การสั่นสะเทือนเชิงเส้นคืออะไร?

การสั่นสะเทือนเชิงเส้น: ความยืดหยุ่นของส่วนประกอบในระบบจะขึ้นอยู่กับกฎของฮุค และแรงหน่วงที่เกิดขึ้นระหว่างการเคลื่อนที่จะเป็นสัดส่วนกับสมการแรกของความเร็วทั่วไป (อนุพันธ์ของเวลาของพิกัดทั่วไป)

แนวคิด

ระบบเชิงเส้นตรงมักจะเป็นรูปแบบนามธรรมของการสั่นสะเทือนของระบบจริง ระบบการสั่นสะเทือนเชิงเส้นใช้หลักการซ้อนทับ กล่าวคือ ถ้าการตอบสนองของระบบเป็น y1 ภายใต้การกระทำของอินพุต x1 และ y2 ภายใต้การกระทำของอินพุต x2 ดังนั้นการตอบสนองของระบบภายใต้การกระทำของอินพุต x1 และ x2 คือ y1+y2

บนพื้นฐานของหลักการซ้อนทับ ข้อมูลเข้าโดยพลการสามารถสลายเป็นผลรวมของชุดของแรงกระตุ้นที่น้อยที่สุด จากนั้นสามารถรับการตอบสนองทั้งหมดของระบบได้ ผลรวมของส่วนประกอบฮาร์มอนิกของการกระตุ้นเป็นระยะสามารถขยายเป็น ชุดของส่วนประกอบฮาร์มอนิกโดยการแปลงฟูริเยร์ และสามารถตรวจสอบผลกระทบของส่วนประกอบฮาร์มอนิกแต่ละตัวต่อระบบแยกกันได้ ดังนั้น ลักษณะการตอบสนองของระบบเชิงเส้นที่มีพารามิเตอร์คงที่จึงสามารถอธิบายได้ด้วยการตอบสนองแบบอิมพัลส์หรือการตอบสนองความถี่

การตอบสนองแบบอิมพัลส์หมายถึงการตอบสนองของระบบต่อหน่วยอิมพัลส์ ซึ่งกำหนดลักษณะเฉพาะการตอบสนองของระบบในโดเมนเวลา การตอบสนองความถี่หมายถึงลักษณะการตอบสนองของระบบต่ออินพุตฮาร์มอนิกของหน่วย ความสอดคล้องระหว่างทั้งสองถูกกำหนด โดยการแปลงฟูริเยร์

การจัดหมวดหมู่

การสั่นสะเทือนเชิงเส้นสามารถแบ่งออกเป็นการสั่นสะเทือนเชิงเส้นของระบบอิสระระดับเดียวและการสั่นสะเทือนเชิงเส้นของระบบอิสระหลายระดับ

(1) การสั่นสะเทือนเชิงเส้นของระบบเสรีภาพระดับเดียวคือการสั่นสะเทือนเชิงเส้นซึ่งสามารถกำหนดตำแหน่งได้โดยพิกัดทั่วไป เป็นการสั่นสะเทือนที่ง่ายที่สุดซึ่งสามารถรับแนวคิดพื้นฐานและลักษณะเฉพาะของการสั่นสะเทือนได้ ซึ่งรวมถึงความง่าย การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก การสั่นสะเทือนอิสระ การสั่นสะเทือนแบบลดทอน และการสั่นสะเทือนแบบบังคับ

การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกอย่างง่าย: การเคลื่อนที่ไปกลับของวัตถุใกล้กับตำแหน่งสมดุลตามกฎไซน์ซอยด์ภายใต้การกระทำของแรงคืนสภาพตามสัดส่วนของการกระจัด

การสั่นสะเทือนแบบหน่วง: การสั่นสะเทือนที่มีแอมพลิจูดลดลงอย่างต่อเนื่องเนื่องจากมีแรงเสียดทานและความต้านทานไดอิเล็กทริกหรือการใช้พลังงานอื่น ๆ

การสั่นสะเทือนแบบบังคับ: การสั่นสะเทือนของระบบภายใต้การกระตุ้นอย่างต่อเนื่อง

(2) การสั่นสะเทือนเชิงเส้นของระบบอิสระหลายระดับคือการสั่นสะเทือนของระบบเชิงเส้นที่มีระดับอิสระn≥2 ระบบอิสระระดับ n มีความถี่ธรรมชาติ n และโหมดหลัก n โหมดการกำหนดค่าการสั่นสะเทือนใด ๆ ของระบบสามารถแสดงเป็นการรวมเชิงเส้นของโหมดหลักๆ ได้ ดังนั้น วิธีการซ้อนโหมดหลักจึงถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์การตอบสนองแบบไดนามิกของระบบ multi-dof ด้วยวิธีนี้ การวัดและการวิเคราะห์ลักษณะการสั่นสะเทือนตามธรรมชาติของ ระบบกลายเป็นขั้นตอนประจำในการออกแบบไดนามิกของระบบ คุณลักษณะไดนามิกของระบบ multi-dof ยังสามารถอธิบายได้ด้วยคุณลักษณะความถี่ เนื่องจากมีฟังก์ชันคุณลักษณะความถี่ระหว่างแต่ละอินพุตและเอาต์พุต เมทริกซ์ลักษณะความถี่จึงถูกสร้างขึ้น เป็นความสัมพันธ์ที่แน่นอนระหว่างคุณลักษณะความถี่และโหมดหลัก เส้นโค้งลักษณะแอมพลิจูด-ความถี่ของระบบหลายเสรีภาพแตกต่างจากเส้นโค้งของระบบเสรีภาพเดี่ยว

การสั่นสะเทือนเชิงเส้นของระบบอิสระระดับเดียว

การสั่นสะเทือนเชิงเส้นซึ่งสามารถกำหนดตำแหน่งของระบบได้โดยพิกัดทั่วไป เป็นการสั่นที่ง่ายที่สุดและเป็นพื้นฐานที่สุดซึ่งสามารถรับแนวคิดพื้นฐานและคุณลักษณะของการสั่นสะเทือนได้หลายอย่าง ซึ่งรวมถึงการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกอย่างง่าย การสั่นสะเทือนแบบหน่วง และการสั่นสะเทือนแบบบังคับ .

การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก

ภายใต้การกระทำของแรงคืนสภาพตามสัดส่วนกับการกระจัด วัตถุจะกลับในลักษณะไซน์ซอยด์ใกล้กับตำแหน่งสมดุลของมัน (รูปที่ 1) X แสดงถึงการกระจัด และ t แสดงถึงเวลาการแสดงออกทางคณิตศาสตร์ของการสั่นสะเทือนนี้คือ:

(1)โดยที่ A คือค่าสูงสุดของการกระจัด x ซึ่งเรียกว่าแอมพลิจูด และแสดงถึงความเข้มของการสั่นสะเทือน Omega n คือการเพิ่มขึ้นของมุมแอมพลิจูดของการสั่นสะเทือนต่อวินาที ซึ่งเรียกว่าความถี่เชิงมุมหรือความถี่วงกลม ซึ่งสิ่งนี้ เรียกว่าเฟสเริ่มต้น ในแง่ของ f= n/2 จำนวนการสั่นต่อวินาทีเรียกว่าความถี่ ส่วนผกผันของค่านี้ T=1/f คือเวลาที่ต้องใช้ในการแกว่งหนึ่งรอบ และเรียกว่า คาบแอมพลิจูด A, ความถี่ f (หรือความถี่เชิงมุม n), เฟสเริ่มต้นหรือที่เรียกว่าการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกอย่างง่ายสามองค์ประกอบ

รูปที่.1 เส้นโค้งการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกอย่างง่าย

ดังแสดงไว้ในรูปที่2 ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกอย่างง่ายเกิดขึ้นจากมวลเข้มข้น m ซึ่งเชื่อมต่อกันด้วยสปริงเชิงเส้น เมื่อการกระจัดของการสั่นสะเทือนคำนวณจากตำแหน่งสมดุล สมการการสั่นสะเทือนจะเป็น:

ความแข็งของสปริงอยู่ที่ไหน วิธีแก้ทั่วไปของสมการข้างต้นคือ (1)A และสามารถหาได้จากตำแหน่งเริ่มต้น x0 และความเร็วเริ่มต้นที่ t=0:

แต่โอเมก้า n ถูกกำหนดโดยคุณลักษณะของระบบ m และ k เท่านั้น โดยไม่ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นเพิ่มเติม ดังนั้น โอเมก้า n จึงเป็นที่รู้จักในชื่อความถี่ธรรมชาติ

รูปที่.2 ระบบอิสระระดับเดียว

สำหรับออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกอย่างง่าย ผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์จะคงที่ กล่าวคือ พลังงานกลทั้งหมดของระบบจะถูกอนุรักษ์ไว้ ในกระบวนการสั่นสะเทือน พลังงานจลน์และพลังงานศักย์จะถูกแปลงเป็นกันและกันอย่างต่อเนื่อง

การสั่นสะเทือนที่ทำให้หมาด ๆ

การสั่นสะเทือนที่แอมพลิจูดถูกลดทอนอย่างต่อเนื่องโดยแรงเสียดทานและความต้านทานไดอิเล็กทริกหรือการใช้พลังงานอื่น ๆ สำหรับการสั่นสะเทือนระดับไมโคร โดยทั่วไปความเร็วจะไม่ใหญ่มากนัก และความต้านทานระดับกลางจะเป็นสัดส่วนกับความเร็วต่อกำลังแรก ซึ่งสามารถเขียนได้เป็น c คือ ค่าสัมประสิทธิ์การทำให้หมาด ๆ ดังนั้นสมการการสั่นสะเทือนของความอิสระหนึ่งระดับที่มีการทำให้หมาด ๆ เชิงเส้นสามารถเขียนได้เป็น:

(2)โดยที่ m =c/2m เรียกว่าพารามิเตอร์การทำให้หมาด ๆ และสามารถเขียนคำตอบทั่วไปของสูตร (2) ได้:

(3)ความสัมพันธ์เชิงตัวเลขระหว่างโอเมก้า n และ PI สามารถแบ่งออกเป็นสามกรณีดังต่อไปนี้:

N > (ในกรณีของการหน่วงเล็กน้อย) อนุภาคทำให้เกิดการสั่นสะเทือนแบบลดทอน สมการการสั่นสะเทือนคือ:

แอมพลิจูดของมันจะลดลงตามเวลาตามกฎเลขชี้กำลังที่แสดงในสมการ ดังที่แสดงไว้ในเส้นประในรูปที่3. พูดอย่างเคร่งครัด การสั่นสะเทือนนี้เป็นระยะ ๆ แต่ความถี่ของจุดสูงสุดสามารถกำหนดได้เป็น:

เรียกว่า อัตราการลดแอมพลิจูด โดยที่ คาบของการสั่นสะเทือน ลอการิทึมธรรมชาติของอัตราการลดแอมพลิจูด เรียกว่า อัตราลอการิทึม ลบ (แอมพลิจูด) แน่นอน = ในกรณีนี้ เท่ากับ 2/1 โดยตรงผ่าน เดลต้าทดสอบทดลองและใช้สูตรข้างต้นสามารถคำนวณได้ค

ณ เวลานี้ สามารถเขียนคำตอบของสมการ (2) ได้ดังนี้:

นอกจากทิศทางของความเร็วเริ่มต้นแล้ว ยังสามารถแบ่งออกเป็นกรณีที่ไม่สั่นสะเทือนได้ 3 กรณีดังแสดงในรูป4.

N < (ในกรณีของการหน่วงขนาดใหญ่) ผลเฉลยของสมการ (2) จะแสดงในสมการ (3) ณ จุดนี้ ระบบจะไม่สั่นอีกต่อไป

แรงสั่นสะเทือน

การสั่นสะเทือนของระบบภายใต้การกระตุ้นอย่างต่อเนื่อง การวิเคราะห์การสั่นสะเทือนจะตรวจสอบการตอบสนองของระบบต่อการกระตุ้นเป็นหลัก การกระตุ้นเป็นระยะเป็นการกระตุ้นปกติโดยทั่วไป เนื่องจากการกระตุ้นเป็นระยะสามารถถูกสลายเป็นผลรวมของการกระตุ้นฮาร์มอนิกหลายๆ ครั้งตามหลักการซ้อนทับเท่านั้น จำเป็นต้องมีการตอบสนองของระบบต่อการกระตุ้นฮาร์มอนิกแต่ละครั้ง ภายใต้การกระทำของการกระตุ้นฮาร์มอนิก สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ของระบบหน่วงระดับอิสระระดับเดียวสามารถเขียนได้:

คำตอบคือผลรวมของสองส่วนส่วนหนึ่งคือการตอบสนองของการสั่นสะเทือนแบบหน่วง ซึ่งจะสลายตัวอย่างรวดเร็วตามเวลา การตอบสนองของอีกส่วนหนึ่งของการสั่นสะเทือนแบบบังคับสามารถเขียนได้:

รูปที่.3 เส้นโค้งการสั่นสะเทือนที่ทำให้หมาด ๆ

รูปที่.4 โค้งของสามเงื่อนไขเริ่มต้นพร้อมการหน่วงแบบวิกฤต

พิมพ์ใน

H /F0= h () คืออัตราส่วนของแอมพลิจูดการตอบสนองคงที่ต่อแอมพลิจูดการกระตุ้น การกำหนดลักษณะแอมพลิจูด-ความถี่ หรือฟังก์ชันเกน บิตสำหรับการตอบสนองในสภาวะคงตัวและแรงจูงใจของเฟส การกำหนดลักษณะของลักษณะความถี่เฟส ความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขากับ ความถี่การกระตุ้นถูกแสดงไว้ในรูปที่5 และรูปที่6.

ดังที่เห็นได้จากกราฟแอมพลิจูด-ความถี่ (รูปที่ 5) ในกรณีของการหน่วงเล็กน้อย เส้นโค้งแอมพลิจูด-ความถี่จะมีพีคเดียว ยิ่งการหน่วงน้อยลง พีคก็จะชันมากขึ้น ความถี่ที่สอดคล้องกับพีคคือ เรียกว่าความถี่เรโซแนนซ์ของระบบ ในกรณีที่มีการหน่วงเล็กน้อย ความถี่เรโซแนนซ์จะไม่แตกต่างจากความถี่ธรรมชาติมากนัก เมื่อความถี่กระตุ้นใกล้กับความถี่ธรรมชาติ แอมพลิจูดจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วปรากฏการณ์นี้เรียกว่าการสั่นพ้อง ที่การสั่นพ้อง อัตราขยายของระบบจะถูกขยายสูงสุด กล่าวคือ การบังคับสั่นสะเทือนจะรุนแรงที่สุด ดังนั้น โดยทั่วไปแล้ว พยายามหลีกเลี่ยงการสั่นพ้องอยู่เสมอ เว้นแต่เครื่องมือและอุปกรณ์บางอย่างจะใช้การสั่นพ้องเพื่อให้ได้เสียงที่ดังมาก การสั่นสะเทือน

รูปที่.เส้นโค้งความถี่ 5 แอมพลิจูด

สามารถมองเห็นได้จากเส้นโค้งความถี่เฟส (รูปที่ 6) โดยไม่คำนึงถึงขนาดของการทำให้หมาด ๆ ในบิตผลต่างเฟสเป็นศูนย์โอเมก้า = PI / 2 คุณลักษณะนี้สามารถนำไปใช้ในการวัดเรโซแนนซ์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ

นอกเหนือจากการกระตุ้นอย่างต่อเนื่องแล้ว บางครั้งระบบยังพบกับการกระตุ้นที่ไม่คงที่ โดยคร่าว ๆ แบ่งออกได้เป็น 2 ประเภท ประเภทแรกคือผลกระทบอย่างกะทันหัน ประเภทที่สองคือผลกระทบที่ยั่งยืนของความไม่แน่นอน ภายใต้การกระตุ้นที่ไม่คงที่ การตอบสนองของระบบก็ไม่มั่นคงเช่นกัน

เครื่องมืออันทรงพลังสำหรับการวิเคราะห์การสั่นสะเทือนที่ไม่คงที่คือวิธีตอบสนองแบบอิมพัลส์ โดยจะอธิบายคุณลักษณะไดนามิกของระบบด้วยการตอบสนองชั่วคราวของอินพุตแบบอิมพัลส์แบบหน่วยของระบบ หน่วยอิมพัลส์สามารถแสดงเป็นฟังก์ชันเดลต้าได้ ในทางวิศวกรรม เดลต้า ฟังก์ชันมักถูกกำหนดเป็น:

โดยที่ 0- แทนจุดบนแกน t ที่เข้าใกล้ศูนย์จากด้านซ้าย 0 บวกคือจุดที่ไป 0 จากด้านขวา

รูปที่.เส้นโค้งความถี่ 6 เฟส

รูปที่.7 ข้อมูลเข้าใดๆ ถือได้ว่าเป็นผลรวมของชุดข้อมูลขององค์ประกอบอิมพัลส์

ระบบสอดคล้องกับการตอบสนอง h(t) ที่สร้างโดยหน่วยอิมพัลส์ที่ t=0 ซึ่งเรียกว่าฟังก์ชันตอบสนองอิมพัลส์ สมมติว่าระบบหยุดนิ่งก่อนพัลส์ h(t)=0 สำหรับ t<0 การทราบ ฟังก์ชันการตอบสนองอิมพัลส์ของระบบ เราสามารถค้นหาการตอบสนองของระบบต่ออินพุต x(t) ใดๆ ณ จุดนี้ คุณสามารถนึกถึง x(t) เป็นผลรวมของชุดข้อมูลขององค์ประกอบอิมพัลส์ (รูปที่ 7) . การตอบสนองของระบบคือ:

ตามหลักการซ้อนทับ การตอบสนองรวมของระบบที่สอดคล้องกับ x(t) คือ:

อินทิกรัลนี้เรียกว่าอินทิกรัลแบบบิดหรืออินทิกรัลซ้อน

การสั่นสะเทือนเชิงเส้นของระบบอิสระหลายระดับ

การสั่นสะเทือนของระบบเชิงเส้นที่มีองศาอิสระ n≥2

รูปที่ 8 แสดงระบบย่อยเรโซแนนซ์อย่างง่ายสองระบบที่เชื่อมต่อกันด้วยสปริงคัปปลิ้ง เนื่องจากเป็นระบบที่มีอิสระสองระดับ จึงจำเป็นต้องมีพิกัดอิสระสองตัวเพื่อกำหนดตำแหน่งของระบบ มีความถี่ธรรมชาติสองความถี่ในระบบนี้:

แต่ละความถี่สอดคล้องกับโหมดของการสั่นสะเทือน ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกจะส่งคลื่นฮาร์มอนิกที่ความถี่เดียวกัน โดยส่งผ่านตำแหน่งสมดุลพร้อมกันและไปถึงตำแหน่งสุดขั้วพร้อมกัน ในการสั่นสะเทือนหลักที่สอดคล้องกับโอเมก้า 1 x1 จะเท่ากับ x2 ใน การสั่นสะเทือนหลักที่สอดคล้องกับโอเมก้า โอเมก้า 2 โอเมก้า โอเมก้า 1 ในการสั่นสะเทือนหลัก อัตราส่วนการกระจัดของแต่ละมวลจะรักษาความสัมพันธ์ที่แน่นอนและสร้างโหมดบางอย่าง ซึ่งเรียกว่าโหมดหลักหรือโหมดธรรมชาติ ความตั้งฉากของมวลและ ความแข็งมีอยู่ในโหมดหลัก ซึ่งสะท้อนถึงความเป็นอิสระของการสั่นสะเทือนแต่ละครั้ง ความถี่ธรรมชาติและโหมดหลักแสดงถึงลักษณะการสั่นสะเทือนโดยธรรมชาติของระบบอิสรภาพหลายระดับ

รูปที่.8 ระบบที่มีความอิสระหลายระดับ

ระบบที่มี n องศาอิสระไม่มีความถี่ธรรมชาติและมีโหมดหลัก n โหมด การกำหนดค่าการสั่นสะเทือนใดๆ ของระบบสามารถแสดงเป็นการรวมเชิงเส้นของโหมดหลักๆ ได้ ดังนั้น วิธีการซ้อนโหมดหลักจึงถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์การตอบสนองแบบไดนามิกของโหมดต่างๆ -dof ระบบด้วยวิธีนี้ การวัดและการวิเคราะห์คุณลักษณะการสั่นสะเทือนตามธรรมชาติของระบบจะกลายเป็นขั้นตอนประจำในการออกแบบไดนามิกของระบบ

คุณลักษณะไดนามิกของระบบ multi-dof ยังสามารถอธิบายได้ด้วยคุณลักษณะความถี่ เนื่องจากมีฟังก์ชันคุณลักษณะความถี่ระหว่างอินพุตและเอาต์พุตแต่ละรายการ เมทริกซ์คุณลักษณะความถี่จึงถูกสร้างขึ้น เส้นโค้งคุณลักษณะแอมพลิจูด-ความถี่ของระบบหลายเสรีภาพจะแตกต่างกัน จากระบบเอกราชเดียว

อีลาสโตเมอร์จะสั่นสะเทือน

ระบบอิสระหลายระดับข้างต้นเป็นแบบจำลองเชิงกลโดยประมาณของอีลาสโตเมอร์ อีลาสโตเมอร์มีจำนวนองศาอิสระที่ไม่จำกัด มีความแตกต่างเชิงปริมาณ แต่ไม่มีความแตกต่างที่สำคัญระหว่างทั้งสอง อีลาสโตเมอร์ใดๆ มีจำนวนความถี่ธรรมชาติไม่สิ้นสุด และ โหมดที่สอดคล้องกันจำนวนอนันต์ และมีความตั้งฉากระหว่างโหมดของมวลและความแข็ง การกำหนดค่าการสั่นสะเทือนของอีลาสโตเมอร์ยังสามารถแสดงเป็นการซ้อนทับเชิงเส้นของโหมดหลัก ดังนั้น สำหรับการวิเคราะห์การตอบสนองแบบไดนามิกของอีลาสโตเมอร์ วิธีการซ้อนทับ ของโหมดหลักยังคงใช้งานได้ (ดูการสั่นสะเทือนเชิงเส้นของอีลาสโตเมอร์)

รับแรงสั่นสะเทือนของเชือก สมมติว่าเส้นบางๆ ที่มีมวล m ต่อความยาวหนึ่งหน่วย ซึ่งก็คือ l ยาว ได้รับแรงตึงที่ปลายทั้งสองข้าง และแรงดึงคือ T ในเวลานี้ ความถี่ธรรมชาติของสตริงจะถูกกำหนดโดยสิ่งต่อไปนี้ สมการ:

F =na/2l (n= 1,2,3…)

โดยที่ คือความเร็วการแพร่กระจายของคลื่นตามขวางไปตามทิศทางของสายอักขระ ความถี่ธรรมชาติของสายอักขระจะเป็นค่าทวีคูณของความถี่พื้นฐานในส่วน 2l การคูณจำนวนเต็มนี้นำไปสู่โครงสร้างฮาร์มอนิกที่น่าพอใจ โดยทั่วไปแล้ว ไม่มี ความสัมพันธ์พหุคูณจำนวนเต็มดังกล่าวระหว่างความถี่ธรรมชาติของอีลาสโตเมอร์

สามโหมดแรกของสายดึงถูกแสดงไว้ในรูปที่9. มีบางโหนดบนเส้นโค้งโหมดหลัก ในการสั่นสะเทือนหลัก โหนดจะไม่สั่น มะเดื่อภาพที่ 10 แสดงโหมดทั่วไปหลายโหมดของแผ่นวงกลมที่รองรับเส้นรอบวง โดยมีเส้นปมบางเส้นที่ประกอบด้วยวงกลมและเส้นผ่านศูนย์กลาง

สูตรที่แน่นอนของปัญหาการสั่นสะเทือนของอีลาสโตเมอร์สามารถสรุปได้ว่าเป็นปัญหาค่าขอบเขตของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย อย่างไรก็ตาม วิธีแก้ที่แน่นอนสามารถพบได้ในกรณีที่ง่ายที่สุดบางกรณีเท่านั้น ดังนั้น เราจึงต้องหันไปใช้วิธีแก้ปัญหาโดยประมาณสำหรับอีลาสโตเมอร์เชิงซ้อน ปัญหาการสั่นสะเทือน แก่นแท้ของการแก้ปัญหาโดยประมาณต่างๆ คือการเปลี่ยนอนันต์เป็นขอบเขตจำกัด กล่าวคือ การแยกระบบอิสระหลายระดับที่ไร้แขนขา (ระบบต่อเนื่อง) ให้เป็นระบบอิสระหลายระดับจำกัด (ระบบแยก) มีวิธีการแยกส่วนที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์ทางวิศวกรรมอยู่สองวิธี: วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์และวิธีการสังเคราะห์แบบโมดัล

รูปที่.9 โหมดของสตริง

รูปที่.จานกลม 10 โหมด

วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์เป็นโครงสร้างคอมโพสิตที่สรุปโครงสร้างที่ซับซ้อนให้เป็นองค์ประกอบจำนวนจำกัดและเชื่อมต่อเข้ากับจำนวนโหนดที่จำกัด แต่ละหน่วยเป็นอีลาสโตเมอร์ การกระจัดกระจายขององค์ประกอบจะแสดงโดยฟังก์ชันการประมาณค่าของการกระจัดของโหนด จากนั้น พารามิเตอร์การกระจายของแต่ละองค์ประกอบจะกระจุกตัวอยู่ที่แต่ละโหนดในรูปแบบที่แน่นอน และได้รับแบบจำลองทางกลของระบบแยกกัน

การสังเคราะห์แบบโมดัลคือการสลายตัวของโครงสร้างที่ซับซ้อนออกเป็นโครงสร้างย่อยที่ง่ายกว่าหลายๆ โครงสร้าง บนพื้นฐานของการทำความเข้าใจลักษณะการสั่นสะเทือนของโครงสร้างย่อยแต่ละส่วน โครงสร้างย่อยจะถูกสังเคราะห์เป็นโครงสร้างทั่วไปตามเงื่อนไขการประสานงานบนอินเทอร์เฟซ และสัณฐานวิทยาของการสั่นสะเทือนของโครงสร้างทั่วไป โครงสร้างได้มาจากการใช้สัณฐานวิทยาการสั่นสะเทือนของโครงสร้างย่อยแต่ละส่วน

ทั้งสองวิธีมีความแตกต่างและเกี่ยวข้องกัน และสามารถใช้เป็นข้อมูลอ้างอิงได้ นอกจากนี้ วิธีการสังเคราะห์โมดอลยังสามารถใช้ร่วมกับการวัดเชิงทดลองได้อย่างมีประสิทธิภาพเพื่อสร้างวิธีการวิเคราะห์เชิงทฤษฎีและเชิงทดลองสำหรับการสั่นสะเทือนของระบบขนาดใหญ่