Czym są drgania liniowe?

Wibracje liniowe:elastyczność komponentów układu podlega prawu Hooke’a, a siła tłumienia generowana w trakcie ruchu jest proporcjonalna do pierwszego równania prędkości uogólnionej (pochodna czasowa współrzędnych uogólnionych).

pojęcie

Układ liniowy jest zwykle abstrakcyjnym modelem drgań układu rzeczywistego. W liniowym układzie drgań stosowana jest zasada superpozycji, tzn. jeśli odpowiedź układu wynosi y1 pod wpływem działania sygnału wejściowego x1 i y2 pod wpływem sygnału wejściowego x2, to odpowiedź układu pod wpływem działania sygnału wejściowego x1 i x2 wynosi y1+y2.

Na podstawie zasady superpozycji dowolny sygnał wejściowy można rozłożyć na sumę szeregu nieskończenie małych impulsów, a następnie uzyskać całkowitą odpowiedź układu. Sumę składowych harmonicznych okresowego wzbudzenia można rozwinąć w szereg składowych harmonicznych za pomocą transformaty Fouriera, a wpływ każdej składowej harmonicznej na układ można zbadać osobno. Dlatego też charakterystyki odpowiedzi układów liniowych o stałych parametrach można opisać za pomocą odpowiedzi impulsowej lub odpowiedzi częstotliwościowej.

Odpowiedź impulsowa odnosi się do odpowiedzi układu na impuls jednostkowy, która charakteryzuje charakterystykę odpowiedzi układu w dziedzinie czasu. Odpowiedź częstotliwościowa odnosi się do charakterystyki odpowiedzi układu na jednostkowy harmoniczny sygnał wejściowy. Odpowiedniość między nimi jest określana za pomocą transformaty Fouriera.

klasyfikacja

Drgania liniowe można podzielić na drgania liniowe układu o jednym stopniu swobody i drgania liniowe układu o wielu stopniach swobody.

(1) Drgania liniowe układu o jednym stopniu swobody to drgania liniowe, których położenie można określić za pomocą współrzędnej uogólnionej. Są to najprostsze drgania, z których można wyprowadzić wiele podstawowych koncepcji i charakterystyk drgań. Należą do nich proste drgania harmoniczne, drgania swobodne, drgania tłumione i drgania wymuszone.

Proste drgania harmoniczne: ruch posuwisto-zwrotny ciała w pobliżu jego położenia równowagi zgodnie z prawem sinusoidalnym pod działaniem siły przywracającej proporcjonalnej do jego przemieszczenia.

Drgania tłumione: drgania, których amplituda jest stale tłumiona przez tarcie i opór dielektryczny lub inne rodzaje zużycia energii.

Drgania wymuszone: drgania układu poddanego stałemu wzbudzeniu.

(2) drgania liniowe układu o wielu stopniach swobody są drganiami układu liniowego o n ≥ 2 stopniach swobody. Układ o n stopniach swobody ma n częstotliwości naturalnych i n modów głównych. Dowolną konfigurację drgań układu można przedstawić jako kombinację liniową modów głównych. Dlatego metoda superpozycji modów głównych jest szeroko stosowana w analizie odpowiedzi dynamicznej układów o wielu stopniach swobody. W ten sposób pomiar i analiza charakterystyk drgań własnych układu staje się rutynowym krokiem w projektowaniu dynamicznym układu. Charakterystyki dynamiczne układów o wielu stopniach swobody można również opisać za pomocą charakterystyk częstotliwościowych. Ponieważ między każdym wejściem i wyjściem istnieje funkcja charakterystyki częstotliwościowej, konstruowana jest macierz charakterystyki częstotliwościowej. Istnieje określony związek między charakterystyką częstotliwościową a modą główną. Krzywa charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej układu o wielu stopniach swobody różni się od krzywej charakterystyki układu o pojedynczej swobodzie.

Drgania liniowe układu o jednym stopniu swobody

Drgania liniowe, w których położenie układu można określić za pomocą współrzędnych uogólnionych. Są to najprostsze i najbardziej podstawowe drgania, z których można wyprowadzić wiele podstawowych koncepcji i charakterystyk drgań. Należą do nich proste drgania harmoniczne, drgania tłumione i drgania wymuszone.

Wibracje harmoniczne

Pod wpływem siły przywracającej proporcjonalnej do przemieszczenia, obiekt porusza się ruchem posuwisto-zwrotnym w kierunku sinusoidalnym w pobliżu położenia równowagi (rys. 1). X reprezentuje przemieszczenie, a t reprezentuje czas. Wyrażenie matematyczne tej wibracji jest następujące:

(1)Gdzie A jest maksymalną wartością przemieszczenia x, która nazywa się amplitudą i reprezentuje intensywność drgań; Omega n jest amplitudą Przyrost kątowy drgań na sekundę, który nazywa się częstotliwością kątową lub częstotliwością kołową; To nazywa się fazą początkową. W przypadku f= n/2, liczba drgań na sekundę nazywa się częstotliwością; Odwrotność tego, T=1/f, to czas potrzebny do wykonania jednego cyklu, nazywany okresem. Amplituda A, częstotliwość f (lub częstotliwość kątowa n), faza początkowa, znana jako proste drgania harmoniczne trzech elementów.

Rys. 1 prosta krzywa drgań harmonicznych

Jak pokazano na rys. 2, prosty oscylator harmoniczny powstaje ze skupionej masy m połączonej sprężyną liniową. Gdy przemieszczenie drgań oblicza się z położenia równowagi, równanie drgań ma postać:

Gdzie jest sztywność sprężyny. Ogólnym rozwiązaniem powyższego równania jest (1).A i można je określić na podstawie położenia początkowego x0 i prędkości początkowej w chwili t=0:

Jednakże omega n jest określona wyłącznie przez charakterystyki samego układu m i k, niezależnie od dodatkowych warunków początkowych, dlatego omega n jest również znana jako częstość drgań własnych.

Rys. 2. Układ o jednym stopniu swobody

W przypadku prostego oscylatora harmonicznego suma energii kinetycznej i energii potencjalnej jest stała, co oznacza, że ​​całkowita energia mechaniczna układu jest zachowana. W procesie drgań energia kinetyczna i energia potencjalna stale się przekształcają.

Tłumienie drgań

Drgania, których amplituda jest stale tłumiona przez tarcie i opór dielektryczny lub inne zużycie energii. W przypadku mikrodrgań prędkość jest na ogół niewielka, a opór ośrodka jest proporcjonalny do prędkości do pierwszej potęgi, co można zapisać jako c, które jest współczynnikiem tłumienia. Dlatego równanie drgań o jednym stopniu swobody z tłumieniem liniowym można zapisać w następujący sposób:

(2)Gdzie m = c/2m nazywane jest parametrem tłumienia, a ogólne rozwiązanie wzoru (2) można zapisać w następujący sposób:

(3)Zależność liczbową między omega n i PI można podzielić na trzy następujące przypadki:

N > (w przypadku małego tłumienia) cząstka wytworzyła drgania tłumiące, równanie drgań jest następujące:

Jego amplituda maleje z czasem zgodnie z prawem wykładniczym przedstawionym w równaniu, jak pokazano linią przerywaną na rys. 3. Ściśle rzecz biorąc, drgania te są aperiodyczne, ale częstotliwość ich szczytu można zdefiniować jako:

Nazywa się współczynnikiem redukcji amplitudy, gdzie jest okresem drgań. Logarytm naturalny współczynnika redukcji amplitudy nazywa się logarytmem minus współczynnik (amplitudy). Oczywiście, = w tym przypadku jest równe 2/1. Bezpośrednio poprzez test eksperymentalny delta i, korzystając z powyższego wzoru, można obliczyć c.

W tym momencie rozwiązanie równania (2) można zapisać w następujący sposób:

Względem kierunku prędkości początkowej można wyróżnić trzy przypadki bezwibracyjne, jak pokazano na rys. 4.

N < (w przypadku dużego tłumienia) rozwiązanie równania (2) pokazano w równaniu (3). W tym momencie układ nie drga już.

Wibracje wymuszone

Drgania układu przy stałym wzbudzeniu. Analiza drgań bada głównie odpowiedź układu na wzbudzenie. Wzbudzenie okresowe jest typowym wzbudzeniem regularnym. Ponieważ wzbudzenie okresowe można zawsze rozłożyć na sumę kilku wzbudzeń harmonicznych, zgodnie z zasadą superpozycji, wymagana jest jedynie odpowiedź układu na każde wzbudzenie harmoniczne. Pod działaniem wzbudzenia harmonicznego równanie różniczkowe ruchu układu tłumionego o jednym stopniu swobody można zapisać w następujący sposób:

Odpowiedź jest sumą dwóch części. Jedna część to odpowiedź drgań tłumionych, która szybko zanika w czasie. Odpowiedź drugiej części drgań wymuszonych można zapisać w następujący sposób:

Rys. 3 Krzywa drgań tłumionych

Rys. 4. Krzywe trzech warunków początkowych z tłumieniem krytycznym

Wpisz

H /F0= h (), jest stosunkiem amplitudy odpowiedzi ustalonej do amplitudy wzbudzenia, charakteryzującym charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe lub funkcję wzmocnienia; Bity dla odpowiedzi stanu ustalonego i zachęty fazy, charakteryzujące charakterystyki częstotliwości fazy. Związek między nimi a częstotliwością wzbudzenia pokazano na rys. 5 i rys. 6.

Jak widać na krzywej amplituda-częstotliwość (rys. 5), w przypadku małego tłumienia, krzywa amplituda-częstotliwość ma pojedynczy pik. Im mniejsze tłumienie, tym bardziej stromy pik. Częstotliwość odpowiadająca pikowi nazywana jest częstotliwością rezonansową układu. W przypadku małego tłumienia, częstotliwość rezonansowa niewiele różni się od częstotliwości drgań własnych. Gdy częstotliwość wzbudzenia jest bliska częstotliwości drgań własnych, amplituda gwałtownie rośnie. Zjawisko to nazywa się rezonansem. W rezonansie wzmocnienie układu jest maksymalne, co oznacza, że ​​drgania wymuszone są najsilniejsze. Dlatego, generalnie, należy zawsze dążyć do unikania rezonansu, chyba że niektóre instrumenty i urządzenia wykorzystują rezonans do uzyskania dużych drgań.

Rys. 5 Krzywa amplitudy i częstotliwości

Jak widać na krzywej częstotliwości fazowej (rysunek 6), niezależnie od wielkości tłumienia, w bitach różnicy faz omega zero = PI / 2, cecha ta może być skutecznie wykorzystywana w pomiarach rezonansu.

Oprócz wzbudzenia stacjonarnego, układy czasami napotykają wzbudzenie niestacjonarne. Można je podzielić na dwa typy: pierwszy to nagłe uderzenie. Drugi to trwały efekt arbitralności. Przy wzbudzeniu niestacjonarnym odpowiedź układu jest również niestacjonarna.

Potężnym narzędziem do analizy drgań niestacjonarnych jest metoda odpowiedzi impulsowej. Opisuje ona charakterystyki dynamiczne układu za pomocą odpowiedzi przejściowej jednostkowego impulsu wejściowego układu. Impuls jednostkowy można wyrazić jako funkcję delta. W inżynierii funkcję delta często definiuje się jako:

Gdzie 0- oznacza punkt na osi t zbliżający się do zera od lewej strony; 0 plus oznacza punkt zbliżający się do 0 od prawej strony.

Rys. 6 Krzywa częstotliwości fazowej

Rys. 7. Każde wejście można traktować jako sumę szeregu elementów impulsowych

Układ odpowiada odpowiedzi h(t) wygenerowanej przez impuls jednostkowy w chwili t=0, która nazywana jest funkcją odpowiedzi impulsowej. Zakładając, że układ jest nieruchomy przed impulsem, h(t)=0 dla t<0. Znając funkcję odpowiedzi impulsowej układu, możemy znaleźć odpowiedź układu na dowolne wejście x(t). W tym momencie można wyobrazić sobie x(t) jako sumę szeregu elementów impulsowych (rys. 7). Odpowiedź układu to:

Na podstawie zasady superpozycji całkowita odpowiedź układu odpowiadająca x(t) wynosi:

Całka ta nazywana jest całką splotową lub całką superpozycyjną.

Drgania liniowe układu o wielu stopniach swobody

Drgania układu liniowego o n≥2 stopniach swobody.

Rysunek 8 przedstawia dwa proste podukłady rezonansowe połączone sprężyną sprzęgającą. Ponieważ jest to układ o dwóch stopniach swobody, do określenia jego położenia potrzebne są dwie niezależne współrzędne. W układzie tym występują dwie częstotliwości własne:

Każda częstotliwość odpowiada modowi drgań. Oscylatory harmoniczne wykonują drgania harmoniczne o tej samej częstotliwości, synchronicznie przechodząc przez położenie równowagi i synchronicznie osiągając położenie skrajne. W drganiach głównych odpowiadających omega jeden, x1 jest równe x2; W drganiach głównych odpowiadających omega omega dwa, omega omega jeden. W drganiach głównych stosunek przemieszczenia każdej masy zachowuje pewną relację i tworzy pewien mod, który jest nazywany modą główną lub modą naturalną. Ortogonalność masy i sztywności występuje wśród modów głównych, co odzwierciedla niezależność każdej drgania. Częstotliwość naturalna i mod główny reprezentują wrodzone cechy drgań układu o wielu stopniach swobody.

Rys. 8 układ z wieloma stopniami swobody

Układ o n stopniach swobody ma n częstotliwości naturalnych i n modów głównych. Dowolną konfigurację drgań układu można przedstawić jako kombinację liniową modów głównych. Dlatego metoda superpozycji modów głównych jest szeroko stosowana w analizie odpowiedzi dynamicznej układów o wielu stopniach swobody. Dzięki temu pomiar i analiza charakterystyk drgań własnych układu staje się rutynowym krokiem w dynamicznym projektowaniu układu.

Charakterystyki dynamiczne układów wielostopniowych można również opisać za pomocą charakterystyk częstotliwościowych. Ponieważ pomiędzy każdym wejściem i wyjściem istnieje funkcja charakterystyki częstotliwościowej, konstruowana jest macierz charakterystyki częstotliwościowej. Krzywa charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej układu wieloswobodnego różni się od krzywej charakterystyki układu jednoswobodnego.

Elastomer wibruje

Powyższy układ o wielu stopniach swobody stanowi przybliżony model mechaniczny elastomeru. Elastomer ma nieskończoną liczbę stopni swobody. Istnieje różnica ilościowa, ale nie zasadnicza między nimi. Każdy elastomer ma nieskończoną liczbę częstotliwości drgań własnych i nieskończoną liczbę odpowiadających im modów, a między modami masy i sztywności istnieje ortogonalność. Dowolną konfigurację drgań elastomeru można również przedstawić jako liniową superpozycję głównych modów. Dlatego w analizie odpowiedzi dynamicznej elastomeru nadal można stosować metodę superpozycji głównego modu (patrz liniowe drgania elastomeru).

Rozważmy drgania struny. Załóżmy, że cienka struna o masie m na jednostkę długości, o długości l, jest naciągnięta na obu końcach, a naprężenie wynosi T. W tym momencie częstotliwość drgań własnych struny jest określona przez następujące równanie:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Gdzie, jest prędkością rozchodzenia się fali poprzecznej wzdłuż struny. Częstotliwości naturalne strun są wielokrotnościami częstotliwości podstawowej przez 2l. Ta całkowita wielokrotność prowadzi do przyjemnej struktury harmonicznej. Ogólnie rzecz biorąc, nie istnieje taka całkowita wielokrotność relacji między częstotliwościami naturalnymi elastomeru.

Pierwsze trzy tryby napiętej struny pokazano na rys. 9. Na krzywej głównego trybu drgań widoczne są pewne węzły. Podczas głównego trybu drgań węzły nie drgają. Rys. 10 przedstawia kilka typowych trybów obwodowo podpartej płyty kołowej z liniami węzłowymi składającymi się z okręgów i średnic.

Dokładne sformułowanie problemu drgań elastomerów można wyprowadzić z problemu wartości brzegowych równań różniczkowych cząstkowych. Jednak dokładne rozwiązanie można znaleźć tylko w najprostszych przypadkach, dlatego w przypadku złożonego problemu drgań elastomerów musimy uciec się do rozwiązania przybliżonego. Istotą różnych rozwiązań przybliżonych jest zamiana nieskończoności na skończone, czyli dyskretyzacja bezgałęziowego układu o wielu stopniach swobody (układu ciągłego) w skończony układ o wielu stopniach swobody (układu dyskretnego). Istnieją dwa rodzaje metod dyskretyzacji szeroko stosowane w analizie inżynierskiej: metoda elementów skończonych i metoda syntezy modalnej.

Rys. 9. Tryb struny

Rys. 10 Tryb płytki kołowej

Metoda elementów skończonych to struktura złożona, która abstrahuje złożoną strukturę do skończonej liczby elementów i łączy je w skończonej liczbie węzłów. Każda jednostka jest elastomerem. Przemieszczenie rozkładu elementu jest wyrażone przez funkcję interpolacji przemieszczenia węzła. Następnie parametry rozkładu każdego elementu są skoncentrowane w każdym węźle w pewnym formacie, a uzyskany zostaje model mechaniczny dyskretnego układu.

Synteza modalna polega na rozkładzie złożonej struktury na kilka prostszych podstruktur. Na podstawie zrozumienia charakterystyki drgań każdej podstruktury, podstruktura jest syntetyzowana w strukturę ogólną zgodnie z warunkami koordynacji na interfejsie, a morfologia drgań struktury ogólnej jest uzyskiwana poprzez wykorzystanie morfologii drgań każdej podstruktury.

Obie metody są różne i powiązane ze sobą, można je więc stosować jako punkt odniesienia. Metodę syntezy modalnej można również skutecznie łączyć z pomiarami eksperymentalnymi, tworząc teoretyczną i eksperymentalną metodę analizy drgań dużych układów.