Què és la vibració lineal?

Vibració lineal: l'elasticitat dels components del sistema està subjecta a la llei de Hooke, i la força d'amortiment generada durant el moviment és proporcional a la primera equació de la velocitat generalitzada (derivada del temps de les coordenades generalitzades).

concepte

Un sistema lineal sol ser un model abstracte de la vibració d'un sistema real. El sistema de vibració lineal aplica el principi de superposició, és a dir, si la resposta del sistema és y1 sota l'acció de l'entrada x1 i y2 sota l'acció de l'entrada x2, aleshores la resposta del sistema sota l'acció de les entrades x1 i x2 és y1 + y2.

Sobre la base del principi de superposició, una entrada arbitrària es pot descompondre en la suma d'una sèrie d'impulsos infinitesimals i, a continuació, es pot obtenir la resposta total del sistema. La suma dels components harmònics d'una excitació periòdica es pot expandir en una sèrie de components harmònics mitjançant la transformada de Fourier i l'efecte de cada component harmònic sobre el sistema es pot investigar per separat. Per tant, les característiques de resposta dels sistemes lineals amb paràmetres constants es poden descriure mitjançant la resposta impulsional o la resposta de freqüència.

La resposta impulsional es refereix a la resposta del sistema a l'impuls unitari, que caracteritza les característiques de resposta del sistema en el domini del temps. La resposta de freqüència es refereix a la característica de resposta del sistema a l'entrada harmònica unitària. La correspondència entre les dues està determinada per la transformada de Fourier.

classificació

La vibració lineal es pot dividir en vibració lineal de sistemes d'un sol grau de llibertat i vibració lineal de sistemes de diversos graus de llibertat.

(1) La vibració lineal d'un sistema d'un sol grau de llibertat és una vibració lineal la posició de la qual es pot determinar mitjançant una coordenada generalitzada. És la vibració més simple de la qual es poden derivar molts conceptes i característiques bàsiques de la vibració. Inclou la vibració harmònica simple, la vibració lliure, la vibració d'atenuació i la vibració forçada.

Vibració harmònica simple: el moviment alternatiu d'un objecte en la proximitat de la seva posició d'equilibri segons una llei sinusoidal sota l'acció d'una força de restauració proporcional al seu desplaçament.

Vibració amortida: vibració l'amplitud de la qual s'atenua contínuament per la presència de fricció i resistència dielèctrica o altres consums d'energia.

Vibració forçada: vibració d'un sistema sota excitació constant.

(2) la vibració lineal del sistema multigrau de llibertat és la vibració del sistema lineal amb n ≥ 2 graus de llibertat. Un sistema de n graus de llibertat té n freqüències naturals i n modes principals. Qualsevol configuració de vibració del sistema es pot representar com una combinació lineal dels modes principals. Per tant, el mètode de superposició del mode principal s'utilitza àmpliament en l'anàlisi de resposta dinàmica de sistemes multi-dof. D'aquesta manera, la mesura i l'anàlisi de les característiques de vibració natural del sistema es converteix en un pas rutinari en el disseny dinàmic del sistema. Les característiques dinàmiques dels sistemes multi-dof també es poden descriure mitjançant característiques de freqüència. Com que hi ha una funció característica de freqüència entre cada entrada i sortida, es construeix una matriu característica de freqüència. Hi ha una relació definida entre la característica de freqüència i el mode principal. La corba característica amplitud-freqüència del sistema multi-llibertat és diferent de la del sistema d'una sola llibertat.

Vibració lineal d'un sistema d'un sol grau de llibertat

Una vibració lineal en què la posició d'un sistema es pot determinar mitjançant una coordenada generalitzada. És la vibració més simple i fonamental de la qual es poden derivar molts conceptes i característiques bàsiques de la vibració. Inclou la vibració harmònica simple, la vibració esmorteïda i la vibració forçada.

vibració harmònica

Sota l'acció de la força de restauració proporcional al desplaçament, l'objecte es mou alternativament de manera sinusoidal prop de la seva posició d'equilibri (FIG. 1). X representa el desplaçament i t representa el temps. L'expressió matemàtica d'aquesta vibració és:

(1)On A és el valor màxim del desplaçament x, que s'anomena amplitud, i representa la intensitat de la vibració; Omega n és l'increment de l'angle d'amplitud de la vibració per segon, que s'anomena freqüència angular o freqüència circular; Això s'anomena fase inicial. En termes de f = n/2, el nombre d'oscil·lacions per segon s'anomena freqüència; La inversa d'això, T = 1/f, és el temps que es triga a oscil·lar un cicle, i això s'anomena període. Amplitud A, freqüència f (o freqüència angular n), la fase inicial, coneguda com a vibració harmònica simple de tres elements.

FIG. 1 corba de vibració harmònica simple

Com es mostra a la FIG. 2, un oscil·lador harmònic simple està format per la massa concentrada m connectada per una molla lineal. Quan el desplaçament de vibració es calcula des de la posició d'equilibri, l'equació de vibració és:

On és la rigidesa de la molla. La solució general de l'equació anterior és (1). A i es pot determinar mitjançant la posició inicial x0 i la velocitat inicial a t=0:

Però omega n només ve determinada per les característiques del propi sistema m i k, independentment de les condicions inicials addicionals, per la qual cosa omega n també es coneix com a freqüència natural.

FIG. 2 sistema d'un sol grau de llibertat

Per a un oscil·lador harmònic simple, la suma de la seva energia cinètica i energia potencial és constant, és a dir, l'energia mecànica total del sistema es conserva. En el procés de vibració, l'energia cinètica i l'energia potencial es transformen constantment l'una en l'altra.

La vibració d'amortiment

Una vibració l'amplitud de la qual s'atenua contínuament per fricció i resistència dielèctrica o altres consums d'energia. Per a la microvibració, la velocitat generalment no és gaire gran i la resistència del mitjà és proporcional a la velocitat a la primera potència, que es pot escriure com c és el coeficient d'amortiment. Per tant, l'equació de vibració d'un grau de llibertat amb amortiment lineal es pot escriure com:

(2)On m = c/2m s'anomena paràmetre d'amortiment, i. La solució general de la fórmula (2) es pot escriure:

(3)La relació numèrica entre omega n i PI es pot dividir en els tres casos següents:

N > (en el cas d'un amortiment petit) la partícula produeix una atenuació de la vibració, l'equació de vibració és:

La seva amplitud disminueix amb el temps segons la llei exponencial que es mostra a l'equació, tal com es mostra a la línia de punts de la FIG. 3. En rigor, aquesta vibració és aperiòdica, però la freqüència del seu pic es pot definir com:

S'anomena taxa de reducció d'amplitud, on és el període de vibració. El logaritme natural de la taxa de reducció d'amplitud s'anomena logaritme menys la taxa (amplitud). Òbviament, =, en aquest cas, és igual a 2/1. Directament a través de la prova experimental delta i, utilitzant la fórmula anterior, es pot calcular c.

En aquest moment, la solució de l'equació (2) es pot escriure:

Juntament amb la direcció de la velocitat inicial, es pot dividir en tres casos sense vibració, tal com es mostra a la FIG. 4.

N < (en el cas d'un amortiment elevat), la solució a l'equació (2) es mostra a l'equació (3). En aquest punt, el sistema ja no vibra.

Vibració forçada

Vibració d'un sistema sota excitació constant. L'anàlisi de vibracions investiga principalment la resposta del sistema a l'excitació. L'excitació periòdica és una excitació regular típica. Com que l'excitació periòdica sempre es pot descompondre en la suma de diverses excitacions harmòniques, segons el principi de superposició, només es requereix la resposta del sistema a cada excitació harmònica. Sota l'acció de l'excitació harmònica, l'equació diferencial del moviment d'un sistema amortimentat d'un sol grau de llibertat es pot escriure:

La resposta és la suma de dues parts. Una part és la resposta de la vibració esmorteïda, que decau ràpidament amb el temps. La resposta de l'altra part de la vibració forçada es pot escriure:

FIG. 3 corba de vibració amortida

FIG. 4 corbes de tres condicions inicials amb amortiment crític

Escriu el

H /F0 = h (), és la relació entre l'amplitud de la resposta estacionària i l'amplitud d'excitació, que caracteritza les característiques amplitud-freqüència o la funció de guany; Bits per a la resposta en estat estacionari i l'incentiu de la fase, caracterització de les característiques de freqüència de fase. La relació entre ells i la freqüència d'excitació es mostra a la FIG. 5 i la FIG. 6.

Com es pot veure a la corba d'amplitud-freqüència (FIG. 5), en el cas d'un amortiment petit, la corba d'amplitud-freqüència té un únic pic. Com més petit sigui l'amortiment, més pronunciat serà el pic; la freqüència corresponent al pic s'anomena freqüència ressonant del sistema. En el cas d'un amortiment petit, la freqüència de ressonància no és gaire diferent de la freqüència natural. Quan la freqüència d'excitació és propera a la freqüència natural, l'amplitud augmenta bruscament. Aquest fenomen s'anomena ressonància. A la ressonància, el guany del sistema es maximitza, és a dir, la vibració forçada és la més intensa. Per tant, en general, sempre cal intentar evitar la ressonància, tret que alguns instruments i equips utilitzin la ressonància per aconseguir una gran vibració.

FIG. 5 corba de freqüència d'amplitud

Es pot veure a la corba de freqüència de fase (figura 6), independentment de la mida de l'amortiment, en bits de diferència de fase omega zero = PI / 2, aquesta característica es pot utilitzar eficaçment per mesurar la ressonància.

A més de l'excitació estacionària, els sistemes de vegades es troben amb una excitació inestable. Es pot dividir aproximadament en dos tipus: un és l'impacte sobtat. El segon és l'efecte durador de l'arbitrarietat. Sota excitació inestable, la resposta del sistema també és inestable.

Una eina potent per analitzar vibracions inestables és el mètode de resposta impulsional. Descriu les característiques dinàmiques del sistema amb la resposta transitòria de l'entrada d'impuls unitari del sistema. L'impuls unitari es pot expressar com una funció delta. En enginyeria, la funció delta sovint es defineix com:

On 0- representa el punt de l'eix t que s'acosta a zero des de l'esquerra; 0 plus és el punt que s'acosta a 0 des de la dreta.

FIG. 6 corba de freqüència de fase

FIG. 7 qualsevol entrada es pot considerar com la suma d'una sèrie d'elements d'impuls

El sistema correspon a la resposta h(t) generada per l'impuls unitari a t=0, que s'anomena funció de resposta a l'impuls. Suposant que el sistema està estacionari abans de l'impuls, h(t)=0 per a t<0. Coneixent la funció de resposta a l'impuls del sistema, podem trobar la resposta del sistema a qualsevol entrada x(t). En aquest punt, podeu pensar en x(t) com la suma d'una sèrie d'elements d'impuls (FIG. 7). La resposta del sistema és:

Basant-nos en el principi de superposició, la resposta total del sistema corresponent a x(t) és:

Aquesta integral s'anomena integral de convolució o integral de superposició.

Vibració lineal d'un sistema de diversos graus de llibertat

Vibració d'un sistema lineal amb n≥2 graus de llibertat.

La figura 8 mostra dos subsistemes ressonants simples connectats per una molla d'acoblament. Com que és un sistema de dos graus de llibertat, calen dues coordenades independents per determinar-ne la posició. Hi ha dues freqüències naturals en aquest sistema:

Cada freqüència correspon a un mode de vibració. Els oscil·ladors harmònics duen a terme oscil·lacions harmòniques de la mateixa freqüència, passant sincronitzadament per la posició d'equilibri i arribant sincronitzadament a la posició extrema. En la vibració principal corresponent a omega u, x1 és igual a x2; En la vibració principal corresponent a omega omega dos, omega omega u. En la vibració principal, la relació de desplaçament de cada massa manté una certa relació i forma un cert mode, que s'anomena mode principal o mode natural. L'ortogonalitat de la massa i la rigidesa existeix entre els modes principals, cosa que reflecteix la independència de cada vibració. La freqüència natural i el mode principal representen les característiques de vibració inherents al sistema de diversos graus de llibertat.

FIG. 8 sistema amb múltiples graus de llibertat

Un sistema de n graus de llibertat té n freqüències naturals i n modes principals. Qualsevol configuració de vibració del sistema es pot representar com una combinació lineal dels modes principals. Per tant, el mètode de superposició del mode principal s'utilitza àmpliament en l'anàlisi de resposta dinàmica de sistemes amb diversos graus de llibertat. D'aquesta manera, la mesura i l'anàlisi de les característiques de vibració natural del sistema es converteix en un pas rutinari en el disseny dinàmic del sistema.

Les característiques dinàmiques dels sistemes amb múltiples graus de llibertat també es poden descriure mitjançant característiques de freqüència. Com que hi ha una funció característica de freqüència entre cada entrada i sortida, es construeix una matriu característica de freqüència. La corba característica amplitud-freqüència del sistema multi-llibertat és diferent de la del sistema d'una sola llibertat.

L'elastòmer vibra

El sistema de diversos graus de llibertat anterior és un model mecànic aproximat d'elastòmer. Un elastòmer té un nombre infinit de graus de llibertat. Hi ha una diferència quantitativa però no una diferència essencial entre els dos. Qualsevol elastòmer té un nombre infinit de freqüències naturals i un nombre infinit de modes corresponents, i hi ha ortogonalitat entre els modes de massa i rigidesa. Qualsevol configuració vibracional de l'elastòmer també es pot representar com una superposició lineal dels modes principals. Per tant, per a l'anàlisi de la resposta dinàmica de l'elastòmer, el mètode de superposició del mode principal encara és aplicable (vegeu vibració lineal de l'elastòmer).

Prenguem la vibració d'una corda. Diguem que una corda prima de massa m per unitat de longitud, de llargada l, està tensada pels dos extrems, i la tensió és T. En aquest moment, la freqüència natural de la corda ve determinada per la següent equació:

F = na/2l (n= 1, 2, 3…).

On, és la velocitat de propagació de l'ona transversal al llarg de la direcció de la corda. Les freqüències naturals de les cordes són múltiples de la freqüència fonamental sobre 2l. Aquesta multiplicitat entera condueix a una estructura harmònica agradable. En general, no hi ha aquesta relació de múltiples enters entre les freqüències naturals de l'elastòmer.

Els tres primers modes de la corda tensada es mostren a la FIG. 9. Hi ha alguns nodes a la corba del mode principal. En la vibració principal, els nodes no vibren. La FIG. 10 mostra diversos modes típics de la placa circular suportada circumferencialment amb algunes línies nodals compostes per cercles i diàmetres.

La formulació exacta del problema de vibració de l'elastòmer es pot concloure com el problema de valor límit de les equacions diferencials parcials. Tanmateix, la solució exacta només es pot trobar en alguns dels casos més simples, per la qual cosa hem de recórrer a la solució aproximada per al problema complex de vibració de l'elastòmer. L'essència de diverses solucions aproximades és canviar l'infinit a finit, és a dir, discretitzar el sistema multigrau de llibertat sense extremitats (sistema continu) en un sistema multigrau de llibertat finit (sistema discret). Hi ha dos tipus de mètodes de discretització àmpliament utilitzats en l'anàlisi d'enginyeria: el mètode dels elements finits i el mètode de síntesi modal.

FIG. 9 mode de cadena

FIG. 10 mode de placa circular

El mètode dels elements finits és una estructura composta que abstrau una estructura complexa en un nombre finit d'elements i els connecta en un nombre finit de nodes. Cada unitat és un elastòmer; el desplaçament de distribució de l'element s'expressa mitjançant la funció d'interpolació del desplaçament del node. Aleshores, els paràmetres de distribució de cada element es concentren a cada node en un format determinat i s'obté el model mecànic del sistema discret.

La síntesi modal és la descomposició d'una estructura complexa en diverses subestructures més simples. A partir de la comprensió de les característiques de vibració de cada subestructura, la subestructura es sintetitza en una estructura general segons les condicions de coordinació a la interfície, i la morfologia de vibració de l'estructura general s'obté mitjançant la morfologia de vibració de cada subestructura.

Els dos mètodes són diferents i relacionats, i es poden utilitzar com a referència. El mètode de síntesi modal també es pot combinar eficaçment amb la mesura experimental per formar un mètode d'anàlisi teòric i experimental per a la vibració de grans sistemes.