Was ist eine lineare Schwingung?

Lineare SchwingungDie Elastizität der Komponenten im System unterliegt dem Hookeschen Gesetz, und die während der Bewegung erzeugte Dämpfungskraft ist proportional zur ersten Gleichung der generalisierten Geschwindigkeit (Zeitableitung der generalisierten Koordinaten).

Konzept

Ein lineares System ist üblicherweise ein abstraktes Modell der Schwingung eines realen Systems. Das lineare Schwingungssystem wendet das Superpositionsprinzip an, d. h., wenn die Antwort des Systems unter der Einwirkung des Eingangs x1 y1 und unter der Einwirkung des Eingangs x2 y2 ist, dann ist die Antwort des Systems unter der Einwirkung der Eingangssignale x1 und x2 y1+y2.

Auf Grundlage des Superpositionsprinzips lässt sich ein beliebiges Eingangssignal in die Summe einer Reihe infinitesimaler Impulse zerlegen, woraus sich die Gesamtantwort des Systems ergibt. Die Summe der harmonischen Komponenten einer periodischen Anregung kann mittels Fourier-Transformation in eine Reihe harmonischer Komponenten entwickelt werden, und die Wirkung jeder harmonischen Komponente auf das System kann separat untersucht werden. Daher lassen sich die Antwortcharakteristika linearer Systeme mit konstanten Parametern durch Impuls- oder Frequenzgang beschreiben.

Die Impulsantwort beschreibt die Reaktion des Systems auf einen Einheitsimpuls und charakterisiert dessen Antwortcharakteristik im Zeitbereich. Die Frequenzantwort beschreibt die Reaktion des Systems auf eine harmonische Einheitsfrequenz. Der Zusammenhang zwischen beiden wird mittels Fourier-Transformation ermittelt.

Einstufung

Lineare Schwingungen lassen sich unterteilen in lineare Schwingungen von Systemen mit einem Freiheitsgrad und lineare Schwingungen von Systemen mit mehreren Freiheitsgraden.

(1) Eine lineare Schwingung eines Systems mit einem Freiheitsgrad ist eine lineare Schwingung, deren Position durch ein allgemeines Koordinatensystem bestimmt werden kann. Sie ist die einfachste Schwingung, aus der viele grundlegende Konzepte und Eigenschaften von Schwingungen abgeleitet werden können. Sie umfasst die harmonische Schwingung, die freie Schwingung, die gedämpfte Schwingung und die erzwungene Schwingung.

Einfache harmonische Schwingung: die hin- und hergehende Bewegung eines Objekts in der Nähe seiner Gleichgewichtslage gemäß einem sinusförmigen Gesetz unter der Einwirkung einer rücktreibenden Kraft, die proportional zu seiner Auslenkung ist.

Gedämpfte Schwingung: Schwingung, deren Amplitude durch Reibung und dielektrischen Widerstand oder anderen Energieverbrauch kontinuierlich verringert wird.

Erzwungene Schwingung: Schwingung eines Systems unter konstanter Anregung.

(2) Die lineare Schwingung eines Systems mit mehreren Freiheitsgraden ist die Schwingung eines linearen Systems mit n ≥ 2 Freiheitsgraden. Ein System mit n Freiheitsgraden besitzt n Eigenfrequenzen und n Hauptmoden. Jede Schwingungskonfiguration des Systems lässt sich als Linearkombination der Hauptmoden darstellen. Daher findet die Methode der Hauptmodenüberlagerung breite Anwendung in der dynamischen Antwortanalyse von Systemen mit mehreren Freiheitsgraden. Dadurch wird die Messung und Analyse der Eigenschwingungseigenschaften des Systems zu einem routinemäßigen Schritt im dynamischen Systemdesign. Die dynamischen Eigenschaften von Systemen mit mehreren Freiheitsgraden lassen sich auch durch Frequenzkennlinien beschreiben. Da zwischen jedem Eingang und Ausgang eine Frequenzkennlinie existiert, wird eine Frequenzkennlinienmatrix erstellt. Zwischen der Frequenzkennlinie und der Hauptmode besteht ein eindeutiger Zusammenhang. Die Amplituden-Frequenz-Kennlinie des Systems mit mehreren Freiheitsgraden unterscheidet sich von der des Systems mit einem Freiheitsgrad.

Lineare Schwingung eines Einmassenschwingers

Eine lineare Schwingung, bei der die Position eines Systems durch eine verallgemeinerte Koordinate bestimmt werden kann. Sie ist die einfachste und grundlegendste Schwingung, aus der viele grundlegende Konzepte und Eigenschaften von Schwingungen abgeleitet werden können. Sie umfasst die harmonische Schwingung, die gedämpfte Schwingung und die erzwungene Schwingung.

Harmonische Schwingung

Unter dem Einfluss einer zur Auslenkung proportionalen Rückstellkraft führt der Körper in der Nähe seiner Ruhelage eine sinusförmige Hin- und Herbewegung aus (Abb. 1). X bezeichnet die Auslenkung und t die Zeit. Die mathematische Beschreibung dieser Schwingung lautet:

(1)Dabei ist A der Maximalwert der Auslenkung x, die sogenannte Amplitude, die die Intensität der Schwingung darstellt; ω_n ist die Amplitudenänderung der Schwingung pro Sekunde, die sogenannte Kreisfrequenz; die Anfangsphase wird als Anfangsphase bezeichnet. Die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde, ausgedrückt durch f = n/2, wird als Frequenz bezeichnet; der Kehrwert davon, T = 1/f, ist die Zeit, die für eine Schwingung benötigt wird, und wird als Periode bezeichnet. Amplitude A, Frequenz f (oder Kreisfrequenz n), Anfangsphase – diese drei Elemente werden als harmonische Schwingung bezeichnet.

Abb. 1: Kurve der einfachen harmonischen Schwingung

Wie in Abb. 2 dargestellt, wird ein einfacher harmonischer Oszillator durch die konzentrierte Masse m gebildet, die über eine lineare Feder verbunden ist. Berechnet man die Schwingungsamplitude von der Gleichgewichtslage aus, so ergibt sich folgende Schwingungsgleichung:

Wo liegt die Steifigkeit der Feder? Die allgemeine Lösung der obigen Gleichung ist (1).A und kann durch die Anfangsposition x0 und die Anfangsgeschwindigkeit bei t=0 bestimmt werden:

Omega n wird jedoch nur durch die Eigenschaften des Systems selbst m und k bestimmt, unabhängig von den zusätzlichen Anfangsbedingungen. Daher wird Omega n auch als Eigenfrequenz bezeichnet.

Abb. 2 Einmassenschwinger

Bei einem harmonischen Oszillator ist die Summe seiner kinetischen und potenziellen Energie konstant, das heißt, die gesamte mechanische Energie des Systems bleibt erhalten. Im Schwingungsprozess werden kinetische und potenzielle Energie ständig ineinander umgewandelt.

Die Dämpfungsschwingung

Eine Schwingung, deren Amplitude durch Reibung, dielektrischen Widerstand oder anderen Energieverbrauch kontinuierlich abnimmt. Bei Mikroschwingungen ist die Geschwindigkeit im Allgemeinen nicht sehr groß, und der Widerstand des Mediums ist proportional zur Geschwindigkeit in der ersten Potenz, wobei c der Dämpfungskoeffizient ist. Daher kann die Schwingungsgleichung eines Freiheitsgrades mit linearer Dämpfung wie folgt geschrieben werden:

(2)Dabei wird m = c/2m als Dämpfungsparameter bezeichnet. Die allgemeine Lösung der Formel (2) lautet:

(3)Die numerische Beziehung zwischen ω n und PI kann in die folgenden drei Fälle unterteilt werden:

Bei N > (im Fall geringer Dämpfung) erzeugten Partikeln eine Dämpfung der Schwingung. Die Schwingungsgleichung lautet:

Ihre Amplitude nimmt mit der Zeit gemäß dem in der Gleichung dargestellten Exponentialgesetz ab, wie in Abb. 3 durch die gestrichelte Linie dargestellt. Streng genommen ist diese Schwingung aperiodisch, aber die Frequenz ihres Maximums kann wie folgt definiert werden:

Die Amplitudenreduktionsrate wird als Amplitudenreduktionsrate bezeichnet, wobei die Schwingungsperiode ist. Der natürliche Logarithmus der Amplitudenreduktionsrate wird als Logarithmus-Minus-Amplituden-Rate bezeichnet. Offensichtlich ist in diesem Fall gleich 2/1. Durch die experimentelle Messung von δ und kann c mithilfe der obigen Formel direkt berechnet werden.

Zu diesem Zeitpunkt kann die Lösung der Gleichung (2) wie folgt geschrieben werden:

Zusammen mit der Richtung der Anfangsgeschwindigkeit kann man, wie in Abb. 4 dargestellt, drei Fälle ohne Vibration unterscheiden.

N < (im Fall großer Dämpfung) ist die Lösung der Gleichung (2) in Gleichung (3) dargestellt. An diesem Punkt schwingt das System nicht mehr.

erzwungene Schwingung

Schwingung eines Systems unter konstanter Anregung. Die Schwingungsanalyse untersucht hauptsächlich die Reaktion des Systems auf Anregung. Periodische Anregung ist eine typische regelmäßige Anregung. Da periodische Anregung stets in die Summe mehrerer harmonischer Anregungen zerlegt werden kann, genügt es gemäß dem Superpositionsprinzip, die Reaktion des Systems auf jede harmonische Anregung zu betrachten. Unter Einwirkung harmonischer Anregung lässt sich die Bewegungsgleichung eines gedämpften Systems mit einem Freiheitsgrad wie folgt formulieren:

Die Antwort setzt sich aus zwei Teilen zusammen. Der eine Teil ist die Antwort der gedämpften Schwingung, die mit der Zeit rasch abklingt. Die Antwort des anderen Teils, der erzwungenen Schwingung, lässt sich wie folgt darstellen:

Abb. 3: Gedämpfte Schwingungskurve

Abb. 4 Kurven für drei Anfangsbedingungen mit kritischer Dämpfung

Geben Sie Folgendes ein:

H/F0 = h() ist das Verhältnis der stationären Antwortamplitude zur Anregungsamplitude und charakterisiert die Amplituden-Frequenz-Kennlinie bzw. die Verstärkungsfunktion. Bits stehen für die stationäre Antwort und die Phasenanregung und charakterisieren die Phasen-Frequenz-Kennlinie. Der Zusammenhang zwischen diesen Größen und der Anregungsfrequenz ist in Abb. 5 und Abb. 6 dargestellt.

Wie aus der Amplituden-Frequenz-Kurve (Abb. 5) ersichtlich, weist diese bei geringer Dämpfung ein einzelnes Maximum auf. Je geringer die Dämpfung, desto steiler das Maximum. Die Frequenz des Maximums wird als Resonanzfrequenz des Systems bezeichnet. Bei geringer Dämpfung unterscheidet sich die Resonanzfrequenz kaum von der Eigenfrequenz. Liegt die Anregungsfrequenz nahe der Eigenfrequenz, steigt die Amplitude sprunghaft an. Dieses Phänomen wird als Resonanz bezeichnet. Bei Resonanz ist die Verstärkung des Systems maximal, d. h. die erzwungene Schwingung ist am stärksten. Daher sollte Resonanz im Allgemeinen vermieden werden, es sei denn, bestimmte Instrumente und Geräte nutzen Resonanz, um große Schwingungen zu erzielen.

Abb. 5 Amplituden-Frequenz-Kurve

Aus der Phasen-Frequenz-Kurve (Abbildung 6) ist ersichtlich, dass diese Charakteristik unabhängig von der Größe der Dämpfung bei einer Phasendifferenz von ω = PI / 2 effektiv zur Resonanzmessung genutzt werden kann.

Neben stationärer Anregung können Systeme auch instationärer Anregung ausgesetzt sein. Diese lässt sich grob in zwei Arten unterteilen: die plötzliche Einwirkung und die anhaltende Wirkung willkürlicher Einflüsse. Bei instationärer Anregung ist auch die Systemantwort instationär.

Ein leistungsstarkes Werkzeug zur Analyse instationärer Schwingungen ist die Impulsantwortmethode. Sie beschreibt die dynamischen Eigenschaften des Systems anhand der Einschwingreaktion auf einen Einheitsimpuls. Der Einheitsimpuls lässt sich als Deltafunktion darstellen. In der Technik wird die Deltafunktion häufig wie folgt definiert:

Dabei bezeichnet 0- den Punkt auf der t-Achse, der sich von links der Null nähert; 0 plus ist der Punkt, der sich von rechts der Null nähert.

Abb. 6 Phasen-Frequenz-Kurve

Abb. 7: Jede Eingangsgröße kann als Summe einer Reihe von Impulselementen betrachtet werden.

Das System entspricht der Antwort h(t), die durch den Einheitsimpuls bei t=0 hervorgerufen wird. Diese Antwort wird Impulsantwortfunktion genannt. Unter der Annahme, dass das System vor dem Impuls ruht, gilt h(t)=0 für t<0. Kennt man die Impulsantwortfunktion des Systems, lässt sich die Systemantwort auf eine beliebige Eingangsgröße x(t) bestimmen. Man kann x(t) dabei als Summe einer Reihe von Impulselementen betrachten (Abb. 7). Die Systemantwort lautet:

Auf Grundlage des Superpositionsprinzips ergibt sich die Gesamtantwort des Systems auf x(t):

Dieses Integral wird Faltungsintegral oder Superpositionsintegral genannt.

Lineare Schwingung eines Systems mit mehreren Freiheitsgraden

Schwingung eines linearen Systems mit n≥2 Freiheitsgraden.

Abbildung 8 zeigt zwei einfache Resonanzteilsysteme, die durch eine Kopplungsfeder verbunden sind. Da es sich um ein System mit zwei Freiheitsgraden handelt, werden zwei unabhängige Koordinaten benötigt, um seine Position zu bestimmen. Dieses System besitzt zwei Eigenfrequenzen:

Jede Frequenz entspricht einer Schwingungsform. Die harmonischen Oszillatoren führen harmonische Schwingungen gleicher Frequenz aus, durchlaufen synchron die Ruhelage und erreichen synchron die Extremlage. Bei der Hauptschwingung, die ω₁ entspricht, ist x₁ gleich x₂; bei der Hauptschwingung, die ω₂ entspricht, ist ω₁ gleich x₂. Bei der Hauptschwingung bleibt das Auslenkungsverhältnis jeder Masse in einem bestimmten Verhältnis und bildet eine bestimmte Schwingungsform, die als Haupt- oder Eigenform bezeichnet wird. Die Orthogonalität von Masse und Steifigkeit besteht zwischen den Hauptformen, was die Unabhängigkeit jeder Schwingung widerspiegelt. Die Eigenfrequenz und die Hauptform repräsentieren die inhärenten Schwingungseigenschaften des Systems mit mehreren Freiheitsgraden.

Abb. 8 System mit mehreren Freiheitsgraden

Ein System mit n Freiheitsgraden besitzt n Eigenfrequenzen und n Hauptmoden. Jede Schwingungskonfiguration des Systems lässt sich als Linearkombination der Hauptmoden darstellen. Daher findet die Methode der Hauptmodenüberlagerung breite Anwendung in der dynamischen Antwortanalyse von Systemen mit mehreren Freiheitsgraden. Auf diese Weise wird die Messung und Analyse der Eigenschwingungseigenschaften des Systems zu einem routinemäßigen Schritt im dynamischen Systemdesign.

Die dynamischen Eigenschaften von Systemen mit mehreren Freiheitsgraden lassen sich auch durch Frequenzkennlinien beschreiben. Da zwischen jedem Eingang und Ausgang eine Frequenzkennlinie existiert, wird eine Frequenzkennlinienmatrix erstellt. Die Amplituden-Frequenz-Kennlinie des Systems mit mehreren Freiheitsgraden unterscheidet sich von der des Systems mit einem Freiheitsgrad.

Das Elastomer vibriert

Das oben beschriebene System mit mehreren Freiheitsgraden ist ein approximatives mechanisches Modell eines Elastomers. Ein Elastomer besitzt unendlich viele Freiheitsgrade. Es besteht ein quantitativer, aber kein wesentlicher Unterschied zwischen den beiden Systemen. Jedes Elastomer hat unendlich viele Eigenfrequenzen und unendlich viele zugehörige Moden, und es besteht Orthogonalität zwischen den Moden der Masse und der Steifigkeit. Jede Schwingungskonfiguration des Elastomers kann auch als lineare Überlagerung der Hauptmoden dargestellt werden. Daher ist für die dynamische Antwortanalyse von Elastomeren die Überlagerungsmethode der Hauptmoden weiterhin anwendbar (siehe lineare Schwingung von Elastomeren).

Betrachten wir die Schwingung einer Saite. Nehmen wir an, eine dünne Saite der Masse m pro Längeneinheit und der Länge l ist an beiden Enden gespannt, und die Spannung beträgt T. In diesem Fall wird die Eigenfrequenz der Saite durch die folgende Gleichung bestimmt:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Hierbei bezeichnet v die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Transversalwelle in Richtung der Saite. Die Eigenfrequenzen der Saiten sind Vielfache der Grundfrequenz geteilt durch 2π. Diese ganzzahlige Vielfachheit führt zu einer angenehmen harmonischen Struktur. Im Allgemeinen besteht keine solche Beziehung ganzzahliger Vielfacher zwischen den Eigenfrequenzen des Elastomers.

Die ersten drei Schwingungsformen der gespannten Saite sind in Abb. 9 dargestellt. Auf der Hauptschwingungskurve befinden sich einige Knoten. Bei der Hauptschwingung schwingen die Knoten nicht. Abb. 10 zeigt mehrere typische Schwingungsformen der umlaufend gelagerten Kreisplatte mit einigen Knotenlinien, die aus Kreisen und Durchmessern bestehen.

Die exakte Formulierung des Schwingungsproblems von Elastomeren lässt sich als Randwertproblem partieller Differentialgleichungen darstellen. Da die exakte Lösung jedoch nur in einigen der einfachsten Fälle existiert, muss für komplexe Schwingungsprobleme von Elastomeren auf Näherungsverfahren zurückgegriffen werden. Das Wesen verschiedener Näherungsverfahren besteht darin, das Unendliche in das Endliche zu transformieren, d. h. das gliedlose System mit mehreren Freiheitsgraden (kontinuierliches System) in ein endliches System mit mehreren Freiheitsgraden (diskretes System) zu diskretisieren. In der Ingenieuranalyse werden häufig zwei Diskretisierungsverfahren eingesetzt: die Finite-Elemente-Methode und die Modalanalyse.

Abb. 9 Modus der Saite

Abb. 10 Modus der kreisförmigen Platte

Die Finite-Elemente-Methode ist ein komplexes Verfahren, das eine Struktur in eine endliche Anzahl von Elementen abstrahiert und diese an einer endlichen Anzahl von Knoten verbindet. Jedes Element wird als Elastomer betrachtet; die Verschiebungsverteilung der Elemente wird durch eine Interpolationsfunktion der Knotenverschiebung ausgedrückt. Anschließend werden die Verteilungsparameter jedes Elements in einem bestimmten Format an jedem Knoten konzentriert, wodurch das mechanische Modell des diskreten Systems entsteht.

Die Modalsynthese ist die Zerlegung einer komplexen Struktur in mehrere einfachere Teilstrukturen. Auf der Grundlage des Verständnisses der Schwingungseigenschaften jeder Teilstruktur wird die Teilstruktur gemäß den Koordinationsbedingungen an der Grenzfläche zu einer allgemeinen Struktur synthetisiert, und die Schwingungsmorphologie der allgemeinen Struktur wird durch Verwendung der Schwingungsmorphologie jeder Teilstruktur erhalten.

Die beiden Methoden sind unterschiedlich und miteinander verwandt und können als Referenz dienen. Die Modalsynthesemethode kann auch effektiv mit der experimentellen Messung kombiniert werden, um eine theoretische und experimentelle Analysemethode für die Schwingungen großer Systeme zu bilden.