Mikä on lineaarinen värähtely?

Lineaarinen värähtely: järjestelmän komponenttien elastisuus on Hooken lain alainen, ja liikkeen aikana syntyvä vaimennusvoima on verrannollinen yleistetyn nopeuden ensimmäiseen yhtälöön (yleistettyjen koordinaattien aikaderivaatta).

käsite

Lineaarinen systeemi on yleensä abstrakti malli todellisen systeemin värähtelystä. Lineaarinen värähtelysysteemi soveltaa superpositioperiaatetta, eli jos systeemin vaste on y1 syötteen x1 vaikutuksesta ja y2 syötteen x2 vaikutuksesta, niin systeemin vaste syötteiden x1 ja x2 vaikutuksesta on y1+y2.

Superpositioperiaatteen perusteella mielivaltainen syöte voidaan jakaa äärettömän pienten impulssien summaksi, ja sitten voidaan saada järjestelmän kokonaisvaste. Jaksollisen herätteen harmonisten komponenttien summa voidaan laajentaa harmonisten komponenttien sarjaksi Fourier-muunnoksella, ja kunkin harmonisen komponentin vaikutusta järjestelmään voidaan tutkia erikseen. Siksi lineaaristen järjestelmien, joilla on vakioparametrit, vasteominaisuuksia voidaan kuvata impulssivasteella tai taajuusvasteella.

Impulssivaste viittaa järjestelmän vasteeseen yksikköimpulssiin, joka kuvaa järjestelmän vasteominaisuuksia aikatasossa. Taajuusvaste viittaa järjestelmän vasteeseen yksikköharmoniseen tulosignaaliin. Näiden kahden välinen vastaavuus määritetään Fourier-muunnoksella.

luokitus

Lineaarinen värähtely voidaan jakaa yhden vapausasteen järjestelmän lineaariseen värähtelyyn ja useamman vapausasteen järjestelmän lineaariseen värähtelyyn.

(1) Yhden vapausasteen järjestelmän lineaarinen värähtely on lineaarista värähtelyä, jonka paikka voidaan määrittää yleistetyn koordinaatin avulla. Se on yksinkertaisin värähtely, josta voidaan johtaa monia värähtelyn peruskäsitteitä ja ominaisuuksia. Siihen kuuluvat yksinkertainen harmoninen värähtely, vapaa värähtely, vaimennusvärähtely ja pakotettu värähtely.

Yksinkertainen harmoninen värähtely: kappaleen edestakainen liike lähellä tasapainoasentoaan sinimuotoisen lain mukaisesti palautusvoiman vaikutuksesta, joka on verrannollinen kappaleen siirtymään.

Vaimennettu värähtely: värähtely, jonka amplitudia jatkuvasti vaimentaa kitka ja dielektrinen vastus tai muu energiankulutus.

Pakotettu värähtely: järjestelmän värähtely jatkuvan herätteen alaisena.

(2) Monivapausasteisen järjestelmän lineaarinen värähtely on lineaarisen järjestelmän värähtelyä, jonka vapausaste on n≥2. Järjestelmällä, jolla on n vapausastetta, on n luonnollista taajuutta ja n päämoodia. Mikä tahansa järjestelmän värähtelykonfiguraatio voidaan esittää päämoodien lineaarisena yhdistelmänä. Siksi päämoodin superpositiomenetelmää käytetään laajalti monivapausasteiden järjestelmien dynaamisessa vasteanalyysissä. Tällä tavoin järjestelmän luonnollisten värähtelyominaisuuksien mittaamisesta ja analysoinnista tulee rutiininomainen vaihe järjestelmän dynaamisessa suunnittelussa. Monivapausasteiden järjestelmien dynaamisia ominaisuuksia voidaan kuvata myös taajuusominaisuuksilla. Koska jokaisen tulon ja lähdön välillä on taajuusominaisuusfunktio, konstruoidaan taajuusominaisuusmatriisi. Taajuusominaisuuden ja päämoodin välillä on selvä yhteys. Monivapausasteen järjestelmän amplitudi-taajuus-ominaiskäyrä eroaa yhden vapausasteen järjestelmän amplitudi-taajuus-ominaiskäyrästä.

Yhden vapausasteen järjestelmän lineaarinen värähtely

Lineaarinen värähtely, jossa järjestelmän sijainti voidaan määrittää yleistetyn koordinaatin avulla. Se on yksinkertaisin ja perustavanlaatuisin värähtely, josta voidaan johtaa monia värähtelyn peruskäsitteitä ja ominaisuuksia. Siihen kuuluvat yksinkertainen harmoninen värähtely, vaimennettu värähtely ja pakotettu värähtely.

Harmoninen värähtely

Siirtymään verrannollisen palautusvoiman vaikutuksesta kappale liikkuu sinimuotoisesti edestakaisin lähellä tasapainoasentoaan (kuva 1). X edustaa siirtymää ja t aikaa. Tämän värähtelyn matemaattinen lauseke on:

(1)Jossa A on siirtymän x maksimiarvo, jota kutsutaan amplitudiksi ja joka edustaa värähtelyn voimakkuutta; Omega n on värähtelyn amplitudin ja kulman lisäyksen sekunnissa, jota kutsutaan kulmataajuudeksi eli ympyrätaajuudeksi; Tätä kutsutaan alkuvaiheeksi. Yhtälöllä f = n/2 värähtelyjen lukumäärää sekunnissa kutsutaan taajuudeksi; Tämän käänteisluku, T = 1/f, on aika, joka kuluu yhden värähtelyn suorittamiseen, ja sitä kutsutaan periodiksi. Amplitudi A, taajuus f (tai kulmataajuus n), alkuvaihe, joka tunnetaan yksinkertaisena harmonisena värähtelynä kolmesta elementistä.

KUVA 1 Yksinkertainen harmoninen värähtelykäyrä

Kuten kuvassa 2 on esitetty, yksinkertainen harmoninen oskillaattori muodostuu lineaarisella jousella yhdistetystä keskittyneestä massasta m. Kun värähtelysiirtymä lasketaan tasapainoasennosta, värähtelyyhtälö on:

Missä on jousen jäykkyys. Yllä olevan yhtälön yleinen ratkaisu on (1).A ja se voidaan määrittää alkuasennon x0 ja alkunopeuden avulla hetkellä t=0:

Mutta omega n määräytyy vain itse järjestelmän m ja k ominaisuuksien perusteella, riippumatta lisäalkuehdoista, joten omega n tunnetaan myös ominaistaajuutena.

KUVA 2. Yksivapausastejärjestelmä

Yksinkertaisella harmonisella oskillaattorilla sen kineettisen energian ja potentiaalienergian summa on vakio, eli järjestelmän mekaaninen kokonaisenergia säilyy. Värähtelyn prosessissa kineettinen energia ja potentiaalienergia muuttuvat jatkuvasti toisikseen.

Vaimentava tärinä

Värähtely, jonka amplitudia jatkuvasti vaimentaa kitka ja dielektrinen vastus tai muu energiankulutus. Mikrovärähtelyssä nopeus ei yleensä ole kovin suuri, ja väliaineen vastus on verrannollinen nopeuteen ensimmäiseen potenssiin, joka voidaan kirjoittaa muodossa c on vaimennuskerroin. Siksi yhden vapausasteen värähtelyyhtälö lineaarisella vaimennuksella voidaan kirjoittaa muodossa:

(2)Missä m =c/2m on vaimennusparametri ja. Kaavan (2) yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa:

(3)Omega n:n ja PI:n välinen numeerinen suhde voidaan jakaa seuraaviin kolmeen tapaukseen:

N > (pienen vaimennuksen tapauksessa) hiukkasen tuottama vaimennusvärähtely, värähtelyyhtälö on:

Sen amplitudi pienenee ajan myötä yhtälössä esitetyn eksponentiaalisen lain mukaisesti, kuten kuvassa 3 on katkoviiva. Tarkkaan ottaen tämä värähtely on jaksoton, mutta sen huipputaajuus voidaan määritellä seuraavasti:

Kutsutaan amplitudin pienenemisnopeudeksi, jossa on värähtelyn periodi. Amplitudin pienenemisnopeuden luonnollista logaritmia kutsutaan logaritmi miinus (amplitudi)nopeus. Ilmeisesti = on tässä tapauksessa yhtä suuri kuin 2/1. Suoraan kokeellisen testideltan ja yllä olevan kaavan avulla voidaan laskea c.

Tällöin yhtälön (2) ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa:

Alkunopeuden suunnan ohella se voidaan jakaa kolmeen värähtelemättömään tapaukseen, kuten kuvassa 4 on esitetty.

N < (suuren vaimennuksen tapauksessa), yhtälön (2) ratkaisu on esitetty yhtälössä (3). Tässä vaiheessa systeemi ei enää värähtele.

Pakotettu tärinä

Järjestelmän värähtely jatkuvan herätteen alaisena. Värähtelyanalyysi tutkii pääasiassa järjestelmän vastetta herätteeseen. Jaksollinen heräte on tyypillinen säännöllinen heräte. Koska jaksollinen heräte voidaan aina jakaa useiden harmonisten herätteiden summaksi, superpositioperiaatteen mukaisesti tarvitaan vain järjestelmän vaste kuhunkin harmoniseen herätteeseen. Harmonisen herätteen vaikutuksesta yhden vapausasteen vaimennetun järjestelmän liikeyhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Vaste on kahden osan summa. Toinen osa on vaimennetun värähtelyn vaste, joka vaimenee nopeasti ajan myötä. Toisen osan pakotetun värähtelyn vaste voidaan kirjoittaa seuraavasti:

KUVA 3 vaimennettu värähtelykäyrä

KUVA 4. Kolmen alkutilanteen käyrät kriittisellä vaimennuksella

Kirjoita

H /F0 = h(), on tasaisen vasteen amplitudin suhde heräteamplitudiin, joka kuvaa amplitudi-taajuusominaisuuksia tai vahvistusfunktiota; Bitit tasaisen tilan vasteelle ja vaiheen herätteelle, vaihetaajuusominaisuuksien kuvaaminen. Niiden ja herätetaajuuden välinen suhde on esitetty kuvissa 5 ja kuvassa 6.

Kuten amplitudi-taajuuskäyrästä (kuva 5) voidaan nähdä, pienen vaimennuksen tapauksessa amplitudi-taajuuskäyrällä on yksi piikki. Mitä pienempi vaimennus, sitä jyrkempi huippu. Huippua vastaavaa taajuutta kutsutaan järjestelmän resonanssitaajuudeksi. Pienen vaimennuksen tapauksessa resonanssitaajuus ei juurikaan eroa ominaistaajuudesta. Kun herätetaajuus on lähellä ominaistaajuutta, amplitudi kasvaa jyrkästi. Tätä ilmiötä kutsutaan resonanssiksi. Resonanssissa järjestelmän vahvistus on maksimoitu eli pakotettu värähtely on voimakkainta. Siksi on yleensä pyrittävä välttämään resonanssia, ellei joissakin instrumenteissa ja laitteissa käytetä resonanssia suuren värähtelyn saavuttamiseksi.

KUVA 5 amplituditaajuuskäyrä

Vaihetaajuuskäyrästä (kuva 6) voidaan nähdä, että vaimennuksen suuruudesta riippumatta omega-nollavaihe-erobittien = PI / 2 yhteydessä tätä ominaisuutta voidaan tehokkaasti käyttää resonanssin mittaamiseen.

Tasaisen herätteen lisäksi järjestelmissä esiintyy joskus epävakaata herätettä. Se voidaan karkeasti jakaa kahteen tyyppiin: toinen on äkillinen vaikutus ja toinen on mielivaltaisuuden pysyvä vaikutus. Epävakaan herätteen aikana järjestelmän vaste on myös epävakaa.

Tehokas työkalu epävakaan värähtelyn analysointiin on impulssivastemenetelmä. Se kuvaa järjestelmän dynaamisia ominaisuuksia järjestelmän yksikköimpulssisyötteen transienttivasteella. Yksikköimpulssi voidaan ilmaista deltafunktiona. Tekniikassa deltafunktio määritellään usein seuraavasti:

Jossa 0- edustaa t-akselin pistettä, joka lähestyy nollaa vasemmalta; 0 plus on piste, joka menee nollaan oikealta.

KUVA 6 vaihetaajuuskäyrä

KUVA 7. Mitä tahansa syötettä voidaan pitää impulssielementtien sarjan summana

Järjestelmä vastaa yksikköimpulssin hetkellä t=0 synnyttämää vastetta h(t), jota kutsutaan impulssivastefunktioksi. Olettaen, että järjestelmä on paikallaan ennen pulssia, h(t)=0, kun t<0. Tunnettuamme järjestelmän impulssivastefunktion voimme löytää järjestelmän vasteen mihin tahansa syötteeseen x(t). Tässä vaiheessa voit ajatella x(t):tä useiden impulssielementtien summana (kuva 7). Järjestelmän vaste on:

Superpositioperiaatteen perusteella järjestelmän kokonaisvaste, joka vastaa x(t):tä, on:

Tätä integraalia kutsutaan konvoluutiointegraaliksi tai superpositiointegraaliksi.

Monivapausasteisen järjestelmän lineaarinen värähtely

Lineaarisen järjestelmän värähtely, kun vapausasteita on n≥2.

Kuvassa 8 on esitetty kaksi yksinkertaista resonoivaa alijärjestelmää, jotka on yhdistetty kytkentäjousella. Koska kyseessä on kahden vapausasteen järjestelmä, sen sijainnin määrittämiseen tarvitaan kaksi toisistaan ​​riippumatonta koordinaattia. Tässä järjestelmässä on kaksi luonnollista taajuutta:

Jokainen taajuus vastaa tiettyä värähtelymoodia. Harmoniset oskillaattorit suorittavat saman taajuuden harmonisia värähtelyjä, jotka kulkevat synkronisesti tasapainotilan läpi ja saavuttavat synkronisesti ääriasennon. Omega-1:tä vastaavassa päävärähtelyssä x1 on yhtä suuri kuin x2; omega-2:ta vastaavassa päävärähtelyssä omega-omega-1. Päävärähtelyssä kunkin massan siirtymäsuhde pysyy tietyssä suhteessa ja muodostaa tietyn moodin, jota kutsutaan päämoodiksi tai luonnolliseksi moodiksi. Päämoodien välillä on massan ja jäykkyyden ortogonaalisuus, mikä heijastaa kunkin värähtelyn itsenäisyyttä. Luonnollinen taajuus ja päämoodi edustavat monivapausasteinen järjestelmän luontaisia ​​värähtelyominaisuuksia.

KUVA 8. Usean vapausasteen järjestelmä

N vapausasteen systeemillä on n ominaistaajuutta ja n päämoodia. Mikä tahansa systeemin värähtelykonfiguraatio voidaan esittää päämoodien lineaarisena yhdistelmänä. Siksi päämoodien superpositiomenetelmää käytetään laajalti monivapausasteiden systeemien dynaamisessa vasteanalyysissä. Tällä tavoin systeemin luonnollisten värähtelyominaisuuksien mittaamisesta ja analysoinnista tulee rutiininomainen vaihe systeemin dynaamisessa suunnittelussa.

Monivapausjärjestelmien dynaamisia ominaisuuksia voidaan kuvata myös taajuusominaisuuksilla. Koska jokaisen tulon ja lähdön välillä on taajuusominaisuusfunktio, konstruoidaan taajuusominaisuusmatriisi. Monivapausjärjestelmän amplitudi-taajuus-ominaiskäyrä on erilainen kuin yksivapausjärjestelmän.

Elastomeeri värähtelee

Yllä oleva monivapausastejärjestelmä on elastomeerin likimääräinen mekaaninen malli. Elastomeerilla on ääretön määrä vapausasteita. Näiden kahden välillä on määrällinen ero, mutta ei olennaista eroa. Millä tahansa elastomeerillä on ääretön määrä luonnollisia taajuuksia ja ääretön määrä vastaavia moodia, ja massa- ja jäykkyysmoodien välillä on ortogonaalisuus. Mikä tahansa elastomeerin värähtelykonfiguraatio voidaan esittää myös päämoodien lineaarisena superpositiona. Siksi elastomeerin dynaamisessa vasteanalyysissä päämoodin superpositiomenetelmä on edelleen sovellettavissa (katso elastomeerin lineaarinen värähtely).

Otetaan esimerkiksi kielen värähtely. Oletetaan, että ohut, massaltaan m pituuden yksikköä kohden oleva kieli on jännitetty molemmista päistä ja jännitys on T. Tällöin kielen luonnollinen taajuus määräytyy seuraavan yhtälön avulla:

F =na/2l (n = 1,2,3…).

Missä on poikittaisaallon etenemisnopeus kielen suunnassa. Kielien ominaistaajuudet ovat perustaajuuden monikertoja yli 2l:n. Tämä kokonaislukukerrannaisuus johtaa miellyttävään harmoniseen rakenteeseen. Yleisesti ottaen elastomeerin ominaistaajuuksien välillä ei ole tällaista kokonaislukukerrannaista suhdetta.

Kiristyneen langan kolme ensimmäistä moodia on esitetty kuvassa 9. Päämoodikäyrällä on joitakin solmuja. Päävärähtelyssä solmut eivät värähtele. Kuva 10 esittää useita tyypillisiä kehämäisesti tuetun pyöreän levyn moodia, jossa on joitakin ympyröistä ja halkaisijoista koostuvia solmuviivoja.

Elastomeerivärähtelyongelman tarkka muotoilu voidaan päätellä osittaisdifferentiaaliyhtälöiden reuna-arvo-ongelmana. Tarkka ratkaisu löytyy kuitenkin vain joissakin yksinkertaisimmissa tapauksissa, joten monimutkaisessa elastomeerivärähtelyongelmassa on turvauduttava likimääräiseen ratkaisuun. Erilaisten likimääräisten ratkaisujen ydin on muuttaa ääretön äärelliseksi eli diskretisoida raajaton monivapausastejärjestelmä (jatkuva järjestelmä) äärelliseksi monivapausastejärjestelmäksi (diskreetti järjestelmä). Teknisessä analyysissä käytetään laajalti kahdenlaisia ​​diskretisointimenetelmiä: äärellisten elementtien menetelmää ja modaalista synteesimenetelmää.

KUVA 9 merkkijonon tila

KUVA 10 Pyöreän levyn tila

Äärellisten elementtien menetelmä on komposiittirakenne, joka abstraktoi monimutkaisen rakenteen äärelliseen määrään elementtejä ja yhdistää ne äärelliseen määrään solmuja. Jokainen yksikkö on elastomeeri; Elementin jakautumissiirtymä ilmaistaan ​​solmun siirtymän interpolointifunktiolla. Sitten kunkin elementin jakautumisparametrit keskitetään jokaiseen solmuun tietyssä muodossa, ja saadaan diskreetin järjestelmän mekaaninen malli.

Modaalinen synteesi on monimutkaisen rakenteen hajottamista useiksi yksinkertaisemmiksi alirakenteiksi. Ymmärtämällä kunkin alirakenteen värähtelyominaisuudet alirakenne syntetisoidaan yleiseksi rakenteeksi rajapinnan koordinaatioehtojen mukaisesti, ja yleisen rakenteen värähtelymorfologia saadaan käyttämällä kunkin alirakenteen värähtelymorfologiaa.

Nämä kaksi menetelmää ovat erilaisia ​​ja toisiinsa liittyviä, ja niitä voidaan käyttää referensseinä. Modaalista synteesimenetelmää voidaan myös tehokkaasti yhdistää kokeellisiin mittauksiin teoreettisen ja kokeellisen analyysimenetelmän muodostamiseksi suurten järjestelmien värähtelylle.