Chì ghjè a vibrazione lineare?

Vibrazione lineareL'elasticità di i cumpunenti in u sistema hè sottumessa à a lege di Hooke, è a forza di smorzamentu generata durante u muvimentu hè proporzionale à a prima equazione di a velocità generalizzata (derivata di u tempu di e coordinate generalizate).

cuncettu

U sistema lineare hè generalmente un mudellu astrattu di a vibrazione di un sistema reale. U sistema di vibrazione lineare applica u principiu di superposizione, vale à dì, se a risposta di u sistema hè y1 sottu à l'azione di l'input x1, è y2 sottu à l'azione di l'input x2, allora a risposta di u sistema sottu à l'azione di l'input x1 è x2 hè y1 + y2.

Sicondu u principiu di superposizione, un input arbitrariu pò esse decompostu in a somma di una seria d'impulsi infinitesimali, è dopu si pò ottene a risposta tutale di u sistema. A somma di i cumpunenti armonichi di una eccitazione periodica pò esse allargata in una seria di cumpunenti armonichi per via di a trasfurmata di Fourier, è l'effettu di ogni cumpunente armonicu nantu à u sistema pò esse investigatu separatamente. Dunque, e caratteristiche di risposta di i sistemi lineari cù parametri custanti ponu esse descritte per via di a risposta à l'impulsu o di a risposta à a frequenza.

A risposta à l'impulsu si riferisce à a risposta di u sistema à l'impulsu unitariu, chì caratterizeghja e caratteristiche di risposta di u sistema in u duminiu di u tempu. A risposta di frequenza si riferisce à a caratteristica di risposta di u sistema à l'input armonicu unitariu. A currispundenza trà i dui hè determinata da a trasfurmata di Fourier.

classificazione

A vibrazione lineare pò esse divisa in vibrazione lineare di sistemi à un gradu di libertà è vibrazione lineare di sistemi à più gradi di libertà.

(1) A vibrazione lineare di un sistema à un solu gradu di libertà hè una vibrazione lineare chì a so pusizione pò esse determinata da una coordinata generalizzata. Hè a vibrazione a più simplice da a quale si ponu derivà parechji cuncetti è caratteristiche basi di a vibrazione. Include a vibrazione armonica simplice, a vibrazione libera, a vibrazione d'attenuazione è a vibrazione furzata.

Vibrazione armonica simplice: u muvimentu alternativu di un ughjettu in prossimità di a so pusizione d'equilibriu secondu una lege sinusoidale sottu l'azione di una forza di ripristino proporzionale à u so spustamentu.

Vibrazione smorzata: vibrazione a cui ampiezza hè continuamente attenuata da a presenza di attritu è ​​resistenza dielettrica o altri cunsumi d'energia.

Vibrazione furzata: vibrazione di un sistema sottu eccitazione custante.

(2) a vibrazione lineare di u sistema multi-gradu-di-libertà hè a vibrazione di u sistema lineare cù n≥2 gradi di libertà. Un sistema di n gradi di libertà hà n frequenze naturali è n modi principali. Ogni cunfigurazione di vibrazione di u sistema pò esse rapprisintata cum'è una cumbinazione lineare di i modi principali. Dunque, u metudu di superposizione di u modu principale hè largamente utilizatu in l'analisi di a risposta dinamica di i sistemi multi-dof. In questu modu, a misurazione è l'analisi di e caratteristiche di vibrazione naturale di u sistema diventanu un passu di rutina in u disignu dinamicu di u sistema. E caratteristiche dinamiche di i sistemi multi-dof ponu ancu esse descritte da caratteristiche di frequenza. Siccomu ci hè una funzione caratteristica di frequenza trà ogni input è output, si custruisce una matrice caratteristica di frequenza. Ci hè una relazione definita trà a caratteristica di frequenza è u modu principale. A curva caratteristica ampiezza-frequenza di u sistema multi-libertà hè diversa da quella di u sistema à libertà unica.

Vibrazione lineare di un sistema à un solu gradu di libertà

Una vibrazione lineare in a quale a pusizione di un sistema pò esse determinata da una coordinata generalizzata. Hè a vibrazione più simplice è fundamentale da a quale si ponu derivà parechji cuncetti è caratteristiche basi di vibrazione. Include a vibrazione armonica simplice, a vibrazione smorzata è a vibrazione furzata.

Vibrazione armonica

Sottu à l'azione di a forza di ristorazione proporzionale à u spustamentu, l'ughjettu si move in modu sinusoidale vicinu à a so pusizione d'equilibriu (FIG. 1). X rapprisenta u spustamentu è t rapprisenta u tempu. L'espressione matematica di sta vibrazione hè:

(1)Induve A hè u valore massimu di spustamentu x, chì hè chjamatu amplitude, è rapprisenta l'intensità di a vibrazione; Omega n hè l'incrementu di l'angulu di l'amplitude di a vibrazione per seconda, chì hè chjamatu frequenza angulare, o frequenza circulare; Questa hè chjamata fase iniziale. In termini di f = n / 2, u numeru di oscillazioni per seconda hè chjamatu frequenza; L'inversu di questu, T = 1 / f, hè u tempu chì ci vole à oscillà un ciclu, è questu hè chjamatu periodu. Amplitude A, frequenza f (o frequenza angulare n), a fase iniziale, cunnisciuta cum'è vibrazione armonica simplice trè elementi.

FIG. 1 curva di vibrazione armonica simplice

Cum'è mostratu in a FIG. 2, un oscillatore armonicu simplice hè furmatu da a massa cuncintrata m cunnessa da una molla lineare. Quandu u spustamentu di vibrazione hè calculatu da a pusizione d'equilibriu, l'equazione di vibrazione hè:

Induve hè a rigidità di a molla. A suluzione generale à l'equazione sopra hè (1). A è pò esse determinata da a pusizione iniziale x0 è a velocità iniziale à t = 0:

Ma omega n hè determinatu solu da e caratteristiche di u sistema stessu m è k, indipendentemente da e cundizioni iniziali supplementari, dunque omega n hè ancu cunnisciutu cum'è a frequenza naturale.

FIG. 2 sistema à un solu gradu di libertà

Per un oscillatore armonicu simplice, a somma di a so energia cinetica è di a so energia putenziale hè custante, vale à dì, l'energia meccanica tutale di u sistema hè cunservata. In u prucessu di vibrazione, l'energia cinetica è l'energia putenziale si trasformanu constantemente l'una in l'altra.

A vibrazione di smorzamentu

Una vibrazione chì a so ampiezza hè attenuata continuamente da l'attritu è ​​a resistenza dielettrica o altri cunsumu d'energia. Per a micro vibrazione, a velocità ùn hè generalmente micca assai grande, è a resistenza media hè proporzionale à a velocità à a prima putenza, chì pò esse scritta cum'è c hè u coefficientu di smorzamentu. Dunque, l'equazione di vibrazione di un gradu di libertà cù smorzamentu lineare pò esse scritta cum'è:

(2)Induve, m = c/2m hè chjamatu u parametru di smorzamentu, è. A suluzione generale di a formula (2) pò esse scritta:

(3)A relazione numerica trà omega n è PI pò esse divisa in i trè casi seguenti:

N > (in casu di piccula smorzamentu) vibrazione d'attenuazione prodotta da particelle, l'equazione di vibrazione hè:

A so ampiezza diminuisce cù u tempu secondu a lege esponenziale mostrata in l'equazione, cum'è mostratu in a linea punteggiata in a FIG. 3. Strettamente parlante, sta vibrazione hè aperiodica, ma a frequenza di u so piccu pò esse definita cum'è:

Hè chjamatu u tassu di riduzione di l'amplitude, induve hè u periodu di vibrazione. U logaritmu naturale di u tassu di riduzione di l'amplitude hè chjamatu u logaritmu menu u tassu (amplitude). Ovviamente, =, in questu casu, hè uguale à 2/1. Direttamente attraversu u delta di prova sperimentale è, aduprendu a formula sopra, si pò calculà c.

À questu mumentu, a suluzione di l'equazione (2) pò esse scritta:

Inseme cù a direzzione di a velocità iniziale, pò esse divisa in trè casi senza vibrazioni cum'è mostratu in a FIG. 4.

N < (in casu di grande smorzamentu), a suluzione à l'equazione (2) hè mostrata in l'equazione (3). À questu puntu, u sistema ùn vibra più.

Vibrazione furzata

Vibrazione di un sistema sottu eccitazione custante. L'analisi di vibrazione investiga principalmente a risposta di u sistema à l'eccitazione. L'eccitazione periodica hè una eccitazione regulare tipica. Siccomu l'eccitazione periodica pò sempre esse decomposta in a somma di parechje eccitazioni armoniche, secondu u principiu di superposizione, hè necessaria solu a risposta di u sistema à ogni eccitazione armonica. Sottu l'azione di l'eccitazione armonica, l'equazione differenziale di u muvimentu di un sistema smorzatu à un solu gradu di libertà pò esse scritta:

A risposta hè a somma di duie parti. Una parte hè a risposta di a vibrazione smorzata, chì decade rapidamente cù u tempu. A risposta di un'altra parte di a vibrazione furzata pò esse scritta:

FIG. 3 curva di vibrazione smorzata

FIG. 4 curve di trè cundizioni iniziali cù smorzamentu criticu

Scrivite u

H /F0= h (), hè u rapportu trà l'amplitude di a risposta stazionaria è l'amplitude di l'eccitazione, chì caratterizeghja e caratteristiche di l'amplitude-frequenza, o a funzione di guadagnu; Bits per a risposta à statu stazionariu è l'incentivu di a fase, caratterizazione di e caratteristiche di a frequenza di fase. A relazione trà elli è a frequenza di eccitazione hè mostrata in a FIG. 5 è a FIG. 6.

Cum'è si pò vede da a curva di frequenza-ampiezza (FIG. 5), in u casu di un picculu smorzamentu, a curva di frequenza-ampiezza hà un unicu piccu. Più chjucu hè u smorzamentu, più ripida hè a cima; A frequenza currispondente à a cima hè chjamata frequenza di risonanza di u sistema. In u casu di un picculu smorzamentu, a frequenza di risonanza ùn hè micca assai diversa da a frequenza naturale. Quandu a frequenza d'eccitazione hè vicina à a frequenza naturale, l'ampiezza aumenta bruscamente. Stu fenomenu hè chjamatu risonanza. À a risonanza, u guadagnu di u sistema hè massimizatu, vale à dì, a vibrazione furzata hè a più intensa. Dunque, in generale, sforzatevi sempre di evità a risonanza, à menu chì alcuni strumenti è apparecchiature ùn utilizinu a risonanza per ottene una grande vibrazione.

FIG. 5 curva di frequenza di ampiezza

Si pò vede da a curva di frequenza di fase (figura 6), indipendentemente da a dimensione di u smorzamentu, in bit di differenza di fase omega zero = PI / 2, sta caratteristica pò esse aduprata efficacemente per misurà a risonanza.

In più di l'eccitazione stabile, i sistemi qualchì volta scontranu una eccitazione instabile. Pò esse divisa in dui tipi: unu hè l'impattu subitu. U secondu hè l'effettu durevule di l'arbitrarietà. Sottu à l'eccitazione instabile, a risposta di u sistema hè ancu instabile.

Un strumentu putente per analizà e vibrazioni instabili hè u metudu di a risposta à l'impulsu. Descrive e caratteristiche dinamiche di u sistema cù a risposta transitoria di l'input impulsivu unitariu di u sistema. L'impulsu unitariu pò esse espressu cum'è una funzione delta. In ingegneria, a funzione delta hè spessu definita cum'è:

Induve 0- rapprisenta u puntu nantu à l'asse t chì s'avvicina à zeru da manca; 0 plus hè u puntu chì và à 0 da diritta.

FIG. 6 curva di frequenza di fase

FIG. 7 ogni input pò esse cunsideratu cum'è a somma di una seria d'elementi d'impulsu

U sistema currisponde à a risposta h(t) generata da l'impulsu unitariu à t=0, chì hè chjamata funzione di risposta à l'impulsu. Supponendu chì u sistema sia stazionariu prima di l'impulsu, h(t)=0 per t<0. Cunnoscendu a funzione di risposta à l'impulsu di u sistema, pudemu truvà a risposta di u sistema à qualsiasi input x(t). À questu puntu, pudete pensà à x(t) cum'è a somma di una seria di elementi d'impulsu (FIG. 7). A risposta di u sistema hè:

Basatu annantu à u principiu di superposizione, a risposta tutale di u sistema currispundente à x(t) hè:

Questu integrale hè chjamatu integrale di cunvoluzione o integrale di superposizione.

Vibrazione lineare di un sistema à più gradi di libertà

Vibrazione di un sistema lineare cù n≥2 gradi di libertà.

A figura 8 mostra dui sottosistemi risonanti simplici cunnessi da una molla di accoppiamentu. Siccomu hè un sistema à dui gradi di libertà, sò necessarie duie coordinate indipendenti per determinà a so pusizione. Ci sò duie frequenze naturali in questu sistema:

Ogni frequenza currisponde à un modu di vibrazione. L'oscillatori armonici realizanu oscillazioni armoniche di a stessa frequenza, passendu sincronamente per a pusizione d'equilibriu è righjunghjendu sincronamente a pusizione estrema. In a vibrazione principale currispondente à omega unu, x1 hè uguale à x2; In a vibrazione principale currispondente à omega omega dui, omega omega unu. In a vibrazione principale, u rapportu di spustamentu di ogni massa mantene una certa relazione è forma un certu modu, chì hè chjamatu u modu principale o u modu naturale. L'ortogonalità di a massa è a rigidità esiste trà i modi principali, chì riflette l'indipendenza di ogni vibrazione. A frequenza naturale è u modu principale rapprisentanu e caratteristiche di vibrazione inerenti di u sistema multi-gradu di libertà.

FIG. 8 sistema cù parechji gradi di libertà

Un sistema di n gradi di libertà hà n frequenze naturali è n modi principali. Ogni cunfigurazione di vibrazione di u sistema pò esse rapprisintata cum'è una cumbinazione lineare di i modi principali. Dunque, u metudu di superposizione di u modu principale hè largamente utilizatu in l'analisi di a risposta dinamica di i sistemi multi-dof. In questu modu, a misurazione è l'analisi di e caratteristiche di vibrazione naturale di u sistema diventanu un passu di rutina in a cuncepzione dinamica di u sistema.

E caratteristiche dinamiche di i sistemi multi-dof ponu ancu esse descritte da e caratteristiche di frequenza. Siccomu ci hè una funzione caratteristica di frequenza trà ogni entrata è uscita, si custruisce una matrice caratteristica di frequenza. A curva caratteristica ampiezza-frequenza di u sistema multi-libertà hè diversa da quella di u sistema à libertà unica.

L'elastomeru vibra

U sistema multi-gradu di libertà sopra hè un mudellu meccanicu apprussimativu di l'elastomeru. Un elastomeru hà un numeru infinitu di gradi di libertà. Ci hè una differenza quantitativa ma nisuna differenza essenziale trà i dui. Ogni elastomeru hà un numeru infinitu di frequenze naturali è un numeru infinitu di modi currispondenti, è ci hè ortogonalità trà i modi di massa è rigidità. Ogni cunfigurazione vibrazionale di l'elastomeru pò ancu esse rapprisentata cum'è una superposizione lineare di i modi principali. Dunque, per l'analisi di a risposta dinamica di l'elastomeru, u metudu di superposizione di u modu principale hè sempre applicabile (vede vibrazione lineare di l'elastomeru).

Pigliate a vibrazione di una corda. Dicemu chì una corda fina di massa m per unità di lunghezza, longa l, hè tesa à e duie estremità, è a tensione hè T. In questu mumentu, a frequenza naturale di a corda hè determinata da a seguente equazione:

F = na/2l (n= 1,2,3…).

Induve, hè a velocità di propagazione di l'onda trasversale longu a direzzione di a corda. E frequenze naturali di e corde sò multipli di a frequenza fundamentale annantu à 2l. Questa multiplicità intera porta à una struttura armonica piacevule. In generale, ùn ci hè micca una tale relazione multipla intera trà e frequenze naturali di l'elastomeru.

I primi trè modi di a corda tesa sò mostrati in a FIG. 9. Ci sò qualchi nodi nantu à a curva di u modu principale. In a vibrazione principale, i nodi ùn vibranu micca. A FIG. 10 mostra parechji modi tipici di a piastra circulare supportata circunferenzialmente cù qualchi linee nodali cumposte da cerchi è diametri.

A formulazione esatta di u prublema di vibrazione di l'elastomeru pò esse cunclusa cum'è u prublema di u valore di cunfine di l'equazioni differenziali parziali. Tuttavia, a suluzione esatta pò esse truvata solu in alcuni di i casi più simplici, dunque duvemu ricorre à a suluzione apprussimativa per u prublema cumplessu di vibrazione di l'elastomeru. L'essenza di varie suluzioni apprussimative hè di cambià l'infinitu in finitu, vale à dì, di discretizà u sistema multi-gradu di libertà senza rami (sistema cuntinuu) in un sistema multi-gradu di libertà finitu (sistema discretu). Ci sò dui tipi di metudi di discretizazione largamente usati in l'analisi ingegneristica: u metudu di l'elementi finiti è u metudu di sintesi modale.

FIG. 9 modu di corda

FIG. 10 modu di piastra circulare

U metudu di l'elementi finiti hè una struttura cumposta chì astrae una struttura cumplessa in un numeru finitu d'elementi è li cunnetta à un numeru finitu di nodi. Ogni unità hè un elastomeru; U spustamentu di distribuzione di l'elementu hè espressu da a funzione d'interpolazione di u spustamentu di u nodu. Dopu, i parametri di distribuzione di ogni elementu sò cuncentrati à ogni nodu in un certu furmatu, è si ottiene u mudellu mecanicu di u sistema discretu.

A sintesi modale hè a decomposizione di una struttura cumplessa in parechje sottustrutture più semplici. Basendu si nantu à a capiscitura di e caratteristiche di vibrazione di ogni sottustruttura, a sottustruttura hè sintetizzata in una struttura generale secondu e cundizioni di coordinazione nantu à l'interfaccia, è a morfologia di vibrazione di a struttura generale hè ottenuta utilizendu a morfologia di vibrazione di ogni sottustruttura.

I dui metudi sò diffirenti è ligati, è ponu esse aduprati cum'è riferimentu. U metudu di sintesi modale pò ancu esse cumminatu efficacemente cù a misurazione sperimentale per furmà un metudu d'analisi teorica è sperimentale per a vibrazione di grandi sistemi.