Линеарна вибрација: еластичноста на компонентите во системот е предмет на Хуковиот закон, а силата на пригушување генерирана за време на движењето е пропорционална на првата равенка на генерализираната брзина (временски извод од генерализираните координати).
концепт
Линеарниот систем е обично апстрактен модел на вибрациите на реалниот систем. Линеарниот вибрационен систем го применува принципот на суперпозиција, односно ако одговорот на системот е y1 под дејство на влезот x1 и y2 под дејство на влезот x2, тогаш одговорот на системот под дејство на влезот x1 и x2 е y1+y2.
Врз основа на принципот на суперпозиција, произволен влез може да се разложи на збир од серија инфинизимални импулси, а потоа може да се добие вкупниот одговор на системот. Збирот на хармоничните компоненти на периодичното возбудување може да се прошири во серија хармонични компоненти со Фуриеова трансформација, а ефектот на секоја хармонична компонента врз системот може да се испита одделно. Затоа, карактеристиките на одговор на линеарните системи со константни параметри може да се опишат со импулсен одговор или фреквентен одговор.
Импулсниот одговор се однесува на одговорот на системот на единичниот импулс, кој ги карактеризира карактеристиките на одговорот на системот во временскиот домен. Фреквенцискиот одговор се однесува на карактеристиката на одговорот на системот на влезот на единичната хармоника. Соодветството помеѓу двете се определува со Фуриеовата трансформација.
класификација
Линеарните вибрации може да се поделат на линеарни вибрации на системи со еден степен на слобода и линеарни вибрации на системи со повеќе степени на слобода.
(1) линеарното вибрационо движење на систем со еден степен на слобода е линеарно вибрационо движење чија положба може да се одреди со генерализирана координата. Тоа е наједноставното вибрационо движење од кое можат да се извлечат многу основни концепти и карактеристики на вибрационото движење. Вклучува едноставно хармонично вибрационо движење, слободно вибрационо движење, вибрационо движење на атенуација и принудно вибрационо движење.
Едноставна хармонична вибрација: возвратно движење на објект во близина на неговата рамнотежна положба според синусоидален закон под дејство на сила за враќање во првобитната состојба пропорционална на неговото поместување.
Пригушени вибрации: вибрации чија амплитуда континуирано се намалува поради присуството на триење и диелектричен отпор или друга потрошувачка на енергија.
Принудени вибрации: вибрации на систем под постојано возбудување.
(2) линеарната вибрација на системот со повеќе степени на слобода е вибрација на линеарниот систем со n≥2 степени на слобода. Систем од n степени на слобода има n природни фреквенции и n главни модови. Секоја конфигурација на вибрации на системот може да се претстави како линеарна комбинација од главните модови. Затоа, методот на суперпозиција на главниот мод е широко користен во анализата на динамички одговор на системи со повеќе степени на слобода. На овој начин, мерењето и анализата на карактеристиките на природните вибрации на системот станува рутински чекор во динамичкиот дизајн на системот. Динамичките карактеристики на системите со повеќе степени на слобода може да се опишат и со фреквентни карактеристики. Бидејќи постои функција на карактеристики на фреквенцијата помеѓу секој влез и излез, се конструира матрица на карактеристики на фреквенцијата. Постои дефинитивна врска помеѓу карактеристиката на фреквенцијата и главниот мод. Кривата на карактеристиките на амплитудно-фреквенцијата на системот со повеќе степени на слобода е различна од онаа на системот со една слобода.
Линеарна вибрација на систем со еден степен на слобода
Линеарна вибрација во која положбата на системот може да се одреди со генерализирана координата. Тоа е наједноставната и најфундаменталната вибрација од која можат да се изведат многу основни концепти и карактеристики на вибрациите. Вклучува едноставна хармонична вибрација, пригушена вибрација и принудна вибрација.
Хармонична вибрација
Под дејство на враќање на сила пропорционална на поместувањето, објектот возвраќа на синусоиден начин во близина на неговата рамнотежна положба (Сл. 1). X го претставува поместувањето, а t го претставува времето. Математичкиот израз за оваа вибрација е:
(1)Каде што A е максималната вредност на поместувањето x, што се нарекува амплитуда, и го претставува интензитетот на вибрациите; Omega n е амплитудата, аголниот прираст на вибрациите во секунда, што се нарекува аголна фреквенција или кружна фреквенција; Ова се нарекува почетна фаза. Во однос на f = n/2, бројот на осцилации во секунда се нарекува фреквенција; Инверзното од ова, T = 1/f, е времето потребно за да се осцилира еден циклус, а тоа се нарекува период. Амплитудата A, фреквенцијата f (или аголната фреквенција n), почетната фаза, позната како едноставна хармонична вибрација на трите елементи.
Сл. 1 едноставна крива на хармонични вибрации
Како што е прикажано на Сл. 2, едноставен хармониски осцилатор е формиран од концентрираната маса m поврзана со линеарна пружина. Кога вибрационото поместување се пресметува од рамнотежната положба, равенката на вибрацијата е:
Каде што е цврстината на пружината. Општото решение на горенаведената равенка е (1).A и може да се определи со почетната положба x0 и почетната брзина при t=0:
Но омега n е определено само од карактеристиките на самиот систем m и k, независно од дополнителните почетни услови, па затоа омега n е познато и како природна фреквенција.
Сл. 2 систем со еден степен на слобода
За едноставен хармоничен осцилатор, збирот од неговата кинетичка енергија и потенцијална енергија е константен, односно вкупната механичка енергија на системот е зачувана. Во процесот на вибрации, кинетичката енергија и потенцијалната енергија постојано се трансформираат една во друга.
Пригушување на вибрациите
Вибрација чија амплитуда континуирано се намалува поради триење и диелектричен отпор или друга потрошувачка на енергија. За микровибрации, брзината генерално не е многу голема, а отпорот на средината е пропорционален на брзината во однос на првата степен, што може да се запише како c е коефициент на пригушување. Затоа, равенката на вибрации од еден степен на слобода со линеарно пригушување може да се запише како:
(2)Каде што, m =c/2m се нарекува параметар на пригушување, и. Општото решение на формулата (2) може да се запише:
(3)Нумеричката врска помеѓу омега n и PI може да се подели на следниве три случаи:
N > (во случај на мало пригушување) честички предизвикани од вибрации на слабеење, равенката на вибрации е:
Неговата амплитуда се намалува со текот на времето според експоненцијалниот закон прикажан во равенката, како што е прикажано на испрекинатата линија на Сл. 3. Строго кажано, оваа вибрација е апериодична, но фреквенцијата на нејзиниот врв може да се дефинира како:
Се нарекува стапка на намалување на амплитудата, каде што е периодот на вибрации. Природниот логаритам на стапката на намалување на амплитудата се нарекува логаритам минус (амплитуда) стапка. Очигледно, =, во овој случај, е еднакво на 2/1. Директно преку експерименталниот тест делта и, користејќи ја горенаведената формула, може да се пресмета c.
Во овој момент, решението на равенката (2) може да се запише:
Заедно со насоката на почетната брзина, може да се подели на три случаи без вибрации, како што е прикажано на Сл. 4.
N < (во случај на големо пригушување), решението на равенката (2) е прикажано во равенката (3). Во овој момент, системот повеќе не вибрира.
Принудени вибрации
Вибрации на систем под константно возбудување. Анализата на вибрации главно го истражува одговорот на системот на возбудување. Периодичното возбудување е типично регуларно возбудување. Бидејќи периодичното возбудување секогаш може да се разложи на збир од неколку хармонични возбудувања, според принципот на суперпозиција, потребен е само одговорот на системот на секое хармонично возбудување. Под дејство на хармонично возбудување, диференцијалната равенка на движење на систем со еден степен на слобода може да се напише:
Одговорот е збир од два дела. Едниот дел е одговор на пригушена вибрација, која брзо се намалува со текот на времето. Одговорот на друг дел од принудна вибрација може да се запише:
Сл. 3 крива на пригушени вибрации
Сл. 4 криви од три почетни услови со критично пригушување
Внесете го
H /F0= h (), е односот на амплитудата на стационарен одговор кон амплитудата на возбудување, што ги карактеризира карактеристиките на амплитудно-фреквенцијата, или функцијата на засилување; Битови за стационарен одговор и стимулација на фазата, карактеризација на карактеристиките на фазната фреквенција. Односот помеѓу нив и фреквенцијата на возбудување е прикажан на Сл. 5 и Сл. 6.
Како што може да се види од кривата на амплитудно-фреквенција (Сл. 5), во случај на мало пригушување, кривата на амплитудно-фреквенција има еден врв. Колку е помало пригушувањето, толку е пострмен врвот; Фреквенцијата што одговара на врвот се нарекува резонантна фреквенција на системот. Во случај на мало пригушување, резонантната фреквенција не се разликува многу од сопствената фреквенција. Кога фреквенцијата на побудување е блиску до сопствената фреквенција, амплитудата нагло се зголемува. Овој феномен се нарекува резонанца. При резонанца, засилувањето на системот е максимизирано, односно принудните вибрации се најинтензивни. Затоа, генерално, секогаш се стремиме да избегнеме резонанца, освен ако некои инструменти и опрема не користат резонанца за да постигнат големи вибрации.
Сл. 5 крива на амплитуда и фреквенција
Може да се види од кривата на фазната фреквенција (слика 6), без оглед на големината на пригушувањето, во битови со омега нула фазна разлика = PI / 2, оваа карактеристика може ефикасно да се користи при мерење на резонанца.
Покрај стабилното возбудување, системите понекогаш се среќаваат со нестабилно возбудување. Може грубо да се подели на два вида: едниот е ненадејно влијание. Вториот е траен ефект на произволност. Под нестабилно возбудување, одговорот на системот е исто така нестабилен.
Моќна алатка за анализа на нестабилни вибрации е методот на импулсен одговор. Тој ги опишува динамичките карактеристики на системот со преоден одговор на единичниот импулсен влез на системот. Единечниот импулс може да се изрази како делта функција. Во инженерството, делта функцијата често се дефинира како:
Каде што 0- ја претставува точката на t-оската што се приближува кон нула од лево; 0 плус е точката што оди до 0 од десно.
Сл. 6 крива на фазна фреквенција
Сл. 7 секој влез може да се смета како збир од низа импулсни елементи
Системот одговара на одговорот h(t) генериран од единичниот импулс при t=0, кој се нарекува функција на импулсен одговор. Претпоставувајќи дека системот е стационарен пред импулсот, h(t)=0 за t<0. Знаејќи ја функцијата на импулсен одговор на системот, можеме да го најдеме одговорот на системот на кој било влез x(t). Во овој момент, можеме да го замислиме x(t) како збир од низа импулсни елементи (Сл. 7). Одговорот на системот е:
Врз основа на принципот на суперпозиција, вкупниот одговор на системот што одговара на x(t) е:
Овој интеграл се нарекува конволуционен интеграл или интеграл на суперпозиција.
Линеарна вибрација на систем со повеќе степени на слобода
Вибрации на линеарен систем со n≥2 степени на слобода.
Слика 8 прикажува два едноставни резонантни подсистеми поврзани со спојна пружина. Бидејќи станува збор за систем со два степени на слобода, потребни се две независни координати за да се одреди неговата позиција. Во овој систем постојат две природни фреквенции:
Секоја фреквенција одговара на мод на вибрации. Хармоничните осцилатори извршуваат хармонични осцилации со иста фреквенција, синхроно минувајќи низ рамнотежната положба и синхроно достигнувајќи ја екстремната положба. Во главната вибрација што одговара на омега еден, x1 е еднакво на x2; Во главната вибрација што одговара на омега омега два, омега омега еден. Во главната вибрација, односот на поместување на секоја маса одржува одредена врска и формира одреден мод, кој се нарекува главен мод или природен мод. Ортогоналноста на масата и крутоста постои помеѓу главните модови, што ја одразува независноста на секоја вибрација. Природната фреквенција и главниот мод ги претставуваат вродените карактеристики на вибрациите на системот со повеќе степени на слобода.
Сл. 8 систем со повеќе степени на слобода
Систем од n степени на слобода има n природни фреквенции и n главни модови. Секоја конфигурација на вибрации на системот може да се претстави како линеарна комбинација од главните модови. Затоа, методот на суперпозиција на главниот мод е широко користен во анализата на динамички одговор на системи со повеќекратна длабочина. На овој начин, мерењето и анализата на природните вибрациски карактеристики на системот станува рутински чекор во динамичкиот дизајн на системот.
Динамичките карактеристики на системите со повеќекратна слобода може да се опишат и со фреквенциски карактеристики. Бидејќи постои функција на карактеристики на фреквенцијата помеѓу секој влез и излез, се конструира матрица на карактеристики на фреквенцијата. Кривата на карактеристиките на амплитудно-фреквенцијата на системот со повеќеслободи е различна од онаа на системот со една слобода.
Еластомерот вибрира
Горенаведениот систем со повеќе степени на слобода е приближен механички модел на еластомер. Еластомерот има бесконечен број степени на слобода. Постои квантитативна разлика, но нема суштинска разлика помеѓу двата. Секој еластомер има бесконечен број природни фреквенции и бесконечен број соодветни модови, а постои и ортогоналност помеѓу модовите на маса и цврстина. Секоја вибрациона конфигурација на еластомерот може да се претстави и како линеарна суперпозиција на главните модови. Затоа, за анализа на динамички одговор на еластомер, методот на суперпозиција на главниот мод е сè уште применлив (видете линеарна вибрација на еластомер).
Да земеме за вибрацијата на жица. Да речеме дека тенка жица со маса m по единица должина, долга l, е затегната на двата краја, а затегнатоста е T. Во тој момент, природната фреквенција на жицата се определува со следната равенка:
F = na/2l (n = 1,2,3…).
Каде што , е брзината на ширење на попречниот бран долж насоката на жицата. Природните фреквенции на жиците се множители на основната фреквенција над 2l. Овој целоброен множителство води до пријатна хармонична структура. Општо земено, не постои таква целоброена множителска врска меѓу природните фреквенции на еластомерот.
Првите три модови на затегнатата жица се прикажани на Сл. 9. Постојат неколку јазли на кривата на главниот мод. При главната вибрација, јазлите не вибрираат. Сл. 10 прикажува неколку типични модови на кружната плоча со периферна потпора со некои нодални линии составени од кругови и дијаметри.
Точната формулација на проблемот со вибрации на еластомерот може да се заклучи како проблем со гранични вредности на парцијални диференцијални равенки. Сепак, точното решение може да се најде само во некои од наједноставните случаи, па затоа мора да се прибегне кон приближно решение за проблемот со сложени вибрации на еластомерот. Суштината на различните приближни решенија е да се промени бесконечното во конечно, односно да се дискретизира повеќестепениот систем на слобода без екстремитети (континуиран систем) во конечен повеќестепениот систем на слобода (дискретен систем). Постојат два вида методи на дискретизација кои се широко користени во инженерската анализа: метод на конечни елементи и метод на модална синтеза.
Сл. 9 режим на низа
Сл. 10 мод на кружна плоча
Методот на конечни елементи е композитна структура која апстрахира комплексна структура во конечен број елементи и ги поврзува на конечен број јазли. Секоја единица е еластомер; Дистрибутивното поместување на елементот се изразува со интерполаторска функција на поместувањето на јазолот. Потоа, параметрите на дистрибуција на секој елемент се концентрираат на секој јазол во одреден формат, и се добива механички модел на дискретниот систем.
Модалната синтеза е разложување на комплексна структура во неколку поедноставни потструктури. Врз основа на разбирањето на вибрационите карактеристики на секоја потструктура, потструктурата се синтетизира во општа структура според координативните услови на интерфејсот, а вибрационата морфологија на општата структура се добива со користење на вибрационата морфологија на секоја потструктура.
Двата методи се различни и поврзани и можат да се користат како референца. Методот на модална синтеза може ефикасно да се комбинира и со експерименталното мерење за да се формира теоретски и експериментален метод на анализа за вибрациите на големи системи.
Време на објавување: 03 април 2020 година
