রৈখিক কম্পন বলতে কী বোঝায়?

রৈখিক কম্পনসিস্টেমের উপাদানগুলির স্থিতিস্থাপকতা হুকের সূত্র মেনে চলে, এবং গতির সময় উৎপন্ন অবমন্দন বল সাধারণীকৃত বেগের প্রথম সমীকরণের (সাধারণীকৃত স্থানাঙ্কের সময় সাপেক্ষে অন্তরজ) সমানুপাতিক।

ধারণা

রৈখিক সিস্টেম সাধারণত বাস্তব সিস্টেমের কম্পনের একটি বিমূর্ত মডেল। রৈখিক কম্পন সিস্টেমে উপরিপাতন নীতি প্রয়োগ করা হয়, অর্থাৎ, যদি ইনপুট x1-এর প্রভাবে সিস্টেমের প্রতিক্রিয়া y1 হয় এবং ইনপুট x2-এর প্রভাবে y2 হয়, তবে ইনপুট x1 এবং x2 উভয়ের প্রভাবে সিস্টেমের প্রতিক্রিয়া হবে y1+y2।

উপরিপাতন নীতির ভিত্তিতে, একটি যথেচ্ছ ইনপুটকে ধারাবাহিক অতি ক্ষুদ্র স্পন্দনের যোগফল হিসেবে বিভক্ত করা যায় এবং এর মাধ্যমে সিস্টেমের মোট প্রতিক্রিয়া নির্ণয় করা যায়। একটি পর্যায়ক্রমিক উদ্দীপনার হারমোনিক উপাদানগুলোর যোগফলকে ফুরিয়ার রূপান্তরের মাধ্যমে ধারাবাহিক হারমোনিক উপাদানে প্রসারিত করা যায় এবং সিস্টেমের উপর প্রতিটি হারমোনিক উপাদানের প্রভাব আলাদাভাবে অনুসন্ধান করা যায়। অতএব, ধ্রুবক পরামিতিযুক্ত রৈখিক সিস্টেমের প্রতিক্রিয়া বৈশিষ্ট্যকে স্পন্দন প্রতিক্রিয়া বা কম্পাঙ্ক প্রতিক্রিয়া দ্বারা বর্ণনা করা যায়।

ইম্পালস রেসপন্স বলতে ইউনিট ইম্পালসের প্রতি সিস্টেমের প্রতিক্রিয়াকে বোঝায়, যা টাইম ডোমেইনে সিস্টেমের প্রতিক্রিয়া বৈশিষ্ট্যকে চিহ্নিত করে। ফ্রিকোয়েন্সি রেসপন্স বলতে ইউনিট হারমোনিক ইনপুটের প্রতি সিস্টেমের প্রতিক্রিয়া বৈশিষ্ট্যকে বোঝায়। এই দুটির মধ্যকার সম্পর্ক ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের মাধ্যমে নির্ধারিত হয়।

শ্রেণিবিন্যাস

রৈখিক কম্পনকে এক-ডিগ্রি-অফ-ফ্রিডম সিস্টেমের রৈখিক কম্পন এবং বহু-ডিগ্রি-অফ-ফ্রিডম সিস্টেমের রৈখিক কম্পনে ভাগ করা যায়।

(1) এক-ডিগ্রি-অফ-ফ্রিডম সিস্টেমের রৈখিক কম্পন হল এমন একটি রৈখিক কম্পন যার অবস্থান একটি সাধারণীকৃত স্থানাঙ্ক দ্বারা নির্ধারণ করা যায়। এটি সবচেয়ে সরল কম্পন যা থেকে কম্পনের অনেক মৌলিক ধারণা এবং বৈশিষ্ট্য উদ্ভূত হতে পারে। এর মধ্যে রয়েছে সরল হারমোনিক কম্পন, মুক্ত কম্পন, ক্ষয়প্রাপ্ত কম্পন এবং বলপ্রয়োগিত কম্পন।

সরল হারমোনিক কম্পন: কোনো বস্তুর সরণের সমানুপাতিক একটি প্রত্যয়নকারী বলের প্রভাবে, বস্তুটির সাম্যাবস্থার কাছাকাছি একটি সাইনুসয়েডাল সূত্রানুসারে আবর্তনশীল গতি।

অবমন্দিত কম্পন: এমন কম্পন যার বিস্তার ঘর্ষণ, পরাবৈদ্যুতিক রোধ বা অন্যান্য শক্তি খরচের কারণে ক্রমাগত হ্রাস পায়।

বলপূর্বক কম্পন: কোনো সিস্টেমের অবিরাম উদ্দীপনার অধীনে কম্পন।

(2) মাল্টি-ডিগ্রি-অফ-ফ্রিডম সিস্টেমের রৈখিক কম্পন হল n≥2 ডিগ্রি অফ ফ্রিডম সহ রৈখিক সিস্টেমের কম্পন। n ডিগ্রি অফ ফ্রিডম সহ একটি সিস্টেমের n টি স্বাভাবিক কম্পাঙ্ক এবং n টি প্রধান মোড থাকে। সিস্টেমের যেকোনো কম্পন কনফিগারেশনকে প্রধান মোডগুলির একটি রৈখিক সমন্বয় হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। অতএব, মাল্টি-ডি ও এফ সিস্টেমের ডায়নামিক প্রতিক্রিয়া বিশ্লেষণে প্রধান মোড সুপারপজিশন পদ্ধতি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। এইভাবে, সিস্টেমের স্বাভাবিক কম্পন বৈশিষ্ট্যের পরিমাপ এবং বিশ্লেষণ সিস্টেমের ডায়নামিক ডিজাইনের একটি রুটিন ধাপে পরিণত হয়। মাল্টি-ডি ও এফ সিস্টেমের ডায়নামিক বৈশিষ্ট্যগুলি কম্পাঙ্ক বৈশিষ্ট্য দ্বারাও বর্ণনা করা যেতে পারে। যেহেতু প্রতিটি ইনপুট এবং আউটপুটের মধ্যে একটি কম্পাঙ্ক বৈশিষ্ট্য ফাংশন থাকে, তাই একটি কম্পাঙ্ক বৈশিষ্ট্য ম্যাট্রিক্স তৈরি করা হয়। কম্পাঙ্ক বৈশিষ্ট্য এবং প্রধান মোডের মধ্যে একটি নির্দিষ্ট সম্পর্ক রয়েছে। মাল্টি-ফ্রিডম সিস্টেমের বিস্তার-কম্পাঙ্ক বৈশিষ্ট্য বক্ররেখা একক-ফ্রিডম সিস্টেমের থেকে ভিন্ন।

এক ডিগ্রি স্বাধীনতা সিস্টেমের রৈখিক কম্পন

এক প্রকার রৈখিক কম্পন যেখানে কোনো সিস্টেমের অবস্থান একটি সাধারণীকৃত স্থানাঙ্কের মাধ্যমে নির্ণয় করা যায়। এটি সবচেয়ে সরল ও মৌলিক কম্পন, যা থেকে কম্পনের অনেক মৌলিক ধারণা ও বৈশিষ্ট্য উদ্ভূত হতে পারে। এর অন্তর্ভুক্ত কম্পনগুলো হলো সরলরৈখিক কম্পন, অবমন্দিত কম্পন এবং বলপ্রয়োগজনিত কম্পন।

হারমোনিক কম্পন

সরণের সমানুপাতিক প্রত্যয়নকারী বলের প্রভাবে বস্তুটি তার সাম্যাবস্থার কাছাকাছি সাইনুসয়েডাল গতিতে সঞ্চালিত হয় (চিত্র ১)। এখানে X হলো সরণ এবং t হলো সময়। এই কম্পনের গাণিতিক প্রকাশ হলো:

(1)যেখানে A হলো সরণ x-এর সর্বোচ্চ মান, যাকে বিস্তার বলা হয় এবং এটি কম্পনের তীব্রতা নির্দেশ করে; ওমেগা n হলো প্রতি সেকেন্ডে কম্পনের বিস্তার কোণের বৃদ্ধি, যাকে কৌণিক কম্পাঙ্ক বা বৃত্তীয় কম্পাঙ্ক বলা হয়; একে আদি দশা বলা হয়। f= n/2 সূত্রানুসারে, প্রতি সেকেন্ডে দোলনের সংখ্যাকে কম্পাঙ্ক বলা হয়; এর বিপরীত, T=1/f, হলো এক চক্র সম্পন্ন করতে প্রয়োজনীয় সময়, এবং একে পর্যায়কাল বলা হয়। বিস্তার A, কম্পাঙ্ক f (বা কৌণিক কম্পাঙ্ক n), আদি দশা—এই তিনটি উপাদান নিয়ে সরলরৈখিক কম্পন (simple harmonic vibration) পরিচিত।

চিত্র ১ সরল হারমোনিক কম্পন বক্ররেখা

চিত্র ২-এ যেমন দেখানো হয়েছে, একটি রৈখিক স্প্রিং দ্বারা সংযুক্ত কেন্দ্রীভূত ভর m দিয়ে একটি সরল হারমোনিক দোলক গঠিত হয়। সাম্যাবস্থা থেকে কম্পন সরণ গণনা করলে, কম্পন সমীকরণটি হলো:

স্প্রিং এর দৃঢ়তা কোথায়। উপরের সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল (1)। A এবং t=0 এ প্রাথমিক অবস্থান x0 এবং প্রাথমিক বেগ দ্বারা নির্ধারণ করা যেতে পারে:

কিন্তু ওমেগা এন (ωn) অতিরিক্ত প্রাথমিক শর্তাবলী থেকে স্বাধীনভাবে, শুধুমাত্র সিস্টেমের নিজস্ব বৈশিষ্ট্য m এবং k দ্বারা নির্ধারিত হয়, তাই ওমেগা এন (ωn) স্বাভাবিক কম্পাঙ্ক নামেও পরিচিত।

চিত্র ২ একক ডিগ্রি স্বাধীনতা ব্যবস্থা

একটি সরল হারমোনিক দোলকের ক্ষেত্রে, এর গতিশক্তি এবং স্থিতিশক্তির যোগফল ধ্রুবক থাকে, অর্থাৎ সিস্টেমটির মোট যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষিত থাকে। কম্পন প্রক্রিয়ায়, গতিশক্তি এবং স্থিতিশক্তি ক্রমাগত একে অপরের মধ্যে রূপান্তরিত হয়।

অবমন্দন কম্পন

এমন এক কম্পন যার বিস্তার ঘর্ষণ, পরাবৈদ্যুতিক রোধ বা অন্যান্য শক্তি খরচের কারণে ক্রমাগত হ্রাস পায়। ক্ষুদ্র কম্পনের ক্ষেত্রে, বেগ সাধারণত খুব বেশি হয় না এবং মাধ্যমের রোধ বেগের প্রথম ঘাতের সমানুপাতিক, যা c দ্বারা প্রকাশ করা যায়, যেখানে c হলো অবমন্দন সহগ। অতএব, রৈখিক অবমন্দনসহ এক ডিগ্রি স্বাধীনতার কম্পন সমীকরণটি নিম্নরূপে লেখা যায়:

(2)যেখানে, m = c/2m কে ড্যাম্পিং প্যারামিটার বলা হয়, এবং সূত্র (2) এর সাধারণ সমাধান লেখা যেতে পারে:

(3)ওমেগা এন এবং পিআই-এর মধ্যকার সাংখ্যিক সম্পর্ককে নিম্নলিখিত তিনটি ক্ষেত্রে বিভক্ত করা যেতে পারে:

N > (স্বল্প অবমন্দন এর ক্ষেত্রে) কণা দ্বারা সৃষ্ট ক্ষয়প্রাপ্ত কম্পনের সমীকরণটি হলো:

সমীকরণে প্রদর্শিত সূচকীয় সূত্রানুসারে এর বিস্তার সময়ের সাথে হ্রাস পায়, যেমনটি চিত্র ৩-এর ডটেড লাইনে দেখানো হয়েছে। কঠোরভাবে বলতে গেলে, এই কম্পনটি অপর্যাবৃত্ত, কিন্তু এর শীর্ষের কম্পাঙ্ককে নিম্নরূপে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে:

একে বিস্তার হ্রাস হার বলা হয়, যেখানে হলো কম্পনের পর্যায়কাল। বিস্তার হ্রাস হারের স্বাভাবিক লগারিদমকে লগারিদম বিয়োগ (বিস্তার) হার বলা হয়। স্পষ্টতই, এক্ষেত্রে = 2/1 এর সমান। সরাসরি পরীক্ষামূলক পরীক্ষার মাধ্যমে ডেল্টা এবং উপরের সূত্র ব্যবহার করে c গণনা করা যেতে পারে।

এই সময়ে, সমীকরণ (2) এর সমাধান লেখা যেতে পারে:

প্রাথমিক বেগের দিক বরাবর, এটিকে চিত্র ৪-এ দেখানো অনুযায়ী তিনটি অকম্পন অবস্থায় ভাগ করা যেতে পারে।

N < (বৃহৎ অবমন্দন এর ক্ষেত্রে), সমীকরণ (2) এর সমাধান সমীকরণ (3) এ দেখানো হয়েছে। এই পর্যায়ে, সিস্টেমটি আর কম্পন করে না।

জোরপূর্বক কম্পন

স্থির উদ্দীপনার অধীনে একটি সিস্টেমের কম্পন। কম্পন বিশ্লেষণ প্রধানত উদ্দীপনার প্রতি সিস্টেমের প্রতিক্রিয়া অনুসন্ধান করে। পর্যায়ক্রমিক উদ্দীপনা হলো একটি সাধারণ নিয়মিত উদ্দীপনা। যেহেতু উপরিপাতন নীতি অনুসারে পর্যায়ক্রমিক উদ্দীপনাকে সর্বদা কয়েকটি হারমোনিক উদ্দীপনার যোগফলে বিভক্ত করা যায়, তাই শুধুমাত্র প্রতিটি হারমোনিক উদ্দীপনার প্রতি সিস্টেমের প্রতিক্রিয়া প্রয়োজন। হারমোনিক উদ্দীপনার প্রভাবে, এক ডিগ্রি স্বাধীনতা সম্পন্ন একটি অবমন্দিত সিস্টেমের গতির ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি নিম্নরূপে লেখা যেতে পারে:

প্রতিক্রিয়াটি দুটি অংশের সমষ্টি। একটি অংশ হলো অবমন্দিত কম্পনের প্রতিক্রিয়া, যা সময়ের সাথে সাথে দ্রুত হ্রাস পায়। বলপ্রয়োগকৃত কম্পনের অন্য অংশের প্রতিক্রিয়াটি নিম্নরূপে লেখা যেতে পারে:

চিত্র ৩ অবমন্দিত কম্পন বক্ররেখা

চিত্র ৪: সংকটপূর্ণ অবমন্দন সহ তিনটি প্রাথমিক অবস্থার বক্ররেখা

টাইপ করুন

H/F0= h(), হলো স্থির প্রতিক্রিয়া বিস্তার এবং উদ্দীপনা বিস্তারের অনুপাত, যা বিস্তার-কম্পাঙ্ক বৈশিষ্ট্য বা গেইন ফাংশনকে চিহ্নিত করে; স্থির অবস্থার প্রতিক্রিয়া এবং দশার উদ্দীপকের জন্য বিটগুলো দশা-কম্পাঙ্ক বৈশিষ্ট্যকে চিহ্নিত করে। এদের এবং উদ্দীপনা কম্পাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক চিত্র ৫ এবং চিত্র ৬-এ দেখানো হয়েছে।

অ্যাম্প্লিটিউড-ফ্রিকোয়েন্সি কার্ভ (চিত্র ৫) থেকে দেখা যায় যে, কম ড্যাম্পিং-এর ক্ষেত্রে, অ্যাম্প্লিটিউড-ফ্রিকোয়েন্সি কার্ভে একটিমাত্র চূড়া থাকে। ড্যাম্পিং যত কম হয়, চূড়াটি তত খাড়া হয়; চূড়ার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ ফ্রিকোয়েন্সিকে সিস্টেমের রেজোনেন্ট ফ্রিকোয়েন্সি বলা হয়। কম ড্যাম্পিং-এর ক্ষেত্রে, রেজোন্যান্স ফ্রিকোয়েন্সি স্বাভাবিক ফ্রিকোয়েন্সি থেকে খুব বেশি আলাদা হয় না। যখন এক্সাইটেশন ফ্রিকোয়েন্সি স্বাভাবিক ফ্রিকোয়েন্সির কাছাকাছি হয়, তখন অ্যাম্প্লিটিউড তীব্রভাবে বৃদ্ধি পায়। এই ঘটনাকে রেজোন্যান্স বলা হয়। রেজোন্যান্সের সময়, সিস্টেমের গেইন সর্বোচ্চ হয়, অর্থাৎ, আরোপিত কম্পন সবচেয়ে তীব্র হয়। অতএব, সাধারণত, রেজোন্যান্স এড়ানোর জন্য সর্বদা চেষ্টা করা উচিত, যদি না কিছু যন্ত্র এবং সরঞ্জাম বড় কম্পন অর্জনের জন্য রেজোন্যান্স ব্যবহার করে।

চিত্র ৫ বিস্তার কম্পাঙ্ক বক্ররেখা

ফেজ ফ্রিকোয়েন্সি কার্ভ (চিত্র ৬) থেকে দেখা যায়, ড্যাম্পিংয়ের পরিমাণ নির্বিশেষে, ওমেগা জিরো ফেজ পার্থক্য বিট = PI / 2-তে এই বৈশিষ্ট্যটি রেজোন্যান্স পরিমাপে কার্যকরভাবে ব্যবহার করা যেতে পারে।

স্থির উদ্দীপনার পাশাপাশি, সিস্টেমগুলো মাঝে মাঝে অস্থির উদ্দীপনারও সম্মুখীন হয়। একে মোটামুটিভাবে দুই ভাগে ভাগ করা যায়: একটি হলো আকস্মিক প্রভাব এবং দ্বিতীয়টি হলো যথেচ্ছতার দীর্ঘস্থায়ী প্রভাব। অস্থির উদ্দীপনার অধীনে সিস্টেমের প্রতিক্রিয়াও অস্থির হয়।

অস্থির কম্পন বিশ্লেষণের একটি শক্তিশালী উপায় হলো ইম্পালস রেসপন্স পদ্ধতি। এটি সিস্টেমের ইউনিট ইম্পালস ইনপুটের ট্রানজিয়েন্ট রেসপন্সের মাধ্যমে সিস্টেমের ডাইনামিক বৈশিষ্ট্য বর্ণনা করে। ইউনিট ইম্পালসকে একটি ডেল্টা ফাংশন হিসেবে প্রকাশ করা যায়। ইঞ্জিনিয়ারিং-এ ডেল্টা ফাংশনকে প্রায়শই নিম্নরূপে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

যেখানে 0- হলো t-অক্ষের উপর অবস্থিত সেই বিন্দু যা বাম দিক থেকে শূন্যের দিকে অগ্রসর হয়; 0 প্লাস হলো সেই বিন্দু যা ডান দিক থেকে শূন্যের দিকে যায়।

চিত্র ৬ দশা কম্পাঙ্ক বক্ররেখা

চিত্র ৭: যেকোনো ইনপুটকে ধারাবাহিক ইম্পালস উপাদানগুলোর সমষ্টি হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

সিস্টেমটি t=0 সময়ে একক ইম্পালস দ্বারা উৎপন্ন প্রতিক্রিয়া h(t)-এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, যাকে ইম্পালস রেসপন্স ফাংশন বলা হয়। পালসের আগে সিস্টেমটি স্থির আছে ধরে নিলে, t<0-এর জন্য h(t)=0 হয়। সিস্টেমের ইম্পালস রেসপন্স ফাংশনটি জানা থাকলে, আমরা যেকোনো ইনপুট x(t)-এর জন্য সিস্টেমের প্রতিক্রিয়া খুঁজে বের করতে পারি। এই পর্যায়ে, আপনি x(t)-কে ধারাবাহিক ইম্পালস উপাদানগুলোর যোগফল হিসেবে ভাবতে পারেন (চিত্র ৭)। সিস্টেমের প্রতিক্রিয়াটি হলো:

উপরিপাতন নীতি অনুসারে, x(t) এর সাপেক্ষে সিস্টেমের মোট প্রতিক্রিয়া হলো:

এই ইন্টিগ্রালকে কনভোলিউশন ইন্টিগ্রাল বা সুপারপজিশন ইন্টিগ্রাল বলা হয়।

বহু-ডিগ্রি-অফ-ফ্রিডম সিস্টেমের রৈখিক কম্পন

n≥2 সংখ্যক স্বাধীনতা মাত্রা বিশিষ্ট একটি রৈখিক সিস্টেমের কম্পন।

চিত্র ৮-এ একটি কাপলিং স্প্রিং দ্বারা সংযুক্ত দুটি সরল অনুনাদী উপ-সিস্টেম দেখানো হয়েছে। যেহেতু এটি একটি দ্বি-ডিগ্রি-অব-ফ্রিডম সিস্টেম, তাই এর অবস্থান নির্ণয়ের জন্য দুটি স্বাধীন স্থানাঙ্কের প্রয়োজন হয়। এই সিস্টেমে দুটি স্বাভাবিক কম্পাঙ্ক রয়েছে:

প্রতিটি কম্পাঙ্ক একটি কম্পন মোডের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ। হারমোনিক অসিলেটরগুলো একই কম্পাঙ্কের হারমোনিক দোলন সম্পন্ন করে, যা যুগপৎভাবে সাম্যাবস্থার মধ্য দিয়ে যায় এবং যুগপৎভাবে চরম অবস্থানে পৌঁছায়। ওমেগা এক-এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ প্রধান কম্পনে, x1, x2-এর সমান হয়; ওমেগা ওমেগা দুই-এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ প্রধান কম্পনে, ওমেগা ওমেগা এক-এর সমান হয়। প্রধান কম্পনে, প্রতিটি ভরের সরণের অনুপাত একটি নির্দিষ্ট সম্পর্ক বজায় রাখে এবং একটি নির্দিষ্ট মোড গঠন করে, যাকে প্রধান মোড বা স্বাভাবিক মোড বলা হয়। প্রধান মোডগুলোর মধ্যে ভর এবং দৃঢ়তার লম্বতা বিদ্যমান, যা প্রতিটি কম্পনের স্বাধীনতাকে প্রতিফলিত করে। স্বাভাবিক কম্পাঙ্ক এবং প্রধান মোড বহু-ডিগ্রি স্বাধীনতা সম্পন্ন সিস্টেমের অন্তর্নিহিত কম্পন বৈশিষ্ট্যকে প্রতিনিধিত্ব করে।

চিত্র ৮: একাধিক ডিগ্রি অফ ফ্রিডম সহ সিস্টেম

n সংখ্যক ডিগ্রি অফ ফ্রিডম সম্পন্ন একটি সিস্টেমের nটি স্বাভাবিক কম্পাঙ্ক এবং nটি প্রধান মোড থাকে। সিস্টেমটির যেকোনো কম্পন বিন্যাসকে প্রধান মোডগুলোর একটি রৈখিক সমাহার হিসেবে উপস্থাপন করা যায়। তাই, মাল্টি-ডিওএফ সিস্টেমের ডাইনামিক রেসপন্স বিশ্লেষণে প্রধান মোড সুপারপজিশন পদ্ধতি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। এভাবে, সিস্টেমটির ডাইনামিক ডিজাইনের ক্ষেত্রে এর স্বাভাবিক কম্পন বৈশিষ্ট্যের পরিমাপ ও বিশ্লেষণ একটি নিয়মিত ধাপে পরিণত হয়।

মাল্টি-ডিঅফ সিস্টেমের ডায়নামিক বৈশিষ্ট্যগুলো ফ্রিকোয়েন্সি বৈশিষ্ট্যের মাধ্যমেও বর্ণনা করা যায়। যেহেতু প্রতিটি ইনপুট এবং আউটপুটের মধ্যে একটি ফ্রিকোয়েন্সি ক্যারেক্টারিস্টিক ফাংশন থাকে, তাই একটি ফ্রিকোয়েন্সি ক্যারেক্টারিস্টিক ম্যাট্রিক্স তৈরি করা হয়। মাল্টি-ফ্রিডম সিস্টেমের অ্যামপ্লিচিউড-ফ্রিকোয়েন্সি ক্যারেক্টারিস্টিক কার্ভটি সিঙ্গেল-ফ্রিডম সিস্টেমের থেকে ভিন্ন হয়।

ইলাস্টোমারটি কম্পন করে

উপরোক্ত বহু-ডিগ্রি অফ ফ্রিডম সিস্টেমটি ইলাস্টোমারের একটি আনুমানিক যান্ত্রিক মডেল। একটি ইলাস্টোমারের অসীম সংখ্যক ডিগ্রি অফ ফ্রিডম থাকে। উভয়ের মধ্যে পরিমাণগত পার্থক্য থাকলেও কোনো মৌলিক পার্থক্য নেই। যেকোনো ইলাস্টোমারের অসীম সংখ্যক স্বাভাবিক কম্পাঙ্ক এবং অসীম সংখ্যক সংশ্লিষ্ট মোড থাকে, এবং ভর ও দৃঢ়তার মোডগুলোর মধ্যে লম্বতা বিদ্যমান। ইলাস্টোমারের যেকোনো কম্পনশীল বিন্যাসকে প্রধান মোডগুলোর রৈখিক উপরিপাতন হিসেবেও উপস্থাপন করা যায়। অতএব, ইলাস্টোমারের গতিশীল প্রতিক্রিয়া বিশ্লেষণের জন্য, প্রধান মোডের উপরিপাতন পদ্ধতি এখনও প্রযোজ্য (ইলাস্টোমারের রৈখিক কম্পন দেখুন)।

একটি তারের কম্পন বিবেচনা করুন। ধরা যাক, একক দৈর্ঘ্যে m ভরের একটি পাতলা তার, যার দৈর্ঘ্য l, তার দুই প্রান্তে T পরিমাণ টান দেওয়া হয়েছে। এই অবস্থায়, তারটির স্বাভাবিক কম্পাঙ্ক নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা নির্ণয় করা হয়:

F =na/2l (n= 1,2,3…)।

এখানে, হলো স্ট্রিং-এর দিক বরাবর অনুপ্রস্থ তরঙ্গের প্রসারণ বেগ। স্ট্রিংগুলির স্বাভাবিক কম্পাঙ্কগুলি মৌলিক কম্পাঙ্কের 2l-এর গুণিতক হয়ে থাকে। এই পূর্ণসংখ্যার গুণিতকতা একটি মনোরম হারমোনিক কাঠামোর জন্ম দেয়। সাধারণত, ইলাস্টোমারের স্বাভাবিক কম্পাঙ্কগুলির মধ্যে এমন কোনো পূর্ণসংখ্যার গুণিতক সম্পর্ক থাকে না।

টানটান তারের প্রথম তিনটি মোড চিত্র ৯-এ দেখানো হয়েছে। প্রধান মোড রেখাচিত্রে কিছু নোড রয়েছে। প্রধান কম্পনের সময়, নোডগুলো কম্পিত হয় না। চিত্র ১০-এ পরিধি বরাবর ঠেকানো বৃত্তাকার পাতের কয়েকটি সাধারণ মোড দেখানো হয়েছে, যেখানে বৃত্ত এবং ব্যাস দ্বারা গঠিত কিছু নোডাল রেখা রয়েছে।

ইলাস্টোমার কম্পন সমস্যার সঠিক সূত্রায়নকে আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি বাউন্ডারি ভ্যালু সমস্যা হিসেবে উপসংহার করা যেতে পারে। তবে, সঠিক সমাধান শুধুমাত্র কিছু সহজতম ক্ষেত্রেই পাওয়া যায়, তাই জটিল ইলাস্টোমার কম্পন সমস্যার জন্য আমাদের আনুমানিক সমাধানের আশ্রয় নিতে হয়। বিভিন্ন আনুমানিক সমাধানের সারমর্ম হলো অসীমকে সসীমে পরিবর্তন করা, অর্থাৎ, লিম্ব-বিহীন বহু-ডিগ্রি অফ ফ্রিডম সিস্টেমকে (অবিচ্ছিন্ন সিস্টেম) একটি সসীম বহু-ডিগ্রি অফ ফ্রিডম সিস্টেমে (বিচ্ছিন্ন সিস্টেম) বিভক্ত করা। ইঞ্জিনিয়ারিং বিশ্লেষণে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত দুই ধরনের বিচ্ছিন্নকরণ পদ্ধতি রয়েছে: ফাইনাইট এলিমেন্ট পদ্ধতি এবং মোডাল সিন্থেসিস পদ্ধতি।

চিত্র ৯ স্ট্রিং এর মোড

চিত্র ১০ বৃত্তাকার পাতের মোড

ফাইনাইট এলিমেন্ট মেথড হলো একটি যৌগিক কাঠামো যা একটি জটিল কাঠামোকে সসীম সংখ্যক উপাদানে বিমূর্ত করে এবং সেগুলোকে সসীম সংখ্যক নোডে সংযুক্ত করে। প্রতিটি একক হলো একটি ইলাস্টোমার; উপাদানের বন্টন সরণকে নোড সরণের ইন্টারপোলেশন ফাংশন দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তারপর প্রতিটি উপাদানের বন্টন পরামিতিগুলোকে একটি নির্দিষ্ট বিন্যাসে প্রতিটি নোডে কেন্দ্রীভূত করা হয় এবং বিচ্ছিন্ন সিস্টেমের যান্ত্রিক মডেলটি পাওয়া যায়।

মোডাল সংশ্লেষণ হলো একটি জটিল কাঠামোকে কয়েকটি সরল উপ-কাঠামোতে বিভক্ত করা। প্রতিটি উপ-কাঠামোর কম্পন বৈশিষ্ট্য অনুধাবনের ভিত্তিতে, আন্তঃপৃষ্ঠের সমন্বয় শর্তানুযায়ী উপ-কাঠামোটিকে একটি সাধারণ কাঠামোতে সংশ্লেষিত করা হয় এবং প্রতিটি উপ-কাঠামোর কম্পন রূপ ব্যবহার করে সাধারণ কাঠামোটির কম্পন রূপ নির্ণয় করা হয়।

পদ্ধতি দুটি ভিন্ন ও সম্পর্কিত এবং এগুলোকে রেফারেন্স হিসেবে ব্যবহার করা যেতে পারে। বৃহৎ সিস্টেমের কম্পনের জন্য একটি তাত্ত্বিক ও পরীক্ষামূলক বিশ্লেষণ পদ্ধতি তৈরি করতে মোডাল সংশ্লেষণ পদ্ধতিকে পরীক্ষামূলক পরিমাপের সাথে কার্যকরভাবে সমন্বয় করা যায়।