การสั่นแบบเชิงเส้นคืออะไร?

การสั่นสะเทือนเชิงเส้นความยืดหยุ่นของส่วนประกอบในระบบเป็นไปตามกฎของฮุค และแรงหน่วงที่เกิดขึ้นระหว่างการเคลื่อนที่นั้นเป็นสัดส่วนกับสมการแรกของความเร็วทั่วไป (อนุพันธ์เทียบกับเวลาของพิกัดทั่วไป)

แนวคิด

ระบบเชิงเส้นมักเป็นแบบจำลองเชิงนามธรรมของการสั่นสะเทือนของระบบจริง ระบบการสั่นสะเทือนเชิงเส้นใช้หลักการซ้อนทับ กล่าวคือ ถ้าการตอบสนองของระบบคือ y1 ภายใต้การกระทำของอินพุต x1 และ y2 ภายใต้การกระทำของอินพุต x2 แล้ว การตอบสนองของระบบภายใต้การกระทำของอินพุต x1 และ x2 คือ y1+y2

บนพื้นฐานของหลักการซ้อนทับ อินพุตใดๆ สามารถแยกออกเป็นผลรวมของชุดอิมพัลส์ขนาดเล็กมาก และจากนั้นจึงได้การตอบสนองโดยรวมของระบบ ผลรวมของส่วนประกอบฮาร์มอนิกของการกระตุ้นแบบคาบสามารถขยายออกเป็นชุดของส่วนประกอบฮาร์มอนิกโดยใช้การแปลงฟูริเยร์ และสามารถตรวจสอบผลกระทบของแต่ละส่วนประกอบฮาร์มอนิกต่อระบบแยกกันได้ ดังนั้น ลักษณะการตอบสนองของระบบเชิงเส้นที่มีพารามิเตอร์คงที่จึงสามารถอธิบายได้ด้วยการตอบสนองต่ออิมพัลส์หรือการตอบสนองต่อความถี่

การตอบสนองต่อแรงกระตุ้น (Impulse response) หมายถึง การตอบสนองของระบบต่อแรงกระตุ้นหน่วย ซึ่งบ่งบอกถึงลักษณะการตอบสนองของระบบในโดเมนเวลา ส่วนการตอบสนองต่อความถี่ (Frequency response) หมายถึง ลักษณะการตอบสนองของระบบต่อสัญญาณฮาร์มอนิกหน่วย ความสัมพันธ์ระหว่างทั้งสองถูกกำหนดโดยการแปลงฟูริเยร์ (Fourier transform)

การจำแนกประเภท

การสั่นเชิงเส้นสามารถแบ่งออกเป็น การสั่นเชิงเส้นของระบบที่มีองศาอิสระเดียว และการสั่นเชิงเส้นของระบบที่มีองศาอิสระหลายตัว

(1) การสั่นเชิงเส้นของระบบที่มีองศาอิสระเดียว คือการสั่นเชิงเส้นที่สามารถกำหนดตำแหน่งได้ด้วยพิกัดทั่วไป เป็นการสั่นที่ง่ายที่สุดซึ่งสามารถอนุมานแนวคิดพื้นฐานและลักษณะเฉพาะของการสั่นได้หลายอย่าง รวมถึงการสั่นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย การสั่นแบบอิสระ การสั่นแบบลดทอน และการสั่นแบบบังคับ

การสั่นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: การเคลื่อนที่ไปมาของวัตถุในบริเวณใกล้เคียงตำแหน่งสมดุลตามกฎไซน์ภายใต้การกระทำของแรงดึงกลับซึ่งเป็นสัดส่วนกับการกระจัดของวัตถุ

การสั่นแบบลดทอน: การสั่นที่มีแอมพลิจูดลดลงอย่างต่อเนื่องเนื่องจากแรงเสียดทาน ความต้านทานไฟฟ้า หรือการใช้พลังงานอื่นๆ

การสั่นแบบบังคับ: การสั่นของระบบภายใต้การกระตุ้นอย่างต่อเนื่อง

(2) การสั่นเชิงเส้นของระบบที่มีหลายองศาอิสระคือการสั่นของระบบเชิงเส้นที่มี n≥2 องศาอิสระ ระบบที่มี n องศาอิสระจะมี n ความถี่ธรรมชาติและ n โหมดหลัก การกำหนดค่าการสั่นใดๆ ของระบบสามารถแสดงได้เป็นการรวมเชิงเส้นของโหมดหลัก ดังนั้น วิธีการซ้อนทับโหมดหลักจึงถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์การตอบสนองแบบไดนามิกของระบบที่มีหลายองศาอิสระ ด้วยวิธีนี้ การวัดและการวิเคราะห์ลักษณะการสั่นตามธรรมชาติของระบบจึงกลายเป็นขั้นตอนปกติในการออกแบบไดนามิกของระบบ ลักษณะไดนามิกของระบบที่มีหลายองศาอิสระยังสามารถอธิบายได้ด้วยลักษณะความถี่ เนื่องจากมีฟังก์ชันลักษณะความถี่ระหว่างอินพุตและเอาต์พุตแต่ละตัว จึงมีการสร้างเมทริกซ์ลักษณะความถี่ขึ้น มีความสัมพันธ์ที่แน่นอนระหว่างลักษณะความถี่และโหมดหลัก เส้นโค้งลักษณะแอมพลิจูด-ความถี่ของระบบที่มีหลายองศาอิสระจะแตกต่างจากของระบบที่มีองศาอิสระเดียว

การสั่นเชิงเส้นของระบบที่มีองศาอิสระเดียว

การสั่นเชิงเส้นที่สามารถกำหนดตำแหน่งของระบบได้ด้วยพิกัดทั่วไป เป็นการสั่นที่ง่ายที่สุดและพื้นฐานที่สุด ซึ่งสามารถอนุมานแนวคิดและลักษณะพื้นฐานหลายอย่างของการสั่นได้จากสิ่งนี้ รวมถึงการสั่นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย การสั่นแบบหน่วง และการสั่นแบบบังคับ

การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก

ภายใต้แรงดึงกลับที่แปรผันตรงกับระยะการเคลื่อนที่ วัตถุจะเคลื่อนที่ไปมาในลักษณะคลื่นไซน์ใกล้ตำแหน่งสมดุล (รูปที่ 1) โดยที่ X แทนระยะการเคลื่อนที่ และ t แทนเวลา สมการทางคณิตศาสตร์ของการสั่นสะเทือนนี้คือ:

(1)โดยที่ A คือค่าสูงสุดของการกระจัด x ซึ่งเรียกว่าแอมพลิจูด และแสดงถึงความเข้มของการสั่นสะเทือน; โอเมกา n คือค่าเพิ่มขึ้นของมุมแอมพลิจูดของการสั่นสะเทือนต่อวินาที ซึ่งเรียกว่าความถี่เชิงมุม หรือความถี่เชิงวงกลม; นี่เรียกว่าเฟสเริ่มต้น ในแง่ของ f = n/2 จำนวนการสั่นต่อวินาทีเรียกว่าความถี่; ส่วนกลับของสิ่งนี้ T = 1/f คือเวลาที่ใช้ในการสั่นหนึ่งรอบ และนั่นเรียกว่าคาบ แอมพลิจูด A ความถี่ f (หรือความถี่เชิงมุม n) เฟสเริ่มต้น เป็นองค์ประกอบสามอย่างของการสั่นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

รูปที่ 1 เส้นโค้งการสั่นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

ดังแสดงในรูปที่ 2 ระบบสั่นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายประกอบด้วยมวลรวม m ที่เชื่อมต่อด้วยสปริงเชิงเส้น เมื่อคำนวณการกระจัดของการสั่นจากตำแหน่งสมดุล สมการการสั่นจะเป็นดังนี้:

ความแข็งของสปริงอยู่ที่ไหน คำตอบทั่วไปของสมการข้างต้นคือ (1) A และ สามารถกำหนดได้จากตำแหน่งเริ่มต้น x0 และความเร็วเริ่มต้นที่ t=0:

แต่ค่าโอเมกา n นั้นถูกกำหนดโดยลักษณะเฉพาะของระบบเอง คือ m และ k โดยไม่ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นเพิ่มเติม ดังนั้นโอเมกา n จึงเรียกอีกอย่างว่าความถี่ธรรมชาติ

รูปที่ 2 ระบบที่มีองศาอิสระเดียว

สำหรับระบบสั่นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์จะคงที่ นั่นคือ พลังงานกลรวมของระบบจะคงที่ ในกระบวนการสั่น พลังงานจลน์และพลังงานศักย์จะเปลี่ยนรูปไปมาระหว่างกันอย่างต่อเนื่อง

การลดการสั่นสะเทือน

การสั่นสะเทือนที่มีแอมพลิจูดลดลงอย่างต่อเนื่องเนื่องจากแรงเสียดทาน ความต้านทานไดอิเล็กทริก หรือการใช้พลังงานอื่นๆ สำหรับการสั่นสะเทือนขนาดเล็ก ความเร็วโดยทั่วไปจะไม่มากนัก และความต้านทานของตัวกลางจะเป็นสัดส่วนกับความเร็วที่ยกกำลังหนึ่ง ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้ โดยที่ c คือสัมประสิทธิ์การหน่วง ดังนั้น สมการการสั่นสะเทือนของหนึ่งองศาอิสระที่มีการหน่วงเชิงเส้นสามารถเขียนได้ดังนี้:

(2)โดยที่ m = c/2m เรียกว่าพารามิเตอร์การหน่วง และสามารถเขียนคำตอบทั่วไปของสูตร (2) ได้ดังนี้:

(3)ความสัมพันธ์เชิงตัวเลขระหว่างโอเมกา n และ PI สามารถแบ่งออกได้เป็นสามกรณีดังต่อไปนี้:

N > (ในกรณีที่มีการหน่วงน้อย) อนุภาคทำให้เกิดการลดทอนการสั่นสะเทือน สมการการสั่นสะเทือนคือ:

แอมพลิจูดของมันลดลงตามเวลาตามกฎเลขชี้กำลังที่แสดงในสมการ ดังแสดงในเส้นประในรูปที่ 3 กล่าวอย่างเคร่งครัด การสั่นนี้เป็นแบบไม่เป็นคาบ แต่ความถี่สูงสุดของมันสามารถกำหนดได้ดังนี้:

เรียกว่าอัตราการลดลงของแอมพลิจูด โดยที่ คือคาบของการสั่นสะเทือน ลอการิทึมธรรมชาติของอัตราการลดลงของแอมพลิจูดเรียกว่าอัตราลบลอการิทึม (แอมพลิจูด) เห็นได้ชัดว่า = ในกรณีนี้ เท่ากับ 2/1 โดยตรงจากการทดสอบเชิงทดลอง delta และใช้สูตรข้างต้น สามารถคำนวณ c ได้

ณ เวลานี้ คำตอบของสมการ (2) สามารถเขียนได้ดังนี้:

เมื่อพิจารณาตามทิศทางของความเร็วเริ่มต้นแล้ว สามารถแบ่งออกเป็นสามกรณีที่ไม่เกิดการสั่นสะเทือน ดังแสดงในรูปที่ 4

N < (ในกรณีที่มีการหน่วงมาก) คำตอบของสมการ (2) จะแสดงในสมการ (3) ณ จุดนี้ ระบบจะไม่สั่นอีกต่อไป

การสั่นสะเทือนแบบบังคับ

การสั่นสะเทือนของระบบภายใต้การกระตุ้นคงที่ การวิเคราะห์การสั่นสะเทือนส่วนใหญ่จะตรวจสอบการตอบสนองของระบบต่อการกระตุ้น การกระตุ้นแบบเป็นคาบเป็นการกระตุ้นแบบปกติทั่วไป เนื่องจากสามารถแยกการกระตุ้นแบบเป็นคาบออกเป็นผลรวมของการกระตุ้นแบบฮาร์มอนิกหลายๆ แบบได้เสมอ ตามหลักการซ้อนทับ จึงจำเป็นต้องพิจารณาเพียงการตอบสนองของระบบต่อการกระตุ้นแบบฮาร์มอนิกแต่ละแบบเท่านั้น ภายใต้การกระทำของการกระตุ้นแบบฮาร์มอนิก สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ของระบบหน่วงที่มีองศาอิสระเดียวสามารถเขียนได้ดังนี้:

การตอบสนองนั้นประกอบด้วยสองส่วน ส่วนหนึ่งคือการตอบสนองของการสั่นแบบหน่วง ซึ่งจะลดลงอย่างรวดเร็วตามเวลา การตอบสนองของอีกส่วนหนึ่งคือการสั่นแบบบังคับ ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้:

รูปที่ 3 เส้นโค้งการสั่นแบบหน่วง

รูปที่ 4 เส้นโค้งของเงื่อนไขเริ่มต้นสามแบบที่มีการหน่วงวิกฤต

พิมพ์ลงไป

H /F0= h (), คืออัตราส่วนของแอมพลิจูดการตอบสนองที่คงที่ต่อแอมพลิจูดการกระตุ้น ซึ่งบ่งบอกถึงลักษณะแอมพลิจูด-ความถี่ หรือฟังก์ชันเกน บิตสำหรับการตอบสนองสถานะคงที่และการกระตุ้นของเฟส ซึ่งบ่งบอกถึงลักษณะความถี่ของเฟส ความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งเหล่านี้กับความถี่การกระตุ้นแสดงในรูปที่ 5 และรูปที่ 6

จากกราฟความสัมพันธ์ระหว่างแอมพลิจูดและความถี่ (รูปที่ 5) จะเห็นได้ว่าในกรณีที่การหน่วงน้อย กราฟความสัมพันธ์ระหว่างแอมพลิจูดและความถี่จะมีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว ยิ่งการหน่วงน้อย จุดสูงสุดก็จะยิ่งชัน ความถี่ที่สอดคล้องกับจุดสูงสุดนี้เรียกว่าความถี่เรโซแนนซ์ของระบบ ในกรณีที่การหน่วงน้อย ความถี่เรโซแนนซ์จะไม่แตกต่างจากความถี่ธรรมชาติมากนัก เมื่อความถี่ของการกระตุ้นใกล้เคียงกับความถี่ธรรมชาติ แอมพลิจูดจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าเรโซแนนซ์ ที่จุดเรโซแนนซ์ อัตราขยายของระบบจะสูงสุด นั่นคือ การสั่นสะเทือนแบบบังคับจะรุนแรงที่สุด ดังนั้น โดยทั่วไปแล้ว ควรพยายามหลีกเลี่ยงเรโซแนนซ์เสมอ เว้นแต่ว่าเครื่องมือและอุปกรณ์บางอย่างจะใช้เรโซแนนซ์เพื่อให้เกิดการสั่นสะเทือนขนาดใหญ่

รูปที่ 5 เส้นโค้งความถี่แอมพลิจูด

จากกราฟความถี่เฟส (รูปที่ 6) จะเห็นได้ว่าไม่ว่าขนาดของการหน่วงจะเป็นเท่าใด ในกรณีที่โอเมกามีค่าความแตกต่างของเฟสเป็นศูนย์เท่ากับ PI / 2 คุณลักษณะนี้สามารถนำมาใช้ในการวัดเรโซแนนซ์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ

นอกจากการกระตุ้นแบบคงที่แล้ว ระบบบางครั้งยังเผชิญกับการกระตุ้นแบบไม่คงที่ ซึ่งสามารถแบ่งออกได้เป็นสองประเภทใหญ่ๆ คือ ประเภทแรกคือผลกระทบฉับพลัน และประเภทที่สองคือผลกระทบที่ยั่งยืนจากความไม่แน่นอน ภายใต้การกระตุ้นแบบไม่คงที่ การตอบสนองของระบบก็จะไม่คงที่เช่นกัน

วิธีการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น (Impulse Response Method) เป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในการวิเคราะห์การสั่นสะเทือนที่ไม่คงที่ โดยจะอธิบายลักษณะพลวัตของระบบด้วยการตอบสนองชั่วคราวของแรงกระตุ้นหน่วย (Unit Impulse Input) แรงกระตุ้นหน่วยสามารถแสดงได้ในรูปฟังก์ชันเดลต้า (Delta Function) ในทางวิศวกรรม ฟังก์ชันเดลต้ามักถูกกำหนดดังนี้:

โดยที่ 0- แทนจุดบนแกน t ที่เข้าใกล้ศูนย์จากทางซ้าย และ 0+ แทนจุดที่เข้าใกล้ศูนย์จากทางขวา

รูปที่ 6 เส้นโค้งความถี่เฟส

รูปที่ 7 อินพุตใดๆ สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นผลรวมขององค์ประกอบอิมพัลส์หลายๆ ตัว

ระบบนี้สอดคล้องกับการตอบสนอง h(t) ที่เกิดจากอิมพัลส์หน่วยที่ t=0 ซึ่งเรียกว่าฟังก์ชันการตอบสนองต่ออิมพัลส์ สมมติว่าระบบอยู่ในสภาวะคงที่ก่อนได้รับอิมพัลส์ ดังนั้น h(t)=0 สำหรับ t<0 เมื่อทราบฟังก์ชันการตอบสนองต่ออิมพัลส์ของระบบแล้ว เราสามารถหาการตอบสนองของระบบต่ออินพุต x(t) ใดๆ ได้ ณ จุดนี้ คุณสามารถคิดว่า x(t) เป็นผลรวมของอนุกรมขององค์ประกอบอิมพัลส์ (รูปที่ 7) การตอบสนองของระบบคือ:

จากหลักการซ้อนทับ ผลตอบสนองรวมของระบบที่สอดคล้องกับ x(t) คือ:

อินทิกรัลนี้เรียกว่า อินทิกรัลการสังเคราะห์ หรือ อินทิกรัลการซ้อนทับ

การสั่นเชิงเส้นของระบบที่มีหลายองศาอิสระ

การสั่นของระบบเชิงเส้นที่มี n≥2 องศาอิสระ

รูปที่ 8 แสดงระบบย่อยแบบสั่นพ้องอย่างง่ายสองระบบที่เชื่อมต่อกันด้วยสปริงเชื่อมต่อ เนื่องจากเป็นระบบที่มีสององศาอิสระ จึงจำเป็นต้องใช้พิกัดอิสระสองพิกัดในการกำหนดตำแหน่ง ระบบนี้มีความถี่ธรรมชาติสองค่า:

แต่ละความถี่สอดคล้องกับโหมดการสั่นสะเทือน ตัวสั่นแบบฮาร์มอนิกจะสั่นแบบฮาร์มอนิกด้วยความถี่เดียวกัน โดยผ่านตำแหน่งสมดุลและไปถึงตำแหน่งสุดขั้วพร้อมกัน ในการสั่นหลักที่สอดคล้องกับโอเมก้าหนึ่ง x1 จะเท่ากับ x2 ในการสั่นหลักที่สอดคล้องกับโอเมก้าสอง โอเมก้าหนึ่งจะเท่ากับโอเมก้าหนึ่ง ในการสั่นหลัก อัตราส่วนการกระจัดของมวลแต่ละก้อนจะรักษาความสัมพันธ์บางอย่างและก่อให้เกิดโหมดหนึ่ง ซึ่งเรียกว่าโหมดหลักหรือโหมดธรรมชาติ ความตั้งฉากของมวลและความแข็งมีอยู่ระหว่างโหมดหลัก ซึ่งสะท้อนถึงความเป็นอิสระของการสั่นแต่ละครั้ง ความถี่ธรรมชาติและโหมดหลักแสดงถึงลักษณะการสั่นสะเทือนโดยธรรมชาติของระบบที่มีหลายองศาอิสระ

รูปที่ 8 ระบบที่มีองศาอิสระหลายระดับ

ระบบที่มีองศาอิสระ n จะมีความถี่ธรรมชาติ n ค่า และโหมดหลัก n โหมด การกำหนดค่าการสั่นสะเทือนใดๆ ของระบบสามารถแสดงได้ในรูปของการรวมเชิงเส้นของโหมดหลัก ดังนั้น วิธีการซ้อนทับโหมดหลักจึงถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์การตอบสนองทางพลศาสตร์ของระบบที่มีหลายองศาอิสระ ด้วยวิธีนี้ การวัดและการวิเคราะห์ลักษณะการสั่นสะเทือนตามธรรมชาติของระบบจึงกลายเป็นขั้นตอนปกติในการออกแบบทางพลศาสตร์ของระบบ

ลักษณะพลวัตของระบบหลายองศาอิสระสามารถอธิบายได้ด้วยลักษณะความถี่เช่นกัน เนื่องจากมีฟังก์ชันลักษณะความถี่ระหว่างอินพุตและเอาต์พุตแต่ละตัว จึงมีการสร้างเมทริกซ์ลักษณะความถี่ขึ้น เส้นโค้งลักษณะแอมพลิจูด-ความถี่ของระบบหลายองศาอิสระจะแตกต่างจากของระบบองศาอิสระเดียว

วัสดุอีลาสโตเมอร์สั่นสะเทือน

ระบบที่มีองศาอิสระหลายระดับข้างต้นเป็นแบบจำลองทางกลโดยประมาณของอีลาสโตเมอร์ อีลาสโตเมอร์มีองศาอิสระเป็นอนันต์ มีความแตกต่างเชิงปริมาณแต่ไม่มีความแตกต่างที่สำคัญระหว่างทั้งสอง อีลาสโตเมอร์ใดๆ มีความถี่ธรรมชาติเป็นอนันต์และโหมดที่สอดคล้องกันเป็นอนันต์ และมีความตั้งฉากกันระหว่างโหมดของมวลและความแข็ง การจัดเรียงการสั่นสะเทือนใดๆ ของอีลาสโตเมอร์ยังสามารถแสดงได้ในรูปของการซ้อนทับเชิงเส้นของโหมดหลัก ดังนั้นสำหรับการวิเคราะห์การตอบสนองทางพลศาสตร์ของอีลาสโตเมอร์ วิธีการซ้อนทับของโหมดหลักจึงยังคงใช้ได้ (ดูการสั่นสะเทือนเชิงเส้นของอีลาสโตเมอร์)

พิจารณาการสั่นของเส้นเชือก สมมติว่าเส้นเชือกบางๆ เส้นหนึ่งมีมวล m ต่อหน่วยความยาว ยาว l ถูกดึงให้ตึงที่ปลายทั้งสองข้าง โดยแรงดึงคือ T ในขณะนี้ ความถี่ธรรมชาติของเส้นเชือกจะถูกกำหนดโดยสมการต่อไปนี้:

F =na/2l (n= 1,2,3…)

โดยที่ คือความเร็วในการแพร่กระจายของคลื่นตามทิศทางของสาย ความถี่ธรรมชาติของสายจะเป็นผลคูณของความถี่พื้นฐานหารด้วย 2l ความสัมพันธ์แบบผลคูณจำนวนเต็มนี้ทำให้เกิดโครงสร้างฮาร์มอนิกที่ไพเราะ โดยทั่วไปแล้ว จะไม่มีความสัมพันธ์แบบผลคูณจำนวนเต็มเช่นนี้ระหว่างความถี่ธรรมชาติของอีลาสโตเมอร์

รูปที่ 9 แสดงโหมดการสั่นสามโหมดแรกของสายตึง มีจุดนิ่งบางจุดบนเส้นโค้งโหมดหลัก ในการสั่นหลัก จุดนิ่งเหล่านี้จะไม่สั่น รูปที่ 10 แสดงโหมดทั่วไปหลายโหมดของแผ่นวงกลมที่รองรับตามแนวเส้นรอบวง โดยมีเส้นจุดนิ่งบางเส้นที่ประกอบด้วยวงกลมและเส้นผ่านศูนย์กลาง

โดยทั่วไปแล้ว ปัญหาการสั่นสะเทือนของวัสดุอีลาสโตเมอร์สามารถสรุปได้ว่าเป็นปัญหาค่าขอบเขตของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย อย่างไรก็ตาม คำตอบที่แน่นอนนั้นสามารถหาได้เฉพาะในกรณีที่ง่ายที่สุดเท่านั้น ดังนั้นเราจึงต้องหันไปใช้คำตอบโดยประมาณสำหรับปัญหาการสั่นสะเทือนของวัสดุอีลาสโตเมอร์ที่ซับซ้อนกว่า สาระสำคัญของคำตอบโดยประมาณต่างๆ คือการเปลี่ยนจากอนันต์เป็นจำกัด นั่นคือ การแบ่งระบบหลายองศาอิสระที่ไม่มีแขนขา (ระบบต่อเนื่อง) ให้เป็นระบบหลายองศาอิสระแบบจำกัด (ระบบไม่ต่อเนื่อง) มีวิธีการแบ่งระบบสองประเภทที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์ทางวิศวกรรม ได้แก่ วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์และวิธีสังเคราะห์โมดอล

รูปที่ 9 รูปแบบของสาย

รูปที่ 10 แบบจำลองของแผ่นวงกลม

วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์เป็นโครงสร้างแบบผสมที่แปลงโครงสร้างที่ซับซ้อนให้เป็นองค์ประกอบจำนวนจำกัดและเชื่อมต่อองค์ประกอบเหล่านั้นที่จุดเชื่อมต่อจำนวนจำกัด โดยแต่ละหน่วยเป็นวัสดุยืดหยุ่น การกระจายตัวของการกระจัดขององค์ประกอบจะแสดงโดยฟังก์ชันการประมาณค่าของการกระจัดที่จุดเชื่อมต่อ จากนั้นพารามิเตอร์การกระจายตัวของแต่ละองค์ประกอบจะถูกรวมไว้ที่แต่ละจุดเชื่อมต่อในรูปแบบที่กำหนด และจะได้แบบจำลองทางกลของระบบแบบไม่ต่อเนื่อง

การสังเคราะห์แบบโมดอล คือการแยกโครงสร้างที่ซับซ้อนออกเป็นโครงสร้างย่อยที่เรียบง่ายกว่าหลายๆ โครงสร้าง โดยอาศัยความเข้าใจลักษณะการสั่นของแต่ละโครงสร้างย่อย จากนั้นจึงสังเคราะห์โครงสร้างย่อยเหล่านั้นเข้าเป็นโครงสร้างทั่วไปตามเงื่อนไขการประสานงานที่ส่วนต่อประสาน และได้รูปแบบการสั่นของโครงสร้างทั่วไปโดยใช้รูปแบบการสั่นของแต่ละโครงสร้างย่อย

วิธีการทั้งสองแตกต่างกันแต่มีความเกี่ยวข้องกัน และสามารถใช้เป็นข้อมูลอ้างอิงได้ นอกจากนี้ วิธีการสังเคราะห์แบบจำลองยังสามารถผสมผสานกับการวัดเชิงทดลองได้อย่างมีประสิทธิภาพ เพื่อสร้างวิธีการวิเคราะห์เชิงทฤษฎีและเชิงทดลองสำหรับการสั่นสะเทือนของระบบขนาดใหญ่