Apakah getaran linear?

Getaran linear: keanjalan komponen dalam sistem tertakluk kepada hukum Hooke, dan daya redaman yang dihasilkan semasa gerakan adalah berkadar terus dengan persamaan pertama halaju umum (terbitan masa bagi koordinat umum).

konsep

Sistem linear biasanya merupakan model abstrak getaran sistem sebenar. Sistem getaran linear menggunakan prinsip superposisi, iaitu, jika tindak balas sistem ialah y1 di bawah tindakan input x1, dan y2 di bawah tindakan input x2, maka tindak balas sistem di bawah tindakan input x1 dan x2 ialah y1+y2.

Berdasarkan prinsip superposisi, input sewenang-wenangnya boleh diuraikan kepada jumlah siri impuls yang sangat kecil, dan kemudian jumlah tindak balas sistem boleh diperolehi. Jumlah komponen harmonik bagi pengujaan berkala boleh dikembangkan kepada satu siri komponen harmonik melalui transformasi Fourier, dan kesan setiap komponen harmonik pada sistem boleh disiasat secara berasingan. Oleh itu, ciri-ciri tindak balas sistem linear dengan parameter malar boleh digambarkan oleh tindak balas impuls atau tindak balas frekuensi.

Respons impuls merujuk kepada respons sistem terhadap impuls unit, yang mencirikan ciri-ciri respons sistem dalam domain masa. Respons frekuensi merujuk kepada ciri respons sistem terhadap input harmonik unit. Kesepadanan antara kedua-duanya ditentukan oleh transformasi Fourier.

pengelasan

Getaran linear boleh dibahagikan kepada getaran linear sistem darjah kebebasan tunggal dan getaran linear sistem darjah kebebasan berbilang.

(1) getaran linear bagi sistem darjah kebebasan tunggal ialah getaran linear yang kedudukannya boleh ditentukan oleh koordinat umum. Ia merupakan getaran paling ringkas yang boleh menghasilkan banyak konsep dan ciri asas getaran. Ia merangkumi getaran harmonik mudah, getaran bebas, getaran pelemahan dan getaran paksa.

Getaran harmonik mudah: gerakan salingan sesuatu objek di sekitar kedudukan keseimbangannya mengikut hukum sinusoidal di bawah tindakan daya pemulihan yang berkadar dengan anjakannya.

Getaran teredam: getaran yang amplitudnya sentiasa dilemahkan oleh kehadiran geseran dan rintangan dielektrik atau penggunaan tenaga lain.

Getaran paksa: getaran sistem di bawah pengujaan berterusan.

(2) getaran linear sistem berbilang darjah kebebasan adalah getaran sistem linear dengan n≥2 darjah kebebasan. Sistem dengan n darjah kebebasan mempunyai n frekuensi semula jadi dan n mod utama. Sebarang konfigurasi getaran sistem boleh diwakili sebagai gabungan linear mod utama. Oleh itu, kaedah superposisi mod utama digunakan secara meluas dalam analisis tindak balas dinamik sistem berbilang darjah. Dengan cara ini, pengukuran dan analisis ciri-ciri getaran semula jadi sistem menjadi langkah rutin dalam reka bentuk dinamik sistem. Ciri-ciri dinamik sistem berbilang darjah juga boleh digambarkan oleh ciri-ciri frekuensi. Oleh kerana terdapat fungsi ciri frekuensi antara setiap input dan output, matriks ciri frekuensi dibina. Terdapat hubungan yang pasti antara ciri frekuensi dan mod utama. Lengkung ciri amplitud-frekuensi sistem berbilang kebebasan adalah berbeza daripada sistem kebebasan tunggal.

Getaran linear sistem darjah kebebasan tunggal

Getaran linear di mana kedudukan sesuatu sistem boleh ditentukan oleh koordinat umum. Ia merupakan getaran paling ringkas dan paling asas yang boleh menghasilkan banyak konsep dan ciri asas getaran. Ia termasuk getaran harmonik mudah, getaran teredam dan getaran paksa.

Getaran harmonik

Di bawah tindakan daya pemulihan yang berkadar dengan anjakan, objek tersebut berbalas secara sinusoidal berhampiran kedudukan keseimbangannya (RAJAH 1). X mewakili anjakan dan t mewakili masa. Ungkapan matematik bagi getaran ini ialah:

(1)Di mana A ialah nilai maksimum anjakan x, yang dipanggil amplitud, dan mewakili keamatan getaran; Omega n ialah amplitud Pertambahan sudut getaran sesaat, yang dipanggil frekuensi sudut, atau frekuensi bulat; Ini dipanggil fasa awal. Dari segi f= n/2, bilangan ayunan sesaat dipanggil frekuensi; Songsangan bagi ini, T=1/f, ialah masa yang diperlukan untuk berayun satu kitaran, dan itu dipanggil tempoh. Amplitud A, frekuensi f (atau frekuensi sudut n), fasa awal, dikenali sebagai getaran harmonik mudah tiga elemen.

RAJAH 1 lengkung getaran harmonik mudah

Seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2, pengayun harmonik ringkas dibentuk oleh jisim pekat m yang disambungkan oleh pegas linear. Apabila anjakan getaran dikira dari kedudukan keseimbangan, persamaan getaran ialah:

Di mana ialah kekakuan spring. Penyelesaian umum kepada persamaan di atas ialah (1).A dan boleh ditentukan oleh kedudukan awal x0 dan halaju awal pada t=0:

Tetapi omega n hanya ditentukan oleh ciri-ciri sistem itu sendiri m dan k, bebas daripada keadaan awal tambahan, jadi omega n juga dikenali sebagai frekuensi semula jadi.

RAJAH 2 sistem darjah kebebasan tunggal

Bagi pengayun harmonik mudah, jumlah tenaga kinetik dan tenaga keupayaannya adalah malar, iaitu jumlah tenaga mekanikal sistem adalah terpelihara. Dalam proses getaran, tenaga kinetik dan tenaga keupayaan sentiasa berubah menjadi satu sama lain.

Getaran redaman

Getaran yang amplitudnya sentiasa dilemahkan oleh geseran dan rintangan dielektrik atau penggunaan tenaga lain. Bagi getaran mikro, halaju pada amnya tidak begitu besar, dan rintangan sederhana adalah berkadar dengan halaju kepada kuasa pertama, yang boleh ditulis sebagai c ialah pekali redaman. Oleh itu, persamaan getaran satu darjah kebebasan dengan redaman linear boleh ditulis sebagai:

(2)Di mana, m = c/2m dipanggil parameter redaman, dan. Penyelesaian umum formula (2) boleh ditulis:

(3)Hubungan berangka antara omega n dan PI boleh dibahagikan kepada tiga kes berikut:

N > (dalam kes redaman kecil) zarah menghasilkan getaran pelemahan, persamaan getaran ialah:

Amplitudnya berkurangan mengikut masa mengikut hukum eksponen yang ditunjukkan dalam persamaan, seperti yang ditunjukkan dalam garis putus-putus dalam Rajah 3. Secara tepatnya, getaran ini adalah aperiodik, tetapi frekuensi puncaknya boleh ditakrifkan sebagai:

Dipanggil kadar pengurangan amplitud, yang mana ialah tempoh getaran. Logaritma asli bagi kadar pengurangan amplitud dipanggil logaritma tolak kadar (amplitud). Jelas sekali, =, dalam kes ini, adalah sama dengan 2/1. Secara langsung melalui delta ujian eksperimen dan, menggunakan formula di atas, c boleh dikira.

Pada masa ini, penyelesaian persamaan (2) boleh ditulis:

Bersamaan dengan arah halaju awal, ia boleh dibahagikan kepada tiga kes bukan getaran seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 4.

N < (dalam kes redaman besar), penyelesaian kepada persamaan (2) ditunjukkan dalam persamaan (3). Pada ketika ini, sistem tidak lagi bergetar.

Getaran paksa

Getaran sistem di bawah pengujaan malar. Analisis getaran terutamanya mengkaji tindak balas sistem terhadap pengujaan. Pengujaan berkala ialah pengujaan biasa yang biasa. Memandangkan pengujaan berkala sentiasa boleh diuraikan kepada jumlah beberapa pengujaan harmonik, mengikut prinsip superposisi, hanya tindak balas sistem terhadap setiap pengujaan harmonik diperlukan. Di bawah tindakan pengujaan harmonik, persamaan gerakan pembezaan sistem teredam darjah kebebasan tunggal boleh ditulis:

Respons tersebut merupakan hasil tambah dua bahagian. Satu bahagian ialah respons getaran lembap, yang mereput dengan cepat mengikut masa. Respons bahagian getaran paksa yang lain boleh ditulis:

RAJAH 3 lengkung getaran lembap

RAJAH 4 lengkung bagi tiga keadaan awal dengan redaman kritikal

Taip dalam

H /F0= h(), ialah nisbah amplitud tindak balas mantap kepada amplitud pengujaan, yang mencirikan ciri-ciri frekuensi amplitud, atau fungsi gandaan; Bit untuk tindak balas keadaan mantap dan insentif fasa, pencirian ciri-ciri frekuensi fasa. Hubungan antara kedua-duanya dan frekuensi pengujaan ditunjukkan dalam Rajah 5 dan Rajah 6.

Seperti yang dapat dilihat dari lengkung amplitud-frekuensi (RAJAH 5), dalam kes redaman kecil, lengkung amplitud-frekuensi mempunyai puncak tunggal. Lebih kecil redaman, lebih curam puncaknya; Frekuensi yang sepadan dengan puncak dipanggil frekuensi resonan sistem. Dalam kes redaman kecil, frekuensi resonans tidak jauh berbeza daripada frekuensi semula jadi. Apabila frekuensi pengujaan hampir dengan frekuensi semula jadi, amplitud meningkat dengan mendadak. Fenomena ini dipanggil resonans. Pada resonans, gandaan sistem dimaksimumkan, iaitu, getaran paksa adalah yang paling kuat. Oleh itu, secara amnya, sentiasa berusaha untuk mengelakkan resonans, melainkan sesetengah instrumen dan peralatan menggunakan resonans untuk mencapai getaran besar.

RAJAH 5 lengkung frekuensi amplitud

Boleh dilihat daripada lengkung frekuensi fasa (rajah 6), tanpa mengira saiz redaman, dalam bit perbezaan fasa omega sifar = PI / 2, ciri ini boleh digunakan secara berkesan dalam mengukur resonans.

Selain pengujaan yang stabil, sistem kadangkala mengalami pengujaan yang tidak stabil. Ia boleh dibahagikan kepada dua jenis secara kasar: satu ialah hentaman tiba-tiba. Yang kedua ialah kesan kearbitrarian yang berkekalan. Di bawah pengujaan yang tidak stabil, tindak balas sistem juga tidak stabil.

Satu alat yang ampuh untuk menganalisis getaran tak stabil ialah kaedah tindak balas impuls. Ia menerangkan ciri-ciri dinamik sistem dengan tindak balas sementara input impuls unit sistem. Impuls unit boleh dinyatakan sebagai fungsi delta. Dalam kejuruteraan, fungsi delta sering ditakrifkan sebagai:

Dengan 0- mewakili titik pada paksi-t yang menghampiri sifar dari kiri; 0 tambah ialah titik yang menuju ke 0 dari kanan.

RAJAH 6 lengkung frekuensi fasa

RAJAH 7 sebarang input boleh dianggap sebagai jumlah siri elemen impuls

Sistem ini sepadan dengan tindak balas h(t) yang dijana oleh impuls unit pada t=0, yang dipanggil fungsi tindak balas impuls. Dengan mengandaikan bahawa sistem pegun sebelum denyutan, h(t)=0 untuk t<0. Mengetahui fungsi tindak balas impuls sistem, kita boleh mencari tindak balas sistem terhadap sebarang input x(t). Pada ketika ini, anda boleh menganggap x(t) sebagai jumlah siri elemen impuls (Rajah 7). Tindak balas sistem ialah:

Berdasarkan prinsip superposisi, jumlah tindak balas sistem yang sepadan dengan x(t) ialah:

Kamiran ini dipanggil kamiran konvolusi atau kamiran superposisi.

Getaran linear sistem berbilang darjah kebebasan

Getaran sistem linear dengan n≥2 darjah kebebasan.

Rajah 8 menunjukkan dua subsistem resonan ringkas yang disambungkan oleh pegas gandingan. Oleh kerana ia merupakan sistem dua darjah kebebasan, dua koordinat bebas diperlukan untuk menentukan kedudukannya. Terdapat dua frekuensi semula jadi dalam sistem ini:

Setiap frekuensi sepadan dengan mod getaran. Pengayun harmonik menjalankan ayunan harmonik pada frekuensi yang sama, secara serentak melalui kedudukan keseimbangan dan secara serentak mencapai kedudukan ekstrem. Dalam getaran utama yang sepadan dengan omega satu, x1 bersamaan dengan x2; Dalam getaran utama yang sepadan dengan omega dua, omega satu. Dalam getaran utama, nisbah anjakan setiap jisim mengekalkan hubungan tertentu dan membentuk mod tertentu, yang dipanggil mod utama atau mod semula jadi. Ortogonal jisim dan kekakuan wujud antara mod utama, yang mencerminkan kebebasan setiap getaran. Frekuensi semula jadi dan mod utama mewakili ciri getaran semula jadi sistem berbilang darjah kebebasan.

RAJAH 8 sistem dengan pelbagai darjah kebebasan

Sistem dengan n darjah kebebasan mempunyai n frekuensi semula jadi dan n mod utama. Sebarang konfigurasi getaran sistem boleh diwakili sebagai gabungan linear mod utama. Oleh itu, kaedah superposisi mod utama digunakan secara meluas dalam analisis tindak balas dinamik sistem berbilang fungsi. Dengan cara ini, pengukuran dan analisis ciri-ciri getaran semula jadi sistem menjadi langkah rutin dalam reka bentuk dinamik sistem.

Ciri-ciri dinamik sistem berbilang-dof juga boleh digambarkan oleh ciri-ciri frekuensi. Oleh kerana terdapat fungsi ciri frekuensi antara setiap input dan output, matriks ciri frekuensi dibina. Lengkung ciri amplitud-frekuensi sistem berbilang-kebebasan adalah berbeza daripada sistem kebebasan tunggal.

Elastomer bergetar

Sistem berbilang darjah kebebasan di atas merupakan model mekanikal elastomer anggaran. Elastomer mempunyai bilangan darjah kebebasan yang tidak terhingga. Terdapat perbezaan kuantitatif tetapi tiada perbezaan penting antara kedua-duanya. Mana-mana elastomer mempunyai bilangan frekuensi semula jadi yang tidak terhingga dan bilangan mod sepadan yang tidak terhingga, dan terdapat ortogonal antara mod jisim dan kekakuan. Sebarang konfigurasi getaran elastomer juga boleh diwakili sebagai superposisi linear mod utama. Oleh itu, untuk analisis tindak balas dinamik elastomer, kaedah superposisi mod utama masih boleh digunakan (lihat getaran linear elastomer).

Ambil getaran seutas tali. Katakan seutas tali nipis berjisim m per unit panjang, panjang l, ditegangkan pada kedua-dua hujungnya, dan tegangannya ialah T. Pada masa ini, frekuensi semula jadi tali ditentukan oleh persamaan berikut:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Di mana, ialah halaju perambatan gelombang melintang sepanjang arah tali. Frekuensi semula jadi tali adalah gandaan frekuensi asas ke atas 2l. Kepelbagaian integer ini membawa kepada struktur harmonik yang menyenangkan. Secara amnya, tiada hubungan gandaan integer sedemikian antara frekuensi semula jadi elastomer.

Tiga mod pertama tali tegang ditunjukkan dalam RAJAH 9. Terdapat beberapa nod pada lengkung mod utama. Dalam getaran utama, nod tidak bergetar. RAJAH 10 menunjukkan beberapa mod tipikal plat bulat yang disokong secara lilitan dengan beberapa garisan nod yang terdiri daripada bulatan dan diameter.

Formulasi tepat bagi masalah getaran elastomer boleh disimpulkan sebagai masalah nilai sempadan bagi persamaan pembezaan separa. Walau bagaimanapun, penyelesaian yang tepat hanya boleh didapati dalam beberapa kes paling mudah, jadi kita perlu menggunakan penyelesaian anggaran untuk masalah getaran elastomer yang kompleks. Intipati pelbagai penyelesaian anggaran adalah untuk mengubah yang tidak terhingga kepada yang terhingga, iaitu, untuk mendiskretkan sistem berbilang darjah kebebasan tanpa anggota badan (sistem berterusan) kepada sistem berbilang darjah kebebasan terhingga (sistem diskret). Terdapat dua jenis kaedah pendiskretan yang digunakan secara meluas dalam analisis kejuruteraan: kaedah unsur terhingga dan kaedah sintesis modal.

RAJAH 9 mod rentetan

RAJAH 10 mod plat bulat

Kaedah unsur terhingga ialah struktur komposit yang mengabstrakkan struktur kompleks kepada bilangan unsur yang terhingga dan menghubungkannya pada bilangan nod yang terhingga. Setiap unit ialah elastomer; Anjakan taburan unsur dinyatakan oleh fungsi interpolasi anjakan nod. Kemudian parameter taburan setiap unsur ditumpukan kepada setiap nod dalam format tertentu, dan model mekanikal sistem diskret diperoleh.

Sintesis modal ialah penguraian struktur kompleks kepada beberapa substruktur yang lebih ringkas. Berdasarkan pemahaman ciri-ciri getaran setiap substruktur, substruktur disintesis menjadi struktur umum mengikut keadaan koordinasi pada antara muka, dan morfologi getaran struktur umum diperoleh dengan menggunakan morfologi getaran setiap substruktur.

Kedua-dua kaedah ini berbeza dan berkaitan, dan boleh digunakan sebagai rujukan. Kaedah sintesis modal juga boleh digabungkan secara berkesan dengan pengukuran eksperimen untuk membentuk kaedah analisis teori dan eksperimen untuk getaran sistem besar.