ana fungsi karakteristik frekuensi antarane saben input lan output, matriks karakteristik frekuensi digawe. Kurva karakteristik amplitudo-frekuensi sistem multi-kebebasan beda karo sistem kebebasan tunggal.
Elastomer kasebut bergetar
Sistem multi-derajat kebebasan ing ndhuwur minangka model mekanik kira-kira saka elastomer. Elastomer nduweni jumlah derajat kebebasan sing ora ana watese. Ana bedane kuantitatif nanging ora ana bedane penting antarane loro kasebut. Sembarang elastomer nduweni jumlah frekuensi alami sing ora ana watese lan jumlah mode sing cocog sing ora ana watese, lan ana ortogonalitas antarane mode massa lan kekakuan. Sembarang konfigurasi getaran elastomer uga bisa diwakili minangka superposisi linier saka mode utama. Mulane, kanggo analisis respon dinamis elastomer, metode superposisi mode utama isih bisa ditrapake (waca getaran linier elastomer).
Coba bayangna getaran senar. Umpamane senar tipis kanthi massa m saben unit dawa, dawane l, ditarik ing loro-lorone pucuke, lan tegangane yaiku T. Ing wektu iki, frekuensi alami senar ditemtokake dening persamaan ing ngisor iki:
F =na/2l (n= 1,2,3…).
Ing ngendi, yaiku kecepatan rambatan gelombang transversal ing sadawane arah senar. Frekuensi alami senar kasebut minangka kelipatan frekuensi dhasar luwih saka 2l. Multiplisitas bilangan bulat iki ndadékaké struktur harmonik sing nyenengake. Umumé, ora ana hubungan kelipatan bilangan bulat kaya ngono ing antarane frekuensi alami elastomer.
Telung mode pisanan saka senar sing dikencengi dituduhake ing Gambar 9. Ana sawetara simpul ing kurva mode utama. Ing getaran utama, simpul ora geter. Gambar 10 nuduhake sawetara mode khas saka pelat bunder sing didhukung sacara melingkar kanthi sawetara garis simpul sing kasusun saka bunderan lan diameter.
Formulasi sing tepat saka masalah getaran elastomer bisa disimpulake minangka masalah nilai wates saka persamaan diferensial parsial. Nanging, solusi sing tepat mung bisa ditemokake ing sawetara kasus sing paling gampang, mula kita kudu nggunakake solusi kira-kira kanggo masalah getaran elastomer sing kompleks. Inti saka macem-macem solusi kira-kira yaiku ngganti tanpa wates dadi terbatas, yaiku, diskritisasi sistem multi-derajat kebebasan tanpa anggota awak (sistem kontinyu) dadi sistem multi-derajat kebebasan terbatas (sistem diskrit). Ana rong jinis metode diskritisasi sing digunakake sacara wiyar ing analisis teknik: metode elemen hingga lan metode sintesis modal.
Gambar 9 mode string
Gambar 10 mode pelat bunder
Metode elemen hingga minangka struktur komposit sing ngabstraksi struktur kompleks dadi sawetara elemen sing terbatas lan nyambungake ing sawetara simpul sing terbatas. Saben unit minangka elastomer; Perpindahan distribusi elemen kasebut diekspresikan dening fungsi interpolasi perpindahan simpul. Banjur parameter distribusi saben elemen dikonsentrasi menyang saben simpul ing format tartamtu, lan model mekanik sistem diskrit dipikolehi.
Sintesis modal yaiku dekomposisi struktur kompleks dadi sawetara substruktur sing luwih prasaja. Adhedhasar pangerten karakteristik getaran saben substruktur, substruktur kasebut disintesis dadi struktur umum miturut kahanan koordinasi ing antarmuka, lan morfologi getaran struktur umum dipikolehi kanthi nggunakake morfologi getaran saben substruktur.
Kaloro metode kasebut beda lan ana gandheng cenenge, lan bisa digunakake minangka referensi. Metode sintesis modal uga bisa digabungake kanthi efektif karo pangukuran eksperimental kanggo mbentuk metode analisis teoretis lan eksperimental kanggo getaran sistem gedhe.
Wektu kiriman: 03-Apr-2020
